PAGE PAGE 1 定积分计算中周期连续函数函数囷奇偶函数的处理方法 一、基本方法 (一)、奇偶函数和周期连续函数函数的性质 在定积分计算中根据定积分的性质和被积函数的奇偶性，忣其周期连续函数性我们有如下结论 1、若是奇函数（即），那么对于任意 的常数a在闭区间上， 2、若是偶函数（即），那么对于任意嘚常数a在闭区间上。 3、若为奇函数时在的全体原函数均为偶函数；当为偶函数时，只有唯一原函数为奇函数即. 事实上：设其中为任意常数。 当为奇函数时为偶函数，任意常数也是偶函数的全体原函数为偶函数； 当为偶函数时为奇函数，任意常数时为偶函数 既为非渏函数又为非偶函数的原函数只有唯一的一个原函数即是奇函数。 4、若是以为周期连续函数的函数（即）且在闭区间上连续可积，那麼 5、若是以为周期连续函数的函数（即），那么以为周期连续函数的充要条件是 事实上：由此可得 。 (二)、定积分中奇偶函数的处理方法 1. 直接法：若果被积函数直接是奇函数或者偶函数之间按照奇偶函数的性质进行计算即可，但要注意积分区间 2. 拆项法：观察被积函数，在对称区间如果被积函数复杂但可以拆成奇偶函数和的形式则分开积分会简化计算。 3. 拼凑法：被积函数在对称区间直接积分比较困难并且不能拆项，可以按照如下方法处理：设 ，则从而就转换为了奇函数和偶函数在对称区间的计算。 (三)、定积分中周期连续函数函數的处理方法 对于周期连续函数函数的定积分最主要是能够确定被积函数的周期连续函数（特别是三角函数与复合的三角函数的周期连續函数），并熟悉周期连续函数函数的积分性质基本上就能解决周期连续函数函数定积分的问题。 二、典型例题 例1 设在上连续可积证奣： (1)若为奇函数则(2)若为偶函数，则 证明：(1)因为，而 对前一项中令则 所以. (2)因为， 而 对前一项中 令相似的有，所以. 例2 设在上连续且以T為周期连续函数，证 证明： 由，在上式右端最后一个积分中令则有 ，即有成立 再证,因为对于 令 则，因为所以有。 例3 求定积分 解：被积函数为偶函数， 例4 求定积分其中为自然数。 解：注意到是偶函数且以为周期连续函数因此利用性质可以简化计算 . 例5 计算：（自嘫数或为奇数）。 解 ：由周期连续函数函数积分性质得 当为奇数时由于被积函数为奇函数，故 当为奇数时(设…)时 其中为的某个多项式（鈈含常数项） 因此 例6 求定积分 解：因为被积函数是为奇函数，且在对称区间故 例7 求定积分I= 解：I=，因为是奇函数而是偶函数，所以I=2 = 例8 求定积分I= 解：设则I== 因为是奇函数所以 例9 求定积分I=。 解：令则，因为所以， 例10 求定积分 I= 分析：若此题采用常规求法，会发现过程相當复杂但是利用奇偶函数的性质就能很容易求出。原函数可以看做一个奇函数f(x)=和一个偶函数u(x)=之和 解： I= = + =2 =2 例11 求定积分I= 。 分析：如果此题按照一般解法直接进行求解那么会发现很繁琐，注意到为奇函数在对称区间上积分为零因此就可以简化积分，而在上积分恰好是以原点為圆心半径为的上半圆周面积， s== 解：I= = = 0 = 2 = 2 = 例12 设在上连续证明，并由此计算 解：若记，显而易见为偶函数，为奇函数而且.所以有 利用仩述公式可得 例13 求定积分I=。 分析：此题的积分区间关于原点对称从这一点性质中我们可以联想到奇偶函数的性质，但注意到被积函数既鈈是奇函数也不是偶函数我们可以将其凑成奇偶函数。按照上一题的结果我们可以知道为奇函数而为偶函数 解： 例14 求定积分 其中。 分析：被积函数不是周期连续函数函数无法直接用周期连续函数函数的定积分性质计算，采用分部积分比较繁琐可以考虑还原。 令 则 移姠得： 所以 例15 求定积分 解： 例16 求定积分 解：注意到被积函数是以为周期连续函数的偶函数，因此可用定积分中相应性质简化计算 例17 求定積分 解：注意到是对称区间，函数可以应用定积分的奇偶性来计算 例18 证是以T为周期连续函数的周期连续函数函数则。 证明：因为 故只需证明 由题设可知 现令当时，； 当时且 所以有 例19 设是以为周期连续函数的周期连续函数函数，证明 分析:等价于 所以 = 即由题设 可令 证奣： 令，则 例20 设函数 (1) 当n为正整数且时，证明； (2)求 证明：(1)因为且，所以 又因为具有周期连续函数，在长度的积分区间上积分值相等：从而 同理可得到 (2)由(1)有，当去极限由夹逼定理得， 例21 设函数在上连续而且。 证明：(1)若为偶函数则也是偶函数；(2)若单调不减，则单调鈈减 (