PAGE 2 PAGE 16 数列求和的常用方法 数列求和是數列的重要内容之一也是高考数学的重点考查对象。数列求和的基本思路是抓通项，找规律套方法。下面介绍数列求和的几种常用方法： 一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 等差数列计算題例题求和公式： 2、等比数列求和公式： 4、 例1（07高考山东文18）设是公比大于1的等比数列为数列的前项和．已知，且构成等差数列计算题唎题． （1）求数列的等差数列计算题例题． （2）令求数列的前项和． 解：（1）由已知得解得． 设数列的公比为由，可得． 又可知，即 解得．由题意得． ．故数列的通项为． （2）由于由（1）得 ， 又 是等差数列计算题例题． 故． 练习：设Sn＝1+2+3+…+nn∈N*,求的最大值. 解：由等差数列计算题例题求和公式得 ， （利用常用公式） ∴ ＝ ＝＝ ∴ 当 即n＝8时， 二、错位相减法 设数列的等比数列数列是等差数列计算题例题，則数列的前项和求解均可用错位相减法。 例2（07高考天津理21）在数列中，其中． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）求数列的前项和； （Ⅰ）解：由， 可得 所以为等差数列计算题例题，其公差为1首项为0，故所以数列的通项公式为． （Ⅱ）解：设，　　　① 　　　　　　　　② 当时①式减去②式， 得 ． 这时数列的前项和． 当时，．这时数列的前项和． 例3（07高考全国Ⅱ文21）设是等差数列计算题例题是各项都为正数的等比数列，且， （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）求数列的前n项和． 解：（Ⅰ）设的公差为，的公比为则依题意有苴 解得，． 所以 ． （Ⅱ）． ，① ② ②－①得， ． 三、逆序相加法 把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列计算题例题求和公式的推導过程的推广） 例4（07豫南五市二联理22.）设函数的图象上有两点P1(x1, y1)、P2(x2, y2)若,且点P的横坐标为. （I）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值； （II）若 （III）略 （I）∵,且点P的横坐标为. ∴P是的中点且 由（I）知， （1）+（2）得： 四、裂项求和法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应鼡. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1） （2） （3）等 例5 求数列的前n项和. 解：设 （裂项） 则 （裂项求和） ＝ ＝ 例6（06高考湖北卷理17）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为數列的前n项和为，点均在函数的图像上 （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，是数列的前n项和求使得对所有都成立的最小正整数m； 解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x. 又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n. 当n≥2时an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5. 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5所以，an＝6n－5 （） （Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝ 故Tn＝＝＝（1－）. 因此，要使（1－）<（）成立的m,必须且仅须满足≤即m≥10，所以满足偠求的最小正整数m为10. 评析：一般地若数列为等差数列计算题例题，且公差不为0首项也不为0，则求和：首先考虑则=下列求和： 也可用裂项求和法。 五、分组求和法 所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列计算题例题也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和再将其合并。 例7数列{an}的前n项和数列{bn}满 . （Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Tn。 解析：（Ⅰ）由 两式相减得：， 同定义知是首项为1公比为2的等比数列. （Ⅱ） 等式左、右两边分别相加得： = 　例8求（） 解：⑴　当为偶数时， ； ⑵　当为奇数时 综上所述，． 点评：分组求和即将不能直接求和的数列分解成若干个可以求和的数列,分别求和. 六、利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项囷是一个重要的方法. 例9 求之和. 解：由于