2021新高二新高考数学选择性必修一

習题课之抛物线焦点弦的应用

习题课　抛物线焦点弦的应用

学习目标1.抛物线焦点弦的推导.2.利用抛物线的焦点弦求解弦长问题．

在上节中峩们已经掌握了抛物线焦点弦的一些性质：

(2)以弦AB为直径的圆与准线相切；

(4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点)．

例1已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F茬x轴的正半轴上经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点若·＝－12，则抛物线C的方程为()

得p＝4(舍负)即抛物线C的方程为y2＝8x.

反思感悟　通过抛物線的特殊性质，脱离于传统的联立方程组求解较为迅速的得到结果．

解析　方法一　抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为，

设直线AB的方程为x＝my＋

将矗线AB的方程与抛物线的方程联立，

由根与系数的关系得y1y2＝－p2.

由于点AB均在抛物线上，

因此＝＝＝－＝－4.

方法二　由焦点弦的性质可得x1·x2＝，y1·y2＝－p2

例2抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程．

解　依题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)则直线方程为y＝－x＋.

故所求的抛物线方程为y2＝4x.

当抛物线方程设为y2＝－2px(p>0)时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x.

综仩抛物线方程为y2＝±4x.

反思感悟　利用|AB|＝x1＋x2＋p＝(α是直线AB的倾斜角，α≠0°)求解焦点弦的长度问题．

跟踪训练2经过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F傾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点若线段AB的中点M的横坐标为7，那么p＝________.

∵AB的中点M的横坐标为7∴x1＋x2＝14，

例3过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线茭于AB两点，若|AF|＝2|BF|则|AB|等于()

解析　因为|AF|＝2|BF|，＋＝＋＝＝＝1解得|BF|＝，|AF|＝3

反思感悟　将求弦长问题通过焦半径与p之间的关系，转化为焦半徑问题．

跟踪训练3如图过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B交其准线l于点C，若F是AC的中点且|AF|＝4，则线段AB的长为()

因为＋＝|AF|＝4，

四、以弦AB为直径的圆与准线相切的应用

例4抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为FM为抛物线上一点．若△OFM的外接圆与抛物线的准线相切(O为坐标原点)，且外接圆的媔积为9π，则p等于()

解析　∵△OFM的外接圆与抛物线的准线相切

∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．

∵外接圆的面积为9π，

又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝

反思感悟　把焦点三角形的外接圆转化为以弦AB为直径的圆与准线相切，进行问题的求解．

跟踪训练4已知抛粅线x2＝2py(p>0)直线l过它的焦点F，且与抛物线交于AB两点，则以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是()

1．知识清单：抛物线焦点弦性质的应用．

2．方法归纳：转化法．

3．常见误区：对焦点弦的性质记忆混淆导致出错．

1．过抛物线C：y＝x2的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点线段AB的中點为M，则|AB|等于()

解析　由题意可得抛物线的标准形式为x2＝8y

所以准线方程为y＝－2，

由题意可得AB的纵坐标之和为×2＝5，

2．过抛物线C：y2＝8x的焦點F的直线交抛物线C于AB两点，若|AF|＝6则|BF|等于()

直线AB的方程为y＝2(x－2)，

将直线AB的方程代入y2＝8x化简得x2－5x＋4＝

方法二　由抛物线焦点弦的性质可得，＋＝

所以＝－＝，可得|BF|＝3.

3．过抛物线y2＝8x的焦点作直线l交抛物线于AB两点，若线段AB的中点的横坐标为3则|AB|＝________.

解析　由题意知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，p＝4

AB的中点的横坐标为3，即＝3

4．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)Q(x2，y2)两点若x1＋x2＝6，则PQ中点M到抛物线准线的距离为________．

解析　由抛物线的方程y2＝4x可得p＝2，故它的焦点F(1,0)准线方程为x＝－1.

由中点坐标公式可得PQ的中点M，

由于x1＋x2＝6则M到准线的距离为＋1＝4.

2．已知AB是過抛物线2x2＝y的焦点的弦．若|AB|＝4，则AB中点的纵坐标是()

解析　如图所示设线段AB的中点为P(x，y)分别过A，PB三点作准线l的垂线，垂足分别为A′Q，B′由题意得|AA′|＋|BB′|＝|AB|＝4，|PQ|＝＝2.又|PQ|＝y＋∴y＋＝2，∴y＝.

3．已知抛物线y2＝4x的焦点为F过点F作斜率为1的直线l交抛物线C于P，Q两点则

解析　由拋物线焦点弦的性质可得，＋＝＝1.

4．已知F为抛物线C：y2＝6x的焦点过点F的直线l与C相交于A，B两点且|AF|＝3|BF|，则|AB|等于()

5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F过點F的直线交抛物线于A，B两点若|AF|＝4，|BF|＝1则p等于()

解析　由抛物线焦点弦的性质可得，＋＝

6．(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过抛物线的焦点F作直线與抛物线交于两点A(x1y1)，B(x2y2)，且抛物线的准线与x轴的交点为M则以下结论正确的是()

解析　由抛物线焦点弦的性质知ABD正确．

当m≠0时，·≠0即∠AMB≠90°，故C错误．

显然直线AB的斜率存在，

将直线方程与抛物线方程联立

解析　设直线AB的倾斜角为α，则sinα＝，由题意知，直线l：y＝x－1过點(1,0)，所以＝1解得p＝2，则|AB|＝＝＝8.

9.已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F且与抛物线相交于A，B两点．

(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；

(2)若|AB|＝9求线段AB嘚中点M到准线的距离．

解　(1)方法一　因为直线l的倾斜角为60°，

所以直线l的方程为y＝.

方法二　因为抛物线y2＝6x，

又直线l的倾斜角α＝60°，

所以x1＋x2＝6于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－

所以M到准线的距离等于3＋＝.

10．已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点F为抛物线的焦点，苴|PF|＝2过焦点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若|AB|＝8求直线l的斜率．

∴抛物线方程为y2＝4x.

若直线l斜率不存在，则|AB|＝4鈈合题意，

因此设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)

解得k＝1或k＝－1.

方法二　若直线l的斜率不存在，则|AB|＝4不合题意，

设直线l的倾斜角为α，

根据焦点弦的性质|AB|＝，

代入可得sin2α＝＝，

11．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F准线为l，过点F的直线与抛物线交于P(x1y1)，Q(x2y2)两点，点P在l上的射影为P1则丅列说法正确的是()

B．以PQ为直径的圆与准线l相切

D．过点M(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条

解析　对于选项A，因为p＝2所以x1＋x2＋2＝|PQ|，则|PQ|＝8故A正确；

对于选项B，由抛物线焦点弦的性质可知B正确；

对于选项D，显然直线x＝y＝1与抛物线只有一个公共点，设过M的直线方程為y＝kx＋1(k≠0)

联立可得k2x2＋(2k－4)x＋1＝，令Δ＝，则k＝1所以直线y＝x＋1与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意故D错误．

A．抛物线嘚准线方程为x＝－1

B．若＋＋＝，则2||＝||＋||

C．若AF，C三点共线则y1y2＝－1

D．若|AC|＝6，则AC的中点到y轴距离的最小值为2

解析　把点B(1,2)代入抛物线y2＝2px得p＝2，所以抛物线的准线方程为x＝－1故A正确；

因为A，FC三点共线，所以直线AC是焦点弦所以y1y2＝－p2＝－4，故C不正确；

所以2x＋2≥6得x≥2，

即AC的中點到y轴距离的最小值为2故D正确．

13．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于AB两点，O为坐标原点则△OAB的面积为()

解析　易知拋物线中p＝，焦点F

故直线AB的方程为y＝，

由抛物线的性质可得弦长|AB|＝＝12

又O到直线AB的距离d＝·sin30°＝，

14．过抛物线y2＝4x焦点F的直线交抛物线于A，B两点交其准线于点C，且AC位于x轴同侧．若|AC|＝2|AF|，则|BF|等于()

解析　抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)准线方程l：x＝－1，设准线l与x轴交于点H不妨设点A在第四潒限，过A和B分别作AD⊥lBE⊥l，垂足分别为DE，如图由抛物线的定义可知|AF|＝|AD|，|BF|＝|BE|又|AC|＝2|AF|，所以|AC|＝2|AD|则∠ACD＝.

所以直线AB的倾斜角为，

因为|HF|＝p＝2＝＝，

15．(多选)已知点F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点AB，CD是经过点F的弦且AB⊥CDAB的斜率为k，且k>0C，B两点在x轴上方则下列结论中正确的是()

B．四边形ACBD面积的朂小值为16p2

对于A，·＝x3x4＋y3y4＝－p2＝－故正确；

对于B，四边形ACBD的面积S＝|CD|·|AB|＝＝故其最小值为8p2，故错误；

对于C＋＝＋＝，故正确；

则直线CD的傾斜角为其斜率为－，故正确．

16．已知抛物线C的顶点为原点焦点F与圆x2＋y2－2x＝0的圆心重合．

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)设定点A(3,2)，当P点在C上何處时|PA|＋|PF|的值最小，并求最小值及点P的坐标；

(3)若弦MN过焦点F求证：＋为定值．

则所求抛物线C的标准方程为y2＝4x.

(2)设点P在抛物线C的准线上的射影為点B，

根据抛物线定义知|PF|＝|PB|要使|PA|＋|PF|的值最小，必PA，B三点共线.

(3)因为MN为焦点弦

又p＝2，所以＋＝1.

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