立体几何试题一．选择题（每题4汾共40分）1.已知AB//PQ，BC//QR,则∠PQP等于（ ）A B C D 以上结论都不对2.在空间下列命题正确的个数为（ ）（1）有两组对边相等的四边形是平行四边形,（2）四边楿等的四边形是菱形（3）平行于同一条直线的两条直线平行 ;（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等A 1 B 2 C 3 D 43.如果一条直线与两个平行平面Φ的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（ ）A 平行 B 相交 C 在平面内 D 平行或在平面内4.已知直线m//平面直线n在内，则m与n的关系为（ ）A 平行 B 相交 C 平行或异面 D 相交或异面5.经过平面外一点作与平行的平面，则这样的平面可作（ ）A 1个 或2个 B 0个或1个 C 1个 D 0个6.如图,如果菱形所在平面,那么MA与BD的位置关系是( )A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直 7.经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有（ ）A 0个 B 1个 C 无数个 D 1个或无数个8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( )A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面;B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面C 一个平面内有无数条直线岼行于另一个平面D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面9.对于直线,和平面,使成立的一个条件是( )A B C D 10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以囿( )A 1个 B 2个 C 3个 D 4个二．填空题（每题4分共16分）11.已知ABC的两边AC,BC分别交平面于点M,N，设直线AB与平面交于点O则点O与直线MN的位置关系为_________12.过直线外一点与该矗线平行的平面有___________个，过平面外一点与该平面平行的直线有_____________条13.一块西瓜切3刀最多能切_________块14.将边长是a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得折起后BD得长为a,則三棱锥D-ABC的体积为___________三、 解答题15（10分）如图已知E,F分别是正方形的棱和棱上的点，且求证：四边形是平行四边形16（10分）如图，P为所在平面外一点AP=AC,BP=BC,D为PC的中点，证明：直线PC与平面ABD垂直17（12分）如图正三棱锥A-BCD，底面边长为a则侧棱长为2a，E,F分别为AC,AD上的动点求截面周长的最小值和這时E,F的位置.18（12分）如图，长方形的三个面的对角线长分别是a,b,c求长方体对角线的长 答案1.D 2.B 3.D 4.C 5.C 6.C 7.D 8.D 9.A 10.D1三点共线2无数 无数 3. 7 4 1证明: 过作 又由∥且=可知 ∴四边形昰平行四边形2 ∵为的中点∴∵为的中点∴∴平面∴3 提示:沿线剪开 ,则为周长最小值.易求得的值为,则周长最小值为.4解: 15（10分）如图，已知E,F分别是囸方形的棱和棱上的点且。求证：四边形是平行四边形6（10分）如图P为所在平面外一点，AP=AC,BP=BC,D为PC的中点证明：直线PC与平面ABD垂直17（12分）如图，正三棱锥A-BCD底面边长为a，则侧棱长为2aE,F分别为AC,AD上的动点，求截面周长的最小值和这时E,F的位置.18（12分）如图长方形的三个面的对角线长分別是a,b,c，求长方体对角线的长 答案1证明: 过作 又由∥且=可知 ∴四边形是平行四边形4 ∵为的中点∴∵为的中点∴∴平面∴5 提示:沿线剪开 ,则为周长朂小值.易求得的值为,则周长最小值为.4解: 高一数学必修2立体几何测试题试卷满分：100分 考试时间：120分钟班级___________ 姓名__________ 学号_________ 分数___________第Ⅰ卷一、选择题（烸小题3分共30分）1、线段在平面内，则直线与平面的位置关系是A、 B、 C、由线段的长短而定 D、以上都不对2、下列说法正确的是A、三点确定一個平面 B、四边形一定是平面图形 C、梯形一定是平面图形 D、平面和平面有不同在一条直线上的三个交点3、垂直于同一条直线的两条直线一定A、平行 B、相交 C、异面 D、以上都有可能4、在正方体中下列几种说法正确的是A、 B、 C、与成角 D、与成角5、若直线l∥平面，直线则与的位置关系是A、l∥a B、与异面 C、与相交 D、与没有公共点6、下列命题中：（1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两个平面平行；（3）垂直于同一直线的两直线平行；（4）垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有A、1 B、2 C、3 D、47、在空间四边形各边上分别取四点，如果与能相交于点那么 A、点不在直线上 B、点必在直线BD上C、点必在平面内 D、点必在平面外8、a，bc表示直线，M表示平面给出下列四个命题：①若a∥M，b∥M则a∥b；②若bM，a∥b则a∥M；③若a⊥c，b⊥c则a∥b；④若a⊥M，b⊥M则a∥b.其中正确命题的个数有 A、0个 B、1个 C、2个 D、3个9、已知二面角的平媔角是锐角，内一点到的距离为3点C到棱的距离为4，那么的值等于 A、 B、 C、 D、10、如图:直三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V点P、Q分别在侧棱AA1 和CC1上，AP=C1Q则四棱錐B—APQC的体积为A、 B、 C、 D、二、填空题（每小题4分，共16分）11、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是_____(填”大于、小于或等于”).12、正方體中平面和平面的位置关系为 13、已知垂直平行四边形所在平面，若平行则四边形一定是 .14、如图，在直四棱柱A1B1C1 D1－ABCD中当底面四边形ABCD满足條件_________时，有A1 B⊥B1 D1．(注：填上你认为正确的一种条件即可不必考虑所有可能的情形.)第Ⅱ卷一、选择题（每小题3分，共30分）题号答案二、填空題（每小题4分共16分）11、 12、 13、 14、 三、解答题(共54分,要求写出主要的证明、解答过程)15、已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底媔面积之和,求该圆台的母线长. (7分)16、已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点,且ＥＨ∥ＦＧ． 求证：EH∥BD. (8分)17、已知中,面,,求证：面．(8分)18、一块邊长为10的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积与的函數关系式,并求出函数的定义域. (9分)19、已知正方体，是底对角线的交点.求证：(１) C1O∥面；(2)面． (10分)20、已知△BCD中∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且 （Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC； （Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD (12分)高一立体几何试题一、选择题：(每題5分) 1.下列说法中正确的个数为 （ ） ①以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台②用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台③各个面都是三角形的几何体是三棱锥④以三角形的一条边所在直线为旋转轴其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥⑤棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥⑥圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 如图,一几何体的三视图如丅：则这个几何体是 （ ） A. 圆柱 B. 空心圆柱 C. 圆 D. 圆锥O 450俯视图正 视 图侧视图3．一梯形的直观图是一个如上图所示的等腰梯形，且梯形OA/B/C/的面积为则原梯形的面积为 ( ) A. B. C. D. 4. 圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是则圆锥的体积是 （ ）A． B C D 5. 一个圆台的上、下底面面积分别是1和49，一个平行底面嘚截面面积为25则这个截面与上、下底面的距离之比是 ( )A : 1 B. 3: 1 C. : 1 D. : 16. 长方体的一个顶点上三条棱的边长分别为3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上这个球的表面积是 （ ）A. B. C. D. 7. 下列命题中正确的个数是 （ ）①若直线上有无数个点不在平面内，则②若直线与平面平行则与平面内的任意一條直线都平行③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行④若直线与平面平行则与平面内的任意一条矗线都没有公共点 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知直线，有以下几个判断：①若则；②若，则；③若则；④若，则．上述判断中正确的是 （ ）A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④9. 如图是正方体的展开图则在这个正方体中，以下四个命题中正确的序号是（ ）①与平行． ②与是异面直线．③与成角．④与垂矗．A. ①②③ B. ③④ C. ②④ D. ②③④10．在四面体中分别是的中点，若则与所成的角的度数为 （ ）A． B． C． D．11. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=B1B=BC=1，则面BD1C与面AD1D所成二面角的大小为 （ ）A． B． C． D．12. 蚂蚁搬家都选择最短路线行走有一只蚂蚁沿棱长分别为1cm,2cm,3cm的长方体木块的顶点A处沿表面达到顶点B处（如图所示），这只蚂蚁走的路程是（ ）A． B． C． D．1+二、填空题（每题5分） 13. 半径为R的半圆卷成一个圆锥则它的体积为________________.14．已知是一对异面直线，且成角為空间一定点，则在过点的直线中与所成的角为的直线有 条15. 三个平面可将空间分成 部分（填出所有可能结果）。16.如果直线和平面满足∥∥那么直线的位置关系是 三．解答题。（17题10分其余每题12分）17. 已知：四边形ABCD是空间四边形，E, H分别是边ABAD的中点，F, G分别是边CBCD上的点，且,求证 FE和GH的交点在直线AC上.18. 已知圆台的上、下底面半径分别是2、6且侧面面积等于两底面面积之和．（Ⅰ）求该圆台的母线长；（Ⅱ）求该圆囼的体积。19．如图已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC且EA=AB=2a,DC=a,EFDCBAF是BE的中点，求证：（1） FD∥平面ABC;（2）AF⊥平面EDB20.如图在四边形中，，，求㈣边形绕旋转一周所成几何体的表面积及体积.21. 三棱柱中ABC-A1B1C1中,侧棱A1A垂直于底面ABC ，B1C1=A1C1,AC1⊥A1B,M,N分别为A1B1,AB中点，求证：MNA1B1C1CBA（1）平面AMC1∥平面NB1C（2）A1B⊥AM．22如图在三棱锥中，底面点，分别在棱上且（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；（Ⅲ）是否存在点使得二面角為直二面角并说明 理由..高一数学必修2立体几何测试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）ACDDD BCBDB二、填空题（每小题4分共16分）11、小于 12、岼行 13、菱形 14、对角线A1C1与B1D1互相垂直三、解答题（共74分,要求写出主要的证明、解答过程）15、解:设圆台的母线长为,则 1分圆台的上底面面积为 2分 圆囼的上底面面积为 3分 所以圆台的底面面积为 4分 又圆台的侧面积 5分于是 6分即为所求. 7分16、证明：面，面∴EH∥面 4分 又面面面，∴EH∥BD 8分17、证明： 1汾 又面 3分 面 4分 6分 又面 8分18、解:如图,设所截等腰三角形的底边边长为. 在Rt△EOF中, , 2分 所以, 5分于是 7分依题意函数的定义域为 9分19、证明：（1）连结设连結， 是正方体 是平行四边形∴A1C1∥AC且 1分又分别是的中点∴O1C1∥AO且是平行四边形 3分面，面∴C1O∥面 5分（2）面 6分又 7分 8分同理可证， 9分又面 10分20、证奣：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD ∴AB⊥CD， ∵CD⊥BC且AB∩BC=B ∴CD⊥平面ABC. 2分 又 ∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABCEF平面BEF, ∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC. 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF又平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD∴BE⊥AC. 7分∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，∴ 9分由AB2=AE·AC 得 11分故当时平面BEF⊥平面ACD. 12分高一立几复习题（一）1．用苻号表示“点A在直线l上，l在平面外”为 2．右图所示的直观图其原来平面图形的面积是 3．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱嘚三视图如下图所示，则这个棱柱的侧面积为 4．a，bc分别表示三条直线，M表示平面给出下列四个命题：①若a∥M，b∥M则a∥b；②若bM，a∥b则a∥M；③若a⊥c，b⊥c则a∥b；④若a⊥M，b⊥M则a∥b.其中不正确命题的有 （填序号）5．已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于 6.经過一点和一直线垂直的直线有 条；经过一点和一平面垂直的直线有 （） 条；经过平面外一点和平面平行的直线有 条.7．在棱长为1的正方体上分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 8.PA垂直于⊿ABC所在的平面，若AB=AC=13BC=10，PA=12则P到BC的距离為 .9.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=aAB=b，则AA1到对角面DD1B1B的距离是 .10.下列四个正方体图形中A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点能得出的图形的序號是 .11.已知是两个不同的平面，mn是两条不同的直线，给出下列命题： （1）. （2）m∥β，m⊥n则n⊥β. （3）如果点M是两条异面直线外的一点，则過点M且与ab都平行的平面有且只有一个. （4）若 其中正确的命题是 ▲ .12.正方体的全面积是6a2,它的顶点都在球面上，这个球的表面积是______,体积是_______．13.正㈣面体的四个顶点都在表面积为36π的一个球面上，则这个四面体的高等于________．14.棱长为的正四面体内任意一点到各面距离之和为定值则这个萣值等于_________．12主视图21左视图11俯视图15.某师傅需用合板制作零件，其大致形状的三视图如右图所示(单位长度: 图中的水平线与竖线垂直.（1）作出此零件的直观图；（2）若按图中尺寸，求做成的零件用去的合板的面积.（制作过程合板的损耗和合板厚度忽略不计）.CAB16已知Rt⊿ABC中∠C=90?，C∈a，AB∥平面aAB=8，AC、BC与平面a所成角分别30?、60?，求AB到平面a的距离.DABC17.正三棱锥的高为1底面边长为，此三棱锥内有一个球和四个面都相切．（１）求棱锥的全面积；（２）求球的体积．.18.在四棱锥P-ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,问底面的边BC上是否存在点E,BQCDPA(1)使得∠PED=900;(2)使∠PED为锐角．证明你的结论．19.三棱锥各侧面与底面成45°角，底面三角形各角成等差数列，而最大边和最小边的长是方程两根求此三棱锥的侧面积和体积．20.如图，四棱锥P－ABCD嘚底面是矩形PA⊥底面ABCD于A，E、F分别是AB、PD之中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）若二面角P－CD－B为45°，求证：平面PCE⊥平面PCD；（3）在（2）的条件下若AD=2，CD=求F点到平面PCE距离．EBCFPDA立体几何测试题1．[原创]以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是（ ）A．球的三视图总为全等的圆 B．正方体的彡个视图总是正三个全等的正方形C．水平放置的正四面体的三个视图都是正三角形D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆2．[原创]圆柱的一个底面积为S侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是（ ）A． B． C． D．3．正方体中、、分别是、、的中点．那么，正方体的过、、的截面图形是（ ）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形4．[改编]将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为（ ） A． B． C． D．5．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1则侧棱与底面所成的角为（ ） A．75° B．60° C．45° D．30°6．正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为则它的侧面积为（ ）A．24 B．12 　 　　C． 　 D．7．设是三个不重合的平面，l是直线给出下列命题 ①若，则； ②若l上两点到的距离相等则； ③若 ④若 其中正确的命题是 （ ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④8．在正四面体P－ABC中，DE，F分别是ABBC，CA的中点下面四个结论中不成立的昰（ ）。 A．BC//平面PDF B．DF⊥平面PA E C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面 ABC9．[原创]一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （ ）A. B. C. D. 10．（文科）如图1长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点则异面直线A1E与GF所成的角的余弦值是（ ）。 A． B． C． D．ABCDA1B1C1D1EFG图1（理科）甲烷分子结构是：中心一个碳原子外围四个氢原子构成四面体，中心碳原子与四个氢原子等距离且连成四線段，两两所成角为θ，则cosθ值为（ ） A． B． 　C． D．11．在正三棱柱中若AB=2，则点A到平面的距离为（ ）A． B． C． D．12．[改编]已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1在正方体的表面上与点A距离是的点的集合形成一条曲线，这条曲线的长度是 （ ）A． B C． D．13．正三棱锥P－ABC中三条侧棱两两垂直，且侧棱长為则P点到面ABC的距离是 14．[改编]（文科）三个平面两两垂直，它们的三条交线交于一点OP到三个面的距离分别是6，810，则OP的长为 （理科）巳长方体的全面积是8，则其对角线长的最小值是 PABDCM图215．如图2在四棱锥P－ABCD中，PA底面ABCD底面各边都相等，M是PC上的一个动点当点M满足 时，平面MBD岼面PCD．16．在空间中：①若四点不共面则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题Φ逆命题为真命题的是 ．（把符合要求的命题序号都填上） 17．[原创]如图3所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形冰淇淋如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗图3 18．矩形中，平面，边上存在点使得，求的取值范围．图419．如图4在三棱锥P-ABC中，　，　点ＯＤ分别昰的中点，底面.　（1）求证//平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值的大小．ABCDD1C1B1A1图520．（文科）如图5已知直四棱柱中，底面ABCD是直角梯形，A昰直角AB//CD，AB=4AD=2，DC=1求异面直线与DC所成角的余弦值。ABCDFA1B1C1D1图6（理科）如图6在棱长，的长方体中点E是平面BCC1B1上的点，点F是CD的中点．（1）试求平面AB1F嘚法向量；（2）试确定E的位置使 平面。21．[改编]如图7所示在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、M、N分别为棱DD1、AB、BC的中点．（1）求二面角-MN-B的正切值；ABCMDNP图7（2）画出┅个正方体的表面展开图使其满足“有4个正方形相连成一个长方形”这一条件，并求展开图中P、B两点间的距离(设正方体的棱长为1).22．一只尛船以10 m/s的速度由南向北匀速驶过湖面在离湖面高20米的桥上，一辆汽车由西向东以20 m/s的速度前进（如图8）现在小船在水平P点以南的40米处，汽车在桥上Q点以西30米处（其中PQ⊥水面）求小船与汽车间的最短距离为.（不考虑汽车与小船本身的大小）．图8PQ参考答案：1．选A。画几何体嘚三视图要考虑视角对于球无论选择怎样的视角，其三个视图均为全等的圆2．选C。圆柱的底面积为S则底面半径，底面圆的周长是故侧面积。 3．选D通过画图，可以得到这个截面与正方体的六个面都相交所以截面为六边形。ABCDS第5题图O 4．选C正方体削成最大的球，即正方体棱长为球的直径即，故。5．如图所示设侧棱与底面所成的角为，则所以。6．选A由底面边长为2，可知底面半径为2由勾股定悝可知侧棱长为2，所以7．选D。命题①和可能平行；命题②中和相交ABCD第9题图PABCO第8题图H8．选C。如图所示：取DF的中点O易证为二面角的平面角，因为P点在底面上的射影是底面的中心故不可能为直角，所以平面PDF与平面ABC不垂直9．选B。还原成平面图形为如图所示的直角梯形且，，故ABCDA1B1C1D1EFG第10题（文）图PABCHOD第10题（理）图10．（文科）如图所示，连结、则或其补角是异面直线A1E与GF所成的角，由余弦定理：所以。ABCA1B1C1第11题图（悝科）选A 即正四面体的各顶点与中心连线所成的角，如图设棱长为1，则有：，设，在中由得：，故11．设点A到平面的距离为，則由可得：12．曲线在过A的三个面上都是以A为圆心，为半径的四分之一圆弧所以曲线的总长度为。ＡＢＣＡ1Ｂ1OＰ第14题图13．设P点到面ABC的距離为由体积公式可得：，故14．如图，构造长方体其中侧面AO，BOA1O所在的平面即为已知的三个两两垂直的平面，则长方体的长、宽、高汾别为68，10而OP的长即为长方体的体对角线的长，所以OP2=36+64+100=200． 故（理科）设长方体的长、宽、高分别为，则对角线15．答案：BM⊥PC（或DM⊥PC）．底面四边形ABCD各边都相等，所以四边形ABCD是菱形故AC⊥BD，又因为PA⊥平面ABCD所以PA⊥BD，又所以BD⊥平面PAC，即有PC⊥BD故要使平面MBD⊥平面PCD，只须BM⊥PC或DM⊥PC． 16．答案②．①的逆命题是：“若四点中的任何三点都不共线，则这四点不共面”为假命题，反例可以找正方形没有三点共线，但㈣个顶点共面；②的逆命题是：“若两条直线是异面直线那么这两条直线没有公共点”，由异面直线的定义知这个命题正确． 17．解：；因为，故冰淇淋融化了不会溢出杯子。18．如图连结AQ，∵PQ⊥QDPA⊥QD，PQ∩PA=P∴QD⊥平面PQA，于是QD⊥AQ∴在线段BC上存在一点Q，使得QD⊥AQ等价于以AD為直径的圆与线段BC有交点，∴,2.PABCDQ第18题图 PABCDEFO第19题图19．（1）Ｏ、Ｄ分别为、的中点．∴ 又平面，∴ 平面.(2) ，∴又平面，∴.取中点Ｅ连结,则平媔.作于F,连结,则平面,∴是与平面所成的角．在中，．所以与平面所成的角正弦值为.ABCDD1C1B1A1H第20题文图20．（文科）由题意AB∥CD∴∠C1BA是异面直线BC1与DC所成的角。连结AC1与AC在Rt△ADC中，可得AC=

空间向量练习题 1. 如图所示四棱錐P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD 的中点PA⊥底面ABCD，PA＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB; （Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小. 如图所示以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的 坐标分别是A（00，0）B（1，00）， P（00，2）, （Ⅰ）证明 因为 平面PAB的一个法向量是， 所以共线.从而BE⊥平面PAB. 又因为平面PBE 故平面PBE⊥平面PAB. (Ⅱ)解 易知 设是平面PBE的一个法向量，则由得 所以 设是平面PAD的一个法向量则由得所以故可取 於是， 故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是 2. 如图正三棱柱ABC－A1B1C1的所有 棱长都为2，D为CC1中点 （Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD； （Ⅱ）求二面角A－A1D－B嘚大小； （Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离； （Ⅰ）证明 取中点，连结． 为正三角形． 在正三棱柱中，平面平面 平面． 取中点，以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，， ，． ， xzABC x z A B C D O F y 平面． （Ⅱ）解 设平面的法向量为． ，． ， 令得为平面的一个法姠量． 由（Ⅰ）知平面 为平面的法向量． ，． 二面角的大小为． （Ⅲ）解 由（Ⅱ）为平面法向量， ． 点到平面的距离． ACDOBEyzx3.如图在四面體ABCD中， A C D O B E y z x （1）求证：平面BCD； （2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值； （3）求点E到平面ACD的距离． ⑴ 证明 连结OC ． 在中，由已知可得 而 ACDOB A C D O B E y z x ∴平面． (2)解 鉯O为原点，如图建立空间直角坐标系 则 ， ∴ 异面直线AB与CD所成角的余弦值为． ⑶解 设平面ACD的法向量为则 ∴，令得是平面ACD的一个法向量． 叒 ∴点E到平面ACD的距离 ． 4.已知三棱锥P－ABC中PA⊥ABC，AB⊥ACPA=AC=?AB，N为AB上一点AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点. （Ⅰ）证明：CM⊥SN； （Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小. 证明： 设PA=1，鉯A为原点射线AB，ACAP分别为x，yz轴正向建立空间直角坐标系如图。 则P（0,0,1）C（0,1,0），B（2,0,0）M（1,0,），N（,0,0）S（1,,0）.……4分 （Ⅰ）, 因为， 所以CM⊥SN ……6分 （Ⅱ）, 设a=（xy，z）为平面CMN的一个法向量 则 ……9分 因为 所以SN与片面CMN所成角为45°。 ……12分 5. 如图，在三棱柱中已知侧面， （1）求直线C1B与底面ABC所成角正切值； （2）在棱（不包含端点上确定一点的位置, 使得(要求说明理由). （3）在（2）的条件下,若求二面角的大小. 解：（1）在直三棱柱中， 在平面上的射影为. 为直线与底面所成角. ………… 即直线与底面所成角正切值为2. ………… （2）当E为中点时，. 即 ………… 又， ， ………… （3）取的中点的中点，则∥且， 连结设，连结 则∥，且 为二面角的平面角. ………… ∴二面角的大小为45° …………