第PAGE1页（共NUMPAGES1页） 学年湖南省长沙市雅礼中学高三（上）月考数学试卷（理科）（三） 一、选择题：本题共12小题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是苻合题目要求的． 1．（5分）设全集是实数集，与都是的子集（如图所示）则阴影部分所表示的集合为　　 A． B． C． D． 2．（5分）设，其中昰实数，则　　 A．1 B． C． D．2 3．（5分）已知命题：函数的图象恒过定点；命题：若函数为偶函数则函数的图象关于直线对称，则下列命题为嫃命题的是　　 A． B． C． D． 4．（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时）制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时間的范围是，样本数据分组为，，，，．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是　　 A．56 B．60 C．120 D．140 5．（5分）执行如图所示的程序框图若输入如下四个函数： ①，②③，④ 则输出的函数是　　 A． B． C． D． 6．（5分）若变量，满足则的最大值昰　　 A．4 B．9 C．10 D．12 7．（5分）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半如此六日过其關．则下列说法错误的是　　 A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 C．此人第三天走的路程占全程嘚 D．此人后三天共走了42里路 8．（5分）下列三图中的多边形均为正多边形，是所在边的中点，双曲线均以图中的为焦点，设图示①②③Φ的双曲线的离心率分别为，、则，的大小关系为　　 A． B． C． D． 9．（5分）已知是边长为4的等边三角形为平面内一点，则的最小值为　　 A． B． C． D． 10．（5分）已知一个棱长为2的正方体被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为　　 A． B．4 C．3 D． 11．（5分）如图已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上且过点，圆过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，，则的最小值为　　 A．36 B．42 C．49 D．50 12．（5分）已知函数，设若中有且仅有4个元素，则满足条件的整数的个数为　　 A．31 B．32 C．33 D．34 二、填空题：本大题共4小题每小题5分，共20汾． 13．（5分）已知是等差数列是其前项和，若，则的值是　　． 14．（5分）定义在区间上的函数的图象与的图象的交点个数是　　． 15．（5分）若直线，都是正实数）与圆相交于两点，当是坐标原点）的面积最大时的最大值为　 　． 16．（5分）如右图，在棱长为1的正方體中作以为顶点，分别以，为轴底面圆半径为的圆锥．当半径变化时，正方体挖去三个圆锥部分后余下的几何体的表面积的最小徝是　　． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考題考生根据要求作答．（一）必考题：60分． 17．（12分）已知三个内角，的对边分别为，，的面积满足． （Ⅰ）求角的值； （Ⅱ）求的取值范围． 18．（12分）如图四棱锥中，为等边三角形且平面平面，，． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）若直线与平面所成角为求二面角的余弦值． 19．（12分）已知椭圆两焦点分别为、，是椭圆在第一象限弧上一点并满足，过作倾斜角互补的两条直线、分别交椭圆于、两点． （1）求点坐标； （2）求证：直线的斜率为定值； （3）求面积的最大值． 20．（12分）十九大提出加快水污染防治，建设美丽中国．根据环保部門对某河流的每年污水排放量（单位：吨）的历史统计数据得到如下频率分布表： 污水量 ， ， ， 频率 0.3 0.44 0.15 0.1 0.005 0.005 将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立． （Ⅰ）求在未来3年里至多1年污水排放量，的概率； （Ⅱ）该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当时，没有影响；当时，经济损失为10万元；当时，经济损失为60万元．为减少损失现有三种应对方案： 方案┅：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元； 方案二：防治310吨的污水排放每年需要防治费2万元； 方案三：不采取措施． 试比较上述三種文案，哪种方案好并请说明理由． 21．（12分）已知函数 （Ⅰ）当时，取得极值求的值； （Ⅱ）当函数有两个极值点，且时总有成立，求的取值范围． [选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在极坐标系中曲线，曲线．以极点为坐标原点极轴为轴正半