导数与微分 重点倒数的定义,基本初等函数求导公式,各类求导法则,二阶导数,连续与可导的关系,导数与微分的关系,导数的几何意义 难点导数的定义,复合函数求导,高阶导数 例题 唎1 试确定a、b之值,使函数在-∞,∞内可导,并求f x 例2 设 证明在处连续,可微,且导函数在处连续,但在处不可导 例3 设在处可导,求 例4 求下列函数的导数 １ ２ ３ 例5 设和是可导函数,求函数的导数. 例6 设由方程确定,其中是的可微函数,试求. 例7 已知 例8 设且处处可微,求. 例9 求下列函数的高阶导数 １ ２ ３ ４ . 例10 设函数满足 １ 对于任意实数,有 ２ 在可导,且. 证明 可导且 作业题求平面曲线与的公切线方程. 答案 例1 试确定a、b之值,使函数 在-∞,∞内可导,并求f x 解 欲使茬-∞,∞内可导,只需在处连续,可导,由 而在处连续,得 （1） 由在处可导,得 （2） 联立1与2解得,.所以当,时,在处可导,且 例2 设 证明在处连续,可微,且导函数在處连续,但在处不可导 证 因为,故在处连续,又 故在处可导,也可微.当时, 故导函数在处连续,但 故导函数在处不可导 例11 设在处可导,求 解 例12 求下列函数嘚导数 １ ２ ３ １ 解 . 令 故 ２ 解 ３ 解 例13 设和是可导函数,求函数的导数. 解 例14 设由方程确定,其中是的可微函数,试求. 解 对原式左右求导有 解得 例15 已知 解 例16 设且处处可微,求. 解 例17 求下列函数的高阶导数 １ ２ ３ ４ . １ 解 其中为的５次多项式,故 ２ 解 将原函数变形得 , 故 ３ 解 将原函数变形得 故 ４ 解 将原函数变形得 故 例18 设函数满足 １ 对于任意实数,有 ２ 在可导,且. 证明 可导且 证 首先不恒为零,否则有,与题设矛盾.于是至少存在一点,使.这样,由可得. 設为内任一点,则 即可导且. 作业题求平面曲线与的公切线方程. 解 设公切线分别与曲线和相切于点, ,并与轴交于点,见图,因为公切线是曲线在点处切线,故其斜率为 （1） 其方程为 ,即 ２ 或 ,即 ３ 公切线也是曲线在点处的切线,故其斜率为 （４） 其方程为 ,即 ５ 或 ,即. ６ 由２、３可得, 由５、６可得, 所以 由１、４、７可解得,. 故所求公切线方程为