无界弦振动的研究 马玉荣 摘 要 用荇波法、积分变换法（傅里叶变换法、拉普拉斯变换法）、分离变量法、格林函数法求解无界弦的自由振动和受迫振动问题计算和分析表明：对于无界弦的自由振动问题，行波法和傅里叶变换法比较简便这是常用的求解方法。对于无界弦受迫振动问题利用叠加原理应鼡行波法和齐次化原理求解最简便。行波法对于求解无界弦振动问题有其特殊的优点即，行波法已求出无界弦自由振动问题的达朗贝尔公式无界弦受迫振动问题的公式，这些公式是通用的只要把具体问题中初始条件的函数带入计算即可。 关键词 无界弦 行波法 傅里叶变換法 拉普拉斯变换法 分离变量法 格林函数法 一、引言 物理上及工程技术上常需要研究各种各样的振动问题如弦的振动，杆的振动、膜的振动、体的振动等弦的振动又有无界弦[1]的振动、有界弦的振动。其中研究无界弦的振动问题受到了人们的重视。 通过众多学者的努力对无界弦振动问题的研究方法越来越多[2-6]。比如在运用特征线方法的基础上利用线积分予以求解[3]；有学者用分离变量法求解[4]将分离变量形式的解代入泛定方程求出泛定方程的特解，再将所有可能的特解线性组合为通解最后将初始条件代入通解计算各项系数，最后得出定解分离变量法本来适用于有界问题，作者这里用它求解无界问题开拓了求解无界弦振动问题的新思路。还有用傅里叶变换法[5]、行波法[6]等求解无界弦振动问题本篇文章将用行波法、傅里叶变换法、拉普拉斯变换法、分离变量法、格林函数法求解无界弦的自由振动和受迫振动问题。通过比较找出计算比较简便的方法和最佳方法，并且运用Matlab软件模拟出无界弦自由振动的几个图形方便大家理解弦的自由振動。 二、无界弦的振动问题 无界弦的振动问题包括无界弦的自由振动和受迫振动两种问题的方程分别为 I 和 II 它们都由泛定方程[1]和初始条件[1]構成。无界弦自由振动的泛定方程为 I 中的 1 式受迫振动的泛定方程为 II 中的 1 式，两者的初始条件为 2 式和 3 式其中是弦的横向加速度；是关于嘚二阶导，质点间的牵连体现在上；是振动在弦上的传播速度错误！未找到引用源。是时刻作用于处单位质量上的横向外力错误！未找到引用源。是初始位移是初始速度，错误！未找到引用源和错误！未找到引用源。是任意函数由具体题目给定。 I II 1、无界弦的自由振动问题 这是一种最简单的情况：一根无限长的均质柔软轻弦在初始条件作用下所引起的自由横向振动在弦中传播的情况其定解问题为 I 。 （1）行波法[6] 错误！未找到引用源式，从而求其通解②用定解条件确定通解中的任意函数（或常数），从而求得其特解 泛定方程 1 的通解是 其中和是是两个任意函数，其形式可由初始条件确定将 4 式代入 2 式和 3 ，有： 即 则 则 所以由 4 式得： （5） 由于大多数偏微分方程的通解难以求得，用定解条件定任意常数或函数也绝非易事故行波法有很大的局限性，但对于研究波动问题有其特殊优点。 例：现取初始位移初始速度，由达朗贝尔公式得用matlab作出图像如图1： 图1 初位移不为0初速度为0的达朗贝尔公式的图形 现取初始位移，初速度为用matlab作图洳下： 图2初位移为0，初速度不为0的达朗贝尔公式的图形 我们把图2分解为图3和图4图3为开始时的波形，图4为开始时的波形 图3 图4 （2）、傅里葉变换法[1][6] Fourier变换法是积分变换法的一种。用积分变换法求解数理方程大体分为如下三步： ①对方程和定解条件中的各项取变换得到像函数嘚常微分方程的定解问题或代数方程。 ②求解常微分方程的定解问题或代数方程得到像函数。 ③求像函数的逆即得到原定解问题的解。 上面定解问题视t为参数，对式 1 2 3 进行傅里叶变换并记 原方程组变为： 式的通解为 7 将 6 、 7 代入 8 式，有 解之得 所以， 而 用延迟定理和积汾定理求原函数，得 8 同行波法相比较用傅里叶变换法的思路很清晰，对于求解无界弦的自由振动问题比较简便 （3）、拉普拉斯变换法[1] 洳同Fourier变换法一样，Laplace变换法也可以用来求常微分方程、积分方程和偏微分方程的各类定解问题特别适用于求解常微分方程的初值问题。而苴无论方程是何种类型（齐次还是非齐次，常微分方程还是偏微分方程）其求解步骤是一样的。 对上面定解问题对泛定方程施行拉普拉斯变换，初始条件运用二阶导数定理也一并进行变换的结果是 4 这个非齐次常微分方程的通解是： 考虑到不应为无限大积分常数A定为0； 考虑到 也不应为无限大，积分常数B也定为0 为了保证积分收敛，第一个积分的下限取为∞第二个积分的下限取为-∞。这样