【分析】（i）f′（x）=3x²+a．设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x₀0），则f（x₀）=0f′（x₀）=0解出即可．

（ii）对x分类讨论：当x∈（1，+∞）时g（x）=﹣lnx＜0，可得函数h（x）=min { f（x）g（x）}≤g（x）＜0，即可得出零点的个数．

当x=1时对a分类讨论：a≥﹣，a＜﹣即可得出零点的个数；

当x∈（0，1）时g（x）=﹣lnx＞0，因此只考虑f（x）在（01）内的零点个数即可．对a分类讨论：①当a≤﹣3或a≥0时，②当﹣3＜a＜0时利用导数研究其单调性极值即可得出．

【解答】解：（i）f′（x）=3x²+a．

设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x₀，0）则f（x₀）=0，f′（x₀）=0

因此当a=﹣时，x轴为曲线y=f（x）的切线；

（ii）当x∈（1+∞）时，g（x）=﹣lnx＜0

故h（x）在x∈（1，+∞）時无零点．

当x=1时若a≥﹣，则f（1）=a+≥0

f（1），g（1）}=g（1）=0故x=1是函数h（x）的一个零点；

f（1），g（1）}=f（1）＜0故x=1不是函数h（x）的零点；

当x∈（0，1）时g（x）=﹣lnx＞0，因此只考虑f（x）在（01）内的零点个数即可．

①当a≤﹣3或a≥0时，f′（x）=3x²+a在（01）内无零点，因此f（x）在区间（01）内單调，

而f（0）=f（1）=a+，∴当a≤﹣3时函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点

当a≥0时，函数f（x）在区间（01）内没有零点．

②当﹣3＜a＜0时，函数f（x）在内单调递减在内单调递增，故当x=时f（x）取得最小值=．

若＞0，即则f（x）在（0，1）内无零点．

若=0即a=﹣，则f（x）在（01）内囿唯一零点．

若＜0，即由f（0）=，f（1）=a+

∴当时，f（x）在（01）内有两个零点．当﹣3＜a时，f（x）在（01）内有一个零点．

综上可得：a＜时，函数h（x）有一个零点．

当时h（x）有一个零点；

当a=或时，h（x）有两个零点；

当时函数h（x）有三个零点．

【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力属于难題．

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