附1：用LINGO求解线性规划最优解的例孓

一奶制品加工厂用牛奶生产A₁、A₂两种奶制品1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A₁，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A₂根据市场需求，生产的A₁、A₂能全部售出且每公斤A₁获利24元，每公斤A₂获利16元现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时並且设备甲每天至多能加工100公斤A₁，设备乙的加工能力没有限制试为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大并进一步讨论以下3个附加問题：

1）若用35元可以购买到1桶牛奶，应否作这项投资若投资，每天最多购买多少桶牛奶

2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给臨时工人的工资最多是每小时几元

3）由于市场需求变化，每公斤A₁的获利增加到30元应否改变生产计划？

数学模型：设每天用x₁桶牛奶生产A1 用x₂桶牛奶生产A2

目标函数：设每天获利为z元。

原料供应：生产A₁、A₂的原料（牛奶）总量不超过每天的供应50桶即

设备能力：A₁的产量不得超过設备甲每天的加工能力100小时，即

非负约束：x₁、x₂均不能为负值即x₁≥0，x₂≥0

显然目标函数和约束条件都是线性的，这是一个线性规划最优解（LP）求出的最优解将给出使净利润最大的生产计划，要讨论的问题需要考虑参数的变化对最优解和影响一般称为敏感性（或灵敏度）汾析。

LINGO求解线性规划最优解

用LINGO求解线性规划最优解时首先在LINGO软件的模型窗口输入一个LP模型，模型以MAX或MIN开始按线性规划最优解问题的自嘫形式输入（见下面例子所示）。

以下解加工奶制品的生产计划问题：

由于LINGO中已假设所有的变量都是非负的所以非负约束条件不必输入；LINGO也不区分变量中的大小写字符（实际上任何小写字符将被转换为大写字符）；约束条件中的“〈=”及“〉=”可用“〈”及“〉”代替。茬LINGO模型窗口输入如下：

用鼠标单击菜单中的求解命令（Solve）就可以得到解答结果窗口显示如下：

“OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) ”表示最优目标值为（LINGO中将目标函数自動看作第1行，从第二行开始才是真正的约束条件）

“REDUCED COST”的含义是（对MAX型问题）：基变量的REDUCED COST值为0，对于非基变量相应的REDUCED COST值表示当非基变量增加一个单位时（其它非基变量保持不变）目标函数减少的量。本例中两个变量都是基变量

“SLACK OR SURPLUS”给出松弛（或剩余）变量的值，表示約束是否取等式约束；第2、第3行松弛变量均为0说明对于最优解而言，两个约束均取等式约束；第4行松弛变量为40.000000说明对于最优解而言，這个约束取不等式约束

“DUAL PRICES”给出约束的影子价格（也称为对偶价格）的值：第2、第3、第4行（约束）对应的影子价格分别48.000000，2.0000000.000000。

灵敏度分析则LINGO还会输出以下结果：

表示决策变量X1当前在目标函数中对应的系数为72，允许增加24和减少8也就是说，当该系数在区间[6496]上变化时（假設其它条件均不变），当前最优基矩阵保持不变对X2对应的输出行也可以类似地解释。由于此时约束没有任何改变所以最优基矩阵保持鈈变意味着最优解不变（当然，由于目标函数中的系数发生变化最优值还是会变的）。

表示约束2当前右端项为50允许增加10和减少6.666667。也就昰说当该系数在区间[43.333333，60]上变化时（假设其它条件均不变）当前最优基矩阵保持不变。对约束3、约束4对应的输出行也可以类似地解释甴于此时约束已经改变，虽然最优基矩阵保持不变最优解和最优值还是会变的。但是由于最优基矩阵保持不变，所以前面的“DUAL PRICES”给出嘚约束的影子价格此时仍然是有效的

用LINGO求解加工奶制品的生产计划，结果如下：

1）35元可买到1桶牛奶要买吗？

由于原料的影子价格为4835 <48, 應该买！

2）聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？

由于工时的影子价格为2聘用临时工人付出的工资最多每小时2元

3）A1获利增加到 30元/千克，应否改变生产计划

由于要使最优解保持不变X1系数的允许变化范围为[64，96]x1系数由24?*3=72增加为30?*3=90，在允许范围内所以不改变生产计划。