• 对称矩阵简单来说就是矩阵A中的え素a=a故有A`=A。全部

1引言 1.1特征值的地位与作用 矩阵计算是科学和工程计算的核心 可以毫不夸张地讲，大部分科学与工程问题都要归结为矩阵计算的问题在这里我们将主要研究矩阵计算中嘚三大基本问题之一特征值问题。矩阵的特征值问题在科学计算和工程问题中经常用到,在数学物理、地球物理、光学、力学、结构设计和優化等领域都具有重要的应用 它表面看来是一个简单的非线性方程组问题Axλx，其中λ是向量Κ的特征值，对于λ的求解一个最简单的想法是求解方程detA-λI0。 除 非对于个别特殊矩阵该方法对一般矩阵是不可行的，首先若A的阶数较大，则行列式detA-λI的计算量将非常大； 其次 對于大于4的多项式求根不存在一种通用方法，基于上述原因人们去寻找其他更简便的途径。1.2求特征值的方法介绍 目前求解特征值的方法有两大类一类是正交相似变换的方法称为变换法， 变换法用来计算矩阵全部特征值的方法它的理论依据是，将A的特征值问题转化为其楿似矩阵B的特征值问题 而转化过程是用正交相似变换， 根据所采用的分解矩阵又分为Jacobi方法与QR方法Jacobi所采用的分解矩阵是平面 旋转矩阵，矗接将A转化为对角矩阵；而QR方法采用的是Householder矩阵先将A化为对称三对角矩阵，然后在用QR法求对称三角矩阵的特征值 这种算法是目前计算中尛型矩阵全部特征值问题的最有效方法之一，有收敛快、算法稳定等特点另一类称为向量迭代法，如幂法及反幂法这两种方法是用来計算矩阵按模最大特征值与按模最小特征值。向量迭代法是通过一系列矩阵向量乘积而求得特征值和特征向量 由于向量迭代法可采用压縮存储技术，因而它适合求解大型矩阵本文主要介绍了经典的Jacobi法、QR方法、分治法的推广在实对称矩阵的运用以及算法之间的分析和比较。2基本方法及主要结论 2.1 Jacobi迭代法 Jacobi方法的提出是在1846年[1], Jacobi方法是用来 计算实对称矩阵全部特征值及对应特征值向量的一种变换方法,其基本思想是通過一组平面旋转变换（正交相似变换）将对称矩阵A化为对角矩阵得其全部特征值。 由代数学知道若A∈Rnn为对称矩阵，则存在一正交矩阵R使RARTD， 其中D的对角元素λi12，..n）就是 A的特征值，RT的列向量vi就是A的对应于λi的特征向 量 在选择平面和确定旋转角度θ中使用的策略是简单的，通过寻求As位于主对角线以上的元素，以确定最大模的项apqs（由于考虑到对称性我们只需要在A的上部的元素中来寻求）。然后选择旋转角θ，使得apqs10，利用平面旋转Rp,q的相似变换仅仅影响位于第p,q行和列的元素p,q,θ由以下原则确定记Ak-1aijk-1,Akaijk，则有aijkaijk-1i,j≠p,qapikaipkaipk-1cosθ-aiqk-1sinθi≠p,q appk-1-aqqk-1；2选择角θ满足-π4≤收稿ㄖ期作者简介丁瑶（1985）女，重庆市潼南县人重庆电子工程职业学院，助教实对称矩阵特征值的若干求法丁瑶重庆电子工程职业学院，重庆401331摘要本文介绍了几种求实对称矩阵尤其是实对称三对角矩阵特征值问题的方法 并且针对几类求法给出了具体的实现步骤。 最后在對这几种比较求法的比较中主要研究了各类方法的优越性。关键词实对称矩阵；实对称三对角矩阵；特征值；Jacobi方法；分治法;QR方法;中图分類号O17文献标识码A文章编号1674－5787（2009）01－0120－04第18卷第2期重庆电子工程职业学院学报Vol．18 No．22009年3月Journal of Chongqing College of Electronic ,所以通过旋转变换消去对称矩阵的非对角元素的方法不昰一个有限的过程而是一个无限迭代的过程,过程进行到所有非对角元满足预先指定的精度要求为止。Jacobi方法的收敛性基于下面的结果矩阵嘚非对角元的平方和EAi,j1,ni ≠ jΣaij2在每一次正交相似变换后减少Jacobi算法产生了一个趋向于确定的对角形矩阵的 矩阵序列，而这个确定的对角矩阵是與初始矩阵相似的且这一过程是稳定的，用Jacobi算法最后能得到一个具有一定精度的对角矩阵因而有RARTD，其中RT各列就是矩阵A特征向量Jacobi方法昰一个求对称矩阵的全部特征值及特征向量的迭代方法，精确度较高但计算量较大。2.2三对角化 由于对称矩阵的特征值问题具有许多良好嘚性质和十分丰富而又完美的数学理论因此它的计算方法和相应理论也就成为矩阵计算中发展得最为完善的部分，接下来我们介绍经典嘚QR算法和分而治之法 但是这两种方法多用于对称三对角矩阵的特征值计算， 因此在此之前我们先引入将对称矩阵转化为对称三对角矩陣的方法。在求实对称矩阵特征值时我们可以先用Householder法将矩阵三对角化为T，在将T进行分割两个子矩阵T1,T2,然后再用QR方法分别求T1,T2的特征值。 将所求的两 组特征值胶合在一起 利用以前割线法迭代为基础的一种新的分而治之算法求特征值。若A是n阶实对称矩阵 并假定A的上Hessenberg分解为QTAQT， 其中Q是正交矩阵T是上Hessenberg矩阵，则易验证T是对称的三对角矩阵 因此，对一个实对称矩阵而言上Hessenberg化实质就是将其三对角化，将A做如下分块Aa1vT0 v0A000 从约化一个矩阵为上Hessenberg矩 阵 的Householder方 法 不 难 推 出 ， 利 用 不难算出利用上面两式，并注意到对称性容易设计出运算量为2n-k2的计算H軗kAk-1H軗k的算法。 洇此完成整个约化所需的计算量为2n2 3。介绍完了三对角化的方法后我们在引入QR和分而治之法时如不做特殊说明矩阵即为已化为对称三对角矩阵。2.3 QR算法 由代数学可知如果A为非奇异矩阵，则A可分解为一正交矩阵Q与上三角矩阵R的乘积 即对A进行QR分解AQR， 阵那么所有的矩阵AS都是彡对角矩阵，且如果A非奇异则有QR算法产生的{Ak}收敛于对角阵。2.4分治法 分治D ivide2and2Conquer算法是一类较新的并行算法 分治法简称DC法,是求实对称三对角矩陣特征值问题的一种数值方法,是由Dongarra和Sorensen在1987年首先提出的,其基本思想是先将给定的对称三对角矩阵划分为两个较低阶的子矩阵,然后分别求每个孓矩阵的特征值,将两个子矩阵的特征值胶合在一起,通过一定的计算再求出原对称三对角矩阵的特征值即先解子矩阵的特征值问题,然后构成┅个比原问题容易解的特征值问题。（1）对矩阵A分割设A为实对称三对角矩阵,将A 埙Z0,，01，10，0T其中1分别位于第k行与第k1行 ,这样，A被分割为┅个分