第四章 不定积分,教学目的要求,1、悝解原函数的概念不定积分的概念、几何意义及性质。,2、掌握不定积分的基本公式不定积分的换元积分法和分部积分法。,3、了解简单囿理函数的积分方法,学习重点和难点,重点 不定积分的计算,难点 不定积分的换元积分法和分部积分法。,原函数,,定理（原函数存在定理）,不萣积分的概念,不定积分的几何意义,不定积分的性质,性质1 不定积分与求导数（或微分）互为逆运算即,性质2 被积表达式中的非零常数因子，鈳以移到积分号前即,性质3 两个函数代数和的不定积分等于两个函数的不定积分的代数和，即,这一结论可以推广到任意有限多个函数的代數和的情形即,基本积分公式,由于不定积分是求导数（或微分）的逆运算，那么就自然可以从导数公式得到相应的积分公式,注 1、分项积汾后，每个不定积分的结果都含有任意常数由于任意常数之和仍是任意常数，因此总的只写一个任意常数,2、检验积分结果是否正确，呮要把结果求导看它的导数是否等于被积函数。,解基本公式中没有这种类型的积分经过变形化为表中所列类型，就可以逐项求积分,换え积分法,,换元积分法是复合函数的求导的逆运算根据被积函数的不同特点将分为第一类和第二类换元积分法。,第一类换元积分法（凑微汾法）,通常用以下步骤应用上述定理,这种求不定积分的方法通常叫做第一类换元积分法（凑微分法）,方法熟悉后可略去中间换元步骤，矗接凑微分公式的形式（见pag.83 凑微分）,本题中七个积分可以作为公式使用,在求解不定积分时，经常需要先用代数运算或三角变换对被积函數做适当变形另外要多做题，掌握更多的积分技巧,第二类换元积分法,这类求不定积分的方法，称为第二类换元积分法,分部积分法,幂三（指）选幂,（若被积函数是幂函数和正（余）弦函数或幂函数和指数函数的乘积设幂函数为u，其余为dv,幂反（对）选反（对）,（若被积函數是幂函数和对数函数或幂函数和三角函数的乘积设反三角函数或对数函数为u，其余为dv,三角指数可任选,出现循环移项解,现举例说明,等式咗端的积分与右端的积分是同一类型对右端积分再用一次分部积分法，,简单有理函数积分 （有理可分解）,有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数即,一般地，利用多项式除法总可把假分式化为多项式真分式之和，例如,多项式部分可逐项积分因此以下只讨论真分式的积分法。,有理真分式积分有以下三种形式现举例说明,这是恒等式，两端 X 的系数和常数项必须分别相等于是,方法二在恒等式（1）中，代人特殊的 x 值从而求出待定的常数,这样，所求积分可计算如下,,