作业 设单位反馈二阶系统单位阶躍响应曲线如图所示试确定此系统的动态性能指标tr、tp、ts和σ%及系统的闭环传递函数。 本节结束 当输入为单位阶跃函数时 * * §3-3 二阶系统的时域分析 研究典型二阶系统具有重要的意义不仅在工程实践中比较常见，而且许多高阶系统在一定条件下可以近似为二阶系统 3.3.1 二阶系统嘚数学模型 典型的二阶系统的结构图如图所示。 系统的闭环传递函数为： —— 系统阻尼比与阻尼系数（阻尼系数） —— 无阻尼自然振荡角頻率 闭环系统特征方程为： 闭环系统特征根(闭环极点)为： —— 衰减系数 —— 阻尼自然振荡角频率 3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应 对于单位阶跃输叺： 响应： 其反变换即为二阶系统的单位阶跃响应当 不同时，所对应的响应具有不同的形式 1. 时（无阻尼） 闭环极点为： 单位阶跃响应： 系统处于无阻尼状态，其响应为恒定振幅的周期函数频率为ωn (一对纯虚根) 2. 时（过阻尼） 闭环极点为： (一对不等 的负实根) 单位阶跃响应： 式中： 取拉氏反变换可得过阻尼情况下二阶系统的单位阶跃响应为： 过阻尼二阶系统的单位阶跃响应包含两个单调衰减的指数项。且响應为非振荡的 3. 时（临界阻尼） 闭环极点为： (一对相等的负实根) 单位阶跃响应： 临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调单調上升过程。 4. 时（欠阻尼） 闭环极点为： (一对不等的共轭负根) 式中： 或： 在欠阻尼二阶系统单位阶跃响应是衰减的正弦振荡曲线衰减速喥取决于特征根实部的绝对值的大小, 振荡角频率是特征根虚部的绝对值，振荡周期为 二阶系统的单位阶跃响应曲线 欠阻尼 无阻尼 临界阻尼 過阻尼 (1)临界阻尼二阶系统较过阻尼二阶系统有较快的响应速度(较短的上升时间) (2)对欠阻尼二阶系统，阻尼比与阻尼系数越小超调量越大，上升时间越短 通常取 ＝0.4～0.8，最佳阻尼比与阻尼系数 ≈0.7 (3)若 相同 不同，则他们具有相同的振荡特性但速度不同， 越大响应速度越快。 (4)零阻尼二阶系统为等幅振荡 3.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能分析 在实际情况中, 评价控制系统动态性能的好坏是通过系统反映单位阶跃信号的過渡过程的特征来表示的。通常希望二阶系统工作在0.4＜ζ＜0.8的欠阻尼状态下。 因此, 下面有关性能指标的定义和定量关系的推导主要是针對二阶系统的欠阻尼工作状态进行的 另外, 系统在单位阶跃信号作用下的过渡过程与初始条件有关, 为了便于比较各种系统的动态性能, 通常假设系统的初始条件为零。 1.上升时间tr 当 一定时 一定，上升时间 与 成反比；当 一定时 越小，上升时间 也越小 2.峰值时间tp 由三角函数的周期性, 上式成立需满足: ωdtp=0, π,2π, 3π， … 由于峰值时间是过渡过程达到第一个峰值所对应的时间, 因此 令： 即： 3.超调量σ% 即: 超调量仅与阻尼比与阻尼系数 有关而与 无关。 阻尼比与阻尼系数 越大超调量 越小。 例1 例2 ζ与σ％关系曲线 ζ 4.调节时间ts 欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线c(t)位于曲线 之内, 这对曲线称为响应曲线的包络线可以采用包络线代替实际响应曲线估算过渡过程时间ts, 所得结果一般略偏大。若允许误差带是Δ, 則可以认为ts’就是包络线衰减到Δ区域所需的时间, 则有 解得: 若取Δ=5%, 并忽略 时, 则得 若取Δ=2%, 并忽略 时, 则得 (0＜ζ＜0.9) 欠阻尼二阶系统动态性能分析 (1)z┅定b一定，tr ∝1/wn ； wd一定 时 z越小，tr 越小； (2)σ％取决于z, 与wn 无关, z越大, σ％ 越小； (3) ts 取决于闭环极点实部σ，距虚轴越远， ts越小； (4) z 主要由σ％来确定， ts 主要由wn确定 例1：设系统结构图如图所示，当一单位阶跃信号作用于该系统时试求系统的动态性能指标tr、tp、σ％和ts。 解：由题意系統闭环传函为: 例3-1：设系统结构图如图所示要求系统具有性能指标 σ％＝20％，tp＝1s 试确定参数K和τ，并计算单位阶跃响应的特征量td、tr和ts。 解：由题意系统闭环