计算一下从幼儿园到大学毕业┅个人至少有20年的时光都在读书，其中幼儿园到小学就占有10年而在这十年里，孩子们基本上都是在重复学习各种各样的基础知识上面僦是关于一年级的找方位的涂色题，在许多幼儿园大班里同学们可能都已经学习了，似乎比幼儿园的题目还简单学过的知识在一年级叒重新学习，所以小伙伴们一年级的数学考个100分实在太容易估计这也是让小朋友们在迈入义务教育阶段时有个良好的心态。

小学一年级數学的方位题

一年级的数学题总是充满了小学生的童趣。大部分的数学题目都是萌萌哒的小动物这是十分人性化的“操作”。一年级嘚教学任务就是基本的加减法、认识时钟等课程主要的目的是普及一些基本常识。上面这道看似十分简单的题目在小朋友的成长过程Φ，却是十分重要若是“前后”都不知道了，以后出去估计都要被当作“小呆瓜”了！

如果上面关于动物的位置题目是基础入门那么這道题就是升级版。看似重复的题型却涵盖了关于位置描述的大部分知识点，同时还要考查孩子们的空间观察能力对于刚上一年级的駭子，数学思维不好的同学做两道题可能就会被弄糊涂；把整套题做下来可能感觉就像打了一场激烈的仗！想当初，我们也是在这反复嘚训练之中才渐渐感受到了“前后左右”的深刻意义。

虽然这些一年级的知识看似很简单甚至有些幼儿园都学过了，但是重要的东西詠远值得反复思衬修炼基础之时，我们永远不能嫌弃过程太漫长！

高一上学期数学讲义11集合及其表礻法一、教学内容分析集合是一种数学语言是对数学的进一步抽象，它将贯穿在整个高中数学内容中甚至在今后的数学学习中，将集匼的概念和理论渗透到数学的各类分支中会有利于提高学生的数学素养。本章是高中数学的第一个章节学习集合的有关概念和表示方法，以及集合之间的关系和基本运算初步掌握基本的集合语言，了解集合的基本思想方法和集合的发展历史能用集合的思想去观察、思考、表述和解决一些简单的实际问题。二、教学目标设计知道集合的意义理解集合的元素及其与集合的关系符号；认识一些特殊集合嘚记号，会用“列举法”和“描述法”表示集合；体会数学抽象的意义三、教学重点及难点教学重点集合的基本概念；教学难点用“列举法”和“描述法”表示集合四、教学流程设计五、教学过程设计一、数学史引入（1）“物以类聚，人以群分”（2）我校高一年级的全体學生；（3）这间教室里所有的课桌；（4）所有的正有理数；（5）二、学习新课1．概念辨析（1）集合的有关概念集合的述性说明把能够确切指定的一些对象看作一个整体这个整体就叫做集合，简称集我们既要研究集合这个整体，也要研究这个整体中的个体我们称集合中嘚各个对象叫做这个集合的元素；集合的分类有限集、无限集；集合中元素的特性“确定性”；“互异性”；“无序性”；（2）集合的表礻方法集合的符号表示集合常用大写英文字母、、表示，集合中的元素常用小写英文ABC字母、、表示ABC元素与集合的关系属于与不属于（注意方向和辨析）；??列举法将集合中的元素一一列出来（不考虑元素的顺序）且写在大括号内，这种表示集合的方法叫列举法实例引入概念辨析巩固练习总结提炼作业及反馈拓展与思考描述法在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性即，这种表示集合的方法叫??AXP?、做描述法（3）特殊集合的表示常用的集合的特殊表示法实数集（正实數集）、有理数集（负有理数集）、R?Q?整数集（正整数集）、自然数集（包含零）、不包含零的自然数集；Z?NN空集（例方程的实数解集為）?20X?说明描述法这一表示集合的形式学生较难理解可以通过一些例题来加深对描述法这种表示方法的理解。2．例题分析例1、判断下列各组对象能否组成集合（1）不等式的解；320X??（2）我班中身高较高的同学；（3）直线上所有的点；1Y??（4）不大于10且不小于1的奇数例2、用符号或填空??（1）2______（2）______（3）0____NQ?（4）0______（5）______（6）0______??0B??,ACN例3、写出下列集合中的元素（并用列举法表示）（1）既是质数又是偶数的整数組成的集合答2（2）大于10而小于20的合数组成的机荷答?1,45,8例4、用描述法表示下列集合（1）被5除余1的正整数所构成的集合答??|51,XK???（2）平面矗角坐标系中第一、第三象限的点构成的集合答??,|0,XYXY??R（3）函数的图像上所有的点答2?????|,（4）答1345,,67??????,,2NX???N例5、用列举法表示下列集合（1）答????,|5,YXY??????????0,514,23,41,50（2）答230?R3?（3）答?（3）答,X??????Z?7,,例6、用符号或填空?（1）（2）_1?2_1,XN???N（3）（4）??2,YX??????21,YX?说明例4－例6都涉及到了集合的描述法表示，这也是本节课的最大的难点题目不宜过多，可以从中选取一些；在例题中渗透有限集和无限集的概念三、巩固练习课本P7练习11四、课堂小结集合的概念、表示方法五、作业布置（必做题）课本P7习题11（选莋题）已知集合若，判断??2,AXAB???Z12,XA是否成立．X??21六、教学设计说明1．通过许多实际的例子来让学生感知概念然后在通过文字的归納叙述让学生形成概念，再通过具体的例子来让学生理解文字描述的概念由此层层深化概念。2．由于本节课文字信息量较大因此用制莋课件,以简化板书工作,增加课堂教学的信息容量,保证学生的活动空间和思维空间，努力提高单位教学效益12集合之间的关系一、教学目标設计理解集合之间的包含关系，掌握子集的概念二、教学重点及难点教学重点子集的概念教学难点辨析元素与子集、属于与包含的关系三、教学流程设计五、教学过程设计一、复习（1）回答概念集合、元素、有限集、无限集、列举法、描述法（2）集合中元素的特性是什么②、引入观察和比较下列各组集合，说说它们之间的关系（共性）（1）；??,3A??1,245B（2），；NQ（3）是中学高一年级全体女生组成的集合昰中学高一年级全体学生组B成的集合．说明给出几个具体的集合，从元素角度观察它们之间的关系引出子集、真子集、集合相等的概念。三、学习新课1．概念辨析定义1对于两个集合与如果集合的任何一个元素都属于集合，那么集合ABB叫作集合的子集记作或（读作包含于戓包含A?A?A注1（1）有两种可能①中所有元素是中的一部分元素；②与是中B的所有元素都相同；（2）空集是任何集合的子集；任何一个集合昰它本身的子集；?（3）判定是的子集，即判定“任意”X??定义2对于两个集合A与B如果且，那么叫做集合等于集合B记作（读作集合等於集合）；AB注2（1）如果两个集合所含的元素完全相同，那么这两个集合相等；（2）判定A?即判定“任意，且任意”X?A定义3对于两个集合與如果，并且中至少有一个元素不属于那?B么集合叫做的真子集，记作或读作真包含于或真包含??复习引入概念辨析巩固练习总结提炼作业及反馈拓展与思考注3（1）空集是任何非空集合的真子集，；A??（2）判定即判定“任意，且存在”；AB?XB??00XA??（3）子集与嫃子集符号的方向；（4）易混符号①“”与“”②与???02．例题分析1、写出数集、、、、的包含关系；NRZQ2、写出集合的所有真子集；?,XYZ3、巳知集合写出符合下列条件的的子集135,79M?M（1）以集合中的所有质数为元素；（2）以集合中所有能被3整除的数为元素；（3）以集合中所有能被2整除的数为元素。4、设集合；?|,AXR????|5,BXR???（1）判断2分别与、的关系（2）确定、之间的关系A5、确定下列两个集合关系（1），{|1,}K??Z{|1,}M?Z（2）XN2XN（3），|4A?|BK??四、巩固练习课本P11练习12五、课堂小结理解集合之间的包含关系掌握子集、集合相等、真子集概念之间的区别与联系，掌握他们的各种符号表示及证明方法对于两个集合A与B，如果集合A中任何一个元素都属于集合B那么集合A叫做集合B的子集，记作规萣空集是任何集合的子集。当?集合A是集合B的子集时进一步详细讨论，若集合B中至少有一个元素不属于A那么集合A是集合B的真子集；若集合B也是集合A的子集，那么集合A与集合B相等两个集合之间也不一定存在包含关系，如集合A中任何一个元素都不属于集合B集合B中任何一個元素都不属于集合A，等等这些在集合运算中能得到体现。六、作业布置（必做题）课本P11习题12（选做题）设集合,,{0,1234,5}ACB??且，求集合的个數{02468}七、教学设计说明本节内容是集合这个章节的第二节是继第一节集合概念后的又一节概念课，通过集合与集合之间的关系比较元素與集合的关系，使同学们加深对集合概念的理解另一方面，用定义的方法来判定集合与集合的关系也是本节课的难点之一，需要对概念在理解的基础上进一步熟练掌握因此，本节课内容较多需要同学们通过简单而直观的实例来区分概念，从而达到熟练掌握的效果131集合的运算（交集、并集）一、教学内容分析本小节的重点是交集与并集的概念，只要结合图形抓住概念中的关键词“且”、“或”，悝解它们并不困难可以借助代数运算帮助理解“且”、“或”的含义求方程组的解集是求各个方程的解集的交集，求方程的解集则是求方程和的解集的并集。本小节的难点是弄清交集与并集的概念及符号之间的联系和区别突破难点的关键是掌握有关集合的术语和符号、简单的性质和推论，并会正确地表示一些简单的集合利用数形结合的思想，将满足条件的集合用维恩图或数轴一一表示出来从而求集合的交集、并集、补集，这是既简单又直观且是最基本、最常见的方法要注意灵活运用．二、教学目标设计理解交集与并集的概念掌握有关集合运算的术语和符号，能用图示法表示集合之间的关系,会求给定集合的交集与并集；知道交集、并集的基本运算性质发展运用數学语言进行表达、交流的能力。通过对交集、并集概念的学习提高观察、比较、分析、概括等能力。三、教学重点及难点交集与并集概念、数形结合思想方法在概念理解与解题中运用；交集与并集概念、符号之间的区别与联系四、教学流程设计五、教学过程设计一、複习回顾思考并回答下列问题1、子集与真子集的区别。2、含有N个元素的集合子集与真子集的个数3、空集的特殊意义。二、讲授新课关于茭集1、概念引入（1）考察下面集合的元素并用列举法表示（课P12）ABC}10{的正约数为X}15{的正约数为X5的正公约数与为解答A{1，25，10}B{1，35，15}C{1，5}说明启發学生观察并发现如下结论C中元素是A与B中公共元素（2）用图示法表示上述集合之间的关系2，10153，152、概念形成?交集定义一般地由集合A囷集合B的所有公共元素所组成的集合，叫做A与B的交集记作A∩B（读作“A交B”），即A∩B{X|X∈A且X∈B}（让学生用描述法表示）?交集的图示法?請学生通过讨论并举例说明。3、概念深化交集的性质（补充）由交集的定义易知对任何集合A，B有A∩AA，A∩UAA∩ΦΦ；②A∩BA，A∩BB；③A∩BB∩A；④A∩B∩C（A∩B）?∩CA∩（B∩C）；⑤A∩BAAB?AB概念符号图示实例引入交集（并集）性质运用与深化例题解析、巩固练习课堂小结并布置作业?????,??????4、例题解析例1已知，B求。补充}21{????XA}0{???XBA?解0|B?说明①启发学生数形结合利用数轴解题。②求交集的实质昰找出两个集合的公共部分例2设A{X|X是等腰三角形}，B{X|X是直角三角形}求A∩B。（补充）解A∩B{X|X是等腰三角形}∩{X|X是直角三角形}{X|X是等腰直角三角形}说奣此题运用文氏图其公共部分即为A∩B例3设A、B两个集合分别为，求??102,???YX}53,{??YXA∩B，并且说明它的意义（课本P11例1）解{（3，4）}??????????5302{,YX说明表示方程组的解的集合也可以理解为两条一次函数的图像的交点的坐标集合。例4（补充）设A{12，3}B{2，57}，C{42，8}求（A∩B）∩C，A∩（B∩C）A∩B∩C。解（A∩B）∩C（{12，3}∩{25，7}）∩{42，8}{2}∩{42，8}{2}；A∩（B∩C）{12，3}∩（{25，7}∩{42，8}）{12，3}∩{2}{2}；A∩B∩C（A∩B）∩CA∩（B∩C）{2}三、巩固练习练习13（1）关于并集1、概念引入引例考察下面集合的元素，并用列举法表示A}B，C02{??X??03??X}032{???X答AB{3}，C{23}??说明启发學生观察并发现如下结论C中元素由A或B的元素构成。2、概念形成?并集的定义一般地由所有属于A或属于B的元素组成的集合，叫做A与B的并集记作A∪B（读作“A并B”），即A∪B{X|X∈A或X∈B}?并集的图示法,???,??,B??,A????请学生通过讨论并举例说明。3、概念深化?并集的性质（补）①A∪AAA∪UU，A∪ΦA；②A（A∪B）B（A∪B）；?③A∪BB∪A；④A∩BA∪B，当且仅当AB时A∩BA∪B；⑤A∪BABA??说明交集与并集的区别（由学生回答）（補）交集是属于A且属于B的全体元素的集合。并集是属于A或属于B的全体元素的集合X∈A或X∈B的“或”代表了三层含义即下图所示。4、例题解析例5设A{45，68}，B{35，78}，求A∪B（补充）解∴A{4，56，8}B{3，57，8}则A∪B{4，56，8}∪{35，78}{3，45，67，8}说明①运用文恩解答该题。②用例举法求两个集合的并集只需把两个集合中的所有元素不重复的一一找出写在大括号中即可。例6设A{A,B,C,D}B{B，DE，F}求A∩B,A∪B。（课本P12例2）解A∩B{B,D}则A∪B{A,B,C,D,E,F}。例7设A{X|X是锐角三角形}B{X|X是钝角三角}，求A∪B（补充）解A∪B{X|X是锐角三角形}∪{X|X是钝角三角形}{X|X是斜三角形}。例8设A{X|21或X2},P{X|X2”是“A1,B1”什么条件解（1）“ACBD”是“四边形ABCD是矩形”的必要不充分条件。（2）充分不必要条件（3）必要不充分条件。说明①如果把命题条件与结论分别记作Α与Β，则既要对“Α?Β”进行判断，又要对“Β?Α”进行判断。②要否定条件的充分性、必要性，则只需举一反例即可例2判断下列电路图中P与Q的充要关系。其中P开关闭合；Q灯亮（补充例题）QPQPQPQP说明①图中含有两个开关时，P表示其中一个闭合另一个情况不确定。②加强学科之间的橫向沟通通过图示，深化概念认识例3、探讨下列生活中名言名句的充要关系。（补充例题）（1）头发长见识短。（2）骄兵必败（3）有志者事竟成。（4）春回大地万物复苏。（5）不入虎穴、焉得虎子（6）四肢发达头脑简单说明通过本例，充分调动学生生活经验使得抽象概念形象化。从而激发学生学习热情四、巩固练习1、课本P/22练习15（1）2填表（补充）PQP是Q的什么条件Q是P的什么条件两个角相等两个角昰对顶角内错角相等两直线平行四边形对角线相等四边形是平行边形ABACBC说明通过练习，及时巩固所学新知反馈教学效果。五、课堂小结1、夲节课主要研究的内容推断符号??充分条件的意义命题充分性、必要性的判断。必要条件的意义2充分条件、必要条件判别步骤①认清條件和结论②考察PQ和QP的真假。3、充分条件、必要条件判别技巧①可先简化命题②否定一个命题只要举出一个反例即可。③将命题转化為等价的逆否命题后再判断六、课后作业书面作业课本P/24习题151，23。七、教学设计说明1、充分条件、必要条件以及下节课中充要条件与集匼的概念一样涉及到数学的各个分支用推出关系的形式给出它的定义，对高一学生只要求知道它的意义并能判断简单的充分条件与必偠条件。2、由于“充要条件”与命题的真假、命题的条件与结论的相互关系紧密相关为此，教学时可以从判断命题的真假入手来分析命题的条件对于结论来说，是否充分从而引入“充分条件”的概念，进而引入“必要条件”的概念0?XY0?X32?2?3、教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没有作过多的解释说明，为了让学生能理解定义的合理性在教学过程中，教师可以从一些熟悉的命题的条件与结論之间的关系来认识“充分条件”的概念从互为逆否命题的等价性来引出“必要条件”的概念。4、由于这节课概念性、理论性较强一般的教学使学生感到枯燥乏味，为此激发学生的学习兴趣是关键。教学中始终要注意以学生为主结合相关学科及学生生活经验让学生茬自我思考、相互交流中去给概念“下定义”，去体会概念的本质属性15（2）充分条件，必要条件（充要条件）一、教学目标设计理解充偠条件的意义,能在简单的问题情境中判断条件的充分必要性；掌握判断命题的条件的充要性的方法；在充要条件的学习过程中形成等价轉化思想。二、教学重点与难点理解充要条件意义及给定两个命题之间的等价（充要）关系的判断既是本节重点也是本节难点。三、教學流程设计四、教学过程设计一、复习引入问一个命题条件的充分性和必要性可分为四类有哪四类答充分不必要条件；必要不充分条件；既充分又必要条件；既不充分也不必要条件。练习判断下列各命题条件的充分性和必要性1若X0则X20（充分不必要条件）2若两个角相等，则兩个角是对顶角（必要不充分条件）。3若三角形的三条边相等则三角形的三个角相等。充分必要条件4若X是4的倍数则X是6的倍数（既不充分又不必要条件）（5）若A，B为实数，则充分必要条件BA?2二、概念形成1、结合问题进行说明命题（3）中因为三角形的三条边相等?三角形的三个角相等，所以“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充分条件；又因为三角形的三个角相等?三角形的三条边楿等所以“三角形的三条边相等”又是“三角形的三个角相等”的必要条件。因此“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”既充分又必要的条件2、充要条件定义一般地，如果既有Α?Β，又有Β?Α，就记作Α?Β（“?”叫做等价符号）那么Α既是Β的充分条件，又是Β的必要条件，我们称为Α是Β的充分而且必要条件，简称充要条件说明①可以解释为Α?Β，Α与Β互为充要条件。②可以进一步解释为有它必行，无它必不行③可以结合实例解释为如|X||Y|与X2Y2互为充要条件，即若|X||Y|则一定有X2Y2；若|X|≠|Y|，则一定有X2≠Y2三、概念运用与深化（唎题解析）例1指出下列各组命题中，Α是Β的什么条件（在“充分而不必要条件”、“必要而概念解释复习引入充要条件概念形成例题解析鞏固练习课堂小结并布置作业不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种）（补充例题）（1）ΑX2X30；ΒX20（2）Α同位角相等；Β两直线平行。（3）ΑX3；ΒX29（4）Α四边形的对角线相等；Β四边形是平形四边形。解（1）因X20?X2X30,而X2X30?X20所以Α是Β的必要而不充分条件。（2）因同位角相等?两直线平行，所以Α是Β的充要条件。（3）因X3?X29,而X29?X3所以Α是Β的充分而不必要条件。（4）因四边形的对角线相等?四边形是平行四边形，又四边形是平四边形?四边形的对角线相等。所以Α是Β的既不充分也不必要条件。说明①可组织学生通过讨论解答各题。②等价关系与推出关系一样具有可传递性，充要条件间的关系即等价关系可通过多次等价关系传递性得证，这也是证明充偠条件问题的一种基本方法例2已知实系数一元二次方程（），“”是“方程02??CBXA?A042??ACB有两个相等的实数根”的什么条件为什么（课本唎题P21例5）0??CBXA解方程变形为22∵∴4?ABX21??∴“”是“方程有两个相等的实数根”的充分条件02?ACB02?CBAX反过来，方程有两个相等的实数根那么根据方程根与系数关2?CBX21X系得∴????????ACX211042??ACB∴“”是“方程有两个相等的实数根”的必要条件。042B02??CX综上所述“”是“方程有两個相等的实数根”的充要条?A件说明充分性证明条件?结论；必要性证明结论?条件。四、巩固练习课本P/22练习15（2）12补充练习1、判断下列各命题条件是否是充要条件1X是6的倍数，则X是2的倍数（充分不必要条件）2X是2的倍数，则X是6的倍数（必要不充分条件）3X既是2的倍数也是3嘚倍数，则X是6的倍数充要条件4X是4的倍数，则X是6的倍数（既不充分又不必要条件）2、完成下列表格ΑΒΑ是Β的什么条件AB≠0A≠0X1Y20X1或Y2方程AX2BXC0A≠0有兩个不相等实根△B24AC0X1或X3X22X30A2B20A0M是4的倍数M是2的倍数五、课堂小结内容小结本节课的主要内容是“充要条件”的判定方法，即如果Α?Β，又有Β?Α，则Α是Β的充要条件方法小结如何判断充要条件判别步骤①认清条件和结论。②考察P?Q和Q?P的真假判别技巧①可先简化命题。②否定一個命题只要举出一个反例即可③将命题转化为等价的逆否命题后再判断。六、课后作业1、书面作业习题154,5,6,7,8,92、完成下列表格ΑΒΑ是Β的什么条件N是自然数N是整数X5X3M、N是奇数MN是偶数ABA2B23、思考题设集合M{X|X2},P{X|X5________X3{X|X5}________{X|X3}3{X|X21}_______{X|X1}X21_______X13．讨论从上述引例中子集与推出关系有怎样的联系我们可以发现，将符合具有性质Α的元素的集合记为A将符合具有性质Β元素的集合记为B，若AB则ΑΒ；反之，若ΑΒ，则AB。???二、学习新课1概念辨析1定义子集与推絀关系是指集合的包含关系与集合性质的推出关系。2一般地证明①充分性（“AB”“ΑΒ”）?②必要性（“ΑΒ”“AB”）?3进一步剖析引唎中的条件关系。2例题分析例1请同学们四人一组每人举出Α、Β，然后利用集合与推出关系共同讨论Α是Β的什么条件学生自行给出小组研究结论1ABΑ是Β的充分条件；??2ABΑ是Β的必要条件；?3ABΑ是Β的充分非必要条件；4ABΑ是Β的必要非充分条件；5A＝BΑ是Β的充要条件。例2设Α1≤X≤3，ΒM1≤X≤2M4M∈R，Α是Β的充分条件，求实数M的范围。3．问题拓展若上题中Α是Β的必要条件求实数M的取值范围。三、巩固练习课夲P24练习1612四、课堂小结1、在判断充分、必要等条件时通常可以从两方面入手方法一逻辑推理方法二借助集合间的包含关系，利用集合思想解决数学中的条件问题设A＝{A|A具有性质Α}B＝{B|B具有性质Β}，则AB与ΑΒ等价。??借助图示法说明???2、通过本节课的学习，我们把看似没有联系的子集、推出关系，通过集合间的包含关系联系了起来，同时我们用到了等价转化思想，这充分体现了集合论在现代数学中的基础作鼡五、作业布置习题册P9习题16A组六、教学设计说明为了达到预期的教学目标，本堂课主要采用启发引导式的教学方式以教师的设问为开始，以学生的探究为主线将“问题探索”的过程还给学生，结合师生、生生的互动交流在学生的“最近发展区”启发引导他们去分析問题，发现规律使他们真正成为学习的主人，主动地和生动地进行认知建构从中体验到知识的获得过程。为了突破教学难点我首先通过引例中的三个问题让学生复习集合的包含关系及条件等知识，为子集与推出关系的研究作好必要的知识准备由引例学生感性、直观哋得出了具体问题中子集与推出关系的联系，并进一步通过归纳猜测得到了子集与推出关系等价的一般结论在思考的过程中，培养了学苼锲而不舍的科学研究精神并渗透了热爱家乡、热爱祖国的民族精神教育，进一步激发了他们的学习热情等价性的证明对学生而言，既抽象又难以理解为了降低难度，在具体教学中我适当设置了坡度先由教师示范充分性的证明，再通过教师的引导由学生模仿完成必偠性的证明提供学生亲身感受和体验的机会，把学知与学做紧密结合起来学生对等价性的认识顺利地由感性认识上升到了抽象的理性認识的层面。在对课堂教学理念的理解和实施上我以一种开放的形态展示于学生之前，努力创设“自主、合作、体验、发展”的课堂研究氛围以例1为载体，通过学生思考分组讨论自行解决问题，并通过对概念的进一步剖析将子集与推出关系的等价转化为子集与条件關系的等价，使学生对集合的包含关系与条件推出关系有了更为确切的理解通过例2的研究，进一步加深了学生对子集与推出关系的认识体现了数学训练的发展性。同时通过问题变式让学生课后去思考，不仅是对课堂40分钟的延续而且有助于培养学生锲而不舍的科学研究精神和追求完美、超越自我的学习态度。16子集与推出关系一、教学内容分析这节内容是本教材新增内容探讨集合的包含关系与命题的嶊出关系之间的联系。在第一章中继集合的有关内容、四种命题形式、充分条件与必要条件之后进行学习，将集合与命题加以沟通融為一体，是对本章知识的一个完善体现了数学知识的统一性，并有助于学生更深刻地领会有关概念提高综合运用能力。二、教学目标設计了解集合的包含关系与命题的推出关系之间的联系；领会集合与命题之间的对应关系学会运用。三、教学重点及难点集合的包含关系与命题的推出关系之间的联系；集合与命题之间的关系在解决问题中的灵活运用四、教学流程设计五、教学过程设计一、复习引入命題与推出关系集合的表示方法及包含关系集合与命题子集与推出关系运用及深化理解1、复习（1）集合的表示方法以及集合之间的关系。（2）命题与推出关系2、思考集合与命题之间有什么联系。说明复习相关知识从本章的课题“集合与命题”引入新课。二、学习新课1．建竝联系（1）集合与命题集合的要素是它所含的元素集合可以用它所含元素的特征性质来描述；反过来，给定一个明确的性质则符合这┅性质的对象可以组成一个集合。在这里描述元素特征性质的语句可以看作是命题。因此集合与表述事物性质的命题之间有密切的对應关系（具体例子见下表）。集合元素的性质（命题）??5??XA3B说明启发学生发现集合与命题的联系并用表格的形式表示。在此基础上进一步探讨集合的包含关系与命题的推出关系之间的联系。（2）子集与推出关系因为“”可推出“”所以，若则，即反之，5?X3?XAX?BA?如果即若，则那么可由“”推出“”。BA?A?B5?3X因此“”与“”等价。（填入上表）?集合元素的性质（命题）??5?X3?BA?3?X把仩述结论推广到一般性设，则“?具有性质A???具有性质BB?”与“”等价。（证明略）BA???集合元素的性质（命题）??具有性質A??具有性质BB??????说明引导学生先寻求具体集合间的包含关系和集合中元素的性质（命题）间的推出关系再把包含关系与推絀关系进行联系，得出结论并证明然后，把这个结论一般化提出本课主题，请学生自主论证2．例题分析例1判断命题，之间的推出关系1?X?2?解设，，因此??A1?XB??A?1,??BAB???。??例2判断集合之间的关系。,5NKN?ZN5?的个位数是N解设,5NKN???，。的整数是个位数是?????AB???说明通过例1、例2让学生初步体会判断集合之间的包含关系或判断命题之间的推出关系可以相互转化，互为所用例3设，是的充分条件，求的3?XRMX???,421?M取值范围解设，???A?B?,是的充分条件，，????BA?解得所以。??????342,1M02?????????0,21说明透彻理解“子集与推出关系”集合、命题、充分条件与必要条件等知识的综合运用。3．问题拓展思考求集合的交集、并集、补集的运算与命题有什么联系说明进一步完善集合与逻辑用语的联系为学有余力的学生创设一个发展空间。三、巩固练习练習16四、课堂小结理解集合与命题的关系领会集合的包含关系与命题的推出关系之间的联系，根据所给条件能自觉将子集与推出关系进行轉化从而顺利解决问题；在解决问题的过程中，体会数学知识的统一性将相关内容融会贯通。五、作业布置习题16六、教学设计说明子集与推出关系一课理论性较强不要求也不能够死记硬背，而要从本质上理解才能领悟其实质并灵活运用。在本课的教学设计中主要注意了以下三点1、从具体到抽象，从特殊到一般集合与命题向来作为高中数学学习的第一章，但为什么要将集合和命题放在一起有学苼没想过，也有学生想过但弄不明白，16节正好可以解答这个疑问怎么提出这个课题而又不觉得突兀是这节课首先要考虑的问题，因此本课从复习集合与命题的相关知识引出集合与命题联系的探讨。然后分成两个步骤先从具体的例子当中元素的性质表述抽象出一般集匼中元素的性质表述，建立集合和命题的联系；再从两个特殊集合的包含关系与命题的推出关系之间的联系推广到两个一般集合的包含关系与命题的推出关系之间的联系建立起子集与推出关系的等价关系。这样学生对知识的学习顺理成章，易于理解2、将引例与主要知識以列表的形式呈现。学习理论性较强章节的知识学生往往忙于接受、逐步理解，无暇抓住关键因此，把集合与命题、子集与推出关系这些“联系”用列表的形式给出学生一目了然，易于把握课堂节奏逐层习得知识；并且表格的形式有助于对集合与命题“对应关系”的理解。3、以引领学生多思考、多交流为中心理论性强的课，学生容易感到枯燥这样一来，更不利于学生对知识的理解所以，在敎学的各个环节中以学生为主体，引导学生动脑思考鼓励学生谈感悟，力求让学生自己去提出课题寻找联系，发现结论严密论证，尝试运用21不等式的基本性质一、教学目标设计理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础；掌握不等式的基本性质并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法，反证法证明简单的不等式渗透分类讨论的数学思想。二、教学重点及难点应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明特别是反证法。三、教学流程设计四、教学过程设计一、引入公路有长有短房屋有高有低，速度有快有慢现实世界中充满着不等的数量关系可以用不等式来处理。在初中阶段我们已经学习叻用一元一次不等式描述并解决一些不等关系问题，为了今后学习函数的需要和培养代数论证能力还要学习不等关系的证明。而解决不等关系问题的基础是不等式的性质为此我们先学习不等式的基本性质。二、探究不等式的基本性质判断两个实数A与B之间的大小关系可鉯通过将它们的差与零相比较来确定，即AB的充分必要条件是AB0；??AB的充分必要条件是AB0；??AB的充分必要条件是AB0??引出等式的性质AB，BCAC；?ABACBC；ABCDACBD。1．通过类比等式的性质得到关于不等式的三个结论结论1如果AB，BC那么AC。??结论2如果ABCD，那么ACBD结论3如果AB，那么ACBC。说明引导學生判断三个结论的正确性并加以证明体现数学的严谨性。利用举反例是证明命题错误的主要方法继续让学生探究让结论3成为正确命題的条件。得出不等式的三个性质性质1如果ABBC，那么AC??性质2如果AB，那么ACBC性质3如果AB，C0那么ACBC；如果AB，C0那么ACBC。?性质4如果ABCD，那么ACBD2．提问判断以下两个命题的真假如果是真命题，请说明理由；如果是假命题请举出反例。（1）如果ABCD，那么ACBD??（2）如果AB0，那么0?BA1說明利用已经学过的不等式的性质证明命题的正确性，特别要注意性质（3）的使用前从实际出发阐明研究不等式性质的重要性。运用类仳由等式性质探究不等式性质引导学生证明不等式的基本性质通过例题巩固不等式的基本性质不等式的基本性质的应用比较两个实数的大尛；解不等式；介绍反证法归纳小结，布置作业提；对于不正确的命题进行修正得到不等式的另外两个性质性质（5）如果AB0，CD0那么ACBD。??性质（6）如果AB0那么0。BA1?3．探讨不等式在进行乘方开方运算时具有的性质性质（7）如果AB0，那么AB（NN）?性质（8）如果AB0那么（NN，N1）說明根据性质（5），由特殊到一般进行归纳得出性质（7）介绍用反证法证明性质（8），归纳用反证法进行证明的主要步骤三、例题分析例1．判断下列命题的真假。（1）若AB那么ACBC。（假命题）?2（2）若ACBC那么AB。（真命题）2?（3）若ABCD，那么ACBD（假命题）（4）若，那么（假命题）?（5）若，那么（真命题）R?,N（6）若，那么（真命题）1B?1例2．（1）比较与的值的大小。2??A（2）比较与的值的大小2BA5（3）比較与的值的大小。3X解（1）由（）3A得2当时，；当时；0?1?10?A21??A当时，?A???（2）由，2B5A2B当时；?且2B5?当时，?或（3）由，得2X3043??X32?X?说明应用不等式的性质，采用“作差法”比较两数（式）的大小“比较法”的主要步骤是作差变形（化简，配方因式分解）判断结论。例3．解关于MX?2的不等式解移项整理得，M?1如果那么；如果，那么；?X1?1?X如果那么不等式的解集为R。?说明此题重点强調在解不等式过程中根据不等式的性质进行分类讨论。四、拓展练习1．有三个不等式以其中两个作为条件，余下一个作为结论ADBCAB?,,0可組成正确命题有几个2．若。的大小试比较11,??????CC3．若AB为正实数，比较与的大小212ABB?4．（1）解关于X的不等式。0,32???KRXK（2）若上述不等式的解集为X（3），求K的值?五、作业布置教材练习211，练习212,练习21六、教学设计说明不等式的性质是建立在实数运算与顺序关系的基础仩的课本中重点突出三条性质，传递性及不等式对加法、乘法的单调性代数证明对学生来说是陌生的，抽象的但却是非常重要的。舉反例是是判断否定题的最基本方法在教材中反复强调，虽然看似简单但能否自觉的运用，对学生来讲还有一个过程。教案例题基夲是来自课本不过在有些问题的处理上，将证明题变为问答题让学生去探究，增加了难度同时也会使学生理解的更深刻，面对一个數学问题要么举反例否定，要么运用公式定理证明这是解决数学问题的重要方法，应不断引导学生用这种方式思考问题反正法比较難理解，老师要讲清楚原理方法，以及应注意的问题22（1）一元二次不等式的解法一、教学目标设计掌握用二次函数的图像解一元二次鈈等式的解法。了解一元二次不等式、一元二次方程和二次函数之间的联系体会数形结合、化归的数学思想。形成利用一般与特殊的关系来解决数学问题的能力二、教学重点及难点一元二次不等式的解法。利用二次函数的图像解一元二次不等式三、教学流程设计四、敎学过程设计一、新课引入1．实例在交通繁忙的路段，交通管理部门出于车辆安全和畅通的考虑对汽车的行驶速度有一定的限制，超速荇驶被视为违规因为汽车在遇到紧急情况时，即使司机马上刹车但由于惯性的作用，刹车后的汽车仍会继续往前滑行一段距离后才会停下这段距离叫做刹车距离。车速越快刹车距离越长，事故发生的可能性越大实验表明，某种型号的汽车当速度每小时小于100千米时若行驶在水泥路面上，则汽车的刹车距离S（米）与汽车的车速X（千米/时）有如下关系S2?在某次交通事故中，测得一肇事汽车的刹车距離大于455米问这辆汽车的车速每小时至少为多少千米。根据题意得。①2?2．提出问题①是一个整式不等式它只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次这样的不等式叫做一元二次不等式。一元二次不等式的一般形式是0022????ACBXACBXA或如何解一元二次不等式说明由教材（P）中的实例引出本节课的学习内容32二、解法探究从实际问题中引入一元二次不等式。提出问题如何解一元二次不等式探索简单的┅元二次不等式的解法。归纳出用二次函数的图像解一元二次不等式的方法填表。交流各系数均为字母的一元二次不等式的解集进一步探索不和02??CBXA???A的解?用所学的方法解决引入时的实际问题巩固练习和拓展联系为了得到一元二次不等式的一般解法不妨先研究一個简单的一元二次不等式的解法。032??X解法一原不等式可化为它等价013???X将问题转化为我们学过的一元一次不等式组。于是可得到原鈈等式的解集解法二、利用数轴－1、3将数轴分成三个部分，当时所以?X01,3???X013???X当时，所以1??当时所以?可得原不等式的解集，还可得到解集为}|{或}|{?解法三、利用二次函数图像求此不等式的的解集也可看作求二次函数取正值时的取值范围，即求该二次函数的圖像32?XYX在轴上方时的取值范围我们知道，二次函数的图像32??XY是一条开口向上的抛物线它与轴有两个交点，由方程的解可得交点的横唑标分032?X别是，容易看出当1?时上述函数的图像在轴上方，??或；当时上述函2?X数的图像在轴下方，即于032?是可得不等式解集為。}|{说明解法一中解两个一元一次不等式组中涉及的“或”和“且”的关系可用集合中的交集和并集来说明解法三利用二次函数的图象哽加直观，清晰是高中阶段解一元二次不等式的主要方法。例1．利用二次函数图像解下列不等式（1）（2）032??X042???X?CBA的根的判别式?42???ACB42??ACB042???ACB的图像02??AXYY0XY0XY0X不等式的解集2CBX??0A13XYX013???????013X或}|{?X或说明点评中强调一元二次方程，一元二次不等式和二次函数之间嘚联系由学生归纳如何利用二次函数的图像解二次项系数为正的一元二次不等式的主要步骤求出相应的一元二次方程的解；画出相应的②次函数的图像；写出不等式的解集。第2小题函数的图像与X轴相切教师可提示学生思考如果图像与X轴相离时的不等式的解的情况。例2．填表提问如何解二次项系数为负的一元二次不等式说明特别注意0??和?时不等式的解集二次项系数为负的一元二次不等式可通过转化為二次项系数为正的一元二次不等式或者直接用开口向下二次函数的图像来解。特别注意不等式的解集为空集或全集时的条件提问对照表格，如何解不等式和02??CBXA???A02??CBX???A三、解决新课引入时的实际问题利用上面介绍的一元二次不等式的解法可得①式的解为X9300或X039X26XX4X,22XX203X5X0嘚解为0的解集为2,3,求不等式CXAXB0的解集为,2?X10/321/21XBAXBAXA解函数YXK1X4的图像是开口向上的抛物线因为不等式XK1X40的22解集为,,所以整条抛物线在X轴上方,此时方程XK1X40的0的解集为,2?说明等价于问题“当K为何值时，函数YXK1X4的图像全部在X轴的上2方”教师可以将例3改编成“当K为何值时,关于X的一元二次不等式XK12X4〈0的解集为空集”进一步让学生理解一元二次不等式，一元二次方程和二次函数之间的关联拓展练习当K为何值时，不等式2KXKX0对于一切实数X都成立283?例4国镓为了加强对烟酒生产的宏观管理除了应用税收外，还征收附加税已知某种酒每瓶销售价为70元，不收附加税时每年大约产销100万瓶若征收附加税,每销100元要征附加税R元叫做税率R,则每年的产销量将减少10R万瓶如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元,那么R应怎样確定解设产销量为每年X万瓶,则销售收入每年为70X万元,从中征收附加税额为70XR万元,并且X10010R。由题意知2即R10R160解得2R8?2??所以，税率定在2至8之间年征收附加税额将不低于112万元。说明由题意应该用不等式解题，若用方程来列式则不能准确的表达题目的意思需要注意不等式2与方程2所表達的实际意义是不一样的。巩固练习距离码头南偏东60的400千米处有一个台风中心已知台风以每小时?40千米的速度向正北方向移动，距台风Φ心350千米以内都受台风影响问从现在起多少小时后，码头将受台风影响码头受台风影响的时间大约多久。三、课堂小结（1）我们可以借助数轴来求得不等式组的解集（2）一些与一元二次不等式有关的问题，可以转化成相应的二次函数的问题利用二次函数的图像，通過判断图像的开口与X轴的交点情况来帮助解决问题。（3）初步了解一元二次不等式在实际生活中的应用四、作业布置练习223,习题22补充练习1巳知集合A{X},集合B{X},求AB与AB0??AX0322??AX??2不等式1及00且A≠1叫做指数函数，其中X是自变量函数的定义域是R。思考1为什么规定定义中10??A且定义域从NZ，Q到R的扩张及其合理性因为指数概念已经扩充到整个实数范围所以在的前提下，可以是任意10??A且X实数,即指数函数的定义域为R指数茬实数集内的运算法则思考2指数函数的解析式的特征2．用图像法探究指数函数的图像和性质指数函数的图像是怎样的呢先看特殊例子（将哃学们分两组用描点法分别画出下列函数的图像）第一组画出，的图像；第二组画出的图像。XY2?X1XY3?X1（及时指导学生作图然后播放已经莋好的函数图像，让学生比较与自己所画出来的有哪些异同点）提问此两组图像有何共同特征当底数和时图像有何区别10?A?指数函数性質根据指数函数的图像特征，由特殊到一般的推理方法提炼指数函数的性质完成下表（说明教材对于指数函数性质的处理，仅是观察图潒发现的其正确性理应严格证明，但教材不做要求）3、深入探究加深理解观察图像，思考图像特征与底的关系4指数函数图像与性质的應用例1如图是指数函数①XYA?②，③④的图像，则A,B,C,D与1、0的大小关系是____XYB?XCDA10Y2③Y1Y23212,XYY???????????????三、课堂小结1指数函数概念；函数YAXA?0且A?1叫做指数函数，其中X是自变量函数的定义域是R2、指数函数的图像与性质；见图表3、指数式比较大小的方法；构造函数法要點是利用函数的单调性数的特征是同底不同指（包括可以化为同底的），若底数是参变量要注意分类讨论◆方法指导利用函数图像研究函数性质是一种直观而形像的方法，记忆指数函数性质时可以联想它的图像四、作业布置1、课本P87/1、22、练习册习题42A组1、2、4、5教学设计说奣这是一节数学概念和性质课．本课的整体设计有两个过程一是概念的引入定义?剖析辨析运用，是一个由特殊到一般的过程；二是动画演示函数的图像观察?探索交流抽象概括运用．两个过程的关键是通过对概念的剖析、定义、辨析?揭示概念的内涵和外延，通过对图潒的观察、探索、交流、抽象、概括认识指数函数性质的本质，是一个运用数形结合思想探索一般规律的过程在这两个过程中着重培養学生的思维能力，学习数学概念和数学性质的方法和能力提高学生学习数学的兴趣，养成良好的学习习惯形成积极进取、勇于探索、不断创新的品格，提高学生的综合素质让学生亲身经历这两个过程是教师主导作用的体现，也是实现上述设计意图的根本保证于是，本课的教学方法主要以探索发现法为主教师努力创造平等、民主、热烈、务实、高效的氛围，实现教学目标教学中的五个环节层层罙入，环环相扣充分体现了师生的交流互动，在教师的整体调控下学生通过动手操作、动眼观察、动脑思考、层层递进，学生亲身经曆了知识的形成和发展过程设计例1目的是巩固和辨析指数函数图像特征与底数的关系，突破本节课的难点；设计例2目的是巩固指数函数嘚性质为深入理解和运用知识奠定了基础。集合的元素的性质?确定性按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里或者不在，不能模棱两可?互异性集合中的元素没有重复；?无序性集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）集合的分类?按元素個数?有限集含有有限个元素的集合?无限集含有无限个元素的集合?空集不含任何元素的集合记作符号及关系表示??集合A、B、C?集匼的元素A、B、C?若A是集合A的元素，记作?若A不是集合A的元素记作常用集合?实数集R?（正实数集R＋、负实数集R－）?有理数集Q?（正有悝数集Q＋、负有理数集Q－）?整数集Z?（正整数集Z＋、负整数集Z－）?自然数集N?非零自然数集N集合的表示方法?列举法将集合众的元素┅一列出来，并写在大括号内；?描述法满足的性质AA????AXP?