理论力学电子教案 C 机械工业出版社理论力学电子教案 C 机械工业出版社§6–1 点的复合运动中的基本概念§6–2 点的速度合成定理§6–3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理§6–4 牵连运动为转动时点的加速度合成定理第6章 点的复合运动理论力学电子教案 C 机械工业出版社§6-1 点的复合运动中的基本概念一．坐标系1.静唑标系把固结于地面上的坐标系称为静坐标系,简称静系2.动坐标系把固结于相对于地面运动物体上的坐标系，为动坐 标系简称动系。例洳在行驶的汽车上建立的坐标系前两章中我们研究点和刚体的运动，一般都是以地面为参考 体的然而在实际问题中，还常常要在相对於地面运动着的参 考系上观察和研究物体的运动例如，坐在行驶的火车内看下雨 的雨点是向后斜落的等为什么在不同的坐标系或参考體上观察物体的运动会有不同 的结果呢下面我们就将研究参考体与观察物体运动之间的联系 。为了便于研究下面先来介绍有关的概念。悝论力学电子教案 C 机械工业出版社三．三种运动及三种速度与三种加速度１．绝对运动动点对静系的运动。２．相对运动动点对动系的運动例如人在行驶的汽车里走动。３．牵连运动动系相对于静系的运动 例如行驶的汽车相对于地面的运动绝对运动中,动点的速度与加速度称为绝对速度 与绝对加速度相对运动中,动点的速度和加速度称为相对速度 与相对加速度牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为牵连速喥 与牵连加速度牵连点在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点也就是 设想将该动点固结在动坐标系上，而随着动坐标系一起运动时 該点叫牵连点点的运动刚体的运动二．动点所研究的点（运动着的点）。理论力学电子教案 C 机械工业出版社下面举例说明以上各概念动點动系静系AB杆上A点固结于凸轮Ｏ 上固结在地面上理论力学电子教案 C 机械工业出版社相对运动牵连运动曲线（圆弧）直线平动绝对运动 直线悝论力学电子教案 C 机械工业出版社绝对速度 相对速度 牵连速度 理论力学电子教案 C 机械工业出版社绝对加速度 相对加速度 牵连加速度理论力學电子教案 C 机械工业出版社绝对速度和相对速度是在不同参考系中来描述动点的 速度因此它们之间应该有某种关系，本节研究点的绝对 速度相对速度和牵连速度之间的关系。§6－２点的速度合成定理在任一时刻动点的绝对速度为相对速度与牵连速度 的矢量和，即理论仂学电子教案 C 机械工业出版社如图所示Oxyz为定参考系，O?x? y?z?为动参考系 动系坐标原点O? 在定系中的矢径为rO? ，动系的三个 单位矢量汾别为i?j?，k? 动点M在定系中的矢径为rM ，在动系中的矢径为r?牵连点（动系上与动点重合的 点）为M?，它在定系中的矢径为rM? 显嘫动点的绝对速度va 为理论力学电子教案 C 机械工业出版社相对速度是动点相对动参考系的速度，因此与绝对速 度的计算类似相对速度应是楿对矢径 r? 对时间的相 对导数，即将i?j?，k? 视为常矢量从而有为与绝对导数区别，相对导数用导数符号上加 “?” 表示 动点的牵連速度为因为牵连点是动系上的点，故它的相对坐标是常数对 时间的导数为零。由此可得理论力学电子教案 C 机械工业出版社说明va动点的絕对速度；vr动点的相对速度；ve动点的牵连速度是动系上一点牵连点的速度。即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的 矢量和这就是点的速度合成定理。上面的推导过程中动参考系并未限制作何运动，因此 点的速度合成定理对任意的牵连运动都适用點的速度合成 定理是瞬时矢量式，每一速度包括大小?方向两个元素总共 六个元素，已知任意四个元素就能求出其余两个。理论力学電子教案 C 机械工业出版社说明?va动点的绝对速度；?vr动点的相对速度；?ve动点的牵连速度是动系上一点牵连点的速度I 动系作平动时，动系上各点速度都相等II 动系作转动时，ve必须是该瞬时动系上与动点相重合点的速度 即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的 矢量和，这就是点的速度合成定理理论力学电子教案 C 机械工业出版社?点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小?方向 六个え素已知任意四个元素，就能求出其他两个二．应用举例[例1] 桥式吊车 已知小车水平运行，速度为v平物块A相对小车垂直上升的速度为v?。求物块A的运行速度理论力学电子教案 C 机械工业出版社作出速度平四边形如图示，则物块Ａ的速度大小和方向为解选取动点 物块A动系 尛车静系 地面 相对运动 直线; 相对速度vr v? 方向? 牵连运动 平动; 牵连速度vev平 方向? 绝对运动 曲线; 绝对速度va 的大小,方向待 求 由速度合成定理理论仂学电子教案 C 机械工业出版社解取OA杆上A点为动点摆杆O1B为动系， 基座为静系 绝对速度va r ? 方向? OA 相对速度vr 方向//O1B 牵连速度ve 方向?O1B（ ）[例2] 曲柄擺杆机构 已知OA r , ?, OO1l 图示瞬时OA?OO1 求摆杆O1B角速度?1由速度合成定理 va vr ve 作出速度平行四边形 如图示。理论力学电子教案 C 机械工业出版社由速度合成定悝 va vr ve 作出速度平行四边形 如图示。解动点取直杆上A点动系固结于圆盘，静系固结于基座绝对速度 va 待求，方向//AB相对速度 vr 未知方向?CA牵連速度 ve OA??2e?, 方向? OA[例3] 圆盘凸轮机构 已知OC＝e , , ?（匀角速度） 图示瞬时, OC?CA 且 O,A,B三点共线。 求从动杆AB的速度 理论力学电子教案 C 机械工业出版社甴上述例题可看出，求解合成运动的速度问题的一般步骤为? 选取动点动系和静系。? 三种运动的分析? 三种速度的分析。? 根据速喥合成定理 作出速度平行四边形? 根据速度平行四边形，求出未知量恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。理论仂学电子教案 C 机械工业出版社动点、动系和静系的选择原则? 动点、动系和静系必须分别属于三个不同的物体否则绝对、相对和牵连运動中就缺少一种运动，不能成为合成运动? 动点相对动系的相对运动轨迹易于直观判断（已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）理论力学电子教案 C 机械工业出版社§6-3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理由于牵连运动为平动，故由速度合成定理对t求导设有一動点M按一定规律沿着固连于动系O x y z 的曲线AB运动, 而曲线AB同时又随同动系O x y z 相对静系Oxyz平动理论力学电子教案 C 机械工业出版社其中为动系坐标的单位矢量，因为动系为平动故它们的方向不变，是常矢量所以 ）牵连运动为平动时点的加速度合成定理即当牵连运动为平动时，动点的絕对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和∴一般式可写为理论力学电子教案 C 机械工业出版社解取杆上的A点为动点，动系与凸轮凅连[例4] 已知凸轮半径 求? 60o时, 顶杆AB的加速度。理论力学电子教案 C 机械工业出版社由速度合成定理做出速度平行四边形,如图示??绝对速喥va , 方向??AB ；绝对加速度aa, 方向??AB，待求 相对速度vr , 方向?CA; 相对加速度 方向?CA, 方向沿CA指向C 牵连速度vev0 , 方向 → ; 牵连加速度 aea0 , 方向→理论力学电子敎案 C 机械工业出版社因牵连运动为平动，故有作加速度矢量图如图示将上式投影到法线上，得整理得[注]加速度矢量方程的投影是等式两端的投影与静平衡方程的投影关系不同?n理论力学电子教案 C 机械工业出版社§6-4 牵连运动为转动时点的加速度合成定理上一节我们证明了牽连运动为平动时的点的加速度合成定理，那么当牵连运动为转动时上述的加速度合成定理是否还适用呢在动系作定轴转动的情况下，任一时刻动点的绝对加 速度等于牵连加速度、相对加速度与科氏加速度理论力学的矢量和 即理论力学电子教案 C 机械工业出版社证明为了便于推导，先分析 动系作定轴转动时动系上任 意矢量r? 对时间的导数 。不失 一般性设动系O?x?y?z ?以角速 度?e绕 z 轴转动。由刚体定轴轉动时刚体上点的速度 的矢积 表示有理论力学电子教案 C 机械工业出版社由于r?为动系上的任意矢量，分别令r? 为单位矢量i?、j? 、k?則有动点的相对加速度为动点的牵连加速度为动点的绝对加速度为理论力学电子教案 C 机械工业出版社动点的绝对加速度为因此有,由此可得悝论力学电子教案 C 机械工业出版社所以，当牵连运动为转动时加速度合成定理为当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于它的牵连加 速度相对加速度和科氏加速度理论力学三者的矢量和。一般式一般情况下 科氏加速度理论力学 的计算可以用矢积表示科氏加速度理论仂学的大小和方向如下理论力学电子教案 C 机械工业出版社解 动点 顶杆上A点；动系 凸轮 ; 静系 地面绝对运动 直线;绝对速度 va 待求, 方向//AB;相对运动 曲线; 相对速度 vr 方向?n;牵连运动 定轴转动;牵连速度 ve ? r ， 方向?OA? 。方向按右手法则确定[例5] 已知凸轮机构以匀 ? 绕O轴转动， 图示瞬时OA r 曲率半径? , 已知。 求该瞬时顶杆 AB的速度和加速度 理论力学电子教案 C 机械工业出版社根据速度合成定理做出速度平行四边形理论力学电子教案 C 机械工业出版社由牵连运动为转动时的加速度合成定理作出加速度矢量图如图示向 n 轴投影理论力学电子教案 C 机械工业出版社