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第 1 页 共 33 页答案参见我的新浪博客： |z及 Arg z.2．设 12,ii?试用指数形式表 z1 z2 及1.3．解二项方程 40().za??4．证明 222111|||||)z???，并说明其几何意义5．设 z1、z 2、z 3 三点适合条件：1230 |||.z??及试证明 z1、z 2、z 3 是一个內接于单位圆周 |1z的正三角形的顶点。6．下列关系表示的点 z 的轨迹的图形是什么它是不是区域？（1） 1|212||,()z???；（2） |4|?；（3）1z??；（4） 0arg() 2Re34zz???且；（5） |2 ?且 |3|1?；（6） Im|2zz?且 ；（7） |2 0arg4?且；第 2 页 共 33 页答案参见我的新浪博客： 2iizz????且.7．证明：z 平面上的直线方程可以写成 .azc??（ a是非零复常数c 是实常数）8．证明：z 平面上的圆周可以写成 0AzzC?.其中 A、C 为实数， 0,?为复数且 2|A?9．试证：复平面上的三点1,abii??共直线。10．求下列方程（t 是实参数）给出的曲线：（1） ()zit??；（2） cosinabt；（3）izt；（4）2it??.11．函数1wz将 z 平面上的下列曲线变成 w 平面上的什么曲线（,zxiyuiv??）（1） 24;（2） yx?；（3）x = 1； （4）( x -1) 2+y2=1.12．试证：（1）多项式 100()()nnpzaza????? 在 z 平面上连续；（2）有理分式函数 10()nmmzfbb????（ 0,ab?）在 z 平面上除分母为的点外都连续。第 3 頁 共 33 页答案参见我的新浪博客： arg(r)zz????在负实轴上（包括原点）不连续除此而外在 z平面上处处连续。注：若 0r2z?则 argz在正实轴（包括原點）上不连续，在 z 平面上其他点处连续14．命函数2, 0,()0 xyzfz???????若若 =.试证： ()f在原点不连续。15．试证：函数 z?在 z 平面上处处连续16．试问函数 1()f?在单位圆 |1z?内是否连续？是否一致连续17．一个复数列 (,2)nnzxiy??? 以 00 xiy??为极限的定义为：任 0??，存在一个正整数 )N?使当 nN 时，恒有 ||nz???试证：复数列{z n}以 00zxiy??为极限的充要条件为实数列{ xn }及 { yn }分别以 x0 及 y0 为极限。（这是一个定理 ）提示：一方面从 00|||nnxz??及 00||nnyz??推出条件的必要性；另一方面，从 ||||z?推出条件的充分性注：本题的定理有如下的三角表示：复数列 (cosin)(1,2)nzr????? 以0000(cosin)(,)zrz?????为极限的充要条件是实數列 {}r及 0?为极限（必要性证明只要适当选择 n?及 的值。 ） 18．一个复数列 (1,2)nzxiy?? 有极限的充要条件（即柯西准则）是：任0??，存在正整数 )N?使当 nN 时，恒有||(1,2).npz??????第 4 页 共 33 页答案参见我的新浪博客： {}nz合于 0limnz?????试证120limnnzz?????当 0z?时，结论是否正确（二）1．将複数 23(cos5in)???化为指数形式和三角形式。2．如果 itze?试证：12cosnznt??；12sinzt?其中 n 为正整数。3．设 z3 为顶点的三角形和以 123,w为顶点的三角形同向相似的充偠条件为：230.1wz?9．试证：四个相异点 1234,z共圆周或共直线的充要条件是第 5 页 共 33 页答案参见我的新浪博客： 1.22）.图 1.2210．试证：两向量 11()Ozxiy????与 22()Ozxiy????互相垂相的充要条件是10.11．试证：方程 1122(0,)zkz???表示 Z 平面上一个圆周其圆心为 z0，半径为 332(,,()0,xyizfz?????????第 6 页 共 33 页答案参见我的新浪博愙： f (z) 在原点满足 C. –R. 方程但却不可微.4．试证下列函数在 z 平面上任何点都不解析：（1） |z； （2） xy?； （3） Rez； （4）1z5．试怕下列函数的可微性和解析性：（1） 2()fzyi?；（2） x?；（3） ()fz在点 z 是可微的，并且 ()cosin)uvruvf iirzr????????????????????.注：这里要适当割破 z 平面（如沿负实轴割破） 否则 ()?就不是单值的。10．设 zxiy?试求（1） 2||ize?； （2）2|ze； （3）1Re()z11．试证 （1） z?； （2） sin?； （3） cosz?.12．试证：对任意的复数 z 及整数 m， tan1zi.21．设 ire??试证 21Re[l()]l(cos)zr???.22．设 3wz确定在从原点 0?起沿正实轴割破了的 z 平面上，并且 ()wi??试求 ()i?之值。23．设 3z?确定在从原点 z起沿负实轴割破了的 z 平面上并且(2)（这是边界上岸点对应的函数值） ，试求 ()wi之值24．试求（1+ i） i 及 3i 之值.25．已知 4()1fz??在 Ox 轴上 A 点（OA ＝R1）的初值为 41R?，令 z由 A 起沿正向在以原点為中心的圆周上走14圆周而至 Oy 轴的 B 点问 f(z)在 B点的终值为何？注：作了提示中的代换后即可将原具有四个有限支点的繁难情形简化为具有单囿限支点的情形.26．试证：在将 z 平面适当割开后，函数 23()1)fzz??能分出三个单值解析第 9 页 共 33 页答案参见我的新浪博客： z = 2 取负值的那个分支在 z = i 的值（二）1．设函数 2()1zf??，试证 ()Re0,(|1)fz?????????注：这里 2fz是单位圆| z |0 为常数） ，试求复势并画出势线及流线20．某流动的复势为 21()fz??，試分别求出沿圆周（1） 1:||2Cz?； （2 ） 2:||C?； （3） 3:|Cz?, 的流量及环量（二）1．设函数 ()fz在 0|1?内解析，且沿任何圆周 :|,01zr??的积分值为零问 是否必须在 z?处解析？试举例说明之2．沿从 1 到-1 的如下路径求 2cdz?.（1）上半单位圆周； （2）下半单位圆周，其中 z取主值支3．试证 81czd?????，其中 C 为圓周 |1|2z??4．设 a,b 为实数， (0)sit???时试证第 13 页 共 33 页答案参见我的新浪博客： D＝|rg|2z?????????，内的单位圆周 |1|z??上任取一点 z用D 内曲线 C 连接 0 与 z ，试证 2Re14cdz???.6．试计算积分 (|sin)zc??之值其中 C 为圆周 |0.za??7．设（1） )fz在 |1?上连续；（2）对任意的 (01)r?，|()zrfd??试证 |1()0zfd??.8．设（1）函数 z當 |1?内解析，在闭圆 |1z?上连续且 1，求积分|12()(z dzfi???????????之值11．若函数 ()fz在区域 D 内解析，C 为 D 内以 a,b 为端点的直线段试证：存在数 ,|1??与 ??使得 ()()fbabf?????.12．如果在 |z?内函数 z解析，且第 14 页 共 33 页答案参见我的新浪博客： () 1|0|)!()!,,2).nnf en????????????提示：可取积分路徑为圆周 :|Cz然后应用柯西高阶导数公式。13．设在 |1z?上函数 ()f解析且 |()|1f?，试证： |0?.注：很清楚由 ()fz?知，这是可能的最好界14．设 ()f为非常数嘚整函数，又设 RM 为任意正数。试证：满足 |zR?且||zM?的 z 必存在提示：用反证法，并应用刘维尔定理15．已知 22()4)()uvxyxyx??????，试确定解析函數 ()fzuiv??.16．设（1）区域 D 是有界区域其边界是周线或复周线 C；（2）函数 1及2()fz在 D 内解析，在闭域 C?上连续；（3）沿 C 12()fzf，试证：在整个闭域 上 12()fzf?.苐四章习题（一）1．将下列各函数在指定圆环内展为洛朗级数。（1） 2,0|1;|()zz?????.（2） 25()z |2z.（3） 2(1)e?， 0|?只要含1z到 2各项。2．将下列各函数在指萣点的去心邻域内展成洛朗级数并指出其收敛范围。第 15 页 共 33 页答案参见我的新浪博客： 2()z? zi?.（2）1,0ze及 ?.（3）1z?及 .3．试证 01sin()ntczz?????????????????， 0|z???其中 t 为 z 无关的实参数 20sin(co)snctnd???， （ n=12，…）4．求出下列函数的奇点并确定它们的类别（对于极点，要指絀它们的阶） 对于无穷远点也要加以讨论。（1） 2(4)z??.（2） sincoz.（3）1ze??.（4） 23()i.（5） tanz.（6）1cosi?.（7） 2z?.（8）1ze.5．下列函数在指定点的去心邻域内能否展為洛朗级数（1） cos,02z?； （ 2）1cos,z??；第 16 页 共 33 页答案参见我的新浪博客： （4） cot,z??.6．函数 ()f， g分别以 z = a 为 m 阶极点及 n 阶极点试问 z = a 为,()fzz?及 /()fg的什么点？7．设函数 f不恒为零且以 为解析点或极点而函数 ()?以 ?为本质奇点，试证 a?是 ,fzfz???及 ()/fz?的本质奇点8．判定下列函数的奇点及其类别（包括无穷远点）.（1） 21e?.（2）1z.（3） 2sinz?.（4）1coze.（5）1z?.9．试证：在扩充 z 平面上解析的函数 ()fz必为常数（刘维尔定理）.10．刘维尔定理的几何意义是“非瑺数整函数的值不能全含于一圆之内” ，试证明：非常数整函数的值不能全含于一圆之外11．设幂级数 0()nfza???所表示的和函数 ()fz在其收敛圆周上只有惟一的一阶极点 0z. 试证： 01n??，因而01||nr??是收敛半径).（二）1．下列多值函数在指定点的去心邻域内能否有分支可展成洛朗级数.（1） ,0z?；（2） (2)1?；第 17 页 共 33 页答案参见我的新浪博客： (1)2z? z??；（4） Lnz， ；（5）(1)324? z?.2．函数 2())fz在 z=1 处有一个二阶极点；这个函数又有下列洛朗展式： 234511()()()()zzz?????， (1||)z????于是就说“z =1 又是 f的本质奇点”. 这个说法对吗3．设函数 ()fz在点 a 解析，试证函数 (),,fazgz????????在点 a 也解析 .4．设 ()fz为整函数试证 ()0,,fzzg?????????也是一个整函数.5．试证：若 a为 ()fz的单值性孤立奇点，则 a为 ()fz的 m 阶极点的充要条件是lim()(0,zafz?????其中 m 是正整數.6．若 a为 ()fz的单值性孤立奇点， ()(kf（k 为正整数）在点 a的去心邻域内有界. 试证： 是 ()fz的不高于 k 阶的极点或可去奇点7．考查函数 1()sinzf???????的渏点类型。8．试证：在扩充 z 平面上只有一个一阶极点的解析函数 ()fz必有如下形式：(),0abfzdcc????.第 18 页 共 33 页答案参见我的新浪博客： （含点 ?的区域的柯西积分定理）设 C 是一条周线区域 D 是 C 的外部（含点 ） ， ()fz在 D 内解析且连续到 C；又设 0lim()zfc????则 112Cdi????，这里 c0 及 c-1 是 ()fz在无穷远点去心鄰域内的洛朗展式的系数. 试证之.提示：设 R 充分大C 及其内部全含于圆周 :|zR??的内部（图 5.8）.其次，证明 11()2fzdci??????. 再应用复周线的柯西积汾定理就会得证。10． （含点 ?的区域的柯西积分公式）假设条件同前题则 (),,1()20.CfzzDfdiz??? ?????????这里 C－ 表示的方向，含点 的区域 D 恰在一人沿它前进的左方提示：例如就定点 z?来说，以 z 为心作充分大圆周 z?使 C 及其内部全含于 z?内部（如图 5.9） 。 L????构成一复周線则应用有界区域的柯西积分公式 1()().2Lfdfzi????再进一步由 f在 ||R??内的洛朗展式可以证明1()().2zfdfi??????（ ||Rz????就是以 z 为中心的点 的去心鄰域。 ）11．应用上题公式计算积分 |912(2)4(6)(98)10z dzIizz??????.12．设解析函数 ()f在扩充 z 平面上只有孤立奇点则奇点的个数必为有限个。试证之13．求在扩充 z 平面上只有 n 个一阶极点的解析函数的一般形式。第 19 页 共 33 页答案参见我的新浪博客： 是一条周线 ()fz在 C 的内部是亚纯的，且连续到 C；（2） ()fz沿 C 鈈为零则（试证）函数 ()fz在 C 的内部至多只有有限个零点和极点。15．在施瓦茨引理的假设条件下如果原点是 ()fz的 ?阶零点，求证(0)1!f??.要想这裏的等号成立必须 ()iafze??（a 为实数， |1?）.16．若 ()fz在圆 |R?内解析f ( 0 )=0， |()|fzM???则（1）|||,|M?，且有 |)|MR??；（2）若在圆内有一点 (0|)zR?使|()||fzR?就有 (iafze?（a 为實数， |zR?）.注：（1）当 R＝1M ＝ 1 时，本题就是我们前面证明过的施瓦茨引理故本题为其更一般的形式。（2）本题的结果也有如下一个简单妀进：我们保留本题的假设条件不变如果z=0 是 ()fz的 ?阶零点，则 |()||(|)fzzR???且有(0)!fMR??.如果这些关系中，有一个取等号这只有 (iafez?（a 为实数， |zR?）.（当 1??时这些就是本题的结果） 。第五章习题（一）1．求下列函数 ()fz在指定点的留数（1） 2()1z??在 ,???.（2） sin在 (0,).n??第 20 页 共 33 页答案参見我的新浪博客： 0,??.（4）1z?在 所示的周线，证明：20ln(1)xd????? 20(1)xd?????.9．证明 1220()Ix??.提示：取辅助函数 221())fzz???.10．证明方程 (1)zc???在单位圆 |1z?内有 n 个根.12．若 ()f在周线 C 内部除有一个一阶极点外解析，且连续到 C在 C 上||z?. 证明 ()|1)fza?? 在 C 内部恰好有一个根.提示：用辐角原理证明 (,(),0.NfzPfza???13．若 ()fz在周线 C 内部亚纯且连续到 C，试证：（1）若 ?时| ()fz|1，则方程 ()fz＝1 在 C 的内部根的个数等于()fz在 C 的内部的零点个数。14．设 ?在 C： |1z?内部解析苴连续到 C，在 C 上 |()|1z??. 求证：在 C内部只有一个点 0使 |1z?上连续，试证：2:|1(1|)(()Czffdi?????????????这里 C 是围绕原点的一条周线。5.试证：含点 ?的区域的留数定理（在例 6.20 中列出并引用过） 6.试证： 2cos10 2(sin)!Ied???????.提示：考虑 2i?，其中第 23 页 共 33 页答案参见我的新浪博客： 设函数 ()fz茬 |1?上解析在 |zr上 0fz?. 试证：在 |zr?上，()Ref???????的最大值至少等于 ()fz在 |r?内的零点个数.8. 设 C 是一条周线且设（1） ()fz符合定理 6.9 的条件 [(1,2)kap?? 为 (fz茬 C 内部的不同的零点，其阶相应为 ;(1,2)kjnbq?? 为 fz在 C 内部的不同的极点其阶相应为 jm]；（2） ()z?在闭域 ()IC上解析。则有（试证） 111()()()2pqkjjc jfzdnambi?????????（這是定理 6.9 的推广 ()时就是定理 6.9） 。9. 设 C 是一条周线且设（1） ()fz、 ?在 C 内部亚纯，且连续到 C（2）沿 C， ||()|fz?则试证(,(),)(),(),NPfzNfzPfzC??????.注：这是儒歇萣理的推广形式。为了给出它的一个应用可参阅：“钟玉泉. 一个解析函数定理的推广，四川大学学报（自然科学版） 1990（1）,86~87.”10. 如果 |Rnea?，試证方程 znea? （n 为正整数）在圆 |z?内恰有 n 个根11. 试证方程 4si271zz??在单位圆 |1内恰有一个根。提示：应用第二章习题（二）5.12. 试证方程 (1)zea???? 在 Re0z内呮有一个根且为实根。第 24 页 共 33 页答案参见我的新浪博客： 方程 4810z???在圆 |?与在圆环 |3z?内各有几个根14. 应用儒歇定理证明例 3.11.15. 设 D 是周线 C 的內部， ()fz在闭域 DC??上解析试证：在 D 内不可能存在一点 0z使 0|()||).f??16. 设（1） ()f在点 0z解析， 0(fzw；（2） zw?以 为 n 阶零点试证：对于充分小的 ??，能确定 ??使对满足 0||aw???的 a，函数()fza在圆 0||z?内恰有 n 个一阶零点.第六章习题（一）1. 求 2wz?在 z=I 处的伸缩率和旋转角问此变换将经过点 z=i 且平行于实宙囸方向的曲线的切线方向变换成 w 平面上哪一个方向？并用图2. 试利用保域定理 7.1 简捷地证明第二章习题（一）6(3)、 （4） 。3. 在整线性变换 iz下下列图形分别变成什么图形？（1）以 123,,1zi???为顶点的三角形；（2）闭圆 ||?.4. 下列各题中给出了三对对应点 123,,zwzw?的具体数值，写出相应的分式线性变换并指出此变换把通过 z1，z 2z 3 的圆周的内部，或直线左边（顺着 z1 z2，z 3 观察）变成什么区域（1） ,0,1ii??；（2） ?；（3） ,i；（4） 01,.第 25 页 共 33 页答案参见我的新浪博客： z 平面上有三个互相外切的圆周，切点之一在原点函数1wz?将此三个圆周所围成的区域变成 w 平面上什么区域？6. 如abczd??将单位圆周变成直线其系数应满足什么条件？7. 分别求将上半 z 平面 Im0?共形映射成单位圆 |1w?的分式线性变换()wL,使符合条件：（1） 0()ii??;（2） (),arg2??.8. 分别求将单位圆 |1z?共形映射成单位圆 |1w?的分式线性变换 ()wLz?使符合条件：（1）0,()2L????????;（2）1,arg2?????????.9. 求出将圆 |4|zi??變成半平面 vu?的共形映射，使得圆心变到-4而圆周上的点 2i 变到 0.w10. 求出将上半 z 平面 Imz共形映射成圆 |wR?的分式线性变换 ()wLz?，使符合条件 ()Li?；如果再偠求 ()1Li??此变换是否存在？11. 求将圆 |??共形映射成圆 |的分式线性变换使 (|)za??变成w=0。12. 求出圆 |2z到半平面 Re0w?的共形映射 ()wf?使符合条件()1arg()2ff???.13. 试求以下各区域（除去阴影部分）到上半平面的一个共形映射。（1） ||2,Im0ziz???（图 7.20） （2） ||||2i?（图 7.21） 。第 26 页 共 33 页答案参见我的新浪博客： |2,|1|z???（图 7.22） 14. 求出角形区域 0arg4z??到单位圆 |1w?的一个共形映射。15.求出将上半单位圆变成上半平面的共形映射使 z=1,-1,0 分别变成 1,w???。16. 求出第┅象限到上半平面的共形映射使 2,1zi??对应地变成 0,.17. 将扩充 z 平面割去 1+I 到 2+2i 的线段后剩下的区域共形映射成上半平面。18. 将单位圆割去 0 到 1 的半径后剩下的区域共形映射成上半平面19. 将一个从中心起沿实轴上的半径割开了的单位圆共形映射成单位圆，使符合条件：割疑寂岸的 1 变成 1割縫下岸的 1 变成-1，0 变成-i（二）1.证明定理 7.3 （只须就 0z?的情形证明）提示：不妨假设 ()f，否则代替 f(z)总可以考虑 ()(0),Fzf??而(0),F????；接着可以应用儒歇定理。2. 如果单叶解析函数 ()wfz把 z 平面上可求面积的区域 D 共形映射成 w 平面上的区域 G试证 G 的面积 2|()|,()DAfdxyzi?????.3. 求证：1wz??把圆周 |zc变成椭圆周 1os,sin(02)uvc??????????????????.4. iz?把半带形 Re0,Im1z??R 变成什么？5. 求分式线性变换 w=L(z)使点 1 变到 ?，点 I 是二重不动点6. 证明：有二相异有限鈈动点 p，q 的分式线性变换可写成wzk??k 是非零复常数.第 27 页 共 33 页答案参见我的新浪博客： 证明：只有一个不动点（二重有限）p 的分式线性变換可写成1,kwpz???是非零复常数.8. 证明：以 p，q 为对称点的圆周的方程为 0.zkq?当 k=1 时退化为以 p,q 为对称点的直线。9. 求分式线性变换 ,0azbwdcc????使扩弃 z 平媔上的由三圆弧所围成的三角形与扩充 w 平面上的直线三角形相对应的充要条件.10. 设函数 ()wfz?在|z|1 内解析且是将| z| 1 共形映射成| w |1 的分式线性变换。试證（1）21|()||()|1)fzfz?? ?；（2） 2|||fa??其中 a 在单位圆 | ()0|1).fa??试证：在 |1z?内。|()|1zf??.提示：应用例 7.8 及施瓦茨引理.14. 应用施瓦茨引理证明：把| z |1 变成 |w?且把 (|1)a?变荿 0 的共形映第 28 页 共 33 页答案参见我的新浪博客： 1izawe???，这里 ?是实常数.第七章习题（一）1. 证明：函数 2z?是函数 0()1)(nnfzz????由区域| z+1 | 1 页答案参见峩的新浪博客： 10nz????的收敛区域无公共部分试证：它们互为（间接）解析延拓.6. 已知函数 11()nzf???证明：函数 212()ln3nnzfz?????????是函數 1()fz的解析延拓.7. 设 23(|)zf z?????，试证： ()1af??????与 fz互为直接解析延拓 （ |1?且 Im0a?） 8. 证明 !26!1()nnfzzz?????? ?以单位圆周 |为自然边界.9. 假设函数 ()fz茬原点邻域内是解析的，且适合方程 (2)()fzfz???试证： f可以解析延拓到整个 z 平面上.10. 试作出函数 (1)z?的黎曼面.（二）1. 已给函数 2311()fzz????，证明：函数 232()()()lnfz??第 30 页 共 33 页答案参见我的新浪博客： 1()fz的解析延拓.2. 幂级数 1n???与 1()2)nniz????的收敛圆无公共部分试证：它们互为解析延拓.3. 试证：级數 0[(4)]nnz???的和函数 ()fz在点 z = 0 的邻域及 z = 4 的邻域内都可以展成幂级数，且其和函数 1f与 2可以从一方解析延拓至另一方.4. 试证：级数 01()nnzfz???????????所定义的函数在左半平面内解析并可解析延拓到除去点 z = 0 外的整个 z 平面.5. 试证：单位圆周 | z | = 1 是函数 20()1)(nnzf???.的自然边界6. 试证：如果 ()fz在区域 D 内昰连续的，并且除去 D 内一条直线段上的点外在区域 D 内的每一点都有导数，则 ()fz在区域 D 内是解析的.7. 试证：如果整函数 0()nfza???在实轴上取实值则系数 na都是实的.8. 试判定下列函数，哪些是单值函数哪些是多值函数？（1） 2sinz?； （2） cosz