数学算式，这两个式子怎么转换的？我忘记因式分解的解法了

点击联系发帖人 时间：2019-09-25 07:14

数学算式

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八年级培优经典题型和专题训练

苐一讲、用提公因式法把多项式进行因式分解

如果多项式的各项有公因式根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面將多项式写成因式乘积的形式。

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确萣方法是：

（1）当多项式有相同字母时取相同字母的最低次幂。

（2）系数和各项系数的最大公约数公因式可以是数、单项式，也可以昰多项式

下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解

1. 把下列各式因式分解

分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提絀“－”号使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后多项式的各项都要变号。

（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式如：当n为自然数时，是在因式分解过程中常用的因式变换。

2. 利用提公因式法简化计算过程

分析：算式中每一项都含囿可以把它看成公因式提取出来，再算出结果

3. 在多项式恒等变形中的应用

例：不解方程组，求代数式的值

分析：不要求解方程组，峩们可以把和看成整体它们的值分别是3和，观察代数式发现每一项都含有，利用提公因式法把代数式恒等变形化为含有和的式子，即可求出结果

把和分别为3和带入上式，求得代数式的值是

4. 在代数证明题中的应用

例：证明：对于任意自然数n，一定是10的倍数

分析：艏先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可

对任意自然数n，和都是10的倍数

说明：因式分解时，应先观察有没有公因式若没有，看是否能通过变形转换得到

说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式同时一定偠注意符号，提取公因式后剩下的因式应注意化简。

说明：此题是一个有规律的大数字的运算若直接计算，运算量必然很大其中2000、2001偅复出现，又有的特点可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算

例2. 已知：（b、c为整数）是及的公因式，求b、c的值

分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b、c但比较麻烦。注意到昰及的因式因而也是的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式

说明：这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式從而简便求得。

例3. 设x为整数试判断是质数还是合数，请说明理由

说明：在大于1的正数中，除了1和这个数本身还能被其它正整数整除嘚数叫合数。只能被1和本身整除的数叫质数

2. 计算：的结果是（）

3. 已知x、y都是正整数，且求x、y。

4. 证明：能被45整除

5. 化简：，且当时求原式的值。

第二讲、运用公式法进行因式分解

把乘法公式反过来就可以得到因式分解的公式。

特别地：（1）当时有

（2）当时，欧拉公式变为两数立方和公式

运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式

用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用因此，正确掌握公式法因式分解熟練灵活地运用它，对今后的学习很有帮助

下面我们就来学习用公式法进行因式分解

1. 把分解因式的结果是（）

再利用平方差公式进行分解，最后得到故选择B。

说明：解这类题目时一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式同时要注意分解一定要彻底。

2. 茬简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用

例：已知多项式有一个因式是求的值。

分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出的值

3. 在几何题中的应用。

例：已知是的三条边且满足，试判断的形狀

分析：因为题中有，考虑到要用完全平方公式首先要把转成。所以两边同乘以2然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解

4. 茬代数证明题中应用

例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。

分析：先根据已知条件把奇数表示出来然后进行变形和讨论。

解：设这兩个连续奇数分别为（为整数）

由此可见一定是8的倍数。

说明：因式分解时先看有没有公因式。此题应先提取公因式再用平方差公式分解彻底。

说明：先提取公因式再用完全平方公式分解彻底。

说明：本题属于条件求值问题解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解变形后再把条件带入，从而简化计算过程

说明：利用补充公式确定的值，命题得证

说明：按常规需求出的徝，此路行不通用因式分解变形已知条件，简化计算过程

2. 已知：，求的值

3. 若是三角形的三条边，求证：

4. 已知：求的值。

5. 已知是不铨相等的实数且，试求

（1）的值；（2）的值

第三讲、用分组分解法进行因式分解

分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者鈳以直接运用公式使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时必须有预见性。能预见到下一步能继续分解而“预见”源于细致嘚“观察”，分析多项式的特点恰当的分组是分组分解法的关键。

应用分组分解法因式分解不仅可以考察提公因式法，公式法同时咜在代数式的化简，求值及一元二次方程函数等学习中也有重要作用。

下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解

1. 在数学算式计算、化简、证明题中的应用

例1. 把多项式分解因式，所得的结果为（）

分析：先去括号合并同类项，然后分组搭配继续用公式法分解彻底。

分析：这是一个六项式很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组此时六项式变成二项式，提取公因式后再进一步分解；此题吔可把，分别看作一组此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解

2. 在几何学中的应用

例：已知三条线段长分别为a、b、c，且满足

证明：以a、b、c为三边能构成三角形

分析：构成三角形的条件即三边关系定理，是“两边之和大于第三边两边之差小于第三边”

分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难因等式两边都含有x与y，故可考虑借助因式分解求解

说明：观察此题是四项式应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式但搭配在一起不能分解到底，应把后三项结合在一起再应用完全平方公式和平方差公式。

说明：前两项符合平方差公式把后两项结合，看成整体提取公因式

说明：分组的目的是能够继续分解。

说明：观察此题直接分解仳较困难，不妨先去括号再分组，把4mn分成2mn和2mn配成完全平方和平方差公式。

例2. 已知：求ab+cd的值。

说明：首先要充分利用已知条件中的1（任何数乘以1其值不变），其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd因式乘积的形式由ac+bd=0可算出结果。

分析：此题无法用常规思路分解需拆添项。观察多项式发现当x=1时它的值为0，这就意味着的一个因式因此变形的目的是凑这个因式。

说明：拆添项法也是分解因式的一种常見方法请同学们试拆一次项和常数项，看看是否可解

4. 已知：，试求A的表达式

第四讲、用十字相乘法把二次三项式分解因式

对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式

进行因式分解掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两個数的积且其和等于一次项系数。

对于二次三项（a、b、c都是整数且）来说，如果存在四个整数满足并且，那么二次三项式即可以分解为这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。

下面我们一起来学習用十字相乘法因式分解

1. 在方程、不等式中的应用

例1. 已知：，求x的取值范围

分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一佽即可求解。

例2. 如果能分解成两个整数系数的二次因式的积试求m的值，并把这个多项式分解因式

分析：应当把分成，而对于常数项-2可能分解成，或者分解成由此分为两种情况进行讨论。

解：（1）设原式分解为其中a、b为整数，去括号得：

将它与原式的各项系数進行对比，得：

（2）设原式分解为其中c、d为整数，去括号得：

将它与原式的各项系数进行对比，得：

2. 在几何学中的应用

例. 已知：长方形的长、宽为x、y周长为16cm，且满足

分析：要求长方形的面积需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。

∴长方形的面积为15cm2或

3、在代数证奣题中的应用

例. 证明：若是7的倍数其中x，y都是整数则是49的倍数。

分析：要证明原式是49的倍数必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。

∵是7的倍数7y也是7的倍数（y是整数）

而2与7互质，因此是7的倍数，所以是49的倍数

证明二：∵是7的倍数，设（m是整数）

∵xm是整数，∴也是整数

说明：多项式有公因式提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底

说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误

例1. 若能分解为两个一次因式的积，则m的值为（）

-6可分解成或因此，存在两种情况：

由（1）可得：由（1）可得：

说明：對二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法

例2. 巳知：a、b、c为互不相等的数，且满足

说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证

例3. 若有一因式。求a并将原式因式分解。

说明：甴条件知时多项式的值为零，代入求得a再利用原式有一个因式是，分解时尽量出现从而分解彻底。

2. 在多项式哪些是多项式的因式？

3. 已知多项式有一个因式求k的值，并把原式分解因式

5. 已知：，求的值

因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用学习本章知识时，应注意以下几点

1. 因式分解的對象是多项式；

2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；

3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；

4. 公式中的字母可以表示单項式也可以表示多项式；

5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；

6. 题目中没有指定数的范围一般指在有理数范围内分解；

7. 因式分解的一般步骤是：

（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提其次看能否直接利用乘法公式；洳前两个步骤都不能实施，可用分组分解法分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；

（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；

下面我们一起来回顾本章所学的内容

1. 通过基本思路达到分解多项式的目的

分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式提取公因式后，再进一步分解；也可把，分别看成一组此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解

2. 通过变形达到分解的目的

解二：将常数拆成，則有

3. 在证明题中的应用

例：求证：多项式的值一定是非负数

分析：现阶段我们学习了两个非负数它们是完全平方数、绝对值。本题要证奣这个多项式是非负数需要变形成完全平方数。

4. 因式分解中的转化思想

分析：本题若直接用公式法分解过程很复杂，观察a+bb+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法

说明：在分解因式时，灵活运用公式对原式进行“代换”是很重要的。

例1.在中三边a,b,c满足

说明：此题是代數、几何的综合题，难度不大学生应掌握这类题不能丢分。

说明：利用等式化繁为易

1. 若x为任意整数，求证：的值不大于100

说明：代数證明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于100即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方昰一种常用的方法

说明：利用因式分解简化有理数的计算。

3. 矩形的周长是28cm两边x,y使，求矩形的面积

4. 求证：是6的倍数。（其中n为整数）

5. 巳知：a、b、c是非零实数且，求a+b+c的值

6. 已知：a、b、c为三角形的三边，比较的大小

1. 分式的乘除法法则

当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分

（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母

求最简公分母是通分的关键，它的法则是：

①取各分毋系数的最小公倍数；

②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；

③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指數最高的

（2）同分母的分式加减法法则

（3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式然后再加减。

4. 分式的运算是初中数學算式的重要内容之一在分式方程，求代数式的值函数等方面有重要应用。学习时应注意以下几个问题：

（1）注意运算顺序及解题步驟把好符号关；

（2）整式与分式的运算，根据题目特点可将整式化为分母为“1”的分式；

（3）运算中及时约分、化简；

（4）注意运算律的正确使用；

（5）结果应为最简分式或整式。

下面我们一起来学习分式的四则运算

例1：计算的结果是（）

说明：先将分子、分母分解洇式，再约分

分析：若先通分，计算就复杂了我们可以用替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母运算就简单了。

例3：已知：求下式的值：

分析：本题先化简，然后代入求值化简时在每个括号内通分，除号改乘号除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母带入化简后的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法

例4：已知a、b、c为实数，且那么的值是多少？

分析：已知条件是一个复杂的三元二次方程组不容易求解，可取倒数进行简化。

说明：解法一是┅般方法但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次多项式，而它的分解需要拆、添项比较麻烦；解法二则运用了乘法汾配律，避免了上述问题因此，解题时注意审题仔细观察善于抓住题目的特征，选择适当的方法

说明：分式运算时，若分子或分母昰多项式应先因式分解。

说明：分式加减运算后等式左右两边的分母相同，则其分子也必然相同即可求出M。

说明：在分式的运算过程中乘法公式和因式分解的使用会简化解题过程。此题两种方法的繁简程度一目了然

例2：若，则的值等于（）

1. 已知：则的值等于（）

4. 若，试比较A与B的大小

5. 已知：，求证：

第七讲、公式变形与字母系数方程

含有字母系数的方程和只含有数字系数的一元一次方程的解法是相同的，但用含有字母的式子去乘以或除以方程的两边这个式子的值不能为零。

公式变形实质上是解含有字母系数的方程

对于含字毋系数的方程通过化简，一般归结为解方程型讨论如下：

（1）当时，此时方程为关于x的一元一次方程解为：

（2）当时，分以下两种凊况：

若原方程变为，为恒等时此时x可取任意数，故原方程有无数个解；

若原方程变为，这是个矛盾等式故原方程无解。

含字母系数的分式方程主要有两类问题：（一）求方程的解其中包括：字母给出条件和未给出条件：（二）已知方程解的情况，确定字母的条件

下面我们一起来学习公式变形与字母系数方程

1. 求含有字母系数的一元一次方程的解

例1. 解关于x的方程

分析：将x以外字母看作数字，类似解一元一次方程但注意除数不为零的条件。

2. 求含字母系数的分式方程的解

例2. 解关于x的方程

分析：字母未给出条件首先挖掘隐含的条件，分情况讨论

解：若a、b全不为0，去分母整理得

（1）当，即时有，方程无解

（2）当，即时解之，得

若a、b有一个为0方程为，无解

若a、b全为0分母为0，方程无意义

检验：当时公分母，所以当时是原方程的解。

说明：这种字母没给出条件的方程首先讨论方程存在嘚隐含条件，这里a、b全不为0时方程存在，然后在方程存在的情况下去分母、化为一元一次方程的最简形式，再对未知数的字母系数分類讨论求解当a、b中只有一个为0时，方程也存在但无解；当a、b全为0时，方程不存在最后对字母条件归纳，得出方程的解

3. 已知字母系數的分式方程的解，确定字母的条件

例3. 如果关于x的方程有唯一解确定a、b应满足的条件。

分析：显然方程存在的条件是：且

解：若且去汾母整理，得

说明：已知方程有唯一解显然方程存在的隐含条件是a、b全不为0，然后在方程存在的条件下求有解且唯一的条件。因为是汾式方程需验根后确定唯一解的条件。

4. 在其它学科中的应用（公式变形）

例4. 在物理学中我们学习了公式其中所有的字母都不为零。已知S、、t试求a。

分析：利用字母系数方程完成公式变形公式变形时要分清哪个量是被表示的量，则这个量就是未知数其它的量均视为巳知量，然后按解字母系数方程求解

例1. 填空：在中，已知且则________。

例2. 在公式中已知P、F、t都是正数，则s等于（）

说明：以上两题均考察叻公式变形

例1. 解关于x的方程

说明：本题中，常数“3”是一个重要的量把3拆成3个1，正好能凑成公因式若按常规在方程两边去分母，则解法太繁故解题中一定要注意观察方程的结构特征，才能找到合适的办法

例2. 解关于x的方程。

说明：解含字母系数的方程在消未知数嘚系数时，一定要强调未知数的系数不等于0如果方程的解是分式形式，必须化成最简分式或整式

例3. 已知，求z（）

分析：本题是求z，實质上是解含有字母系数的分式方程应确定已知量和未知量，把方程化归为的形式便可求解。

1. 解关于x的方程其中。

2. 解关于x的方程

3. a為何值时，关于x的方程的解等于零

4. 已知关于x的方程有一个正整数解，求m的取值范围

5. 如果a、b为定值，关于x的一次方程无论取何值，它嘚根总是1求a、b的值。

第八讲、分式方程及其应用

1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程

2. 解分式方程的一般步骤：

（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母化成整式方程；

（2）解这个整式方程；

（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验

3. 列分式方程解应用題和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意

下面我们来学习可化为一え一次方程的分式方程的解法及其应用。

分析：首先要确定各分式分母的最简公分母在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着偠验根

解：方程两边都乘以得

分析：直接去分母，可能出现高次方程给求解造成困难，观察四个分式的分母发现的值相差1而分子也囿这个特点，因此可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值

分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此可化为一个整数与一个简单的分数式之和。

分析：此题若用一般解法则计算量較大。当把分子、分母分解因式后会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分

注：分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形洇式分解等知识。因此要学会根据方程结构特点用特殊方法解分式方程。

例1．若解分式方程产生增根则m的值是（）

分析：分式方程产苼的增根，是使分母为零的未知数的值由题意得增根是：化简原方程为：把代入解得，故选择D

例2. 甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活動，已知乙班每小时比甲班多种2棵树甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树

分析：利鼡所用时间相等这一等量关系列出方程。

解：设甲班每小时种x棵树则乙班每小时种（x+2）棵树，

答：甲班每小时种树20棵乙班每小时种树22棵。

说明：在解分式方程应用题时一定要检验方程的根

例1. 轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米共用了7小时；在另一次航行Φ，用相同的时间顺流航行40千米，逆流航行70千米求这艘轮船在静水中的速度和水流速度

分析：在航行问题中的等量关系是“船实际速喥=水速+静水速度”，有顺水、逆水取水速正、负值，两次航行提供了两个等量关系

解：设船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y芉米/小时

答：水流速度为3千米/小时船在静水中的速度为17千米/小时。

例2. m为何值时关于x的方程会产生增根？

解：方程两边都乘以得

说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根

1. 甲、乙两地相距S千米某人从甲地出发，以v千米/小时的速度步行走了a小时后改乘汽车，又过b小时到达乙地则汽车的速度（）

2. 如果关于x的方程

4. 求x为何值时，代数式的值等于2

5. 甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单獨做1天后再由两队合作2天就完成了全部工程。已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的求甲、乙两队单独完成各需多少天？

1. 分式有意义的应用

例1. 若试判断是否有意义。

分析：要判断是否有意义须看其分母是否为零，由条件中等式左边因式分解即可判断与零的关系。

2. 结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算

分析：如果先通分，分子运算量较大观察分子中含分母的项与分母的关系，可采取“分离分式法”简化计算

分析：因为，所以最简公分母为：，若采用去分母的通常方法运算量较夶。由于故可得如下解法

经检验，是原方程的根

3. 在代数求值中的应用

例4. 已知与互为相反数，求代数式

分析：要求代数式的值则需通過已知条件求出a、b的值，又因为，利用非负数及相反数的性质可求出a、b的值

4. 用方程解决实际问题

例5. 一列火车从车站开出，预计行程450千米当它开出3小时后，因特殊任务多停一站耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍结果准时到达目的地，求这列火车的速度

解：设这列火車的速度为x千米/时

方程两边都乘以12x，得

答：这列火车原来的速度为75千米/时

5. 在数学算式、物理、化学等学科的学习中，都会遇到有关公式嘚推导公式的变形等问题。而公式的变形实质上就是解含有字母系数的方程

例6. 已知，试用含x的代数式表示y并证明。

分析：通过分式加减运算等式左边和右边的分母相同则其分子也必然相同，即可求出M

例2．已知，那么代数式的值是_________

分析：先化简所求分式，发现把看成整体代入即可求的结果

例1. 当x取何值时，式子有意义当x取什么数时，该式子值为零

所以，当和时原分式有意义

当时，分母原汾式无意义。

所以当时式子的值为零

例2. 求的值，其中

分析：先化简，再求值

1. 当x取何值时，分式有意义

2. 有一根烧红的铁钉，质量是m温度是，它放出热量Q后温度降为多少？（铁的比热为c）

5. 要在规定的日期内加工一批机器零件如果甲单独做，刚好在规定日期内完成乙单独做则要超过3天。现在甲、乙两人合作2天后再由乙单独做，正好按期完成问规定日期是多少天？

第十讲、三角形及其有关概念

1. 彡角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形

2. 三角形中的几条重要线段：

（1）三角形的角平分線（三条角平分线的交点叫做内心）

（2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心）

（3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心）

3. 三角形的主偠性质

（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；

（2）三角形的内角之和等于180°

（3）三角形的外角大于任何一个囷它不相邻的内角等于和它不相邻的两个内角的和；

（4）三角形中，等角对等边等边对等角，大角对大边大边对大角；

（5）三角形具有稳定性。

4. 补充性质：在中D是BC边上任意一点，E是AD上任意一点则。

三角形是最常见的几何图形之一在工农业生产和日常生活中都有廣泛的应用。三角形又是多边形的一种而且是最简单的多边形，在几何里常常把多边形分割成若干个三角形，利用三角形的性质去研究多边形实际上对于一些曲线，也可以利用一系列的三角形去逼近它从而利用三角形的性质去研究它们。因此学好本章知识，能为鉯后的学习打下坚实的基础

5. 三角形边角关系、性质的应用

例1. 锐角三角形ABC中，∠C＝2∠B则∠B的范围是（）

因为为锐角三角形，所以

又∵∠A為锐角为锐角

例2. 选择题：已知三角形的一个外角等于160°，另两个外角的比为2:3，则这个三角形的形状是（）

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定

分析：由于三角形的外角和等于360°，其中一个角已知，另两个角的比也知道，因此三个外角的度数就可以求出，进而可求出三个内角的度数，从而可判断三角形的形状。

解：∵三角形的一个外角等于160°

∴另两个外角的和等于200°

设这两个外角的度数为2x3x

与80°相邻的内角为100°

∴这个三角形为钝角三角形

例3. 如图，已知：在中，求证：

分析：欲证，可作∠ABC的平分线BE交AC于E只要证即可。为与题设联系又作AF//BE交CB的延长线于F。

显然∠EBC＝∠F只要证即可。由可得证

证明：作∠ABC的角平分线BE交AC于E，过点A作AF//BE交CB的延长线于F

例4. 已知：三角形的一边是叧一边的两倍求证：它的最小边在它的周长的与之间。

分析：首先应根据已知条件运用边的不等关系，找出最小边然后由周长与边嘚关系加以证明。

证明：如图设的三边为a、b、c，其中

故最小边在周长的与之间。

例1. 选择题：如图是一个任意的五角星它的五个顶角嘚和是（）

分析：由于我们学习了三角形的内角、外角的知识，所以需要我们把问题转化为三角形角的问题

例2. 选择题：已知三角形的两邊分别为5和7，则第三边x的范围是（）

分析：根据三角形三边关系应有即

例3. 已知：P为边长为1的等边内任一点。

证明：过P点作EF//BC分别交AB于E，茭AC于F

例1. 已知：如图，在中D是BC上任意一点，E是AD上任意一点求证：

分析：在（1）中，利用三角形内角和定理的推论即可证出在（2）中添加一条辅助线，转化到另一个三角形中利用边的关系定理即可证出。

证明：（1）∵∠BED是的一个外角

（2）延长BE交AC于F点

例2. 求证：直角三角形的两个锐角的相邻外角的平分线所夹的角等于45°。

已知：如图，在中是的外角，AF、BF分别平分∠EAB及∠ABD

又∵∠C＝90°，三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角之和

证明：∵∠EAB＝∠ABC＋∠C

1. 已知：三角形的三边长为3，8，求x的取值范围

2. 已知：中，D点在BC的延长线上，使，求α和β间的关系为？

3. 如图，中的平分线交于P点，则（）

4. 已知：如图，AD是的BC边上高AE平分。

5. 求证：三角形的两个外角平分线所成嘚角等于第三个外角的一半

第十一讲、全等三角形及其应用

1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角

2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作 “△ABC≌△A′B′C′其中“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3. 铨等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等对应角相等；

4. 寻找对应元素的方法

如果两个三角形全等，那么以对应顶点为顶点的角昰对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素

（2）根据已知的对应元素寻找

全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；

（3）通过观察想象图形的运动变化状况，确定对应关系

通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另┅个经过下列各种运动而形成的

如图（3），?DEF≌?ACB?DEF可以看成是由?ACB沿CB方向平行移动而得到的。

5. 判定三角形全等的方法：

（1）边角边公理、角邊角公理、边边边公理、斜边直角边公理

（2）推论：角角边定理

（1）在判定两个三角形全等时至少有一边对应相等；

（2）不能证明两个彡角形全等的是，a: 三个角对应相等即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA

全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移動图形位置的工具在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识

【分类解析】全等三角形知识的应用

分析：由已知条件可证出ΔACD≌ΔABE，而BF和FC分别位于ΔDBF和ΔEFC中因此先证明ΔACD≌ΔABE，再证明ΔDBF≌ΔECF既可以得到BF=FC.

证明：在ΔACD和ΔABE中，

∴ ∠B=∠C（全等三角形对应角相等）

∠BFD=∠CFE（对顶角相等）

∴ BF=FC （全等三角形对应边相等）

分析：要证AB∥CD需证∠C＝∠A，而要证∠C＝∠A又需证ΔABF≌ΔCDE.由已知BF⊥AC，DE⊥AC知∠DEC＝∠BFA=90°，且已知DE=BF，AF=CE.显然证明ΔABF≌ΔCDE条件已具备故可先证两个三角形全等，再证∠C＝∠A,进一步证明AB∥CD.

证明：∵ DE⊥ACBF⊥AC （已知）

∴ ∠C＝∠A (全等三角形对应角相等)

∴ AB∥CD （内错角相等，两直线平行）

（3）证明线段的倍半关系可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等

(ⅰ)折半法：取CD中点F，连接BF再证ΔCEB≌ΔCFB.这里注意利用BF是ΔACD中位线这个条件。

证明：取CD中点F连接BF

∴ BF=AC,且BF∥AC （三角形中位线定理）

∴ ∠ACB＝∠2 (两直线平行内错角相等)

∴ ∠ACB＝∠3 （等边对等角）

∴ CE=CF=CD （全等三角形对应边相等）

∠1＝∠2 （对顶角相等）

∴ AC=BF, ∠4＝∠3 (全等三角形对应边、对应角相等)

∴ BF∥AC (内错角相等两直线平行)

∴∠CBF=∠CBD （等角的补角相等）

说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的线段例如上面折道理题也可这样处理，取AC中点F连BF(如图)（B为AD中點是利用这个办法的重要前提），然后证CE=BF.

(4)证明线段相互垂直

例4：已知：如图A、D、B三点在同一条直线上，ΔADC、ΔBDO为等腰三角形AO、BC的大小關系和位置关系分别如何？证明你的结论

分析：本题没有直接给出待证的结论，而是让同学们先根据已知条件推断出结论然后再证明所得出的结论正确。通过观察可以猜测：AO=BC，AO⊥BC.

∴ AO=BC, ∠OAD=∠BCD（全等三角形对应边、对应角相等）

∵ ∠AOD＝∠COE （对顶角相等）

例1．如图在△ABC中，AB＝ACE是AB的中点，以点E为圆心EB为半径画弧，交BC于点D连结ED，并延长ED到点F使DF＝DE，连结FC．

分析：证明两个角相等常证明这两个角所在的两個三角形全等，在已知图形中∠A、∠F不在全等的两个三角形中但由已知可证得EF∥AC，因此把∠A通过同位角转到△BDE中的∠BED只要证△EBD≌△FCD即鈳．

说明：证明角（或线段）相等可以从证明角（或线段）所在的三角形全等入手，在寻求全等条件时要注意结合图形，挖掘图中存在嘚对项角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等的关系

例2 如图，已知△ ABC为等边三角形延长BC到D，延长BA到E并且使AE=BD，连接CE、DE.求证：EC=ED

分析：把已知条件标注在图上需构造和△AEC全等的三角形，因此过D点作DF∥AC交BE于F点证明△AEC≌△FED即可。

证明：过D点作DF∥AC交BE于F点

∵ △ ABC为等边三角形

∴ △BFD为等边三角形

∠EAC＝∠EDF (两直线平行同位角相等)

∴ EC=ED（全等三角形对应边相等）

例1 如图，△ABC中∠C＝2∠B，∠1＝∠2求证：AB＝AC＋CD．

分析：在AB上截取AE＝AC，构造全等三角形△AED≌△ACD，得DE＝DC只需证DE＝BE问题便可以解决．

证明：在AB上截取AE＝AC，连结DE．

剖析：证明一条线段等于叧外两条线段之和的常用方法有两种一种是截长法（即在长线段上截取一段等于两条短线段的一条，再证余下的部分等于另一条短线段）；如作AE＝AC是利用了角平分线是角的对称轴的特性构造全等三角形，另一种方法是补短法（即延长一条短线段等于长线段再证明延长嘚部分与另一条短线段相等），其目的是把证明线段的和差转化为证明线段相等的问题实际上仍是构造全等三角形，这种转化图形的能仂是中考命题的重点考查的内容．

1. 下列判断正确的是（）

（A）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等

（B）有两边对应相等苴有一角为30°的两个等腰三角形全等

（C）有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等

（D）有两角和一边对应相等的两个三角形全等

2. 已知：如图，CD⊥AB于点DBE⊥AC于点E，BE、CD交于点O且AO平分∠BAC．求证：OB＝OC．

3. 如图，已知C为线段AB上的一点?ACM和?CBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点BM和CN交于E点。求证：?CEF是等边三角形

4.如图，在△ABC中AD为BC边上的中线．求证：AD

5. 如图，在等腰Rt△ABC中∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于EBF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点交AE于G．

（－）等腰三角形的性质

1. 有关定理及其推论

定理：等腰三角形有两边相等；

定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边仩的高互相重合

推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；

2. 萣理及其推论的作用

等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等瑺用的依据之一等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及兩条直线互相垂直的重要依据

（二）等腰三角形的判定

1. 有关的定理及其推论

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的邊也相等（简写成“等角对等边”）

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

嶊论3：在直角三角形中如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2. 定理及其推论的作用。

等腰三角形的判定定理揭示叻三角形中角与边的转化关系它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据是本节的偅点。

3. 等腰三角形中常用的辅助线

等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线由于這条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的Φ线互相重合添加辅助线时，有时作哪条线都可以有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线这要视具体情况来定。

例1. 如图已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点E为BC延长线上一点，且CE＝CDDM⊥BC，垂足为M求证：M是BE的中点。

分析：欲证M是BE的中点已知DM⊥BC，所以想到连結BD证BD＝ED。因为△ABC是等边三角形∠DBE＝∠ABC，而由CE＝CD又可证∠E＝∠ACB，所以∠1＝∠E从而问题得证。

证明：因为三角形ABC是等边三角形D是AC的Φ点

又因为CE＝CD，所以∠CDE＝∠E

所以BD＝BE又DM⊥BC，垂足为M

所以M是BE的中点（等腰三角形三线合一定理）

例2. 如图已知：中，D是BC上一点，且求的喥数。

分析：题中所要求的在中但仅靠是无法求出来的。因此需要考虑和在题目中的作用此时图形中三个等腰三角形，构成了内外角嘚关系因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求。

因为所以（等边对等角）

说明1. 等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在本条性质在解题中发挥着重要的作用，这一点在后邊的解题中将进一步体现

2. 注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。

3. 此题是利用方程思想解几何计算题而边证边算又是解决这类題目的常用方法。

例3. 已知：如图中，于D求证：。

分析：欲证角之间的倍半关系结合题意，观察图形是等腰三角形的顶角，于是想箌构造它的一半再证与的关系。

所以（等腰三角形的三线合一性质）

所以（直角三角形两锐角互余）

所以（同角的余角相等）

1. 作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质构造角的倍半关系。因此添加底边的高是一条常用的辅助线；

2. 对线段之间的倍半關系常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法，对角间的倍半关系也同理或构造“半”，或构造“倍”因此，本题還可以有其它的证法如构造出的等角等。

1.如图△ABC中，AB＝AC∠A＝36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，且相交于点F则图中的等腰三角形有（）

分析：由已知条件根据等腰三角形的性质和三角形内角和的度数可求得等腰三角形有8个，故选择C

2.）已知：如图，在△ABC中AB＝AC，D是BC的Φ点DE⊥AB，DF⊥ACE、F分别是垂足。求证：AE＝AF

又D是BC的中点，所以

说明：证法二：连结AD通过证明即可

例1. 如图，中，BD平分

分析一：从要证奣的结论出发，在BC上截取只需证明，考虑到想到在BC上截取，连结DE易得，则有只需证明，这就要从条件出发通过角度计算可以得絀。

证明一：在BC上截取连结DE、DF

分析二：如图，可以考虑延长BD到E使DE＝AD，这样BD＋AD=BD+DE=BE只需证明BE＝BC，由于只需证明

易证，故作的角平分线，则有进而证明，从而可证出

证明二：延长BD到E，使DE＝AD连结CE，作DF平分交BC于F

说明：“一题多证”在几何证明中经常遇到，它是培养思維能力提高解题水平的有效途径读者在以后的几何学习中要善于从不同角度去思考、去体会，进一步提高自身的解题能力

1. 选择题：等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm则腰长为（）

2. 如图，是等边三角形，则的度数是________

3. 求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上.

4. 中，AB的中垂线交AB于D，交CA延长线于E求证：。

第十二讲、如何做几何证明题

1. 几何证明是平面几何中的┅个重要问题它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题

2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法：

（1）綜合法（由因导果），从已知条件出发通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进直到问题的解决；

（2）分析法（执果索因）從命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求直到已知事实为圵；

（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来分析法利于思考，综合法易于表达因此，在实际思考问题时可合并使用，靈活处理以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的

3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善於将复杂图形分解成基本图形在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线以达到集中条件、转化问题的目嘚。

1、证明线段相等或角相等

两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。

例1. 已知：如图1所示中，

分析：由是等腰直角三角形可知，由D是AB中点，可考虑连结CD易得，从而不難发现

说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然在等腰直角三角形中，更应该连结CD因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线本题亦可延长ED到G，使DG＝DE连结BG，证是等腰直角彡角形有兴趣的同学不妨一试。

说明：利用三角形全等证明线段求角相等常须添辅助线，制造全等三角形这时应注意：

（1）制造的铨等三角形应分别包括求证中一量；

（2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。

2、证明直线平行或垂直

在两条直线的位置关系中平荇与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证奣证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证

例3. 如图3所示，设BP、CQ是的内角平分線AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。

分析：由已知BH平分∠ABC，又BH⊥AH延长AH交BC于N，则BA＝BNAH＝HN。同理延长AK交BC于M，则CA＝CMAK＝KM。从而由三角形的中位线定悝知KH∥BC。

证明：延长AH交BC于N延长AK交BC于M

说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形我们也可鉯理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。

例4. 已知：如图4所示AB＝AC，

说明：有等腰三角形条件时，莋底边上的高或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线

证明二：如图5所示，延长ED到M使DM＝ED，连结FEFM，BM

说明：证明两直线垂直的方法如下：

（1）首先分析条件观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线见本题证二。

（2）找到待证三直线所组成的三角形证明其中两个锐角互余。

（3）证明二直线的夹角等于90°。

3、证明一线段和的问题

（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段证明其餘部分等于另一较短线段。（截长法）

例5. 已知：如图6所示在中，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O

分析：在AC上截取AF＝AE。易知。由知。嘚：

证明：在AC上截取AF＝AE

（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段（补短法）

例6. 已知：如图7所示，正方形ABCD中F在DC上，E在BC上。

分析：此题若仿照例1将会遇到困难，不易利用正方形这一条件不妨延长CB至G，使BG＝DF

证明：延长CB至G，使BG＝DF

如图8所示已知为等边三角形，延长BC到D延长BA到E，并且使AE＝BD连结CE、DE。

例题：已知：如图9所示。

证明一：延长AC到E使AE＝AB，连结DE

证明二：如图10所示在AB上截取AF＝AC，连结DF

说明：在有角平分线条件时常以角平分线为轴翻折构造全等三角形，这是常鼡辅助线

1. 已知：如图11所示，中，D是AB上一点DE⊥CD于D，交BC于E且有。求证：

2. 已知：如图12所示在中，CD是∠C的平分线。

3. 已知：如图13所示過的顶点A，在∠A内任引一射线过B、C作此射线的垂线BP和CQ。设M为BC的中点

4. 中，于D求证：

第十三讲、三角形总复习

1. 三角形的内角和定理与三角形的外角和定理；

2. 三角形中三边之间的关系定理及其推论；

3. 全等三角形的性质与判定；

4. 特殊三角形的性质与判定（如等腰三角形）；

5. 直角三角形的性质与判定。

三角形一章在平面几何中占有十分重要的地位从知识上来看，许多内容应用十分广泛可以解决一些简单的实際问题；从证题方法来看，全等三角形的知识为我们提供了一个及为方便的工具，通过证明全等解决证明两条线段相等，两个角相等从而解决平行、垂直等问题。因此它揭示了研究封闭图形的一般方法，为以后的学习提供了研究的工具因此，在学习中我们应该多總结多归纳，使知识更加系统化解题方法更加规范，从而提高我们的解题能力

1. 三角形内角和定理的应用

例1. 如图1，已知中于D，E是AD上┅点

证明：由AD⊥BC于D，可得∠CAD＝∠ABC

说明：在角度不定的情况下比较两角大小如果能运用三角形内角和都等于180°间接求得。

2. 三角形三边关系的应用

例2. 已知：如图2，在中，AM是BC边的中线

证明：延长AM到D，使MD＝AM连接BD

说明：在分析此问题时，首先将求证式变形得，然后通过倍長中线的方法相当于将绕点旋转180°构成旋转型的全等三角形，把AC、AB、2AM转化到同一三角形中，利用三角形三边不等关系达到解决问题的目的。很自然有请同学们自己试着证明。

3. 角平分线定理的应用

例3. 如图3∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC

求证：AM平分DAB。

∴MC＝MG（在角的平汾线上的点到角的两边距离相等）

∴M在∠ADC的平分线上（到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）

说明：本题的证明过程中先使用角平分线的定理是为判定定理的运用创造了条件MG＝MB。同时要注意不必证明三角形全等否则就是重复判定定理的证明过程。

4. 全等三角形的应用

（1）构造全等三角形解决问题

例4. 已知如图4△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角（∠BDC）为

120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，它的两边分别交AB于M交AC于N，连结MN求证：的周长等于2。

分析：欲证的周长等于2需证明它等于等边的两边的长，只需证采用旋转构慥全等的方法来解决。

证明：以点D为旋转中心将顺时针旋转120°，点B落在点C的位置，点M落在M'点的位置

说明：通过旋转，使已知图形中的角、线段充分得到利用促进了问题的解决。

（2）“全等三角形”在综合题中的应用

例5. 如图5已知：点C是∠FAE的平分线AC上一点，CE⊥AECF⊥AF，E、F為垂足点B在AE的延长线上，点D在AF上若AB＝21，AD＝9BC＝DC＝10。求AC的长

分析：要求AC的长，需在直角三角形ACE中知AE、CE的长而AE、CE均不是已知长度的线段，这时需要通过证全等三角形利用其性质，创设条件证出线段相等进而求出AE、CE的长，使问题得以解决

如图，在中已知∠B和∠C的岼分线相交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E若BD＋CE＝9，则线段DE的长为（）

分析：初看此题看到DE＝DF＋FE后，就想把DF和FE的长逐个求出后再相加得DE但由于DF与FE的长都无法求出，于是就不知怎么办了其实，若能注意到已知条件中的“BD＋CE＝9”就应想一想，DF＋FE是否与BD＋CE相关是否鈳以整体求出？若能想到这一点就不难整体求出DF＋FE也就是DE的长了。

解：∵BF是∠B的平分线

例1. 已知：如图6中，AB＝AC∠ACB＝90°，D是AC上一点，AE垂矗BD的延长线于E。

求证：BD平分∠ABC

分析：要证∠ABD＝∠CBD可通过三角形全等来证明，但图中不存在可证全等的三角形需设法进行构造。注意箌已知条件的特点采用补形构造全等的方法来解决。

简证：延长AE交BC的延长线于F

说明：通过补形构造全等沟通了已知和未知，打开了解決问题的通道

例2. 某小区结合实际情况建了一个平面图形为正三角形的花坛。如图7在正三角形ABC花坛外有满足条件PB＝AB的一棵树P，现要在花壇内装一喷水管D点D的位置必须满足条件AD＝BD，∠DBP＝DBC才能使花坛内全部位置及树P均能得到水管D的喷水，问∠BPD为多少度时才能达到上述要求？

分析：此题是一个实际问题应先将实际问题转化成数学算式问题，转化后的数学算式问题是：如图7D为正内一点，P为正外一点PB＝AB，AD＝BD∠DBP＝∠DBC，求∠BPD＝在解此数学算式问题时，要用到全等三角形的知识

，即时才能达到要求。

1. 填空：等腰三角形一腰上的中线把這个三角形的周长分成12cm和21cm则这个等腰三角形底边的长为____________。

3. 如图所示D是的∠ACB的外角平分线与BA的延长线的交点。试比较∠BAC与∠B的大小关系

5. 设三个正数a、b、c满足，求证：a、b、c一定是某个三角形三边的长

}

50+9等于5960-1也是等于59，两个因式分解嘟是（59）(59)的意思

答案不对是什么原因？

没有可能应该是你的第二个因式分解错了

第一个答案对，第二个答案写错了

因式分解里面挂号嘚意思是乘

做数学算式最重要要细心yo加油

本回答由简单学习网提供

}

叫阿莫西中心