一、利用极限四则运算法则求极限

函数极限的四则运算法则：设有函数若在自变量f（x），g（x）的同一变化过程中有limf（x）=A，limg（x）=B则

（类似的有数列极限四则运算法则）现以讨论函数为例。
对于和、差、积、商形式的函数求极限自然会想到极限四则运算法则，但使用这些法则往往要根据具体的函数特点，先对函数做某些恒等变形或化简再使用极限的四则运算法则。方法有：

对于初等函数f（x）的极限f（x）若f（x）在x点处的函数值f（x）存在，则f（x）=f（x）
直接代入法的本质就是只要将x=x代入函数表达式，若有意义其极限就是该函数值。

2.无穷大与无穷小的转换法

在相同嘚变化过程中若变量不取零值，则变量为无穷大量?圳它的倒数为无穷小量对于某些特殊极限可运用无穷大与无穷小的互为倒数关系解決。

（1）当分母的极限是“0”而分子的极限不是“0”时，不能直接用极限的商的运算法则而应利用无穷大与无穷小的互为倒数的关系，先求其的极限从而得出f（x）的极限。

（2）当分母的极限为∞分子是常量时，则f（x）极限为0

对于极限是“”型，不能直接用极限的商的运算法则必须先将分母和分子同时除以一个适当的无穷大量x。

二、利用夹逼准则求极限

函数极限的夹逼定理：设函数f（x）g（x），h（x）在x的某一去心邻域内（或|x|＞N）有定义，若①f（x）≤g（x）≤h（x）；②f（x）=h（x）=A（或f（x）=h（x）=A）则g（x）（或g（x））存在，且g（x）=A（或g（x）=A）（类似的可以得数列极限的夹逼定理）
利用夹逼准则关键在于选用合适的不等式。

三、利用单调有界准则求极限

单调有界准则：單调有界数列必有极限首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。

四、利用等价无穷小代换求极限

等價无穷小的代换定理：设α（x）α′（x），β（x）和β′（x）都是自变量x在同一变化过程中的无穷小，且α（x）～α′（x），β（x）～β′（x），lim存在则lim=lim。

五、利用无穷小量性质求极限

在无穷小量性质中特别是利用无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量的性质求极限。

六、利用两个重要极限求极限

使用两个重要极限=1和（1+)=e求极限时关键在于对所给的函数或数列作适当的变形，使之具有相应的形式囿时也可通过变量替换使问题简化。

七、利用洛必达法则求极限

如果当x→a（或x→∞）时两个函数f（x）与g（x）都趋于零或趋于无穷小，则鈳能存在也可能不存在，通常将这类极限分别称为“”型或“”型未定式对于该类极限一般不能运用极限运算法则，但可以利用洛必達法则求极限