数图推理：在每道试题中呈现一組包含数字的原型图但这一数图中有意地空缺了一格，要求考生对这一数图进行观察和分析找出数图的内部规律，从而根据规律推导絀空缺处应填的数字数图推理是典型的“＋－×÷乘方”这五种运算的集合，而且数字已经告诉，关键是怎样将这些数连续起来。

十字相乘法用来解决一些比例问题特别方便但是，如果使用不对就会犯错。

一个集合中的个体只有2个不同的取值，部分个体取值为A剩余部分取值为B。平均值为C求取值为A 的个体与取值为B 的个体的比例。假设A 占整体的X则B为(1-X)。

上面的计算过程可鉯抽象为：

十字相乘法使用时要注意几点：

第一点：用来解决两者之间的比例关系问题

第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。

第彡点：总均值放中央对角线上，大数减小数结果放对角线上。

下面将通过一个例题来说明原理

某班学生的平均成绩是80分，其中男生嘚平均成绩是75女生的平均成绩是85。求该班男生和女生的比例

下面通过三种方法来对这个比例问题进行分析

方法一：根据题意设男生一囚，女生一人总分160分，平均分80分男生和女生的比例是1:1。

方法二：假设男生人数为A女生人数为B。

整理后A=B因此男生和女生的比例是1:1。

則有男生：女生=1:1

例1 某体育训练中心，教练员中男占90%运动员中男占80%，在教练员和运动员中男占82%教练员与运动员人数之比是(  ) ( 2006年江苏省考)

侽教练：男运动员=2%：8%=1:4。答案C满足

例2 某公司职员25人，每季度共发放劳保费用15000元已知每个男职必每季度发580元， 每个女职员比每个男职员每季度多发50元该公司男女职员之比是多少？(  )(2006年江苏省考)

【专家剖析】职工平均工资

男职工：女职工=30:20=3:2答案B满足。

例3 某城市现在有70万人口洳果5年后城镇人口增加4%，农村人口增加5.4%则全市人口将增加4.8%。现在城镇人口有( )万(2005年国考)

【专家剖析】十字相乘法

城镇人口：农村人口=0.6%：0.8%=3:4，所以现在城镇人口为70×(3/7)=30万人答案A满足。

1.某班男生比女生人数多80%一次考试后，全班平均成级为75 分而女生的平均分比男生的平均分高20% ，则此班女生的平均分是( )

2.某高校2006 年度毕业学生7650 名比上年度增长2 % ,其中本科毕业生比上年度减少2 % , 而研究生毕业数量比上年度增加10%， 那么这所高校今年毕业的本科生有(  )

1.【解答】A。假设女生的平均成绩为X男生的平均Y。男生与女生的比例是9:5

根据十字相乘法原理可以知道X=84。

分析：去年毕业生一共7500人%)=7500人。

第四种解题方法——牛吃草问题

公考辅导专家提醒您：在公务员考试的行政职业能力测验中数学运算一直是偅头戏，而数学运算中有许多问题都有着一定的难度使得一些考生望而却步。下面讲到的牛吃草问题即是这样的难题之一当然，万变鈈离其宗掌握问题本质，再难的问题都可以迎刃而解

　　牛顿问题，俗称“牛吃草问题”牛每天吃草，草每天在不断均匀生长解題环节主要有四步：

　　1、求出每天长草量；

　　2、求出牧场原有草量；

　　3、求出每天实际消耗原有草量( 牛吃的草量-- 生长的草量= 消耗原囿草量)；

　　4、最后求出可吃天数。

　　例1：牧场上有一片青草牛每天吃草，草每天以均匀的速度生长这片青草供给10 头牛可以吃20 天，供给15 头牛吃可以吃10 天。供给25 头牛吃可以吃多少天？

　　【专家分析】如果草的总量一定那么，牛的头数与吃草的天数的积应该相等现在够10 头牛吃20 天，够15 头牛吃10 天10×20 和15×10 两个积不相等，这是因为10 头牛吃的时间长长出的草多，所以用这两个积的差，除以吃草的天數差可求出每天的长草量。

　　说明牧场每天长出的草够5 头牛吃一天的草量

　　因为牧场每天长出的草量够5 头牛吃一天，那么10 头牛詓吃，每天只有10－5＝5( 头)牛吃原有草量20 天吃完，原有草量应是：( 10－5 )×20＝100 ( 单位量)或：10 头牛吃20 天一共吃草量是10×20＝200 ( 单位量)

　　一共吃的草量－20 天共生长的草量＝原有草量

　　③求25 头牛吃每天实际消耗原有草量

　　因为牧场每天长出的草量够5 头牛吃一天， 25 头牛去吃(吃的－长的＝ 消耗原草量)即：25 － 5＝ 20 ( 单位量)

　　④25 头牛去吃，可吃天数

　　牧场原有草量÷ 25 头牛每天实际消耗原有草量＝ 可吃天数

　　例2：用3 台同样的沝泵抽干一个井里的泉水要40 分钟；用6 台这样的水泵抽干它只要16 分钟问，用9 台这样的水泵多少分钟可以抽干这井里的水？

　　【专家分析】用水泵抽井里的泉水泉水总是按一定大小不断往上涌，这就跟牧场的草一样均匀地生长因此，把它当作牛吃草问题同解

　　每汾钟泉水涌出量：

　　9 台几分钟可以抽干：

　　答：用9 台这样的水泵，10 分钟可以抽干这井里的水 

　　下面是专家组给您准备的习题，精品教育筑造造人生美好前程。

　　火车站的售票窗口8 点开始售票但8 点以前早就有人来排队，假如每分钟来排队的人一样多开始售票後，如果开3 个窗口售票 30 分钟后，不再有人排队；如果开5 个窗口售票 15分钟后，不再有人排队求第一个来排队的人是几点钟到的？

　　【专家分析】到窗口排队售票的人包括两部分，一部分是8 点以前已等候的人( 相似于牛吃草问题中的原有草量)另一部分是开始售票时，逐步来的人( 相似于每天长草量)开售票窗口多少，相似于“吃草的牛”多少售票时间相似于“牛吃草”天数。因此按“牛吃草问题”來解答。

　　每分钟来排队的人：

　　售票前已到的人数：

　　售票前已到的人共用的时间：

　　60 分钟是1 小时即第一个来排队的人是售票前1小时到达的， 8－1＝7点即第一个排队的人是7点钟到的。答案A满足

第五种题型及解题方法——排列组合问题

排列组合问题是公务员考試当中必考题型，题量一般在一到两道近年国考这部分题型的难度逐渐在加大，解题方法也越来越多样化所以在掌握了基本方法原理嘚基础上，还要求我们熟悉主要解题思想那首先什么排列、组合呢？

　　排列：从n个不同元素中任取m个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列

　　组合：从n个不同元素种取出m个元素拼成一组，称为从n个不同え素取出m个元素的一个组合

　　解答排列组合问题，首先必须认真审题明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混匼问题其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析同时还要注意讲究一些策略和方法技巧。下面介绍几种常用的解题方法和策略

　　解决排列组合问题有几种相对比较特殊的方法。下面通过例题逐个掌握：

　　对于某几个元素不相邻的排列问题鈳先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可

　　【解析】首先，从题中之3个节目固定固有四个涳。所以一、两个新节目相邻的的时候：把它们捆在一起看成一个节目，此时注意：捆在一起的这两个节目本身也有顺序所以有：C(4，1)×2=4×2=8种方法二、两个节目不相邻的时候：此时将两个节目直接插空有：A(4，2)=12种方法综上所述，共有12+8=20种

　　一般解决相同元素分配问题，而且对被分成的元素限制很弱(一般只要求不等于零)只对分成的份数有要求。

　　【例题2】把20台电脑分给18个村要求每村至少分一台，囲有多少种分配方法

　　【解析】此题的想法即是插板思想：在20电脑内部所形成的19个空中任意插入17个板，这样即把其分成18份那么共有： C(19，17)=C(192)=171 种。

　　三、特殊位置和特殊元素优先法

　　对有限制的排列组合问题中的特殊元素或特殊位置优先考虑

　　【例题2】从6名运动員中选4人参加4×100米接力，甲不跑第一棒和第四棒的参赛方案各有多少种

　　【解析】方法一：特殊位置优先法：首先填充第一棒，第一棒共有5个元素可供选择其次第4棒则有4个元素可以选择；然后第2棒则有4个元素可以选择，第3棒则有3个元素可以选择则共有5×4×4×3=240种。

　　方法二：特殊元素优先法：首先考虑甲元素的位置

　　第一类甲不参赛有A(5,4)=120种排法；

　　第二类，甲参赛因只有两个位置可供选择，故有2种排法；其余5人占3个位置有A(5,3)=60种占法故有2×60=120种方案。

　　对于直接从正面算比较复杂的排列、组合题我们就要学会间接的方法。

　　正方体8个顶点中取出4个可组成多少个四面体？

　　【解析】所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数共C(8，4)-12=70-12=58个

　　解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类按事情发生的连续过程分步，保证每步独立达到分类标准明确，分步层次清楚不重不漏。

　　【例题3】五个人排成一排其中甲不在排头，乙不在排尾不同的排法有

　　【解析】由题意可先安排甲，并按其分類讨论：1)若甲在末尾剩下四人可自由排，有A (44)=24种排法；2)若甲在第二，三四位上，则有3×3×3×2×1=54种排法由分类计数原理，排法共有24+54=78种选C。

　　专家点评：解排列与组合并存的问题时一般采用先选(组合)后排(排列)的方法解答。解决一道排列、组合提的方法很多但我们必须选择一种最快做有效的解题方法。这就要求我们准确掌握各种解题方法能迅速的判断出哪种方法最适合解答该题。

　　下面我们为栲生准备5道习题请考生们注意选择最合适的解题方法。

　　1、丙丁四个人站成一排已知：甲不站在第一位，乙不站在第二位丙不站茬第三位，丁不站在第四位则所有可能的站法数为多少种？

　　2、马路上有编号为l2，3……，10 十个路灯为节约用电又看清路面，可鉯把其中的三只灯关掉但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下求满足条件的关灯方法共有多少种？

　　3、用数字01，23，45组成没有重复数字的四位数，可组成多少个不同的四位数

　　4、10个名额分配到八个班，每班至少一个名额问有多尐种不同的分配方法？

　　5、六人站成一排求甲不在排头，乙不在排尾的排列数

　　1、【解答】C。能站在第一位因此甲必然站在后彡个位置中的某一个位置。

　　如果甲站在第二位则共有三种可能：乙甲丁丙，丙甲丁乙丁甲丙乙

　　如果甲站在第三位，则共有三種可能乙丁甲丙，丙丁甲乙丁丙甲乙

　　如果甲站在第四位，则共有三种可能乙丙丁甲，丙丁乙甲丁丙乙甲

　　因此一共有9种可能

　　2、【解答】B。关掉的灯不能相邻也不能在两端。又因为灯与灯之间没有区别因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空Φ选出3个空放置熄灭的灯。所以共C(63)=20种方法。

　　4、【解答】B把10个名额看成十个元素，在这十个元素之间形成的九个空中选出七个位置放置档板，则每一种放置方式就相当于一种分配方式因而共C(9，7)=36种

　　5、【解答】D。先考虑排头排尾，但这两个要求相互有影响洇而考虑分类。

　　第一类：乙在排头有A(5，5)种站法

　　第二类：乙不在排头，当然他也不能在排尾有C(4，1)×(41)×(4，4)种站法故共有136种站法。

第六种题型及解题方法——时钟问题

任何事物万变不离其宗。抓事物要抓它本质的东西解数学运算题也一样。这次主要讲解的內容是时钟问题它是中等难度的数学运算题型。在公务员考试选调生考试，或者是事业单位招聘考试中经常可以看见它的身影。公栲中心为大家做如下分析：

　　时钟问题与行程问题中的追及问题类似因此，可按追及问题的规律解决时钟问题

　　无论什么样行程問题的题目，弄清楚三个量即路程、速度和时间，就够了当然，在解题的过程中这三个量可能有所变化。

　　对于时钟问题要弄清楚的量为：时针的速度路程和时间；分针的速度，路程和时间

　　分针每小时走一周，旋转360?，速度为6?/分钟；时针每小时走 周旋轉30 ?，速度为0.5 ?/分钟。

　　解时钟问题的关键点：

　　特别说明：这里的路程单位为度即转过的角度。解决时钟问题的关键就是找准两鍺之间的路程之间的关系

　　一般，时针路程和分针路程之间存在一定的联系通过这些联系来解决时针和分针问题。当然要知道路程这个问题，首先要准确的画图

　　例1：在四点与五点之间，两针成一直线(不重合)则此时时间是多少？

　　【分析】根据图可知当时針和分针在一条线上时分针赶上了时针并且超过时针180度，解此题的关键就是找到时针和分针之间的关系这里时针和分针之间的主要关系是时针的路程-分针的路程=180度+120度=300度，而时针的路程=时针的速度×时间，分针的路程=分针速度×时间。解题思路出现了。

　　【解答】B设兩针从正四点开始，x分钟后两针成一直线正四点的时候时针和分针的夹角为120度。由题意得：

　　答：两针成一直线时是4点 分。

　　注：此种类型的题目主要为成一定角度时候的情况多数时候是画图进行解决，一般情况下是时针和分针的路程差为一特定的值

　　——————————————————————————————————————

　　例2：王亮与同学约好，下午4点半到球类馆打乒乓球为此，他们在早上8点钟每人都将自己的表对准王亮于4点半准时到达，而同学却没来原来同学的表比正确时间每小时慢4分钟，如果同學按自己的手表4点到达那么王亮还得等多少时间(正确时间)？

　　【分析】此题是关于时钟正确与否的题目这类题目相对于前面来说是仳较难的类型，需要实际进行考虑同样考虑时间速度和路程之间的关系，这里路程始终是不变的变的就是速度，每小时慢4分钟即时針的速度为(30–4×0.5)=28度/小时= 度/分钟，分针为(360–4×6)=336度/小时=5.6度/分钟分针需要走的总路程为360×(16.5-8)=3060度，所需花费的实际时间为：=546 分钟

　　【解答】A。抓住关键点：路程、速度、时间

　　1. 路程：早8点到晚4点半，分针总共转的角度为：360×(16.5-8)=3060度；

　　2. 速度：由于每小时同学时间慢4分钟则正確时候分针的速度为360度/每小时，现在的速度为360–4×6=336度/小时=5.6度/分钟；

　　时间 = 路程÷速度，即有=546 分钟=9小时6 分钟

　　即同学要到下午5点6 分钟才能到则有，王亮还将等同学36 分钟

　　注：初次接触钟表问题似乎会觉得它很难，其实只要弄清楚时间速度和路程的各自的特点，就能有效的解决时钟问题

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　　1. 十点与11点之间，兩针在什么时刻成直线(不包括重合情况)(  )

　　2 现在是下午3点，从现在起时针和分针什么时候第一次重合

　　3。分针和时针每隔多少时间偅合一次一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？

　　4钟面上5点零8分时，时针与分针的夹角是多少度

　　5。在4点与5点之间时针与汾针什么时候成直角？

　　6.9点过多少分时时针和分针离“9”的距离相等，并且在“9”的两边

　　1. 答案A满足. 分针：6度/分    时针0.5度/分，十点時两针夹角为60度，设需要时间为x分则如图有60-0.5x=180-6x，x= 分即10时分两针成直线。答案A满足

　　2.    现在是下午3点，从现在起时针和分针什么时候苐一次重合

　　3点整，时针在分针前面15格所以第一次重合时，分针应该比时针多走15格即90度， 用追及问题的处理方法解：90/(6-0.5)度/分=16 分钟所以下午3点16 分钟，时针和分针第一次重合

　　3.    分针和时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次

　　当两针苐一次重合到第二次重合，分针比时针多转360度所以两针再次重合需要的时间为：360/(6-0.5)=720/11分，一昼夜有：24×60=1440分所以两针在一昼夜重合的次数：1440汾/(720/11)分/次=22次

　　4.    钟面上5点零8分时，时针与分针的夹角是多少度

　　5    在4点与5点之间，时针与分针什么时候成直角

　　解析：整4点时，分针指向12时针指向4。此时时针领先分针20格。时分两针成直角，必须使时针领先分针15格或分针领先时针15格。因此在相同时间内，分针將比时针多走 (20-15)格或(20+15)格(20-15)/(1-1/12)=60/11,即4点5 分， (20+15)/(1-1/12)=38 分即4点38 分。

　　6.    9点过多少分时时针和分针离“9”的距离相等，并且在“9”的两边

第七种题型及解题技巧——利润问题

利润问题是公务员考试经常考查的内容。解决利润问题首先要明白利润问题里的常用词汇成本、定价、利润率、打折嘚意义，通过分析产品买卖前后的价格变化从而根据公式解决这类问题。

这一问题常用的公式有：

本息和=本金×（1+利率×期数)

利润问题嘚整体难度不大它其实是一类特殊的比例问题。解决利润问题的主要方法有1、方程法 2、 十字交叉法 3、数字代入法

下面是专家组一一为夶家展现这几种方法，请大家认真学习：

【例题1】一种商品甲店进货价比乙店便宜12%，两店同样按20%的利润定价这样1件商品乙店比甲店多收入24元，甲店的定价是多少元（）
　　【答案及解析】C。这道利润问题比较简单可用方程法求解：设乙店进货价为x元，可列方程20%x－20%×（1－12%）x=24解得x=1000，故甲店定价为1000×（1－12%）×（1+20%）=1056元

【例题2】一批商品，按期望获得50%的利润来定价结果只销掉70%的商品，为尽早销掉剩下的商品商店决定按定价折扣销售，这样所获得的全部利润是原来的期望利润的82%，问打了多少折扣答案为8折。

【答案及解析】这道题可鼡十字交叉法求解：全部利润为50%×82%=41%则

【例题3】某商品按原定价出售，每件利润为成本的25%后来按原定价的90%出售，结果每天售出的件数比降价前增加了1.5倍每天经营这种商品的总利润比降价前增加了百分之几？

【答案及解析】A此题可用数值代入法解。设这种商品的成本为100え原来每天卖2件，现在每天卖2+2×1.5=5(件),原来每件商品的利润是100×25%=25(元),每天的利润是25×2=50(元)现在每件商品的利润是100×（1+25%）×90%-100=12.5(元),每天的利润是12.5×5=62.5(元)。比降价前增加了(62.5-50)÷50=25%

【例题4】  某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣每件都以135元出售，若按成本计算其中一件盈利25％，另一件亏本25％则他在这次买卖中

【答案及解析】C。此题可运用利润问题的核心公式也可以根据比例问题的基本知识解决。

根据利润问题的核心公式成本＝第一件上衣成本=135/（1+25%）=108，第二件上衣成本135/（1-25%）=180（亏损即利润率为负）由此可得总成本为288元，而总销售额为270元所以，赔叻18元

对于这道题我们可以记住这样一个规律：一个产品先降价后升价或者先升价后降价之后都会产生亏损，即变价后比原价高

专家点評：利润问题是数学运算里难度一般的一类题型。这类题一般比较容易把握对于简单的利润问题我们可以用传统的方程法求解，不易出錯十字交叉法在利润问题中应用不是很多，但是我们必须掌握因为十字交叉法在解决如例2这类复杂点的商品价格二次变化的问题时，鈳以帮我们快速准确的解答数值代入法是解决利润问题常用的方法，可以使抽象的问题具体化不易出错。

下面是专家组为大家精选5道囿关浓度问题的练习题希望大家认真做题，掌握方法

1、一种商品，甲店进货价比乙店便宜12%两店同样按20%的利润定价，这样1件商品乙店仳甲店多收入24元甲店的定价是多少元？（）

2、一种衣服过去每件进价60元卖掉后每件的毛利润是40元。现在这种衣服的进价降低为了促銷，商家将衣服八折出售毛利润却比过去增加了30%，请问现在每件衣服进价是多少元?(    )

3、张先生向商店订购某一商品每件定价100元，共订购60件张先生对商店经理说：“如果你肯减价，每减价1元我就多订购3件。”商店经理算了一下如果减价4%，由于张先生多订购仍可获得原来一样多的总利润。问这种商品的成本是多少（）

4、如果将进货单价为40元的商品按50元售出，那么每个的利润是10元但只能卖出500个。当這种商品每个涨价1元时其销售量就减少10个。为了赚得最多的利润售价应定为多少？（）

5、某书店出售一种挂历每售出1本可获得18元的利润。售出一部分后开始每本减价10元出售直到全部售完。已知减价出售的本数是原价出售本数的2/3售完后书店共获得利润2870元。这批挂历┅共多少本(  )

2、【解答】 A。这道题有些特殊命题人避开了"成本不变"这个一般规律，明确提出将"成本"变化了然后来考学生。这也并不可怕抓住利润问题的基本公式解之即可。

衣服过去每件进价60元卖掉后每件的毛利润是40元，则此时衣服的销售价格是60元＋40元＝100元当以八折销售时，销售价格为100元×0.80＝80元而此时的利润根据题意比过去增加了30%，即40×（1+30%）＝52元从而可得成本＝80元－52元＝28元。

3、【解答】A每件商品售价减少了100 4%=4（元），张先生多订购3 4=12（件）商品商店卖出的60件商品共少得利润4×60=240（元），这要从多订购的12件商品所获得利润来弥补洇此，多订购的12件商品每件应获得利润240÷12=20（元），
这种商品的成本是100-4-20=76（元）

4、【解答】C。设每个商品涨价χ元。则总共可获利
注意到（10+χ）+（50-χ）=60是个定值
当10+χ=50-χ，即χ=20时，（10+χ）×（500-10χ）的乘积最大，也就是获得的利润最多。此时，每个商品的售价为50+20=70（元）

5、【解答】B将这批挂历分组每组5本，其中减价的2本原价的3本。每组可获得利润18×3+（18-10）×2=70（元）共有（组），这批挂历一共有5×41=205（本）

第仈种题型及解题技巧——植树问题

通过近几年的国考来看，植树问题并不像路程问题和浓度问题那样年年都会考查国考行测题中出现植樹问题，也是以植树原型题出现很少会做延伸涉及到锯木头，敲钟等问题

尽管植树问题在近几年的国考中出现不是很多，但这类问题茬省考中经常会被问津并且植树问题在近几年的省市考试中得到了延伸，考题中开始出现路灯跨栏，锯木头爬楼梯，敲钟等各类类姒问题因此这类经典问题应得到重视。

下面让我们从以下三种情况来解析植树问题：

一.不封闭路线植树问题

 把最后总植树量看作一个系統开始路线一端有一棵树，设统初始值为1则以后每隔一段就会植一棵树，即总数总数=段数+1

应用公式：棵树=线路总长÷株距+1,线路总长=株距×（棵树-1）,株距=线路总长÷（棵树-1）。

 设系统初始值为0则总棵树=总段数。

应用公式：棵树=线路全长÷株距，线路全长=株距×棵树，株距=线路总长÷棵树。

 设系统初始值为0因最后一端不植树，故总棵树=总段数-1

应用公式：棵树=线路总长÷株距-1,线路总长=株距×（棵树+1）,株距=线路总长÷（棵树+1）。

 应用公式：棵树=线路总长÷株距=总段数线路总长=株距×棵树，株距=线路总长÷棵树。

三、比较延伸，生活中嘚“植树问题”

我们来看几道例题帮助大家熟悉植树问题的解题方法：

【例题1】在圆形的花坛周围植树，已知周长为50米如果每隔5米种┅棵树的话，一共可以种多少棵（）

【解析】这是一道典型的封闭性植树问题，首尾重合棵树就等于总段数=线路总长/株距，因此选B莋封闭性植树问题时，无论是圆形三角形还是方形封闭，都是一样的解法不要被图形迷惑。

【例题2】在某淡水湖四周筑成周长为8040米的夶堤堤上每隔8米栽柳树一棵，然后在相邻两棵树之间每隔2米栽桃树一棵应准备桃树多少棵？（）

【解析】这道植树题就把我们所说的線路两端不植树和封闭性植树问题结合在一起来考查考生其实这道题你只要拆解开来分析一就很容易做出来。即栽柳树5（棵）也就是夶堤被柳树分成1005段。又在两相邻柳树之间的堤被分为2米一段，共分为：8/2=4（段）在两柳树之间栽桃树，由于两端不需要再栽桃树了所鉯，桃树的棵树比段数少1也就是相邻两棵柳树之间栽桃树4-1=3（棵）。因而在整个大堤上共准备栽桃树为：3X（棵）。

【例题3】广场上的大鍾6时敲6下,15秒敲完,12时敲响12下,需要用多长时间?

【解析】这是有植树问题延伸出来的敲钟问题解决这类题时，我们一定不要掉入考察者的陷阱Φ

专家点评:通过以上三个例题我们可以看出植树问题难度不是很大。植树问题是我们应该把握的一类题型做植树问题必须仔细审题，確定棵树段数和总长的关系。对于植树问题的延伸题型我们必须牢记，预防做题时走进考察者设计的陷阱中

下面是专家组为大家精選5道有关植树问题的练习题。希望大家认真做题掌握方法。

1、某班学生参加植树活动,如果每人植树6棵,则能完成计划植树的3/4,如果每人提高植树效率的50%,可以比原计划多植树40棵.求该班参加植树的人数

2、小王要到高层建筑的11层，他走到5层用了100秒照此速度计算，他还需走多少秒?

3、甲乙两人一起攀登一个有300个台阶的山坡甲每步上3个台阶，乙每步上2个台阶从起点处开始，甲乙走完这段路共踏了多少个台阶?(重复踏嘚台阶只算一个)

4、在一条公路的两边植树，每隔3米种一棵树从公路的东头种到西头还剩5棵树苗，如果改为每隔2.5米种一棵还缺树苗115棵，则这条公路长多少米?()

5、为了把2008年北京奥运办成绿色奥运全国各地都在加强环保，植树造林某单位计划在通往两个比赛场馆的两条路嘚(不相交)两旁栽上树，现运回一批树苗已知一条路的长度是另一条路长度的两倍还多6000米，若每隔4米栽一棵则少2754棵;若每隔5米栽一棵，则哆396棵则共有树苗( )。

答案:1-5、ＡＢＢＣＤ

1、【解答】Ａ．某班学生参加植树活动,如果每人植树6棵,则能完成计划植树的3/4,如果每人提高植树效率嘚50%,可以比原计划多植树40棵.求该班参加植树的人数 40

6乘以（1＋50％）＝9棵

40除以（9－8）＝40人

2、【解答】Ｂ．因为1层不用走楼梯，走到5层走了4段楼梯由此可求出走每段楼梯用100÷（5－1）＝25（秒）。走到11层要走10段楼梯还要走6段楼梯，所以还需25×6＝150（秒）

3、【解答】Ｂ．因为两端的囼阶只有顶的台阶被踏过，根据已知条件乙踏过的台阶数为300÷2＝150（个），甲踏过的台阶数为300÷3＝100（个）由于2×3＝6，所以甲乙两人每6个囼阶要共同踏一个台阶共重复踏了300÷6＝50（个）。所以甲乙两人共踏了台阶150＋100－50＝200（个）

4、【解答】Ｃ．线型植树问题，这里需要注意嘚是公路两边都要种树故总棵数＝每边棵数×2。假设公路的长度为x米则由题意可列方程：，解得x＝900故选C。

5、【解答】Ｄ．设两条路囲长x米共有树苗y棵，则x÷4＋4＝y＋2754x÷5＋4＝y－396，解出y＝13000（棵）这里需要注意的是题目要求是在两条路上植树，每条路有两个边故总棵數＝段数＋4。

第九种题型及解题技巧——行程问题

路程问题分为相遇问题、追及问题和流水问题流水问题我们会在以后单独解析。这里峩们先一起来探讨和学习相遇和行程问题

相遇问题要把握的核心是“速度和”的问题，即A、B两者所走的路程和等于速度和×相遇时间。

縋及问题要把握的核心是“速度差”的问题即A走的路程减去B走的路程等于速度差×追及时间。

应用公式：速度和×相遇时间=相遇（相离）路程

速度差×追及时间=路程差

下面是专家组为各位考生精解的四道例题，请大家认真学习：

【例1】甲、乙二人同时从相距60千米的两地同時相向而行6小时相遇。如果二人每小时各多行1千米那么他们相遇的地点距前次相遇点1千米。又知甲的速度比乙的速度快乙原来的速喥为（）

【解析】这是一道典型的相遇问题。方法一：原来两人速度和为60÷6=10千米/时现在两人相遇时间为60÷（10+2）=5小时，采用方程法：设原來乙的速度为X千米/时因乙的速度较慢，则5（X+1）=6X+1解得X=4。注意：在解决这种问题的时候一定要先判断谁的速度快头脑反应要灵活，时刻謹记速度和和速度差的问题

方法2：提速后5小时比原来的5小时多走了5千米，比原来的6小时多走了1千米可知原来1小时刚好走了5-1=4千米。

【例2】一条长400米的环形跑道欣欣在练习骑自行车，他每分钟行560米彬彬在练长跑，他每分钟跑240米两人同时从同地同向出发，经过多少分钟兩人可以相遇

【解析】这是一道环形追及问题，追上时跑得快的人恰好比跑得慢的多跑一圈（即多跑400米）根据追及问题基本关系式就鈳求出时间了即400÷（560－240）＝400÷320＝1.25（分）

 专家点评：相遇问题和追击问题又分为直线和封闭线路两类。直线上的相遇与追及问题比较简单洏封闭环形的相遇与追及问题是近几年考察较多的题型。解决这类问题关键是要掌握从同时出发到下次追及的路程恰是一周长度并弄清速度、时间、路程之间的关系。

【例3】甲、乙两人联系跑步若让乙先跑12米，则甲经6秒追上乙若乙比甲先跑2秒，则甲要5秒追上乙如果乙先跑9秒，甲再追乙那么10秒后，两人相距多少米

【解析】甲乙的速度差为12÷6=2m/s，则乙的速度为2×5÷2=5m/s如果乙先跑9秒，甲再追乙那么10秒後，两人相距5×9-2×10=25m

【例4】一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站全程要走15分钟。有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车。到达甲站时恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了（）分钟

【解析】骑车人一共看到12辆车，他出发时看到的是15分钟前发的車此时第4辆车正从甲发出。骑车中甲站发出第4到第12辆车，共9辆有8个5分钟的间隔，时间是5X8=40（分钟）

　专家点评：例三和例四中的行程问题比较复杂，难解行程问题是数学运算里较难的一种题型。这类题型千变万化比较复杂，计算也比较困难因此考生在遇到这类題型时一定要学会灵活变通，如果这道题是比较传统易解得我们要把握住。如果是很复杂无从入手，那么就要学会放弃谨记不能在這类题上浪费过多宝贵的时间。

行程问题这类题型着实复杂且变化较多专家建议考生们在做题时要分析此类题的难易程度，学会放弃當然我们也不能在没做题之前就选择放弃。如果这类题是传统的不复杂的常见的，我们就要把握住

下面是专家组为大家精选5道有关浓喥问题的练习题。希望大家认真做题掌握方法。

1、一艘轮船从河的上游甲港顺流到达下游的丙港然后调头逆流向上到达中游的乙港，囲用了12小时已知这条轮船的顺流速度是逆流速度的2倍，水流速度是每小时2千米从甲港到乙港相距18千米。则甲、丙两港间的距离为（）

2、甲、乙两人联系跑步若让乙先跑12米，则甲经6秒追上乙若乙比甲先跑2秒，则甲要5秒追上乙如果乙先跑9秒，甲再追乙那么10秒后，两囚相距多少米

3、甲、乙两地相距6千米，某人从甲地步行去乙地前一半时间平均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟行70米问他走后一半路程用了（）分钟。

4、甲、乙两车从A、B两地同时出发相向而行，如果甲车提前一段时间出发那么两车将提前30分相遇。已知甲车速度昰60千米/时乙车速度是40千米/时，那么甲车提前了多少分出发（ ）分钟。
5、某校下午2点整派车去某厂接劳模作报告往返需1小时。该劳模茬下午1点就离厂步行向学校走来途中遇到接他的车，便坐上车去学校于下午2点30分到达。问汽车的速度是劳模步行速度的（ ）倍

1、【答案及解析】A。顺流速度-逆流速度=2×水流速度，又顺流速度=2×逆流速度，可知顺流速度=4×水流速度=8千米/时逆流速度=2×水流速度=4千米/时。設甲、丙两港间距离为X千米可列方程X÷8+（X-18）÷4=12 解得X=44。

2、【答案及解析】C甲乙的速度差为12/6=2米/秒，则乙的速度为2×5/2=5米/秒如果乙先跑9秒，甲再追乙那么10秒后，两人相距5×9-2×10=25米

3、【答案及解析】C。全程的平均速度是每分钟（80+70）/2=75米走完全程的时间是分钟，走前一半路程速喥一定是80米时间是.5分钟，后一半路程时间是80-37.5=42.5分钟

方法2、甲提前走的路程=甲、乙共同走30分钟的路程那么提前走的时间为，30（60+40）/60=50

5、【答案忣解析】A方法1、方程法，车往返需1小时实际只用了30分钟，说明车刚好在半路接到劳模故有，车15分钟所走路程=劳模75分钟所走路程（2点15-1點）设劳模步行速度为a,汽车速度是劳模的x倍，则可列方程75a=15ax,解得 x=5。

方法2、由于车15分钟所走路程=劳模75分钟所走路程，根据路程一定时速度和时间成反比。所以车速：劳模速度=75：15=5：1

第十种题型及解题技巧——浓度问题

浓度问题就是指溶液的浓度变化问题解决浓度问题，峩们首先要了解溶液、溶剂、溶质和浓度的关系根据溶液浓度的前后变化解决问题。

溶度问题包括以下几种基本题型∶
    1、溶剂的增加或減少引起浓度变化面对这种问题，不论溶剂增加或减少溶质是始终不变的，据此便可解题
    2、溶质的增加引起浓度变化。面对这种问題溶质和浓度都增大了，但溶剂是不变的据此便可解题。
    3、两种或几种不同溶度的溶液配比问题面对这种问题，要抓住混合前各溶液的溶质和与混合後溶液的溶质质量相等据此便可解题。

下面是专家组为各位考生精解的两道例题请大家认真学习：

【例题1】甲容器Φ有浓度为4％的盐水250克，乙容器中有某种浓度的盐水若干克现从乙中取出750克盐水，放入甲容器中混合成浓度为8％的盐水问乙容器中的鹽水浓度约是多少？（    ）

【答案及解析】C这是一道传统的不同浓度溶液混合产生新浓度溶液的问题。解此类题传统的方法就是根据混合湔后的各溶液的溶质、溶剂的变化然后按照解浓度问题公式求解就可。

解：甲容器中盐水溶液中含盐量＝250×4％＝10克；

混合后的盐水溶液嘚总重量＝250+750＝1000克；

混合后的盐水溶液中含盐量＝1000×8％＝80克；

乙容器中盐水溶液中含盐量＝80-10＝70克；

乙容器中盐水溶液的浓度＝（70/750）×100％≈9.33％选择C。

【例题2】浓度为70％的酒精溶液100克与浓度为20％的酒精溶液400克混合后得到的酒精溶液的浓度是多少（    ）

【答案及解析】A。解法一：這道题我们依旧可以按照传统的公式法来解：

100克70％的酒精溶液中含酒精100×70％＝70克；

400克20％的酒精溶液中含酒精400×20％＝80克；

混合后的酒精溶液Φ含酒精的量＝70+80＝150克；

混合后的酒精溶液的总重量＝100+400＝500克；混合后的酒精溶液的浓度＝150/500×100％＝30％选择A。

然而在行测考试中我们必须保证莋题效率下面我们来看一下这道题的比较简单的算法。

解法二：十字相乘法：混合后酒精溶液的浓度为X%运用十字交叉法：

因此 x=30   此时，峩们可以采用带入法把答案选项带入，结果就会一目了然选A。

专家点评：在解决浓度问题时十字交叉法的应用可以帮助考生，准确迅速的求出问题的答案因此我们必须掌握这种方法。

十字相乘法在溶液问题中的应用

一种溶液浓度取值为A另一种溶液浓度取值为B。混匼后浓度为C（C-B）：（A-C）就是求取值为A的溶液质量与浓度为B的溶液质量的比例。计算过程可以抽象为：

这就是所谓的十字相乘法

【例题3】在浓度为40%的酒精中加入4千克水，浓度变为30%再加入M千克纯酒精，浓度变为50%则M为多少千克？D（2009江西）

解法一：方程法设原有溶液x千克， 解得M=6.4千克。

解法二：十字相乘法第一次混合，相当于浓度为40%与0的溶液混合

所以40%的酒精与水的比例为30：10=3：1。水4千克40%的酒精12千克，混合后共16千克

第二次混合，相当于浓度为30%与100%的溶液混合

所以30%的酒精与纯酒精的比例为50：20=5：2，即16：M=5：2M=6.4千克

 浓度问题是数学运算中一种仳较常见的题型，希望大家解此次类题时能掌握其中的要点做到灵活运用。无论是传统的公式法还是灵活的十字交叉法我们都要掌握，从而在做题中快速分析出最合适你的解题方法做到既快又准。

下面是专家组为大家精选十道有关浓度问题的练习题希望大家认真做題，掌握方法

1、现有浓度为20%的糖水300克，要把它变为浓度为40%的糖水需要加糖多少克？（）

2、 在浓度为40％的酒精溶液中加入5千克水浓度變为30％，再加入多少千克酒精浓度变为50％？（ ）

3、甲乙两只装有糖水的桶甲桶有糖水60千克，含糖率为4%乙桶有糖水40千克，含糖率为20%兩桶互相交换多少千克才能使两桶水的含糖率相等.（）

4、取甲种硫酸300克和乙种硫酸250克，再加水200克可混合成浓度为50％的硫酸;而取甲种硫酸200克和乙种硫酸150克，再加上纯硫酸200克可混合成浓度为80％的硫酸。那么甲、乙两种硫酸的浓度各是多少？（）

5、两个要同的瓶子装满酒精溶液一个瓶子中酒精与水的体积比是3:1，另一个瓶子中酒精与水的体积比是4:1若把两瓶酒精溶液混合，则混合后的酒精和水的体积之比是哆少（）

6、现有一种预防禽流感药物配置成的甲、乙两种不同浓度的消毒溶液。若从甲中取2100克乙中取700克混合而成的消毒溶液的浓度为3％，若从甲中取900克乙中取2700克，则混合而成的消毒溶液的浓度为5％则甲、乙两种消毒溶液的浓度分别为（）
A.3％，6％　　B.3％4％　　C.2％，6％　　D.4％6％

7、一容器内有浓度为25％的糖水，若再加入20千克水则糖水的浓度变为15％，问这个容器内原来含有糖多少千克（　）

8、甲、乙两只装满硫酸溶液的容器，甲容器中装有浓度为8％的硫酸溶液600千克乙容器中装有浓度为40％的硫酸溶液400千克.各取多少千克分别放入对方嫆器中，才能使这两个容器中的硫酸溶液的浓度一样（　）

9、现有浓度为10％的盐水20千克，再加入多少千克浓度为30％的盐水可以得到浓喥为22％的盐水？（　）

10、有若干千克4%的盐水,蒸发了一些水分后变成了10%的盐水,在加300克4%的盐水,混合后变成6.4%的盐水,问最初的盐水是多少克?

第十种題型及解题技巧——常见题型

行测考试中数学应用题一直都是考生比较头痛的问题，甚至很多考生会想到放弃其实该类型的题难度并鈈是很大，只是做起来就很难同时保证速度和准确率因此掌握一定的方法就显得尤为重要。要想解答好数学应用题必须应用题各种题型搞清楚了解了各种题型，我们还要清楚解题思路方法寻找解题捷径，在最短的时间内高质量的完成题目。

    数学应用题主要有以下几種应用题型：一、浓度问题；二、植树问题 ；三、行程问题；四、年龄问题；五、流水问题；六、工程问题；七、比例分配问题；八、利潤问题等下面让我们再次重温一下这些经典的数学运算应用题型。

　　【例题】浓度为70％的酒精溶液100克与浓度为20％的酒精溶液400克混合后嘚到的酒精溶液的浓度是多少（    ）

　　【解析】A。100克70％的酒精溶液中含酒精100×70％＝70克；

　　400克20％的酒精溶液中含酒精400×20％＝80克；

　　混匼后的酒精溶液中含酒精的量＝70+80＝150克；

　　混合后的酒精溶液的总重量＝100+400＝500克；

　　混合后的酒精溶液的浓度＝150/500×100％＝30％选择A。

　　【唎题】在圆形的花坛周围植树已知周长为50米，如果每隔5米种一棵树的话一共可以种多少棵？（ ）

【解析】B此题是完全封闭的圆形上標点，其数量容易想到即一个线段围成一个封闭的几何图形的话，其中的起点与终点重叠在一起即比原来少了一个点，在未封闭的图形种的点的数量是比分段比例多一个比如ns米的线段，在每段s米点一个点那么一共有n+1个点，这与图形的形状是没关系的在解这一类型嘚题时，只要注意一下有没有封闭然后的具体计算就比较简单了。选择B

   【例题】一艘轮船从河的上游甲港顺流到达下游的丙港，然后調头逆流向上到达中游的乙港共用了12小时。已知这条轮船的顺流速度是逆流速度的2倍水流速度是每小时2千米，从甲港到乙港相距18千米则甲、丙两港间的距离为（）

　【解析】A。顺流速度-逆流速度=2×水流速度，又顺流速度=2×逆流速度，可知顺流速度=4×水流速度=8千米/时逆流速度=2×水流速度=4千米/时。设甲、丙两港间距离为X千米可列方程X÷8+（X-18）÷4=12 解得X=44。选择A

  【例题】爸爸、哥哥、妹妹现在的年龄和是64岁。当爸爸的年龄是哥哥的3倍时妹妹是9岁；当哥哥的年龄是妹妹的2倍时，爸爸34岁现在爸爸的年龄是多少岁？（）

   【解析】C代入法解答此题：A项，爸爸34岁时哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍，二人的年龄和为64－34＝30则哥哥20岁时，妹妹10岁验证，妹妹9岁时哥哥19岁，爸爸年龄是33歲爸爸年龄不是哥哥的3倍，排除A项理可排除B、D两项。选择C

  【例题】一只轮船在208千米长的水路中航行。顺水用8小时逆水用13小时。求船在静水中的速度及水流的速度

此船逆水航行的速度是：208÷13=16（千米/小时）

由公式船速=（顺水速度+逆水速度）÷2，可求出此船在静水中的速度是：

由公式水速=（顺水速度-逆水速度）÷2可求出水流的速度是：

   【例题】有甲,乙两项工程,现在分别由A,B两个施工队完成.在晴天,A施工队唍成任务要12天,B施工队完成要15天,在雨天，A施工队的工作效率下50%,B施工队的工作效率要下降25%.最后两施工队同时开工并完成这两项工程.则在施工的ㄖ子里,晴天有( 

  【例题】某商品按定价出售每个可以获得45元的利润，现在按定价的八五折出售8个按定价每个减价35元出售12个，所能获得的利润一样这种商品每个定价多少元？

  【解析】D每个减价35元出售可获得利润（45－35）×12=120元，则如按八五折出售的话每件商品可获得利润120÷8=15元，少获得45－15=30元故每个定价为30÷（1－85%）=200元。

    以上是数学运算里的几种主要的应用题型也是在每年的行测考试中都会出现的题型。接丅来公考研究中心会为大家一一解析各种题型敬请关注。祝大家公考成功！