萣积分一、实际问题的提出．路程问题设物体的运动速度为求时间上物体的运动路程。（）取则记（）任取则（）取则．曲边梯形的面積问题设且求由、、及轴所围成的曲边梯形的面积。（）取则记（）任取则（）取则共同特点：给定定义于一个闭区间上的函数先把定義区间划分成若干小区间然后在每个小区间内任取一个点计算该点处函数的取值与该小区间的长度之积再求和当最长的小区间的长度趋于零时求积分和的极限。二、定积分的定义设在区间上有界取划分则区间划分为记任取作积分和令若极限存在称函数在区间上可积分极限记為即注解：（）极限与区间的划分及每个小区间内任意点的取法无关（）当时反之不对（）若在上可积则（）连续函数一定可积只有有限个第一类间断点的函数一定可积分。三、定积分的性质、、、、、设在上可积且则推论若在区间上可积且则推论设在上可积则、设在区間上则、设则存在使得、（）设且则在上（）设且不恒为零则（）设且两个函数不恒等则、（柯西不等式）设则有四、定积分的基本理論定理设令则。定理设在上为的一个原函数则五、定积分的特殊性质、（对称区间上定积分性质）设则有（）（）若则（）若则例题计算。解答：、特殊区间上三角函数定积分性质（）其中特别地且（）（）。例题计算例题计算。、（周期函数定积分性质）设是以为周期的连续函数为任意常数则（）（）六、定积分的应用（重点是掌握好元素法的思想）（一）几何应用．面积．体积．弧长（二）几哬应用七、技巧性很强的题型定积分不等式的证明特征一：只给出被积函数具有连续性例题设证明：。特征二：有连续性和单调性例题设茬上连续且单调增加证明：特征三：一阶连续可导例题设在上连续可导且证明：。例题设证明：例题设在上可积证明：。例题设证明：其中特征四：高阶可导性（只限研二阶导数保号性）若一般有两个思考问题的角度：思路一：若二阶导数大于零则一阶导数具有单调性例题设且证明：对任意的有。思路二：2阶泰勒公式式定理若则有等号成立当且仅当例题设且证明：。unknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown