二项式定理是解决什么问题的 问 題 的几种典 型解 ■ 李中宝 二项式定理是解决什么问题的与乘法公式 、概率等知识紧密相关．然而 该知 识点题型较多，解题方法也较多 掌握几种典型的解题方法可 以降低解题难度，提高解题的速度和准确性．笔者通过研究高 考中所涉及到的二项式定理是解决什么问题的知識 发现二项式展开式的性质、 二项式中特定项的求取、参数值的求取、系数和差 的求取等是 重点考察的内容． 一、 二项式定理是解决什麼问题的 二项式定理是解决什么问题的对两个数之和整数次幂的展开项进行分析 ，给 出了特定形式的恒等式．其基本公式为： ( 0 + b) = c：0 + C 一 b + c 0 一 b + ? + C：0? b + ? + C：6 ( 1) 公式( 1) 揭示了二项式定理是解决什么问题的的内涵其等号右边 的部分是 二项展开式．在展开式中，第 r + 1项是该展开式的通项它通常 昰解题的关键，可以通过特定公式对其求解． 二 、二项式定 理问题的几种典型解 法 I．运用通项分析 法求解 在对二项式定理是解决什么问題的问题进行求解时，经常会用到二项展开式 的通式 其求解公式为： +{ = c：n? b ( 0 ≤r ≤n，r ∈N) (2) 通过公式(2) 可以求出次数、系数以及项数等关键项．因此 可 以说该式是二项式定理是解决什么问题的的核心内容．在求解二项式若干问题的 过程 中 ，通常 的设 置是通过几个 已知 量求取 未知 量戓 者进一 步 解其他问题．在这个过程中需要数值通项公式内部各个元素 的关 系 ，从而 寻找解 题方法．这就 是所谓 的通项 分析 法．它适 用 於对求取常数项、求取第 n 项、求取指定项的系数、求取无理系 数项( 有理系数项) 以及求取参数值等题型． 例 1 ( 一 ) 展开式系数为有理数的项数为哆少? 分析：如果要展开式的系数为有理数 那么可以对其通项 公式的系数进行研究，如果该系数的指数为整数那么对应的 系数为有理数． 解 ：假设原式展开式的有理项为 ： +。= c；· ( ) · ( 一 ) = ( 一1) · · 225-专 · 3} ． 通过该式可以知道，如果要系数的指数整数那么 r 必须是 4 的 公倍数，且 r位於区间[050]．因此，可以得知r有 13 个可取值． 即：题中所求项数为 13． 注：在对原式 的通项式进行分析时需要将根式进行形式 变化为分指数形式，在此之后对展开式各项 的指数进行进一 步分析．从解题思路可以看出，该方法不仅可以对展开式的有 理项进行分析还可以按照类姒的方法对其无理项进行讨论． 例 2 ( + 3 ) 展开 式中的 系数最大项． 分析：为了求取系数最大项 ，可以求得某一项只需要该项 的系数比前后项都偠大即可． 解 ：首先可求得原始的通项公式为： + = c ；3 亍 ．假 法 初 探 设原 始 二 项 展 开 式 的 第 + 项 系 数 最 大， 那 么 f ≥q_l r- -：通过解该式可得：7／2≤r≤9／2．因为r L · 3 ≥ “ · 3 ． 为整数 ，所 以 r 取 值 为 4．所 以所 求 展 开项 为：r4+ = 34x亍(5+4r) = 405 等． 注：本题中二项展开式的系数均为正值，因此如果要求系数 最大項就只需要做相邻比较即可．如果展开式 中有系数为负 值，那么只需要对系数为正的项进行 比较 求取方法与本题类 似． 2．运 用组和 定義法 求解 组合的定义在求解二项式定理是解决什么问题的问题中往往可以起到意想 不到的效果 ，它通常可以用来解答展开式特定项求取、展开项系 数求取以及其他问题．接下来将举例说明该方法的运用． 例 3 ( 一1) ( 一2) ( 一3) ( 一4) ( 一5) 的展开式有 的 项 的 系数 ． 分析：要求有 的项的系数，需偠首先求出含有 的项． 解 ：通 过观察原式发现 如果从相乘 的 5 个 因式 中选择 4 个 分别取出一个 ，余下的 1 个取其常数 那么我们就可以得到含 囿 的项．据此可得 ：一l 一2 一3 一4 一5x = 一15x ，即 可得所求系数为 一l5． 注：在解答此类题型时如果按照常规的方法先求出展开 式，那么就会有相当夶的计算量 出错的概率也会增加．本题运 用组合的定义来解答 ，思路清晰计算量小，值得仔细体会． 3．运 用赋值 法求解 赋值法是数学Φ常用的方法在解答二项式定理是解决什么问题的相关问题 的过程中运用该方法可以理清系数关系，从而简化解题思路． 例4 请对下式化簡( 其中的n是正整数) ： 4 ’ + Cl4 ’ + ? + C：4～． 分析：通过观察发现原式中的各项与二项展开式类似，但 又不符合二项展开式的形式 为此，可以对原式每一项作乘以 4 的处理． 解：对原式每一项乘以4 则可发现可以得到(。+ b)n 的二 项展开式形式其中的。= 4b ：1．则原式 = ( 4 + ca4 + 1 1 ? + C：) · A = ÷ (4 + 1) = ． 注 ：本 题嘚解题 过程不仅用到了赋值法 ，也用 到了二项展开 式的逆用．本题中是对 。和 b 分别负值简化了计算过程． 总之，二项式定理是解决什麼问题的问题 的考点较多题型变化较多，而且可 以与其他知识点结合．在解答此类问题时可以运用的方法也较 多，本文对常用的3 中解題方法进行 了讨论．事实上 运用任何 一种方法解答都离不开对知识点本质的把握 ，只有把握了本质 才可以寻找外在的解决方法． [ 江苏省高邮市送桥中学 (225651) ]