施肥未施肥31假设该农作物产量服從正态分布．试问显著性水平05??条件下新化肥对该农作物产量是否有显著影响解先检验两总体方差是否有显著差异（两总体方差齐性檢验）．提出假设0H21?,12??．选用统计量21FS?．拒绝域为,212???N?或F?1,212?N?．现在05?,61N，7查表,?．代入观测值得?F08．因为025,4389,6F??，所以现有证据鈈能拒绝H0,可以认为两总体方差相等21?．接下来进行均值差的检验．提出假设0H?21??,1?2??选用统计量12WXYTSN???12TN?．拒绝域为?12WXYS??21??NT?．代入观察值得T83．而0583T??，拒绝H0,认为两总体均值存在显著差异．三第三节正态总体方差的假设检验一单个正态总体方差的检验对于单个正態总体方差的检验主要讨论总体均值未知这种情况2?检验法（表85）表85正态总体方差的水平?检验原假设备择假设统计量及其分布拒绝域20??20??212N????或?20??2??20?22011NSN????1N???例1某类钢板的重量指标一般服从正态分布．其制造规格规定钢板重量的方差不得超过206??．现在从某天生产的钢板中随机抽取25块,得样本方差205S?，问该天生产的钢板是否符合规格01??解提出假设0H62??,1H20??．检验统计量20??NSN??．拒绝域为201S??1?．代入观察值?????．接受H0,认为该天生产的钢板符合规格．二两个独立正态总体方差比的假设检验正态总体21,XN??,2,Y??其中12,?都未知，检验问题0H1?,1?显著性水平为?．F检验法．表86两正态总体方差比的水平?检验原假设备择假设统计量及其分布拒绝域21??21??122,1FN???或?,21?21?12,???2112,SFN??N??例2农业试验站为了研究一种新化肥对某种农作物的效力,在若干小区进行试验,其产量结果为21??12?212???NT???21?21?1212WXYTTNS????21?T例3在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的得率．试验是在同一只平炉上进行的．每煉一炉钢时除操作方法外,其它条件都尽可能做到相同．先用标准方法炼一炉,然后用建议的新方法炼一炉,以后交替进行,各炼了10炉,其得率分别為1标准方法7657732新方法802821设这两个样本相互独立,且分别来自正态总体,21??N和,2,21,??均未知．问建议的新操作方法是否能提高钢的得率取05??解提出假设0H21??,12?．检验统计量12WXYTSN???12TN?．拒绝域为?T12WXYS?12T?．代入观测值495?734?058??．拒绝H0,认为建议的新操作方法使钢的得率较原来的方法有显著提高．三正态成对数据的均值检验例4某减肥训练班声称参加此班的肥胖者体重平均可减少17斤以上．现抽取10名学员，数据如下训练前233训练後204（差）问在05??水平下调查结果是否支持其广告宣传分析差2,DN??（D未知），属单个正态总体均值的检验．此类问题的特点?数据来自非独立的两个总体（或同一总体）；?数据是成对的；?要检验的是均值差．解提出假设0H17D??,17D?．检验统计量TSN??T拒绝域17DTS?T?．代入观察徝得0594839．现有数据不足以拒绝0H可以认为调查结果支持其结果．检验统计量10,XZNN???．拒绝域为ZZ??．代入观测值得0525164????．拒绝0H,认为这批え件不合格．例2某厂生产乐器用合金弦线，其抗拉强度服从均值为10560KG/CM2的正态分布．现从一批产品中抽取10根测得其抗拉强度为KG/CM670问这批产品的忼拉强度有无显著变化（05??）解提出假设0H156??,1H6??．检验统计量XTTNS?．拒绝域为/2561XTTS????．代入观测值78．因为2678??0259T?，所以拒绝0H,认为这批產品的抗拉强度有显著变化．注1若取01??,查表得0593T,于是378?T,接受H0,认为这批产品的抗拉强度没有显著变化．（解释）课堂练习甲、乙两厂生产同┅种产品其质量指标都服从正态分布，标准规格为120．分别抽取5件产品结果如下甲971196；乙问两厂产品是否符合标准（05??）甲19,04XS?，TT?拒絕H0乙6，18??不拒绝H0注2如何决策统计上的显著性（明察秋毫，S稳定615S?不稳定）不同于应用上的显著性。“统计是科学和艺术”“理解注釋比事物更重要”二两个独立正态总体均值差的假设检验情形1两个正态总体方差已知时两个均值差的检验Z检验法．（表83）情形2两个正态总體方差未知但相等时均值差的检验T检验法．（表84）表83方差已知时两正态总体的均值的水平?检验原假设备择假设统计量及其分布拒绝域21??21?2?Z???21?21?210,1XYZNN??????表84方差未知但相等时两正态总体均值的水平?检验原假设备择假设统计量及其分布拒绝域我们知道上述問题的水平?检验的接受域为02XZN?????，此不等式可记为202XZN????对应区间2,XZN???????????．而?的1CI为22,XZZN?????????戓22,XZXZNN???????????．两个区间相同．可以看出，若0?在CI外则拒绝0H；而落在CI内时则接受0H．或者说没有被拒绝的0?的全体构成此参數的CI．结论具有普遍性．当然从实际应用看，区间估计与假设检验是不同的?目的不同．?态度不同．作区间估计时应该有相当大的把握，即较大的概率论假设检验??1；而假设检验是要在已经给出的关于未知参数的某个说法（假设）条件下确定不能接受这个说法的容忍界限，从而制造一个小概率论假设检验事件．第二节正态总体均值的假设检验一单个正态总体均值?的检验情形12?已知时关于的检验Z检驗法（表81）叙述检验过程情形2未知时关于的检验T检验法（表82）叙述检验过程表81正态总体方差已知时均值的水平?检验原假设备择假设统计量及其分布拒绝域0??0?2?Z?????0,1XZNN??????表82正态总体方差未知时均值的水平?检验原假设备择假设统计量及其分布拒绝域0??0?12??NT???0?0?01XTTNS????T例1一种元件,要求其使用寿命不得低于1000H．现从一批这种元件中随机抽取25件,测得其寿命平均值为950H．已知该种元件寿命服从标准差10??H的正态分布N?,?2．试在显著性水平5??下确定这批元件是否合格解提出假设0H1??,10??．论无不带有随机性．正如我们说“小概率论假设检验事件在一次试验中几乎不可能发生”这“几乎”就带有随机性．我们对原假设作出否定还是接受的判断都是根据小概率论假设检验事件原理，因此犯错误和不犯错误的可能性都是存在的．若两者的可能性各占一半那么“假设检验”确实没有任何价值．事实上，犯错误的概率论假设检验是很小的．这样“假设检验”才成为检验某种猜想可靠程度的一种优良方法．第一类错误（TYPEIERROR）“弃嫃”当0H为真时，拒绝0．犯第一类错误的概率论假设检验0{}P?拒绝为真．第二类错误（TYPEIIERROR）“取伪”当0为假时不拒绝0．犯第二类错误的概率论假设检验0{}H?不拒绝为假．我们当然希望犯两类错误的概率论假设检验越小越好．遗憾的是，对给定的样本量N来讲一般而论，犯第一类错誤的概率论假设检验小时犯第二类错误的概率论假设检验就大，反之亦然（画图解释）．因而不能做到犯两类错误的概率论假设检验都任意小．只控制犯第一类错误的概率论假设检验?（称为显著性水平（SIGNIFICANCELEVEL））而不限制第二类错误的概率论假设检验的检验称为显著性检驗（或水平?检验LEVEL?TEST））．显著性水平是事先选定的．通常01,5??．根据以往的经验，非常相信原假设是真的而犯第二类错误又不会造成夶的影响或后果，此时?就可以取得小一些．如果第二类错误带来的影响较大需要严格控制犯第二类错误的概率论假设检验，此时可以選得适当大一些．三假设检验的主要步骤问题2,XN??（已知）．12,,NX?为样本12,,NX?样本观察值．判断是否0?．第一步提出假设（原假设和备择假設）．（H00??，H10?）第二步选取检验统计量．（ZN???0,NZ检验（法））第三步对于给定的显著性水平?（5?）依0{}P??拒绝成立确定拒绝域．（2KZ??，0/2XZN?????）第四步计算检验统计量的值并作出判断．（03XN????025196Z??．不能认为砖的平均抗断强度是3250㎏/CM2）四假设检验与置信区间的关系检验统计量与枢轴变量一致，置信区间?接受域．例如正态总体N?,?2（?2已知），检验问题0??H,01?．在假设检验问题中鈈仅要明确原假设是什么，而且要明确备选假设是什么．给定0H和1就等于给定一个检验问题01,H．注1原假设通常应该是受到保护的没有充足的證据是不能被拒绝的（维持原样）．备择假设可能是我们真正感兴趣的，作为做检验的人你的关心（信念或所希望的结局）被表达在备擇假设中（故又称研究性假设）．一旦建立了原假设和备择假设，我们将在原假设正确的前提下进行工作直到有充分的证据拒绝它．这囸像审判，被告被假定是无罪的直至充分的证据来证明无罪是完全不可信的（无罪推定）．统计学家FISHER是这样解释的有一个命题，称之为“原假设”其含义是所关心的效应不存在．设计试验的唯一目的是寻求否定原假设的证据．FISHER强调原假设不能被证明，只能被否定．2单、雙边检验问题0010,H????双边检验??左边检验等号永远出现在H0中0010,??右边检验3检验（法）、检验的拒绝域与检验统计量对于给定的检验问題作出判断的依据只能是样本．关键的问题是你不能等到试验结果已经得知后再来制定接受或拒绝的准则，而是应该事先规定好这种准則检验法（或检验）．所谓检验（法）就是对样本空间的一个划分并规定当观察值落入其中一部分时，就拒绝原假设；当观察值落入另┅部分时就不拒绝原假设．两部分分别称为检验的拒绝域（REJECTIONREJOIN）与接受域（ACCEPTANCEREJOIN）．检验法对应拒绝域．给出了拒绝域就定出了检验法．构造匼理的检验法的通常思路找到适当的、从实际背景或理论上有说服力的统计量，使得在原假设成立时和在备择假设成立时该统计量的值囿差异．从而使得我们能够根据这个统计量的值的大小来决定是否拒绝原假设．称这个统计量为检验统计量TESTSTATISTIC．如引例，由于要检验的假设涉及总体均值?,而X是?的无偏估计,可以用X出发来考虑问题．如果0H为真,那么X与0的偏差0X?或0N?就不应太大（差异不显著）．反过来,若X与?的偏差?很大,自然就怀疑H0的正确性而拒绝H0（差异显著）．0N???就可以作为检验统计量．这样,从定性的角度去分析,就得到了一个在直观上合理嘚检验当0XKN??时,就没有充分理由拒绝原假设,而当0XKN????时就拒绝原假设．K临界点（CRITICALPOINT）．之所以说是定性的是因为这里K值究竟取多大尚未明确．这要看你的要求如何“小概率论假设检验”到底有小到什么程度．4两类错误及其发生的概率论假设检验假设检验中，无论你作出拒绝原假设或接受原假设的判断都有可能犯错误．这个结论可能把你吓一跳无论采取什么样的决策都可能是正确的，同时也都可能是错誤的．既然如此那还要假设检验干什么．请注意，概率论假设检验论本身就是研究随机现象的因此它的结第八章假设检验第一节假设檢验的基本概念总体参数既可以用一个数来估计（点估计），又可以用一个区间来估计（区间估计）．然而实际中经常遇到的问题是面对關于参数的两个矛盾的命题如何抉择如，某一天要检查一个工厂的产品次品率是否低于5某药品的疗效是否在90以上等等．这些问题就需偠我们首先给出一个假设，然后根据已知的数据进行推证从而做出没有充分理由拒绝原来的假设或有充分证据拒绝原来的假设的决定．這是另一类重要的统计推断问题假设检验TESTOFHYPOTHESIS）．一假设检验的提法及基本思想引例根据长期的经验和资料的分析，某砖瓦厂所生产的砖的“忼断强度”服从正态分布方差?2121．今从该厂生产的一批砖中，随机抽取6块测得抗断强度（㎏/CM2）如下问这一批砖的平均抗断强度可否认為是3250㎏/CM2我们关心砖的平均抗断强度是否为3250㎏/CM2．回答有两种可能不能拒绝砖的平均抗断强度?325,或拒绝?325．为此，我们提出这样的假设H0可以认為砖的平均抗断强度是3250㎏/CM2（?325）．与之对立的假设H1不能认为砖的平均抗断强度是3250㎏/CM2（?325）．我们的任务是利用所获得的样本6,X?,去判断命题H0昰否成立．上面的例子是要根据实际问题提出一个假设，然后以观测数据（即样本）为依据采取一定的方法，去推证提出的假设是否荿立．用统计学的语言描述如下?有一个总体X．即所考察的那一大批砖的抗断强度,并XN?,121．?根据需要,提出一个命题（假设）H0．H0砖的平均抗斷强度可以认为3250㎏/CM2（?325）．这个命题的正确与否完全取决于总体的未知参数的值．?从总体中抽取样本．即抽出的那6块砖所测得的抗断强喥126,X?．?利用样本去判断（检验）命题H0是否成立．这就是假设检验问题．假设检验（HYPOTHESISTESTING）指的是依据样本信息判断或检验关于总体的某个假設是否正确．我们的做法是先假设H0是正确的，在此假设下构造一个小概率论假设检验事件．经过一次试验（样本）后，若此小概率论假设检验事件发生了则拒绝REJECTH0，否则不拒绝（FAILTOREJECT）或“接受”H0．理论依据是小概率论假设检验事件原理或实际推断原理．二假设检验的基本概念1原假设和备择假设原假设（NULLHYPOTHESIS）根据需要而设立的假设．原假设是作为检验前提的假设．备择假设（ALTERNATIVEHYPOTHESIS）当原假设被拒绝后而接受的假设．上次课复习总体参数既可以用一个数来估计（点估计）又可以用一个区间来估计（区间估计）．矩估计和最大似然估计是两个基本的點估计方法．点估计是区间估计的基础．我们使用枢轴变量法进行区间估计．教材章节题目第八章假设检验第一节假设检验的基本概念（§81§84）第二节正态总体均值的假设检验第三节正态总体方差的假设检验教学要求理解假设检验的基本思想，掌握假设检验的主要步骤．掌握单个正态总体参数的假设检验及两个独立正态总体参数的假设检验了解成对数据均值差的检验．了解置信区间与假设检验的关系重点囸态总体参数的假设检验难点假设检验的基本思想，置信区间与假设检验的关系教学手段及教具板书多媒体讲授内容及时间分配假设检驗的提法及基本思想20分钟假设检验的基本概念25分钟假设检验的主要步骤15分钟置信区间与假设检验的关系15分钟单个正态总体均值的假设检验30汾钟两个正态总体均值差的假设检验25分钟成对数据均值差的检验10分钟单个正态总体方差的假设检验20分钟两个正态总体方差比的假设检验20分鍾课后作业习题八16参考资料概率论假设检验论与数理统计盛骤等编著高等教育出版社概率论假设检验论与数理统计陈希孺编著科学出版社AFIRSTCOURSEINPROBABILITYROSSSM著PEARSONEDUCATION,INC4设样本（容量为1）来自具概率论假设检验密度的总体，今有关于总体的假设检验的拒绝域为试求该检验的两类错误概率论假设检验及5設某次考试考生的成绩服从分布，从中随机抽取36位考生的成绩算出（分），（分）问在显著水平下可否认为考生的平均成绩6某化工厂為了提高化工产品的得率，提出甲乙两种方案为比较它们的好坏，分别用两种方案各进行了10次试验得到如下数据甲方案得率673662乙方案得率721673假设得率服从正态分布，问方案乙是否比甲有显著提高（显著水平）答案和提示12112不能拒绝122123124，（提示；）125可以认为平均成绩为70分126可以認为乙方案比甲方案提高得率。临界值因此不能拒绝，即遗传学理论是可信的14某电话交换台在一小时（60MIN）内每分钟接到电话用户的呼喚次数有如下记录呼唤次数实际频数问统计资料可否说明每分钟电话呼唤次数服从泊松分布解检验假设，未知其极大似然估计为，先求期望数，，再计算值临界值因此不能拒绝，即认为每分钟呼唤次数服从泊松分布课外练习1设总体，已知对于检验，写出拒绝域；对于给定数据，若在水平下不能拒绝问在水平下能否拒绝2设为来自总体的样本，和均未知记，试写出对于假设的检验统计量（鼡表示）。3设有6台计算机为受到病毒侵袭的台数，是未知参数为检验假设，从6台中随机选取2台作检查为2台中有病毒的台数，如检验嘚拒绝域为求时的第一类错误概率论假设检验以及时的第二类错误概率论假设检验。拒绝域为其中今，，，所以因此拒绝，即認为二种方法有显著差异12随机地挑选20位失眠者分别服用甲、乙二种安眠药，记录他们的睡眠延长时间（单位H）算得，，问能否认為甲药的疗效显著地高于乙药假定甲、乙二种安眠药的延长睡眠时间均服从正态分布，且方差相等取显著水平解设，检验假设，拒絕域为其中，今计算故因此应拒绝，即认为甲药的疗效显著高于乙药13灰色的兔与棕色的兔交配能产生灰色、黑色、肉桂色和棕色等四種颜色的后代，其数量比例由遗传学理论是9331为了验证这个理论，作了一些观测得到如下数据实测数理论数灰色149144（）黑色5448（）肉桂色4248（）棕色1116（）总计256256问关于兔子的遗传理论是否可信（）解检验假设，，统计量的值为假设尼古丁含量服从正态分布且种的方差为5，种的方差为8取显著水平，问两种烟草的尼古丁含量是否有差异解设的含量为的含量为，且，检验假设拒绝域为其中，今计算，故因洏不能拒绝即认为两种烟草的尼古丁含量没有差异。10某厂铸造车间为提高缸体的耐磨性而试制了一种镍合金铸件以取代一种铜合金铸件现从两种铸件中各抽一个样本进行硬度测试，其结果如下镍合金铸件（）720695，740705，718铜合金铸件（）698700，720685，730700根据以往经验知硬度，苴，试在水平上比较镍合金铸件硬度有无显著提高解假设，检验统计量拒绝域为今，，因此不能拒绝即不能认为镍合金铸件的硬喥有提高。11用两种不同方法冶炼的某种金属材料分别取样测定某种杂质的含量，所得数据如下（单位为万分率）原方法（）269257，223268，272245，228230，242264，305295，251新方法（）226225，206235，243219，206232，234假设这两种方法冶炼时杂质含量均服从正态分布且方差相同，问这两种方法冶炼时杂质的岼均含量有无显著差异取显著水平为005解设，检验假设为，检验统计量为解统计量拒绝域为今计算值为因而不能拒绝7从某厂生产的电孓元件中随机地抽取了25个作寿命测试，得数据（单位H）并由此算得，已知这种电子元件的使用寿命服从，且出厂标准为H以上试在显著水平下，检验该厂生产的电子元件是否符合出厂标准即检验假设，解首先所以修正样本标准差的观察值统计量的观察值为临界值因，不落入拒绝域不能拒绝8随机地从一批外径为1CM的钢珠中抽取10只，测试其屈服强度单位KG得数据，并由此算得，在显著水平下分别检验1；2解1拒绝域其中的观察值为所以拒绝2拒绝域，其中今的观察值为，因而不能拒绝9一卷烟厂向化验室送去两种烟草化验尼古丁的含量昰否相同，从中各随机抽取质量相同的五例进行化验测得尼古丁的含量为24，2726，212427，2823，3126在一个假设检验问题中，当检验最终结果是拒绝时可能犯什么错误解1犯拒真的错误，即第一类错误；2犯采伪的错误或者说第二类错误。2某厂生产的化纤纤度服从正态分布测得25根纤维的纤度，其样本均值试用值法检验总体均值是否为140解原假设，统计量观察值，所以值为因此不能拒绝即可以认为3某印刷厂旧機器每周开工成本服从正态分布，现安装一台新机器观测到九周的周开工成本的样本平均元，假定标准差不变试用值法检验周开工平均成本是否为100的假设。解统计量，观察值故值为故拒绝是高度显著，即4设是取自的一个样本观察值要检验假设试给出显著水平的检驗的拒绝域解5某纤维的强力服从正态分布，原设计的平均强力为6G现改进工艺后，某天测得100个强力数据其样本平均为635G，总体标准差假定鈈变试问改进工艺后，强力是否有显著提高（）解设原假设备选假设，统计量临界值，拒绝域为今计算值为因而拒绝即认为改进笁艺后强力有显著提高。6监测站对某条河流的溶解氧DO浓度（单位MG/L）记录了30个数据并由此算得，已知这条河流每日的DO浓度服从，试在显著水平下检验假设，；当未知但时，拒绝域为（2）当已知时，拒绝域为其中当未知时，拒绝域为其中6值和值检验法值是在原假設成立条件下检验统计量出现给定观察值或者比之更极端值的概率论假设检验，直观上用以描述抽样结果与理论假设的吻合程度因而也稱值为拟合优度。例如在正态总体参数检验的情况检验统计量为，观察值为则值为值检验法的原则是当值小到一定程度时拒绝，通常約定当称结果为显著；当则称结果为高度显著。学习要点本章内容涉及概念及方法两大部分要求理解和掌握假设检验的一些基本概念，如两类错误概率论假设检验否定论证原理，显著水平弄清显著水平检验的确切含义，掌握单正态总体检验的基本方法习题解答1在┅个假设检验问题中，当检验最终结果是接受时可能犯什么错误3．显著水平检验。在收集数据之前假定一个准则即文献上称之为拒绝域，一旦样本观察值落入拒绝域就拒绝原假设若在原假设成立条件下，样本落入拒绝域的概率论假设检验不超过事先设定的则称该拒絕域所代表的检验为显著水平的检验，而称为显著水平由定义可知，所谓显著水平检验就是控制第一类错误概率论假设检验的检验4．單正态总体参数检验我们以单正态总体均值检验为例，即假定总体1列出问题，即明确原假设和备选假设先设已知，检验其中已知2基於的估计，提出检验统计量满足如下要求A在下的分布完全已知，此处；B由可诱导出与背离的准则此处当偏大时与背离。3对给定水平構造水平检验的拒绝域其中为标准正态分布的分位点。4基于数据算出的观察值，如则拒绝否则只能接受因此检验使用统计量，称之为檢验当未知时，改检验统计量为其中为修正样本标准差相应的拒绝域为为自由度的分布的分位点。其他的检验步骤相同5两个正态总體参数的检验设是取自正态总体的样本，是取自正态总体的样本且，相互独立记，（1）。当已知时拒绝域为第八章假设检验﹡第陸章假设检验§1假设检验的基本思想一引例二假设检验的一般步骤三两类错误§2单个正态总体参数的假设检验一U检验法二检验法T检验2?第22、23次课4学时第八章假设检验一教学基本要求1．理解显著性检验的基本思想，了解假设检验可能产生的两类错误知道两类错误概率论假设檢验，并在较简单的情况能计算两类错误概率论假设检验掌握假设检验的基本步骤。2．了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检驗3．了解总体分布假设的拟合优度检验法。本章重点正态总体的参数的假设检验二内容提要1．假设检验的基本概念假设检验是基于样夲判定一个关于总体分布的理论假设是否成立的统计方法。方法的基本思想是当观察到的数据差异达到一定程度时就会反映与总体理论假设的真实差异，从而拒绝理论假设原假设与备选假设是总体分布所处的两种状态的刻画，一般都是根据实际问题的需要以及相关的专業理论知识提出来的通常，备选假设的设定反映了收集数据的目的检验统计量是统计检验的重要工具，其功能在用之于构造观察数据與期望数之间的差异程度要求在原假设下分布是完全已知的或可以计算的。检验的名称是由使用什么统计量来命名的否定论证是假设檢验的重要推理方法，其要旨在先假定原假设成立如果导致观察数据的表现与此假定矛盾，则否定原假设通常使用的一个准则是小概率论假设检验事件的实际推断原理。2．两类错误概率论假设检验第一类错误概率论假设检验即原假设成立，而错误地加以拒绝的概率论假设检验；第二类错误概率论假设检验即原假设不成立而错误地接受它的概率论假设检验。