求解二面角的六种常规方法-初中數学立体几何教育论文

求解二面角问题是高考的热点问题 在近几年的高考中几乎每一年、每一套高考题的立体几何问题都涉及到求二面角的大小问题.然而通过对学生考卷的分析 ，我们发现这一问题的得分率却并不理想.因此 本文总结了常见的六种求解二面角的方法 ，希望能给部分读者以帮助.

是指过二面角的棱上任一点在两个面内分别作垂直于棱的直线 则两直线所构成的角即为二面角的平面角 ，继而在平媔中求出其平面角的一种方法.

解:取BD的中点为O 分别连接AO、CO ，

∴∠AOC为二面角A—BD—C的平面角.

∴∠AOC=90° 即二面角A—BD—C为直二面角.

是指利用三垂线萣理 ，根据“与射影垂直 则也与斜线垂直”的思想构造出二面角的平面角 ，继而求出平面角的方法.

∴∠DFE为二面角为α-AB-β的平面角.

是指用垂直于棱的平面去截二面角 则截面与二面角的两个面必有两条交线 ，这两条交线构成的角即为二面角的平面角 继而再求出其平面角的┅种方法.

所谓面积射影法 ，就是根据三角形及其在某一个平面上的射影面积之间的关系 利用cosθ=S?射S来计算二面角的一种方法(其中θ为二面角).

解:连结AC ，则由题意可知

△ABC是△AKM在平面AC上的射影.

设平面AKM与ABCD所成角为θ ，

令正方体的棱长为4

由海伦公式可知S?△AKM=221 ，

法向量法是通过求與二面角垂直的两个向量所成的角 继而利用这个角与二面角的平面角相等或互补的关系 ，求出二面角的一种方法.

【例5】 如图5 过正方形ABCD嘚顶点A作PA⊥平面ABCD ，设PA=AB=ɑ 求平面PAB和平面PCD所成的二面角的大小.

解:以A为射点建立直角坐标系(如图5所示) ，

又AD成为平面PAB的法向量

∴AD与n所成的角为45°.

因此平面PAB和平面PCD所成的角为45°.

是指先利用待定系数法确定垂足 ，再利用公式求出二面角的大小.

(2)以D为原点 DA、DC、DP分别为x ，y z轴建立空间直角坐标系.

故二面角E-PC-D的平面角θ的大小为向量EF与DG的夹角.

故二面角E-PC-D的大小为π4