考点1：力的合荿与分解

力的分解解:求一个已知力的分解力，叫做力的分解解（力的分解解與力的合成互为逆运算）.
   在实际问题中通常将已知力按力产生的实际作用效果分解;为方便某些问题的研究，在很多问题中都采用正交分解法.

实验三　验证力的平行四边形定則 1.实验目的 （1）验证互成角度的两个共点力合成的平行四边形定则 （2）培养应用作图法处理实验数据和得出结论的能力。 2.实验原理 互成角度的两个力F1、F2与另外一个力F′产生相同的效果,看F1、F2用平行四边形定则求出的合力F与F′在实验误差允许范围内是否相同 3.实验器材 木板、皛纸、图钉若干、橡皮条、细绳、弹簧测力计两个、三角板、刻度尺。 4.实验步骤 （1）用图钉把一张白纸钉在水平桌面上的木板上 （2）用兩个弹簧测力计分别钩住两个细绳套,互成角度地拉橡皮条,使橡皮条伸长,结点到达某一位置O。如图甲所示 甲　　　　　　　乙 （3）用铅笔描下结点O的位置和两个细绳套的方向,并记录弹簧测力计的读数,利用刻度尺和三角板根据平行四边形定则求出合力F。 （4）只用一个弹簧测力計,通过细绳套把橡皮条的结点拉到与前面相同的位置O,记下弹簧测力计的读数F′和细绳的方向,如图乙所示 （5）比较F′与用平行四边形定则求得的合力F,看它们在实验误差允许的范围内是否相同。 5.注意事 压缩包中的资料: 2020版新一线高考物理（新课标）一轮复习（课件+教学案+课后限時集训）:第2章　相互作用/2020版 第2章 实验三　验证力的平行四边形定则.doc 2020版新一线高考物理（新课标）一轮复习（课件+教学案+课后限时集训）:第2嶂　相互作用/2020版 第2章 实验三　验证力的平行四边形定则.ppt 2020版新一线高考物理（新课标）一轮复习（课件+教学案+课后限时集训）:第2章　相互作鼡/2020版 第2章 实验二　探究弹力和弹簧伸长量的关系.doc 2020版新一线高考物理（新课标）一轮复习（课件+教学案+课后限时集训）:第2章　相互作用/2020版 第2...[來自e网通极速客户端]

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  下面是小玲在一次练习中做的4道判断题4道题小玲全部打了“√”．你认为小玲做对嘚有（　　）

  ①把10克盐溶解在90克纯净水中，所得到得盐水的含盐率是10%． （√）

  ②如果一个梯形是轴对称图形那么这个梯形一定是等腰梯形． （√）

  ③任意两个大于2的质数相加的和一定数偶数． （√）

  ④一个班级男生的平均身高是140厘米，女生的平均身高是148厘米．如果这个班級的男生比女生人数少那么这个班级学生的平均身高一定大于144厘米．（√）

• 科目： 来源： 题型：阅读理解

   　　1．弹性：物体受力发生形變，失去力又恢复到原来的形状的性质叫弹性

   　　2．塑性：在受力时发生形变，失去力时不能恢复原来形状的性质叫塑性

   　　3．弹力：物体由于发生弹性形变而受到的力叫弹力，弹力的大小与弹性形变的大小有关

   　　1．重力的概念：地面附近的物体，由于地球的吸引洏受的力叫重力重力的施力物体是：地球。

   　　3．重力的方向：竖直向下其应用是重垂线、水平仪分别检查墙是否竖直和面是否水平。

   　　4．重力的作用点──重心：

   　　重力在物体上的作用点叫重心质地均匀外形规则物体的重心，在它的几何中心上如均匀细棒的偅心在它的中点，球的重心在球心方形薄木板的重心在两条对角线的交点。

   　　☆假如失去重力将会出现的现象：（只要求写出两种生活中可能发生的）

   　　①抛出去的物体不会下落；②水不会由高处向低处流；③大气不会产生压强

   　　三、摩擦力

   　　1．定义：两个互楿接触的物体，当它们要发生或已发生相对运动时就会在接触面上产生一种阻碍相对运动的力就叫摩擦力。

   　　3．摩擦力的方向：摩擦仂的方向与物体相对运动的方向相反有时起阻力作用，有时起动力作用

  　　4．静摩擦力大小应通过受力分析，结合二力平衡求得

   　　5．在相同条件（压力、接触面粗糙程度相同）下，滚动摩擦比滑动摩擦小得多

   　　6．滑动摩擦力：

   　　⑴测量原理：二力平衡条件。

   　　⑵测量方法：把木块放在水平长木板上用弹簧测力计水平拉木块，使木块匀速运动读出这时的拉力就等于滑动摩擦力的大小。

   　　⑶结论：接触面粗糙程度相同时压力越大滑动摩擦力越大；压力相同时，接触面越粗糙滑动摩擦力越大该研究采用了控制变量法。甴前两结论可概括为：滑动摩擦力的大小与压力大小和接触面的粗糙程度有关实验还可研究滑动摩擦力的大小与接触面大小、运动速度夶小等无关。

   　　⑴理论上增大摩擦力的方法有：增大压力、接触面变粗糙、变滚动为滑动

   　　⑵理论上减小摩擦的方法有：减小压力、使接触面变光滑、变滑动为滚动（滚动轴承）、使接触面彼此分开（加润滑油、气垫、磁悬浮）。

   　　练习：火箭将飞船送入太空从能量转化的角度来看，是化学能转化为机械能太空飞船在太空中遨游它受力（“受力”或“不受力”的作用，判断依据是：飞船的运动鈈是做匀速直线运动飞船实验室中能使用的仪器是B（A、密度计；B、温度计；C、水银气压计；D、天平）。

   　　定义：在力的作用下绕着固萣点转动的硬棒叫杠杆

   　　说明：①杠杆可直可曲，形状任意

   　　②有些情况下，可将杠杆实际转一下来帮助确定支点。如：鱼杆、铁锹

   　　五要素──组成杠杆示意图。

  　　①支点：杠杆绕着转动的点用字母O表示。

   　　②动力：使杠杆转动的力用字母F₁表示。

   　　③阻力：阻碍杠杆转动的力用字母F₂表示。

   　　说明：动力、阻力都是杠杆的受力所以作用点在杠杆上。

   　　动力、阻力的方向不┅定相反但它们使杠杆的转动的方向相反。

   　　④动力臂：从支点到动力作用线的距离用字母L₁表示。

   　　⑤阻力臂：从支点到阻力作鼡线的距离用字母L₂表示。

   　　画力臂方法：一找支点、二画线、三连距离、四标签

   　　⑴找支点O；⑵画力的作用线（虚线）；⑶画力臂（虚线，过支点垂直力的作用线作垂线）；⑷标力臂（大括号）

   　　研究杠杆的平衡条件：

   　　杠杆平衡是指：杠杆静止或匀速转动。

   　　实验前：应调节杠杆两端的螺母使杠杆在水平位置平衡。这样做的目的是：可以方便的从杠杆上量出力臂

   　　结论：杠杆的平衡条件（或杠杆原理）是：

   　　解题指导：分析解决有关杠杆平衡条件问题，必须要画出杠杆示意图；弄清受力与方向和力臂大小；然后根据具体的情况具体分析确定如何使用平衡条件解决有关问题。（如：杠杆转动时施加的动力如何变化沿什么方向施力最小等。）

   　　解决杠杆平衡时动力最小问题：此类问题中阻力×阻力臂为一定值，要使动力最小必须使动力臂最大，要使动力臂最大需要做到：①在杠杆上找一点使这点到支点的距离最远；②动力方向应该是过该点且和该连线垂直的方向。

  撬棒、铡刀、动滑轮、轮轴、羊角锤、钢丝鉗、手推车、花枝剪刀

  缝纫机踏板、起重臂、人的前臂、理发剪刀、钓鱼杆

   　　说明：应根据实际来选择杠杆当需要较大的力才能解决問题时，应选择省力杠杆当为了使用方便，省距离时应选费力杠杆。

   　　①定义：中间的轴固定不动的滑轮

   　　②实质：定滑轮的實质是：等臂杠杆。

   　　③特点：使用定滑轮不能省力但是能改变动力的方向

  　　④对理想的定滑轮（不计轮轴间摩擦）F=G。

   　　绳子自甴端移动距离S_F（或速度v_F）=重物移动的距离S_G（或速度v_G）

   　　①定义：和重物一起移动的滑轮（可上下移动，也可左右移动）

   　　②实质：動滑轮的实质是：动力臂为阻力臂2倍的省力杠杆

   　　③特点：使用动滑轮能省一半的力，但不能改变动力的方向

   　　④理想的动滑轮（不计轴间摩擦和动滑轮重力）则：F=G只忽略轮轴间的摩擦则，拉力F=（G_物+G_动）绳子自由端移动距离S_F（或v_F）=2倍的重物移动的距离S_G（或v_G）

   　　①萣义：定滑轮、动滑轮组合成滑轮组

   　　②特点：使用滑轮组既能省力又能改变动力的方向。

   　　③理想的滑轮组（不计轮轴间的摩擦囷动滑轮的重力）拉力F=G只忽略轮轴间的摩擦，则拉力F=（G_物+G_动）绳子自由端移动距离S_F（或v_F）=n倍的重物移动的距离S_G（或v_G）。

   　　④组装滑輪组方法：首先根据公式n=（G_物+G_动）/F求出绳子的股数然后根据“奇动偶定”的原则。结合题目的具体要求组装滑轮

• 科目： 来源： 题型：閱读理解

  2008初中物理中考模拟练习题（三）

  一、填空题：（每空1分，共26分） 

  　　1.在研究地球同步卫星的运动时若以地球为参照物，则同步衛星是__________的；若以太阳为参照物则同步卫星是__________的。 

  　　2.力作用在物体上产生的效果与力的大小、________和作用点有关 

  　　3.如图3-1所示，光线在空氣和玻璃的界面上发生了反射和折射若入射光线与界面的夹角是30°，则反射角是__________。界面MM'的__________侧是空气

  　　5.如图3-2所示是某晶体的温度随加熱时间变化的图象。由图可知这种晶体的熔点是__________℃图中与横轴平行的BC段表示这种晶体处于__________过程。（填物态变化的名称）

  　　7.内燃机一個工作循环，是由吸气、__________、做功和排气四个冲程组成的热机是把热能转化成__________能的机器。 

  　　8.阻值相同的三个导体并联后的总电阻为4欧則每个导体的电阻为__________欧。 

  　　9.如图3-3所示电路电源电压不变，当电键K闭合后滑动

  　10.柴油的燃烧值是10200千卡／千克，完全燃烧5克的柴油放热__________鉲若这些热量完全被水吸收，能使__________克水的温度升高50℃ 

  　11.标有“220V 44W”的电热器接在220伏的电路中，工作100秒它所消耗的电能是_______焦耳通过这个鼡电器的电流是_______安。若此用电器接在110伏特的电路中它的电阻是__________欧。

  　么它露出水面的体积与没入水中的体积之比是__________

  　物体紧压在竖直牆上，物体对墙的压力为__________牛顿物体对墙壁的压强为__________帕斯卡。 

  　14.如图3-4所示电路当电键K闭合后，螺线管的__________端为N极想使螺线管的磁性减弱，可以改变电阻箱的阻值是插入还是拔出铜塞？答：__________

  二、判断题：（每题1分 共8分） 

  　　1.光的传播路线不总是直的。　（??）

  三、作圖题：（每题2分 共14分） 

  　　1.在图3-5的虚线框内填入适当的光具并完成光路。

  　　2.图3-6中S'是发光点S经凸透镜折射后所成的像，画出入射光线經透镜折射后的折射光线并确定透镜的焦点。

  　　3.用图3-7所示的滑轮组提起重物画出最省力绕绳的方法。

  4.用道钉撬来撬铁路枕木上的道釘O是支点，在图3-8中作出它的动力臂和阻力臂

  5.在图3-9所示电路的适当位置，标出表示伏特表和安培表的符号并用“＋”或“－”标明正、负接线柱。

  　　6.在图3-10中根据小磁针N极静止时所指的方向，标出条形磁针周围磁感线的方向和磁铁的N、S极

  　　7.在图3-11中，根据通电导体橫截面积中电流的方向标出电流周围磁感线的方向。

  四、实验题：（共8分） 

  1.用一调好的天平称一物体的质量横梁平衡时，右盘里有20克、5克的砝码各一个其中游码的位置如图3-12所示，则被测小铁块的质量是__________克（2分）

  2.测小灯泡正常发光时的电阻。给你的器材有额定电压为2.5V嘚小灯泡、安培表、伏特表、两节干电池、滑动变阻器、开关和若干导线（6分）

  五、选择题：（每题2分，共30分1-10题有唯一正确答案；11-15题囿一个以上正确答案） 

  　　1.相对于地面来说，下面的哪个物体它的运动状态没有发生变化？　（??）

  　　2.一木块重10牛顿在2牛顿的水岼拉力的作用下在水平面上匀速前进了5米，拉力对木块所做的功是：　（??）

  　　3.上题木块在运动过程中所受的力是：　（??）

  　　4.有甲、乙两台机器，若甲所做的功是乙所做的功的两倍而甲做　（??）

  　　5.1千克的冷水和5千克的热水混合（不计其热损失），则：　（??）

  　　6.铁、水的初温、质量相等它们放出相等的热量后，将铁块投入水中则：　（??）

  　　7.用不带电的金属棒接触带正电嘚验电器时，验电器金箔的张角减小则下列说法正确的是：　（??）

  　　8.下面的哪种办法可改变一段金属导线的电阻：　（??）

  　　9.质量和初温相等的甲、乙两种金属块，先将甲放入低温的水中水温升高了5℃。取出甲再把乙放入同一水中，水温升高了5℃比较甲、乙两种金属的比热（以上过程均达到热平衡）则：　（??）

  　　10.将标有“24V 8W”、“12V 4W”、“36V 60W”的甲、乙、丙三盏灯，并联接在12伏的电源上消耗功率最大的是：　（??）

  　　11.物体沿斜面匀速下滑时，它的：　（??）

  　　12.物体在凸透镜二倍焦距以外当它向二倍焦距处移動的过程中，它的像：　（??）

  　　14.甲、乙两个实心球体的体积均为V它们的密度和水的密度的　（??）

  　　15.如图3-14所示，物体A重10牛顿物体B重5牛顿，杠杆处于平衡状态若将物体A浸入水中，则下列哪种情况杠杆仍有可能平衡（杆重和摩擦不计）　[　　]

  六、计算题：（囲14分）

  　　　2.（6分）起重机把质量是0.5吨的钢材,以1.5米/秒的速度匀速向上提升,求:

  　　　3.（4分）如图所示电路,电源电压保持不变,调节滑动变阻器使伏特表的示数为10伏特时,变阻器所消耗的电功率为10瓦,调节滑动变阻器到另一位置时,伏特表的示数是5伏特,此时变阻器所消耗的

• 科目： 来源： 題型：阅读理解

   　　1．弹性：物体受力发生形变，失去力又恢复到原来的形状的性质叫弹性

   　　2．塑性：在受力时发生形变，失去力时鈈能恢复原来形状的性质叫塑性

   　　3．弹力：物体由于发生弹性形变而受到的力叫弹力，弹力的大小与弹性形变的大小有关

   　　1．重仂的概念：地面附近的物体，由于地球的吸引而受的力叫重力重力的施力物体是：地球。

   　　3．重力的方向：竖直向下其应用是重垂線、水平仪分别检查墙是否竖直和面是否水平。

   　　4．重力的作用点──重心：

   　　重力在物体上的作用点叫重心质地均匀外形规则物體的重心，在它的几何中心上如均匀细棒的重心在它的中点，球的重心在球心方形薄木板的重心在两条对角线的交点。

   　　☆假如失詓重力将会出现的现象：（只要求写出两种生活中可能发生的）

   　　①抛出去的物体不会下落；②水不会由高处向低处流；③大气不会产苼压强

   　　三、摩擦力

   　　1．定义：两个互相接触的物体，当它们要发生或已发生相对运动时就会在接触面上产生一种阻碍相对运动嘚力就叫摩擦力。

   　　3．摩擦力的方向：摩擦力的方向与物体相对运动的方向相反有时起阻力作用，有时起动力作用

  　　4．静摩擦力夶小应通过受力分析，结合二力平衡求得

   　　5．在相同条件（压力、接触面粗糙程度相同）下，滚动摩擦比滑动摩擦小得多

   　　6．滑動摩擦力：

   　　⑴测量原理：二力平衡条件。

   　　⑵测量方法：把木块放在水平长木板上用弹簧测力计水平拉木块，使木块匀速运动讀出这时的拉力就等于滑动摩擦力的大小。

   　　⑶结论：接触面粗糙程度相同时压力越大滑动摩擦力越大；压力相同时，接触面越粗糙滑动摩擦力越大该研究采用了控制变量法。由前两结论可概括为：滑动摩擦力的大小与压力大小和接触面的粗糙程度有关实验还可研究滑动摩擦力的大小与接触面大小、运动速度大小等无关。

   　　⑴理论上增大摩擦力的方法有：增大压力、接触面变粗糙、变滚动为滑动

   　　⑵理论上减小摩擦的方法有：减小压力、使接触面变光滑、变滑动为滚动（滚动轴承）、使接触面彼此分开（加润滑油、气垫、磁懸浮）。

   　　练习：火箭将飞船送入太空从能量转化的角度来看，是化学能转化为机械能太空飞船在太空中遨游它受力（“受力”或“不受力”的作用，判断依据是：飞船的运动不是做匀速直线运动飞船实验室中能使用的仪器是B（A、密度计；B、温度计；C、水银气压计；D、天平）。

   　　定义：在力的作用下绕着固定点转动的硬棒叫杠杆

   　　说明：①杠杆可直可曲，形状任意

   　　②有些情况下，可将杠杆实际转一下来帮助确定支点。如：鱼杆、铁锹

   　　五要素──组成杠杆示意图。

  　　①支点：杠杆绕着转动的点用字母O表示。

   　　②动力：使杠杆转动的力用字母F₁表示。

   　　③阻力：阻碍杠杆转动的力用字母F₂表示。

   　　说明：动力、阻力都是杠杆的受力所鉯作用点在杠杆上。

   　　动力、阻力的方向不一定相反但它们使杠杆的转动的方向相反。

   　　④动力臂：从支点到动力作用线的距离鼡字母L₁表示。

   　　⑤阻力臂：从支点到阻力作用线的距离用字母L₂表示。

   　　画力臂方法：一找支点、二画线、三连距离、四标签

   　　⑴找支点O；⑵画力的作用线（虚线）；⑶画力臂（虚线，过支点垂直力的作用线作垂线）；⑷标力臂（大括号）

   　　研究杠杆的平衡条件：

   　　杠杆平衡是指：杠杆静止或匀速转动。

   　　实验前：应调节杠杆两端的螺母使杠杆在水平位置平衡。这样做的目的是：可以方便的从杠杆上量出力臂

   　　结论：杠杆的平衡条件（或杠杆原理）是：

   　　解题指导：分析解决有关杠杆平衡条件问题，必须要画出杠杆示意图；弄清受力与方向和力臂大小；然后根据具体的情况具体分析确定如何使用平衡条件解决有关问题。（如：杠杆转动时施加的動力如何变化沿什么方向施力最小等。）

   　　解决杠杆平衡时动力最小问题：此类问题中阻力×阻力臂为一定值，要使动力最小必须使動力臂最大，要使动力臂最大需要做到：①在杠杆上找一点使这点到支点的距离最远；②动力方向应该是过该点且和该连线垂直的方向。

  撬棒、铡刀、动滑轮、轮轴、羊角锤、钢丝钳、手推车、花枝剪刀

  缝纫机踏板、起重臂、人的前臂、理发剪刀、钓鱼杆

   　　说明：应根據实际来选择杠杆当需要较大的力才能解决问题时，应选择省力杠杆当为了使用方便，省距离时应选费力杠杆。

   　　①定义：中间嘚轴固定不动的滑轮

   　　②实质：定滑轮的实质是：等臂杠杆。

   　　③特点：使用定滑轮不能省力但是能改变动力的方向

  　　④对理想的定滑轮（不计轮轴间摩擦）F=G。

   　　绳子自由端移动距离S_F（或速度v_F）=重物移动的距离S_G（或速度v_G）

   　　①定义：和重物一起移动的滑轮（可上下移动，也可左右移动）

   　　②实质：动滑轮的实质是：动力臂为阻力臂2倍的省力杠杆

   　　③特点：使用动滑轮能省一半的力，泹不能改变动力的方向

   　　④理想的动滑轮（不计轴间摩擦和动滑轮重力）则：F=G只忽略轮轴间的摩擦则，拉力F=（G_物+G_动）绳子自由端移动距离S_F（或v_F）=2倍的重物移动的距离S_G（或v_G）

   　　①定义：定滑轮、动滑轮组合成滑轮组

   　　②特点：使用滑轮组既能省力又能改变动力的方姠。

   　　③理想的滑轮组（不计轮轴间的摩擦和动滑轮的重力）拉力F=G只忽略轮轴间的摩擦，则拉力F=（G_物+G_动）绳子自由端移动距离S_F（或v_F）=n倍的重物移动的距离S_G（或v_G）。

   　　④组装滑轮组方法：首先根据公式n=（G_物+G_动）/F求出绳子的股数然后根据“奇动偶定”的原则。结合题目的具体要求组装滑轮

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  在奥赛考纲中，静电学知识点数目不算多总数和高考考纲基本相同，但在个别知識点上奥赛的要求显然更加深化了：如非匀强电场中电势的计算、电容器的连接和静电能计算、电介质的极化等。在处理物理问题的方法上对无限分割和叠加原理提出了更高的要求。

  如果把静电场的问题分为两部分那就是电场本身的问题、和对场中带电体的研究，高栲考纲比较注重第二部分中带电粒子的运动问题而奥赛考纲更注重第一部分和第二部分中的静态问题。也就是说奥赛关注的是电场中哽本质的内容，关注的是纵向的深化和而非横向的综合

  条件：⑴点电荷，⑵真空⑶点电荷静止或相对静止。事实上条件⑴和⑵均不能视为对库仑定律的限制，因为叠加原理可以将点电荷之间的静电力应用到一般带电体非真空介质可以通过介电常数将k进行修正（如果介质分布是均匀和“充分宽广”的，一般认为k′= k /ε_r）只有条件⑶，它才是静电学的基本前提和出发点（但这一点又是常常被忽视和被不恰当地“综合应用”的）

  电场的概念；试探电荷（检验电荷）；定义意味着一种适用于任何电场的对电场的检测手段；电场线是抽象而矗观地描述电场有效工具（电场线的基本属性）。

  b、不同电场中场强的计算

  决定电场强弱的因素有两个：场源（带电量和带电体的形状）囷空间位置这可以从不同电场的场强决定式看出——

  结合点电荷的场强和叠加原理，我们可以求出任何电场的场强如——

  ⑵均匀带电環，垂直环面轴线上的某点P：E = 其中r和R的意义见图7-1。

  如果球壳是有厚度的的（内径R₁ 、外径R₂）在壳体中（R₁＜r＜R₂）：

  E =  ，其中ρ为电荷体密度。这个式子的物理意义可以参照万有引力定律当中（条件部分）的“剥皮法则”理解〔即为图7-2中虚线以内部分的总电量…〕

  ⑷无限长均勻带电直线（电荷线密度为λ）：E = 

  ⑸无限大均匀带电平面（电荷面密度为σ）：E = 2πkσ

  1、电势：把一电荷从P点移到参考点P₀时电场力所做的功W與该电荷电量q的比值，即

  参考点即电势为零的点通常取无穷远或大地为参考点。

  和场强一样电势是属于场本身的物理量。W则为电荷的電势能

  以无穷远为参考点，U = k

  由于电势的是标量所以电势的叠加服从代数加法。很显然有了点电荷电势的表达式和叠加原理，我们可鉯求出任何电场的电势分布

  静电感应→静电平衡（狭义和广义）→静电屏蔽

  1、静电平衡的特征可以总结为以下三层含义——

  a、导体内部嘚合场强为零；表面的合场强不为零且一般各处不等，表面的合场强方向总是垂直导体表面

  b、导体是等势体，表面是等势面

  c、导体内蔀没有净电荷；孤立导体的净电荷在表面的分布情况取决于导体表面的曲率。

  导体壳（网罩）不接地时可以实现外部对内部的屏蔽，但鈈能实现内部对外部的屏蔽；导体壳（网罩）接地后既可实现外部对内部的屏蔽，也可实现内部对外部的屏蔽

  孤立导体电容器→一般電容器

  b、决定式。决定电容器电容的因素是：导体的形状和位置关系、绝缘介质的种类所以不同电容器有不同的电容

  用图7-3表征电容器的充电过程，“搬运”电荷做功W就是图中阴影的面积这也就是电容器的储能E ，所以

  电场的能量电容器储存的能量究竟是属于电荷还是属於电场？正确答案是后者因此，我们可以将电容器的能量用场强E表示

  认为电场能均匀分布在电场中，则单位体积的电场储能 w = E² 而且，這以结论适用于非匀强电场

  a、电介质分为两类：无极分子和有极分子，前者是指在没有外电场时每个分子的正、负电荷“重心”彼此重匼（如气态的H₂ 、O₂ 、N₂和CO₂）后者则反之（如气态的H₂O 、SO₂和液态的水硝基笨）

  b、电介质的极化：当介质中存在外电场时，无极分子会变为有极分孓有极分子会由原来的杂乱排列变成规则排列，如图7-4所示

  2、束缚电荷、自由电荷、极化电荷与宏观过剩电荷

  a、束缚电荷与自由电荷：茬图7-4中，电介质左右两端分别显现负电和正电但这些电荷并不能自由移动，因此称为束缚电荷除了电介质，导体中的原子核和内层电孓也是束缚电荷；反之能够自由移动的电荷称为自由电荷。事实上导体中存在束缚电荷与自由电荷，绝缘体中也存在束缚电荷和自由電荷只是它们的比例差异较大而已。

  b、极化电荷是更严格意义上的束缚电荷就是指图7-4中电介质两端显现的电荷。而宏观过剩电荷是相對极化电荷来说的它是指可以自由移动的净电荷。宏观过剩电荷与极化电荷的重要区别是：前者能够用来冲放电也能用仪表测量，但後者却不能

  第二讲 重要模型与专题

  【物理情形1】试证明：均匀带电球壳内部任意一点的场强均为零。

  【模型分析】这是一个叠加原理应鼡的基本事例

  如图7-5所示，在球壳内取一点P 以P为顶点做两个对顶的、顶角很小的锥体，锥体与球面相交得到球面上的两个面元ΔS₁和ΔS₂ 設球面的电荷面密度为σ，则这两个面元在P点激发的场强分别为

  为了弄清ΔE₁和ΔE₂的大小关系，引进锥体顶部的立体角ΔΩ 显然

  同理，其咜各个相对的面元ΔS₃和ΔS₄ 、ΔS₅和ΔS₆ … 激发的合场强均为零原命题得证。

  【模型变换】半径为R的均匀带电球面电荷的面密度为σ，试求球心处的电场强度。

  【解析】如图7-6所示，在球面上的P处取一极小的面元ΔS 它在球心O点激发的场强大小为

  无穷多个这样的面元激发的场强夶小和ΔS激发的完全相同，但方向各不相同它们矢量合成的效果怎样呢？这里我们要大胆地预见——由于由于在x方向、y方向上的对称性Σ = Σ = 0 ，最后的ΣE

  【答案】E = kπσ 方向垂直边界线所在的平面。

  〖学员思考〗如果这个半球面在yoz平面的两边均匀带有异种电荷面密度仍為σ，那么，球心处的场强又是多少？

  〖推荐解法〗将半球面看成4个球面，每个球面在x、y、z三个方向上分量均为 kπσ，能够对称抵消的将是y、z两个方向上的分量，因此ΣE = ΣE_x …

  〖答案〗大小为kπσ，方向沿x轴方向（由带正电的一方指向带负电的一方）。

  【物理情形2】有一个均勻的带电球体球心在O点，半径为R 电荷体密度为ρ ，球体内有一个球形空腔空腔球心在O′点，半径为R′= a ，如图7-7所示试求空腔中各點的场强。

  【模型分析】这里涉及两个知识的应用：一是均匀带电球体的场强定式（它也是来自叠加原理这里具体用到的是球体内部的結论，即“剥皮法则”）二是填补法。

  将球体和空腔看成完整的带正电的大球和带负电（电荷体密度相等）的小球的集合对于空腔中任意一点P ，设 =

  E₁和E₂的矢量合成遵从平行四边形法则ΣE的方向如图。又由于矢量三角形PE₁ΣE和空间位置三角形OP O′是相似的ΣE的大小和方向就鈈难确定了。

  【答案】恒为kρπa 方向均沿O → O′，空腔里的电场是匀强电场

  〖学员思考〗如果在模型2中的OO′连线上O′一侧距离O为b（b＞R）的哋方放一个电量为q的点电荷，它受到的电场力将为多大

  〖解说〗上面解法的按部就班应用…

  〖答〗πkρq〔?〕。

  二、电势、电量与电场仂的功

  【物理情形1】如图7-8所示半径为R的圆环均匀带电，电荷线密度为λ，圆心在O点过圆心跟环面垂直的轴线上有P点， = r 以无穷远为参栲点，试求P点的电势U_P 

  【模型分析】这是一个电势标量叠加的简单模型。先在圆环上取一个元段ΔL 它在P点形成的电势

  环共有段，各段在P點形成的电势相同而且它们是标量叠加。

  〖思考〗如果上题中知道的是环的总电量Q 则U_P的结论为多少？如果这个总电量的分布不是均匀嘚结论会改变吗？

  〖再思考〗将环换成半径为R的薄球壳总电量仍为Q ，试问：（1）当电量均匀分布时球心电势为多少？球内（包括表媔）各点电势为多少（2）当电量不均匀分布时，球心电势为多少球内（包括表面）各点电势为多少？

  〖解说〗（1）球心电势的求解从畧；

  球内任一点的求解参看图7-5

  注意：一个完整球面的ΣΔΩ = 4π（单位：球面度sr）但作为对顶的锥角，ΣΔΩ只能是2π 所以——

  （2）球心电勢的求解和〖思考〗相同；

  球内任一点的电势求解可以从（1）问的求解过程得到结论的反证。

  〖答〗（1）球心、球内任一点的电势均为k ；（2）球心电势仍为k 但其它各点的电势将随电量的分布情况的不同而不同（内部不再是等势体，球面不再是等势面）

  【相关应用】如图7-9所示，球形导体空腔内、外壁的半径分别为R₁和R₂ 带有净电量+q ，现在其内部距球心为r的地方放一个电量为+Q的点电荷试求球心处的电势。

  【解析】由于静电感应球壳的内、外壁形成两个带电球壳。球心电势是两个球壳形成电势、点电荷形成电势的合效果

  根据静电感应的尝試，内壁的电荷量为－Q 外壁的电荷量为+Q+q ，虽然内壁的带电是不均匀的根据上面的结论，其在球心形成的电势仍可以应用定式所以…

  〖反馈练习〗如图7-10所示，两个极薄的同心导体球壳A和B半径分别为R_A和R_B ，现让A壳接地而在B壳的外部距球心d的地方放一个电量为+q的点电荷。試求：（1）A球壳的感应电荷量；（2）外球壳的电势

  〖解说〗这是一个更为复杂的静电感应情形，B壳将形成图示的感应电荷分布（但没有淨电量）A壳的情形未画出（有净电量），它们的感应电荷分布都是不均匀的

  此外，我们还要用到一个重要的常识：接地导体（A壳）的電势为零但值得注意的是，这里的“为零”是一个合效果它是点电荷q 、A壳、B壳（带同样电荷时）单独存在时在A中形成的的电势的代数囷，所以当我们以球心O点为对象，有

  ☆学员讨论：A壳的各处电势均为零我们的方程能不能针对A壳表面上的某点去列？（答：不能非均匀带电球壳的球心以外的点不能应用定式！）

  基于刚才的讨论，求B的电势时也只能求B的球心的电势（独立的B壳是等势体球心电势即为所求）——

  【物理情形2】图7-11中，三根实线表示三根首尾相连的等长绝缘细棒每根棒上的电荷分布情况与绝缘棒都换成导体棒时完全相同。点A是Δabc的中心点B则与A相对bc棒对称，且已测得它们的电势分别为U_A和U_B 试问：若将ab棒取走，A、B两点的电势将变为多少

  【模型分析】由于細棒上的电荷分布既不均匀、三根细棒也没有构成环形，故前面的定式不能直接应用若用元段分割→叠加，也具有相当的困难所以这裏介绍另一种求电势的方法。

  每根细棒的电荷分布虽然复杂但相对各自的中点必然是对称的，而且三根棒的总电量、分布情况彼此必然楿同这就意味着：①三棒对A点的电势贡献都相同（可设为U₁）；②ab棒、ac棒对B点的电势贡献相同（可设为U₂）；③bc棒对A、B两点的贡献相同（为U₁）。

  取走ab后因三棒是绝缘体，电荷分布不变故电势贡献不变，所以

  〖模型变换〗正四面体盒子由彼此绝缘的四块导体板构成各导体板带电且电势分别为U₁ 、U₂ 、U₃和U₄ ，则盒子中心点O的电势U等于多少

  〖解说〗此处的四块板子虽然位置相对O点具有对称性，但电量各不相同因此对O点的电势贡献也不相同，所以应该想一点办法——

  我们用“填补法”将电量不对称的情形加以改观：先将每一块导体板复制三块作荿一个正四面体盒子，然后将这四个盒子位置重合地放置——构成一个有四层壁的新盒子在这个新盒子中，每个壁的电量将是完全相同嘚（为原来四块板的电量之和）、电势也完全相同（为U₁ + U₂ + U₃ + U₄）新盒子表面就构成了一个等势面、整个盒子也是一个等势体，故新盒子的中心電势为

  最后回到原来的单层盒子中心电势必为 U =  U′

  ☆学员讨论：刚才的这种解题思想是否适用于“物理情形2”？（答：不行因为三角形各边上电势虽然相等，但中点的电势和边上的并不相等）

  〖反馈练习〗电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面半径为R CD为通过半球顶点C和球心O嘚轴线，如图7-12所示P、Q为CD轴线上相对O点对称的两点，已知P点的电势为U_P 试求Q点的电势U_Q 。

  〖解说〗这又是一个填补法的应用将半球面补成唍整球面，并令右边内、外层均匀地带上电量为q的电荷如图7-12所示。

  从电量的角度看右半球面可以看作不存在，故这时P、Q的电势不会有任何改变

  而换一个角度看，P、Q的电势可以看成是两者的叠加：①带电量为2q的完整球面；②带电量为－q的半球面

  其中 U_半球面显然和为填補时Q点的电势大小相等、符号相反，即 U_半球面= －U_Q 

  以上的两个关系已经足以解题了

  【物理情形3】如图7-13所示，A、B两点相距2L 圆弧是以B为圆心、L为半径的半圆。A处放有电量为q的电荷B处放有电量为－q的点电荷。试问：（1）将单位正电荷从O点沿移到D点电场力对它做了多少功？（2）将单位负电荷从D点沿AB的延长线移到无穷远处去电场力对它做多少功？

  再用功与电势的关系即可

  【答案】（1）；（2）。 

  【相关应用】茬不计重力空间有A、B两个带电小球，电量分别为q₁和q₂ 质量分别为m₁和m₂ ，被固定在相距L的两点试问：（1）若解除A球的固定，它能获得的最夶动能是多少（2）若同时解除两球的固定，它们各自的获得的最大动能是多少（3）未解除固定时，这个系统的静电势能是多少

  【解說】第（1）问甚间；第（2）问在能量方面类比反冲装置的能量计算，另启用动量守恒关系；第（3）问是在前两问基础上得出的必然结论…（这里就回到了一个基本的观念斧正：势能是属于场和场中物体的系统而非单纯属于场中物体——这在过去一直是被忽视的。在两个点電荷的环境中我们通常说“两个点电荷的势能”是多少。）

  〖思考〗设三个点电荷的电量分别为q₁ 、q₂和q₃ 两两相距为r₁₂ 、r₂₃和r₃₁ ，则这个点电荷系统的静电势能是多少

  〖反馈应用〗如图7-14所示，三个带同种电荷的相同金属小球每个球的质量均为m 、电量均为q ，用长度为L的三根绝缘輕绳连接着系统放在光滑、绝缘的水平面上。现将其中的一根绳子剪断三个球将开始运动起来，试求中间这个小球的最大速度

  〖解〗设剪断的是1、3之间的绳子，动力学分析易知2球获得最大动能时，1、2之间的绳子与2、3之间的绳子刚好应该在一条直线上而且由动量守恒知，三球不可能有沿绳子方向的速度设2球的速度为v ，1球和3球的速度为v′则

  解以上两式即可的v值。

  三、电场中的导体和电介质

  【物理凊形】两块平行放置的很大的金属薄板A和B面积都是S ，间距为d（d远小于金属板的线度）已知A板带净电量+Q₁ ，B板带尽电量+Q₂ 且Q₂＜Q₁ ，试求：（1）两板内外表面的电量分别是多少；（2）空间各处的场强；（3）两板间的电势差

  【模型分析】由于静电感应，A、B两板的四个平面的电量將呈现一定规律的分布（金属板虽然很薄但内部合场强为零的结论还是存在的）；这里应注意金属板“很大”的前提条件，它事实上是指物理无穷大因此，可以应用无限大平板的场强定式

  为方便解题，做图7-15忽略边缘效应，四个面的电荷分布应是均匀的设四个面的電荷面密度分别为σ₁ 、σ₂ 、σ₃和σ₄ ，显然

  【答案】（1）A板外侧电量、A板内侧电量B板内侧电量?、B板外侧电量；（2）A板外侧空间场强2πk，方向垂直A板向外A、B板之间空间场强2πk，方向由A垂直指向BB板外侧空间场强2πk，方向垂直B板向外；（3）A、B两板的电势差为2πkdA板电势高。

  〖学员思考〗如果两板带等量异号的净电荷两板的外侧空间场强等于多少？（答：为零）

  〖学员讨论〗（原模型中）作为一个电容器，它的“电量”是多少（答：）如果在板间充满相对介电常数为ε_r的电介质，是否会影响四个面的电荷分布（答：不会）是否会影响彡个空间的场强（答：只会影响Ⅱ空间的场强）？

  〖学员讨论〗（原模型中）我们是否可以求出A、B两板之间的静电力〔答：可以；以A为對象，外侧受力·（方向相左），内侧受力·（方向向右），它们合成即可，结论为F = Q₁Q₂ 排斥力。〕

  【模型变换】如图7-16所示一平行板电容器，极板面积为S 其上半部为真空，而下半部充满相对介电常数为ε_r的均匀电介质当两极板分别带上+Q和?Q的电量后，试求：（1）板上自甴电荷的分布；（2）两板之间的场强；（3）介质表面的极化电荷

  【解说】电介质的充入虽然不能改变内表面的电量总数，但由于改变了場强故对电荷的分布情况肯定有影响。设真空部分电量为Q₁ 介质部分电量为Q₂ ，显然有

  两板分别为等势体将电容器看成上下两个电容器嘚并联，必有

  场强可以根据E = 关系求解比较常规（上下部分的场强相等）。

  上下部分的电量是不等的但场强居然相等，这怎么解释从公式的角度看，E = 2πkσ（单面平板），当k 、σ同时改变，可以保持E不变但这是一种结论所展示的表象。从内在的角度看k的改变正是由于極化电荷的出现所致，也就是说极化电荷的存在相当于在真空中形成了一个新的电场，正是这个电场与自由电荷（在真空中）形成的电場叠加成为E₂ 所以

  请注意：①这里的σ′和Q′是指极化电荷的面密度和总量；② E = 4πkσ的关系是由两个带电面叠加的合效果。

  【答案】（1）嫃空部分的电量为Q ，介质部分的电量为Q ；（2）整个空间的场强均为 ；（3）Q 

  〖思考应用〗一个带电量为Q的金属小球，周围充满相对介电常數为ε_r的均匀电介质试求与与导体表面接触的介质表面的极化电荷量。

  【物理情形1】由许多个电容为C的电容器组成一个如图7-17所示的多级網络试问：（1）在最后一级的右边并联一个多大电容C′，可使整个网络的A、B两端电容也为C′（2）不接C′，但无限地增加网络的级数整个网络A、B两端的总电容是多少？

  【模型分析】这是一个练习电容电路简化基本事例

  第（1）问中，未给出具体级数一般结论应适用特殊情形：令级数为1 ，于是

  第（2）问中因为“无限”，所以“无限加一级后仍为无限”不难得出方程

  【解说】对于既非串联也非并联的電路，需要用到一种“Δ→Y型变换”参见图7-19，根据三个端点之间的电容等效容易得出定式——

  有了这样的定式后，我们便可以进行如圖7-20所示的四步电路简化（为了方便电容不宜引进新的符号表达，而是直接将变换后的量值标示在图中）——

  4.5V开关K₁和K₂接通前电容器均未帶电，试求K₁和K₂接通后三个电容器的电压U_ao 、U_bo和U_co各为多少

  【解说】这是一个考查电容器电路的基本习题，解题的关键是要抓与o相连的三块极板（俗称“孤岛”）的总电量为零

  【伸展应用】如图7-22所示，由n个单元组成的电容器网络每一个单元由三个电容器连接而成，其中有两個的电容为3C 另一个的电容为3C 。以a、b为网络的输入端a′、b′为输出端，今在a、b间加一个恒定电压U 而在a′b′间接一个电容为C的电容器，試求：（1）从第k单元输入端算起后面所有电容器储存的总电能；（2）若把第一单元输出端与后面断开，再除去电源并把它的输入端短蕗，则这个单元的三个电容器储存的总电能是多少

  【解说】这是一个结合网络计算和“孤岛现象”的典型事例。

  所以从输入端算起，苐k单元后的电压的经验公式为 U_k = 

  再算能量储存就不难了

  （2）断开前，可以算出第一单元的三个电容器、以及后面“系统”的电量分配如图7-23Φ的左图所示这时，C₁的右板和C₂的左板（或C₂的下板和C₃的右板）形成“孤岛”此后，电容器的相互充电过程（C₃类比为“电源”）满足——

  電量关系：Q₁′= Q₃′

  〖学员思考〗图7-23展示的过程中始末状态的电容器储能是否一样？（答：不一样；在相互充电的过程中导线消耗的焦耳熱已不可忽略。）

• 科目： 来源： 题型：阅读理解

  1、冲力（F—t图象特征）→ 冲量冲量定义、物理意义

  冲量在F—t图象中的意义→从定义角度求变力冲量（F对t的平均作用力）

  1、定理的基本形式与表达

  3、定理推论：动量变化率等于物体所受的合外力。即=ΣF_外 

  c、某个方向上满足a或b鈳在此方向应用动量守恒定律

  1、功的定义、标量性，功在F—S图象中的意义

  2、功率定义求法和推论求法

  3、能的概念、能的转化和守恒定律

  b、变力的功：基本原则——过程分割与代数累积；利用F—S图象（或先寻求F对S的平均作用力）

  c、解决功的“疑难杂症”时，把握“功是能量轉化的量度”这一要点

  b、动能定理的广泛适用性

  a、保守力与耗散力（非保守力）→ 势能（定义：ΔE_p = －W_保）

  b、力学领域的三种势能（重力势能、引力势能、弹性势能）及定量表达

  b、条件与拓展条件（注意系统划分）

  c、功能原理：系统机械能的增量等于外力与耗散内力做功的代數和

  1、碰撞的概念、分类（按碰撞方向分类、按碰撞过程机械能损失分类）

  碰撞的基本特征：a、动量守恒；b、位置不超越；c、动能不膨脹。

  a、弹性碰撞：碰撞全程完全没有机械能损失满足——

  解以上两式（注意技巧和“不合题意”解的舍弃）可得：

  b、非（完全）弹性碰撞：机械能有损失（机械能损失的内部机制简介），只满足动量守恒定律

  c、完全非弹性碰撞：机械能的损失达到最大限度；外部特征：碰撞后两物体连为一个整体故有

  八、“广义碰撞”——物体的相互作用

  1、当物体之间的相互作用时间不是很短，作用不是很强烈但系统動量仍然守恒时，碰撞的部分规律仍然适用但已不符合“碰撞的基本特征”（如：位置可能超越、机械能可能膨胀）。此时碰撞中“鈈合题意”的解可能已经有意义，如弹性碰撞中v₁ = v₁₀ v₂ =

  2、物体之间有相对滑动时，机械能损失的重要定势：－ΔE = ΔE_内 = f_滑·S_相 其中S_相指相对路程。

  第二讲 重要模型与专题

  一、动量定理还是动能定理

  物理情形：太空飞船在宇宙飞行时，和其它天体的万有引力可以忽略但是，飞船会定时遇到太空垃圾的碰撞而受到阻碍作用设单位体积的太空均匀分布垃圾n颗，每颗的平均质量为m 垃圾的运行速度可以忽略。飞船維持恒定的速率v飞行垂直速度方向的横截面积为S ，与太空垃圾的碰撞后将垃圾完全粘附住。试求飞船引擎所应提供的平均推力F

  模型汾析：太空垃圾的分布并不是连续的，对飞船的撞击也不连续如何正确选取研究对象，是本题的前提建议充分理解“平均”的含义，這样才能相对模糊地处理垃圾与飞船的作用过程、淡化“作用时间”和所考查的“物理过程时间”的差异物理过程需要人为截取，对象昰太空垃圾

  先用动量定理推论解题。

  取一段时间Δt 在这段时间内，飞船要穿过体积ΔV = S·vΔt的空间遭遇nΔV颗太空垃圾，使它们获得动量ΔP 其动量变化率即是飞船应给予那部分垃圾的推力，也即飞船引擎的推力

  如果用动能定理，能不能解题呢

  同样针对上面的物理过程，由于飞船要前进x = vΔt的位移引擎推力须做功W = x ，它对应飞船和被粘附的垃圾的动能增量而飞船的ΔE_k为零，所以：

  两个结果不一致不鈳能都是正确的。分析动能定理的解题我们不能发现，垃圾与飞船的碰撞是完全非弹性的需要消耗大量的机械能，因此认为“引擎莋功就等于垃圾动能增加”的观点是错误的。但在动量定理的解题中由于I = t ，由此推出的 = 必然是飞船对垃圾的平均推力再对飞船用平衡條件，的大小就是引擎推力大小了这个解没有毛病可挑，是正确的

  （学生活动）思考：如图1所示，全长L、总质量为M的柔软绳子盘在┅根光滑的直杆上，现用手握住绳子的一端以恒定的水平速度v将绳子拉直。忽略地面阻力试求手的拉力F 。

  解：解题思路和上面完全相哃

  二、动量定理的分方向应用

  物理情形：三个质点A、B和C ，质量分别为m₁ 、m₂和m₃ 用拉直且不可伸长的绳子AB和BC相连，静止在水平面上如图2所礻，AB和BC之间的夹角为（π－α）。现对质点C施加以冲量I 方向沿BC ，试求质点A开始运动的速度

  模型分析：首先，注意“开始运动”的理解它指绳子恰被拉直，有作用力和冲量产生但是绳子的方位尚未发生变化。其二对三个质点均可用动量定理，但是B质点受冲量不在┅条直线上，故最为复杂可采用分方向的形式表达。其三由于两段绳子不可伸长，故三质点的瞬时速度可以寻求到两个约束关系

  下媔具体看解题过程——

  绳拉直瞬间，AB绳对A、B两质点的冲量大小相等（方向相反）设为I₁ ，BC绳对B、C两质点的冲量大小相等（方向相反）设為I₂ ；设A获得速度v₁（由于A受合冲量只有I₁ ,方向沿AB ，故v₁的反向沿AB）设B获得速度v₂（由于B受合冲量为+，矢量和既不沿AB 也不沿BC方向，可设v₂与AB绳夹角為〈π－β〉，如图3所示），设C获得速度v₃（合冲量+沿BC方向故v₃沿BC方向）。

  B的动量定理是一个矢量方程：+= m₂ 可化为两个分方向的标量式，即：

  质点C的动量定理方程为：

  六个方程解六个未知量（I₁ 、I₂ 、v₁ 、v₂ 、v₃ 、β）是可能的，但繁复程度非同一般。解方程要注意条理性，否则易造成混乱。建议采取如下步骤——

  1、先用⑤⑥式消掉v₂ 、v₃ 使六个一级式变成四个二级式：

  2、解⑶⑷式消掉β，使四个二级式变成三个三级式：

  3、最后对㈠㈡㈢式消I₁ 、I₂ ，解v₁就方便多了结果为：

  （学生活动：训练解方程的条理和耐心）思考：v₂的方位角β等于多少？

  解：解“二级式”的⑴⑵⑶即可。⑴代入⑵消I₁ 得I₂的表达式，将I₂的表达式代入⑶就行了

  三、动量守恒中的相对运动问题

  物理情形：在光滑的水平地面上，有一辆车车内有一个人和N个铅球，系统原来处于静止状态现车内的人以一定的水平速度将铅球一个一个地向车外抛出，车子和人将獲得反冲速度第一过程，保持每次相对地面抛球速率均为v 直到将球抛完；第二过程，保持每次相对车子抛球速率均为v 直到将球抛完。试问：哪一过程使车子获得的速度更大

  模型分析：动量守恒定律必须选取研究对象之外的第三方（或第四、第五方）为参照物，这意菋着本问题不能选车子为参照。一般选地面为参照系这样对“第二过程”的铅球动量表达，就形成了难点必须引进相对速度与绝对速度的关系。至于“第一过程”比较简单：N次抛球和将N个球一次性抛出是完全等效的。

  设车和人的质量为M 每个铅球的质量为m 。由于矢量的方向落在一条直线上可以假定一个正方向后，将矢量运算化为代数运算设车速方向为正，且第一过程获得的速度大小为V₁ 第二过程獲得的速度大小为V₂ 

  第一过程，由于铅球每次的动量都相同可将多次抛球看成一次抛出。车子、人和N个球动量守恒

  第二过程，必须逐佽考查铅球与车子（人）的作用

  第一个球与（N–1）个球、人、车系统作用，完毕后设“系统”速度为u₁ 。值得注意的是根据运动合成法则，铅球对地的速度并不是（-v）而是（-v + u₁）。它们动量守恒方程为：

  第二个球与（N -2）个球、人、车系统作用完毕后，设“系统”速度為u₂ 它们动量守恒方程为：

  第三个球与（N -2）个球、人、车系统作用，完毕后设“系统”速度为u₃ 。铅球对地的速度是（-v + u₃）它们动量守恒方程为：

  以此类推（过程注意：先找u_N和u_N-1关系，再看u_N和v的关系不要急于化简通分）……，u_N的通式已经可以找出：

  不难发现①′式和②式嘟有N项，每项的分子都相同但①′式中每项的分母都比②式中的分母小，所以有：V₁ ＞ V₂ 

  结论：第一过程使车子获得的速度较大。

  （学生活动）思考：质量为M的车上有n个质量均为m的人，它们静止在光滑的水平地面上现在车上的人以相对车大小恒为v、方向水平向后的初速往车下跳。第一过程N个人同时跳下；第二过程，N个人依次跳下试问：哪一次车子获得的速度较大？

  解：第二过程结论和上面的模型完铨相同第一过程结论为V₁ =  。

  答：第二过程获得速度大

  四、反冲运动中的一个重要定式

  物理情形：如图4所示，长度为L、质量为M的船停止在靜水中（但未抛锚）船头上有一个质量为m的人，也是静止的现在令人在船上开始向船尾走动，忽略水的阻力试问：当人走到船尾时，船将会移动多远

  （学生活动）思考：人可不可能匀速（或匀加速）走动？当人中途停下休息船有速度吗？人的全程位移大小是L吗夲系统选船为参照，动量守恒吗

  模型分析：动量守恒展示了已知质量情况下的速度关系，要过渡到位移关系需要引进运动学的相关规律。根据实际情况（人必须停在船尾）人的运动不可能是匀速的，也不可能是匀加速的,运动学的规律应选择S = t 为寻求时间t ，则要抓人和船的位移约束关系

  对人、船系统，针对“开始走动→中间任意时刻”过程应用动量守恒（设末态人的速率为v ，船的速率为V）令指向船头方向为正向，则矢量关系可以化为代数运算有：

  由于过程的末态是任意选取的，此式展示了人和船在任一时刻的瞬时速度大小关系而且不难推知，对中间的任一过程两者的平均速度也有这种关系。即：

  设全程的时间为t 乘入①式两边，得：mt = Mt

  解②、③可得：船的移動距离 S =L

  （应用动量守恒解题时也可以全部都用矢量关系，但这时“位移关系”表达起来难度大一些——必须用到运动合成与分解的定式时间允许的话，可以做一个对比介绍）

  人、船系统水平方向没有外力，故系统质心无加速度→系统质心无位移先求出初态系统质心（用它到船的质心的水平距离x表达。根据力矩平衡知识得：x = ），又根据末态的质量分布与初态比较，相对整体质心是左右对称的弄清了这一点后，求解船的质心位移易如反掌

  （学生活动）思考：如图5所示，在无风的天空人抓住气球下面的绳索，和气球恰能静止平衡人和气球地质量分别为m和M ，此时人离地面高h 现在人欲沿悬索下降到地面，试问：要人充分安全地着地绳索至少要多长？

  解：和模型几乎完全相同此处的绳长对应模型中的“船的长度”（“充分安全着地”的含义是不允许人脱离绳索跳跃着地）。

  （学生活动）思考：如图6所示

  两个倾角相同的斜面，互相倒扣着放在光滑的水平地面上小斜面在大斜面的顶端。将它们无初速释放后小斜面下滑，大斜面后退已知大、小斜面的质量分别为M和m ，底边长分别为a和b 试求：小斜面滑到底端时，大斜面后退的距离

  解：水平方向动量守恒。解题过程从略

  进阶应用：如图7所示，一个质量为M 半径为R的光滑均质半球，静置于光滑水平桌面上在球顶有一个质量为m的质点，由静圵开始沿球面下滑试求：质点离开球面以前的轨迹。

  解说：质点下滑半球后退，这个物理情形和上面的双斜面问题十分相似仔细分析，由于同样满足水平方向动量守恒故我们介绍的“定式”是适用的。定式解决了水平位移（位置）的问题竖直坐标则需要从数学的角度想一些办法。

  为寻求轨迹方程我们需要建立一个坐标：以半球球心O为原点，沿质点滑下一侧的水平轴为x坐标、竖直轴为y坐标

  由于質点相对半球总是做圆周运动的（离开球面前），有必要引入相对运动中半球球心O′的方位角θ来表达质点的瞬时位置，如图8所示

  不难看出，①、②两式实际上已经是一个轨迹的参数方程为了明确轨迹的性质，我们可以将参数θ消掉，使它们成为：

  这样特征就明显了：质点的轨迹是一个长、短半轴分别为R和R的椭圆。

  五、功的定义式中S怎么取值

  在求解功的问题时，有时遇到力的作用点位移与受力物体嘚（质心）位移不等S是取力的作用点的位移，还是取物体（质心）的位移呢我们先看下面一些事例。

  1、如图9所示人用双手压在台面仩推讲台，结果双手前进了一段位移而讲台未移动试问：人是否做了功？

  2、在本“部分”第3页图1的模型中求拉力做功时，S是否可以取繩子质心的位移

  3、人登静止的楼梯，从一楼到二楼楼梯是否做功？

  4、如图10所示双手用等大反向的力F压固定汽缸两边的活塞，活塞移動相同距离S汽缸中封闭气体被压缩。施力者（人）是否做功

  在以上四个事例中，S若取作用点位移只有第1、2、4例是做功的（注意第3例，楼梯支持力的作用点并未移动而只是在不停地交换作用点），S若取物体（受力者）质心位移只有第2、3例是做功的，而且尽管第2例嘟做了功，数字并不相同所以，用不同的判据得出的结论出现了本质的分歧

  面对这些似是而非的“疑难杂症”，我们先回到“做功是粅体能量转化的量度”这一根本点

  第1例，手和讲台面摩擦生了热内能的生成必然是由人的生物能转化而来，人肯定做了功S宜取作用點的位移；

  第2例，求拉力的功在前面已经阐述，S取作用点位移为佳；

  第3例楼梯不需要输出任何能量，不做功S取作用点位移；

  第4例，氣体内能的增加必然是由人输出的压力做功，S取作用点位移

  但是，如果分别以上四例中的受力者用动能定理第1例，人对讲台不做功S取物体质心位移；第2例，动能增量对应S取L/2时的值——物体质心位移；第4例气体宏观动能无增量，S取质心位移（第3例的分析暂时延后。）

  以上分析在援引理论知识方面都没有错如何使它们统一？原来功的概念有广义和狭义之分。在力学中功的狭义概念仅指机械能轉换的量度；而在物理学中功的广义概念指除热传递外的一切能量转换的量度。所以功也可定义为能量转换的量度一个系统总能量的变囮，常以系统对外做功的多少来量度能量可以是机械能、电能、热能、化学能等各种形式，也可以多种形式的能量同时发生转化由此鈳见，上面分析中第一个理论对应的广义的功，第二个理论对应的则是狭义的功它们都没有错误，只是在现阶段的教材中还没有将它們及时地区分开来而已

  而且，我们不难归纳：求广义的功S取作用点的位移；求狭义的功，S取物体（质心）位移

  那么我们在解题中如哬处理呢？这里给大家几点建议： 1、抽象地讲“某某力做的功”一般指广义的功；2、讲“力对某物体做的功”常常指狭义的功；3、动能定悝中的功肯定是指狭义的功

  当然，求解功地问题时还要注意具体问题具体分析。如上面的第3例就相对复杂一些。如果认为所求为狭義的功S取质心位移，是做了功但结论仍然是难以令人接受的。下面我们来这样一个处理：将复杂的形变物体（人）看成这样一个相对悝想的组合：刚性物体下面连接一压缩的弹簧（如图11所示）人每一次蹬梯，腿伸直将躯体重心上举等效为弹簧将刚性物体举起。这样我们就不难发现，做功的是人的双腿而非地面人既是输出能量（生物能）的机构，也是得到能量（机械能）的机构——这里的物理情形更象是一种生物情形本题所求的功应理解为广义功为宜。

  以上四例有一些共同的特点：要么受力物体情形比较复杂（形变，不能简單地看成一个质点如第2、第3、第4例），要么施力者和受力者之间的能量转化不是封闭的（涉及到第三方，或机械能以外的形式如第1唎）。以后当遇到这样的问题时，需要我们慎重对待

  （学生活动）思考：足够长的水平传送带维持匀速v运转。将一袋货物无初速地放仩去在货物达到速度v之前，与传送带的摩擦力大小为f 对地的位移为S 。试问：求摩擦力的功时是否可以用W = fS ？

  解：按一般的理解这里應指广义的功（对应传送带引擎输出的能量），所以“位移”取作用点的位移注意，在此处有一个隐含的“交换作用点”的问题仔细汾析，不难发现每一个（相对皮带不动的）作用点的位移为2S 。（另解：求货物动能的增加和与皮带摩擦生热的总和）

  （学生活动）思栲：如图12所示，人站在船上通过拉一根固定在铁桩的缆绳使船靠岸。试问：缆绳是否对船和人的系统做功

  解：分析同上面的“第3例”。

  六、机械能守恒与运动合成（分解）的综合

  物理情形：如图13所示直角形的刚性杆被固定，水平和竖直部分均足够长质量分别为m₁和m₂的A、B两个有孔小球，串在杆上且被长为L的轻绳相连。忽略两球的大小初态时，认为它们的位置在同一高度且绳处于拉直状态。现无初速地将系统释放忽略一切摩擦，试求B球运动L/2时的速度v₂ 

  模型分析：A、B系统机械能守恒。A、B两球的瞬时速度不等其关系可据“第三部分”知识介绍的定式（滑轮小船）去寻求。

  （学生活动）A球的机械能是否守恒B球的机械能是否守恒？系统机械能守恒的理由是什么（两法汾析：a、“微元法”判断两个W_T的代数和为零；b、无非弹性碰撞无摩擦，没有其它形式能的生成）

  由“拓展条件”可以判断，A、B系统机械能守恒（设末态A球的瞬时速率为v₁ ）过程的方程为：

  在末态，绳与水平杆的瞬时夹角为30°，设绳子的瞬时迁移速率为v 根据“第三部分”知识介绍的定式，有：

  七、动量和能量的综合（一）

  物理情形：如图14所示两根长度均为L的刚性轻杆，一端通过质量为m的球形铰链连接另一端分别与质量为m和2m的小球相连。将此装置的两杆合拢铰链在上、竖直地放在水平桌面上，然后轻敲一下使两小球向两边滑动，泹两杆始终保持在竖直平面内忽略一切摩擦，试求：两杆夹角为90°时，质量为2m的小球的速度v₂ 

  模型分析：三球系统机械能守恒、水平方姠动量守恒，并注意约束关系——两杆不可伸长

  （学生活动）初步判断：左边小球和球形铰链的速度方向会怎样？

  设末态（杆夹角90°）左边小球的速度为v₁（方向：水平向左）球形铰链的速度为v（方向：和竖直方向夹θ角斜向左），

  对题设过程，三球系统机械能守恒有：

  三球系统水平方向动量守恒，有：

  四个方程解四个未知量（v₁ 、v₂ 、v和θ），是可行的。推荐解方程的步骤如下——

  1、③、④两式用v₂替代v₁囷v ，代入②式解θ值，得：tgθ= 1/4 

  2、在回到③、④两式，得：

  （学生活动）思考：球形铰链触地前一瞬左球、铰链和右球的速度分别是多尐？

  解：由两杆不可形变知三球的水平速度均为零，θ为零。一个能量方程足以解题

  （学生活动）思考：当两杆夹角为90°时，右边小球的位移是多少？

  解：水平方向用“反冲位移定式”，或水平方向用质心运动定律

  进阶应用：在本讲模型“四、反冲……”的“进阶应用”（见图8）中，当质点m滑到方位角θ时（未脱离半球），质点的速度v的大小、方向怎样？

  解说：此例综合应用运动合成、动量守恒、机械能守恒知识数学运算比较繁复，是一道考查学生各种能力和素质的难题

  其中必然是沿地面向左的，为了书写方便我们设其大小为v₂ ；必然是沿半球瞬时位置切线方向（垂直瞬时半径）的，设大小为v_相 根据矢量减法的三角形法则，可以得到（设大小为v₁）的示意图如图16所示。同时我们将v₁的x、y分量v_1x和v_1y也描绘在图中。

  三个方程解三个未知量（v₂ 、v_1x 、v_1y）是可行的，但数学运算繁复推荐步骤如下——

  八、动量和能量的综合（二）

  物理情形：如图17所示，在光滑的水平面上质量为M = 1 kg的平板车左端放有质量为m = 2 kg的铁块，铁块与车之间的摩擦因素μ= 0.5 開始时，车和铁块以共同速度v = 6 m/s向右运动车与右边的墙壁发生正碰，且碰撞是弹性的车身足够长，使铁块不能和墙相碰重力加速度g = 10 m/s² ，試求：1、铁块相对车运动的总路程；2、平板车第一次碰墙后所走的总路程

  本模型介绍有两对相互作用时的处理常规。能量关系介绍摩擦苼热定式的应用由于过程比较复杂，动量分析还要辅助以动力学分析综合程度较高。

  由于车与墙壁的作用时短促而激烈的而铁块和車的作用是舒缓而柔和的，当两对作用同时发生时通常处理成“让短时作用完毕后，长时作用才开始”（这样可以使问题简化）在此處，车与墙壁碰撞时可以认为铁块与车的作用尚未发生，而是在车与墙作用完了之后才开始与铁块作用。

  规定向右为正向将矢量运算化为代数运算。

  车第一次碰墙后车速变为－v ，然后与速度仍为v的铁块作用动量守恒，作用完毕后共同速度v₁ =  =  ，因方向为正必朝墙運动。

  （学生活动）车会不会达共同速度之前碰墙动力学分析：车离墙的最大位移S = ,反向加速的位移S′= ，其中a =}