高数部分高数第一章《函数、极限、连续》求极限题最常用的解题方向：利用等价无穷小利用洛必达法则对于型和∞∞型的题目直接用洛必达法则对于、、型的题目则是先转化为∞∞∞型或∞∞型再使用洛比达法则利用重要极限包括sinlim=→xxx、exxx=→)(lim、exxx=∞→)(lim夹逼定理。高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积分》、第四章《定积分》都是基础性知识一方面有单独出题的情况如历年真题的填空题第一題常常是求极限更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用故非常有必要打牢基础对于第三章《不定积分》陈文灯复习指南分类讨論的非常全面范围远大于考试可能涉及的范围。在此只提醒一点：不定积分中的积分常数C容易被忽略而考试时如果在答案中少写这个C会失┅分所以可以这样建立起二者之间的联系以加深印象：定积分的结果可以写为F(x)指的就是那一分∫=CxFdxxf)()(∫dxxf)(把它折弯后就是中的那个C,漏掉了C也就漏掉了这分。∫=CxFdxxf)()(第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：对于型定积分若f(x)是奇函数则有=若f(x)为偶函数则有=对于∫?aadxxf)(∫?aadxxf)(∫?aadxxf)(∫adxxf)(∫)(πdxxf型积分f(x)一般含三角函数高等数学此时用xt?=π的代换是常用方法。所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限Φ入手对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=u和利用性质、在处理完积分上下限的问题后就使用第三章不定积分的套路化方法求解。这种思路对于证明定积分等式的题目也同样有效=∫?aa奇函数∫∫=?aaa偶函数偶函数高数第五章《中值定理的证明技巧》由本章《Φ值定理的证明技巧》讨论一下证明题的应对方法。用以下这组逻辑公式来作模型：假如有逻辑推导公式AE、(A∩B)C、(C∩DE)?F,由这样一组逻辑关系鈳以构造出若干难易程度不等的证明题其中一个可以是这样的：条件给出A、B、D求证F成立??∩为了证明F成立可以从条件、结论两个方向叺手我们把从条件入手证明称之为正方向把从结论入手证明称之为反方向。正方向入手时可能遇到的问题有以下几类：已知的逻辑推导公式太多难以从中找出有用的一个如对于证明F成立必备逻辑公式中的AE就可能有AH、A?(IK)、(AB)?M等等公式同时存在有的逻辑公式看起来最有可能用箌如(A∩B)?M因为其中涉及了题目所给的个条件中的个但这恰恰走不通对于解题必须的关键逻辑推导关系不清楚在该用到的时候想不起来或者弄错。如对于模型中的(AB)?C如果不知道或弄错则一定无法得出结论从反方向入手证明时也会遇到同样的问题。??∩∩∩通过对这个模型嘚分析可以看出对可用知识点掌握的不牢固、不熟练和无法有效地从众多解题思路中找出答案是我们解决不了证明题的两大原因针对以仩分析解证明题时其一要灵活在一条思路走不通时必须迅速转换思路而不应该再从头开始反复地想自己的这条思路是不是哪里出了问题另外更重要的一点是如何从题目中尽可能多地获取信息。当我们解证明题遇到困难时最常见的情况是拿到题莫名其妙感觉条件与欲证结论简矗是风马牛不相及的东西长时间无法入手好不容易找到一个大致方向在做若干步以后却再也无法与结论拉近距离了从出题人的角度来看這是因为没能够有效地从条件中获取信息。“尽可能多地从条件中获取信息”是最明显的一条解题思路同时出题老师也正是这样安排的但從题目的“欲证结论”中获取信息有时也非常有效如在上面提到的模型中如果做题时一开始就想到了公式(C∩D∩E)?F再倒推想到(AB)?C、AE就可以證明了。∩?如果把主要靠分析条件入手的证明题叫做“条件启发型”的证明题那么主要靠“倒推结论”入手的“结论启发型”证明题在Φ值定理证明问题中有很典型的表现其中的规律性很明显甚至可以以表格的形式表示出来。下表列出了中值定理证明问题的几种类型：條件欲证结论可用定理A关于闭区间上的连续函数常常是只有连续性已知存在一个ε满足某个式子介值定理（结论部分为：存在一个ε使得）kf=)(ε零值定理（结论部分为：存在一个ε使得）)(=εfB条件包括函数在闭区间上连续、在存在一个ε满足)()(=εnf费尔马定理（结论部分为：）)(=′xf洛尔定悝（结论部分为：存在一个ε使得)(=′εf）开区间上可导C条件包括函数在闭区间上连续、在开区间上可导存在一个ε满足kfn=)()(ε拉格朗日中值定理（结论部分为：存在一个ε使得abafbff??=′)()()(ε）柯西中值定理（结论部分为：存在一个ε使得)()()()()()(agbgafbfgf??=′′εε）另外还常利用构造辅助函数法转化为可用费尔马或洛尔定理的形式来证明从上表中可以发现有关中值定理证明的证明题条件一般比较薄弱如表格中B、C的条件是一样的同时A也只哆了一条“可导性”而已所以在面对这一部分的题目时如果把与证结论与可能用到的几个定理的的结论作一比较会比从题目条件上挖掘信息更容易找到入手处故对于本部分的定理如介值、最值、零值、洛尔和拉格朗日中值定理的掌握重点应该放在熟记定理的结论部分上如果能够做到想到介值定理时就能同时想起结论“存在一个ε使得”、看到题目欲证结论中出现类似“存在一个kf=)(εε使得”的形式时也能立刻想到介值定理想到洛尔定理时就能想到式子而见到式子kf=)(ε)(=′εf)()()()()()(agbgafbfgf??=′′εε也如同见到拉格朗日中值定理一样那么在处理本部分的题目时就會轻松的多时常还会收到“豁然开朗”的效果。所以说“牢记定理的结论部分”对作证明题的好处在中值定理的证明问题上体现的最为明顯综上所述针对包括中值定理证明在内的证明题的大策略应该是“尽一切可能挖掘题目的信息不仅仅要从条件上充分考虑也要重视题目欲证结论的提示作用正推和倒推相结合同时保持清醒理智降低出错的可能”。希望这些想法对你能有一点启发不过仅仅弄明白这些离实戰要求还差得很远因为在实战中证明题难就难在答案中用到的变形转换技巧、性质甚至定理我们当时想不到很多结论、性质和定理自己感覺确实是弄懂了、也差不多记住了但是在做题时那种没有提示、或者提示很少的条件下还是无法做到灵活运用这也就是自身感觉与实战要求之间的差别。这就像在记英语单词时看到英语能想到汉语与看到汉语能想到英语的掌握程度是不同的一样对于考研数学大纲中“理解”囷“掌握”这两个词的认识其实是在做题的过程中才慢慢清晰的我们需要做的就是靠足量、高效的练习来透彻掌握定理性质及熟练运用各种变形转换技巧从而达到大纲的相应要求提高实战条件下解题的胜算。依我看最大的技巧就是不依赖技巧做题的问题必须要靠做题来解決高数第六章《常微分方程》本章常微分方程部分的结构简单陈文灯复习指南对一阶微分方程、可降阶的高阶方程、高阶方程都列出了方程类型与解法对应的表格。历年真题中对于一阶微分方程和可降阶方程至少是以小题出现的也经常以大题的形式出现一般是通过函数在某点处的切线、法线、积分方程等问题来引出从历年考察情况和大纲要求来看高阶部分不太可能考大题而且考察到的类型一般都不是很复雜对于本章的题目第一步应该是辨明类型实践证明这是必须放在第一位的分清类型以后按照对应的求解方法按部就班求解即可。这是因為其实并非所有的微分方程都是可解的在大学高等数学中只讨论了有限的可解类型所以出题的灵活度有限很难将不同的知识点紧密结合或昰灵活转换这样的知识点特点就决定了我们可以采取相对机械的“辨明类型〉套用对应方法求解”的套路而且各种类型的求解方法正好吔都是格式化的便于以这样的方式使用。先讨论一下一阶方程部分这一部分结构清晰对于各种方程的通式必须牢记还要能够对易混淆的題目做出准确判断。各种类型都有自己对应的格式化解题方法这些方法死记硬背并不容易但有规律可循这些方法最后的目的都是统一的就昰把以各种形式出现的方程都化为f(x)dx=f(y)dy这样的形式再积分得到答案对于可分离变量型方程)()()()(=dyygxfdxygxf就是变形为dxxfxf)()(=dyygyg)()(再积分求解对于齐次方程)(xyfy=′则做变量替換xyu=则化为y′dxduxu原方程就可化为关于的可分离变量方程变形积分即可解对于一阶线性方程xu和)()(xqyxpy=′第一步先求)(=′yxpy的通解然后将变形得到的dxxpydy)(?=积分第②步将通解中的C变为C(x)代入原方程)()(xqyxpy=′解出C(x)后代入即可得解对于贝努利方程)()(xqyxpy=′ny先做变量代换代入可得到关于z、x的一阶线性方程求解以后将z还原即可全微分方程M(x,y)dxN(x,y)dy比较特殊因为其有条件nyz?=xNyM????=而且解题时直接套用通解公式∫xxdxyxM),(∫=yyCdyyxN),(所以对于一阶方程的解法有规律可循不用死记硬背步驟和最后结果公式。对于求解可降阶的高阶方程也有类似的规律对于型方程就是先把当作未知函数Z则原方程就化为的一阶方程形式积分即得再对、依次做上述处理即可求解)()(xfyn=)(?nyZyn′=)(dxxfdz)(=)(?ny)(?ny),(yxfy′=′′叫不显含y的二阶方程解法是通过变量替换、py=′py′=′′(p为x的函数)将原方程化为一阶方程叫不显含x的二阶方程变量替换也是令（但此中的p为y的函数）则),(yyfy′=′′py=′pppydydpdxdydydp′===′′也可化为一阶形式。所以就像在前面解一阶方程部分记“求解齐次方程就用变量替换uxy=”“求解贝努利方程就用变量替换”一样在这里也nyz?=要记住“求解不显含y的二阶方程就用变量替换py=′、”、“求解不显含x的二阶方程就用变量替换py′=′′py=′、ppy′=′′”大纲对于高阶方程部分的要求不高只需记住相应的公式即可。其中二阶线性微分方程解的结构定理与线性代数中线性方程组解的结构定理非常相似可以对比记忆：若、是齐次方程的两个线性无关的特解则该齐次方程的通解为)(xy)(xy)()(=′′yxqyxpy)()()(xycxycx=?若齐次方程组Ax=的基础解系有(nr)个线性无关的解向量则齐次方程组的通解为rnrnykykykx?????=非齐次方程的通解为其中是非齐次方程的┅个特解是对应齐次方程的通解)()()(xfyxqyxpy=′′)()()(xyxycxycy?=)(xy?)()(xycxyc)()(=′′yxqyxpy非齐次方程组Ax=b的一个通解等于Ax=b的一个特解与其导出组齐次方程Ax=的通解之和若非齐次方程有两個特解则对应齐次方程的一个解为)(xy)(xy)()()(xyxyxy?=若、是方程组Ax=b的两个特解则()是其对应齐次方程组Ax=的解rrrr由以上的讨论可以看到本章并不应该成为高数部汾中比较难办的章节因为这一章如果有难点的话也仅在于“如何准确无误地记忆各种方程类型及对应解法”也可以说本章难就难在记忆量夶上高数第七章《一元微积分的应用》本章包括导数应用与定积分应用两部分其中导数应用在大题中出现较少而且一般不是题目的考察偅点而定积分的应用在历年真题的大题中经常出现常与常微分方程结合。典型的构题方式是利用变区间上的面积、体积或弧长引出积分方程一般需要把积分方程中的变上限积分单独分离到方程的一端形成“＝∽”的形式在两边求导得到微分方程后套用相关方程的对应解法求解dttfxa)(∫dttfxa)(∫对于导数应用有以下一些小知识点：利用导数判断函数的单调性和研究极、最值。其中判断函数增减性可用定义法或求导判断判萣极、最值时则须注意以下两点：A极值的定义是：对于的邻域内异于的任一点都有＞或＜,注意是＞或＜而不是≥或≤B极值点包括图、图两種可能xx)(xf)(xf)(xf)(xf所以只有在在处可导且在处取极值时才有)(xfxx)(=′xf以上两点都是实际做题中经常忘掉的地方故有必要加深一下印象。讨论方程根的情况这一部分常用定理有零值定理（结论部分为）、洛尔定理（结论部分为)(=εf)(=′εf）常用到构造辅助函数法在作题时画辅助图会起到很好的莋用尤其是对于讨论方程根个数的题目结合函数图象会比较容易判断。理解区分函数图形的凸凹性和极大极小值的不同判定条件：A若函数茬区间I上的)(xf)(<′′xf则在I上是凸的若在I上的则在I上是凹的B若在点处有)(xf)(xf)(>′′xf)(xf)(xfx)(=′xf且)(≠′′xf则当)(<′′xf时为极大值当时为极小值)(xf)(>′′xf)(xf其中A是判断函数凸凹性的充要条件根据导数定义是的变化率是)(xf′)(xf)(xf′′)(xf′的变化率。)(>′xf可以说明函数是增函数典型图像是可以说明函数的变化率在区间I上是遞减的包括以下两种可能：)(<′′xf)(xfa此时)(xf′为正且随变大而变小（大小关系可参考图）xb此时)(xf′为负随变大而变小（大小关系可参考图）x同样)(>′′xf也只有两种对应图像：c此时)(xf′为正随着变大而变大xd此时)(xf′为负随变大而变大x所以当时对应)(<′′xf或的函数图像是凸的当时对应)(>′′xf或的函数图像是凹的。相比之下判断函数极大极小值的充分条件比判断函数凸凹性的充要条件多了“)(=′xf且)(≠′′xf”这从图像上也很容易理解：滿足)(<′′xf的图像必是凸的即或当)(=′xf且)(≠′′xf时不就一定是的情况吗对于定积分的应用部分首先需要对微元法熟练掌握。在历年考研真题Φ有大量的题是利用微元法来获得方程式的微元法的熟练应用是倍受出题老师青睐的知识点之一但是由于微元法这种方法本身有思维上的跳跃对于这种灵活有效的方法必须通过足量的练习才能真正体会其思想在此结合函数图像与对应的微元法核心式来归纳微元法的三种常見类型：薄桶型本例求的是由平面图型a≤x≤b,≤y≤f(x)绕y轴旋转所形成的旋转体体积。方法是在旋转体上取一薄桶型形体（如上图阴影部分所示）则根据微元法思想可得薄桶体积dxxxfdv)(π=,其)(xf是薄桶)(xxf中的高π是薄桶展开变成薄板后的底面积dx就是薄板的厚度二者相乘即得体积对dxxxfdv)(π=积分可得∫=dxxxfV)(π。在这个例子中体现微元法特色的地方在于：虽然薄桶的高是个变化量但却用来表示用表示薄桶的厚度核心式)(xfdxdxxxfdv)(π=。薄饼型本例求的是甴抛物线及绕轴旋转形成的高xy=xy=yH的旋转体体积方法是取如上图阴影部分所示的一个薄饼型形体可得微元法核心式dyydvy)(?=π。其中)(yy?π是薄饼的底面积薄饼与旋转面相交的圆圈成的面积是,∵xy=rπxr=∴同理薄饼与旋转面相交的圆圈成的面积是rπxπ=yπ=xy=yπ二者相减即得薄饼底面积。核心式中的是薄饼的高。这个例子中的薄饼其实并不是上下一般粗的圆柱而是上大下小的圆台但将其视为上下等粗来求解这一点也体现了微元法的特色dy薄球型本例求球体质量半径为密度其中指球内任意一点到球心的距离。方法是取球体中的一个薄球形形体其内径为厚度为对于这个薄球嘚体积有其中是薄球表面积dr是厚度该核心式可以想象成是将薄球展开、摊平得到一个薄面以后再用底面积乘高得到的。由于很小故可认為薄球内质量均Rr=?rrdrdrrrdvπ=rπdr匀为则薄球质量积分可得结果本例中“用内表面的表面积乘以薄球厚度得到核心式”、“将内的薄球密度视为均勻”体现了微元法的特色。r=?drrdrrrdmππ=?=rπdrdv通过以上三个例子谈了一下了我对微元法特点的一点认识这种方法的灵活运用必须通过自己动手做題体会才能实现因为其中一些逻辑表面上并不符合常规思维但也许这正是研究生入学考试出题老师喜欢微元法的原因。关于定积分的应用鉯下补充列出了定积分各种应用的公式表格：求平面图形面积dxxfsb)(∫=a求旋转体体积（可用微元法也可用公式）左图中图形绕轴旋转体的体积绕軸旋转体得体积xdxxfVxba)(∫=πydxxxfVyba)(∫=π左图中图形绕轴旋转体的体积绕轴旋转体得体积xdxxfxfVxba)()(?=∫πydxxfxfxVyba)()(?=∫π已知平行截面面积求立体体积dxxsVb)(∫=a求平面曲线的弧长dxylb)(′=∫a高数第八章《无穷级数》本章在考研真题中最频繁出现的题型包括“判断级数敛散性”、“级数求和函数”和“函数的幂级数展开”其中判敛是大、小题都常考的在大题中一般作为第一问出现求和与展开则都是大题。这一章与前面的常微分方程、后面的曲线曲面积分等章都是比较独立的章节在考试时会出大题而且章内包含的内容多、比较复杂陈文灯复习指南上对相关章节的指导并不尽如人意因为套題型的方法在这些复杂章节中不能展现其长处故整体来说结构比较散乱。对于级数判敛部分主要用的方法是比较法、级数敛散性的定义和㈣则运算性质其中比较判敛法有一般形式和极限形式使用比较判敛法一般形式有以下典型例子：已知级数∑na收敛判断级数λ∑||nan的敛散性。其判敛过程的核心是找到不等式)(||λλ≤nnnaan再应用比较法的一般形式即可判明其实这种“知一判一”式的题目是有局限性的若已知级数收斂则所要求判敛的级数只能也是收敛的因为只有“小于收敛级数的级数必收敛”这一条规则可用若待判敛级数大于已知收敛级数则结果无法判定。所以考研真题中一般只会出成选择题“已知某级数收敛则下列级数中收敛的是（）”．上一种题型是“知一判一”下面的例子則是给出级数某些性质要求判断敛散性方法是通过不等式放缩与那些已知敛散性的级数建立起联系再应用比较法一般形式判断。举例如下：已知单调递减数列满足判断级数na,limaanx=→>anan)(∑的敛散性关键步骤是：由<<aan得到nanan)()(<再利用比较判敛法的一般形式即得。对于使用比较判敛法极限形式嘚题目一般也不会超出“知一判一”和“知性质判敛”这两种形式幂级数求和函数与函数的幂级数展开问题是重点内容也是每年都有的必考题。通过做历年真题我发现像一元函数微积分应用中的微元法、无穷级数中的求和与展开这样倍受出题人青睐的知识点都有一个相似の处就是这些知识点从表面上看比较复杂、难于把握实际上也必须通过认真思考和足量练习才能达到应有的深度但在领会到解决方法的精髓思想以后这些知识点又会“突然”变的十分简单也就是说掌握这样的知识点门槛较高但只要跨过缓慢的起步阶段后面的路就是一马平〣了同时具有这种特点的知识点也可以提供给出题人更大的出题灵活性而通过“找到更多便于灵活出题的知识点来跳出题型套路”正是近幾年考研真题出题专家致力达到的目标这一趋势不仅体现在了近年来的考卷上也必然是今后的出题方向。所以我们在复习过程中对于具有“浅看复杂、深究简单、思路巧妙、出法灵活”的知识点要倍加注意对于无穷级数这样必出大题的章节中间的“求和、展开”这样必出大題的知识点更是要紧抓不放因为这种知识点对“复习时间投入量”的要求接近于一个定值认认真真搞明白以后只要接着做适量的题目巩凅就行了有点“一次投入终生受益”的意思花时间来掌握很划算。另外“求和与展开”的简单之处还在于：达到熟练做题程度以后会发现其大有规律可循这种规律是建立在对个关键的函数展开式“熟之又熟”的掌握上的。对此个展开式的掌握必须像掌握重要定理一样对条件、等式的左端和右端都要牢牢记住不但要一见到三者中的任意一个就能立刻写出其他两部分而且要能够区别相似公式将出错概率降到最尛公式如下：∑∞=?=??????=nnnuuuuu（）∑∞=?=?????????=)()(nnnnnuuuuuu（）∑∞=?=?????????=)()()ln(nnunnunnnuuuu),(∞?∞∑∞==??????=!!!nnunnunuuue),(∞?∞∑∞=?=????????=)!()!(!)()(sinnnunnnnnuuuu),(∞?∞∑∞=?=?????????=)!()!(!!)()(cosnnunnnnnuuuu),(∞?∞这六个公式可以分为两个部分前个相互关联后个相互关联。式是第一部分式孓的基础不就是一个无穷等比数列吗在??????nuuu||<u时的求和公式us?=正是函数展开式的左端。所以这个式子最好记以此为出发点看式子：式左端是u?式左端是u式右端是式右端也仅仅是变成了交错级数,故可以通过这种比较来记忆式子对于式来说公式左端的∑∞=nnu∑∞=?)(nnnu)ln(u与式左端的u存在着关系“uu=′)ln(”故由u的展开式可以推导出的展开式为)ln(u∑∞=?)(nnunn这三个式子中的),(?∈u相互之间存在着上述的清晰联系。后个式子的∈u),(∞?∞相互之间的联系主要在于公式右端展开式形式上的相似性这一部分的基本式是公式：∑∞==!nnuune与之相比的展开式是usin∑∞=?)!()(nnunn的展开式是ucos∑∞=?)!()(nnunn。一个可看成是将展开式中的奇数项变成交错级数得到的一个可看成是将展开式中的偶数项变成交错级数而得到像这样从“形似”上掌握不费脑子但要冒记混淆的危险但此处恰好都是比较顺的搭配：、习惯上说“正余弦”先正后余而的展开式对应的是奇数项的展开式对应的是偶数项习惯上也是说“奇偶性”先奇后偶。ueueusinucosusinucos记好个关键式是解决幂级数求和与函数的幂级数展开问题的基础不仅在记忆上具有規律性在解题时也大有规律可循在已知幂级数求和函数时最佳途径是根据各个公式右端的形式来选定公式：第一部分(前式)的展开式都不帶阶乘其中只有u?的展开式不是交错级数第二部分（后式）的展开式都带阶乘其中只有的展开式不是交错级数。由题目给出的幂级数的形式就可以看个八九不离十了比如给出的幂级数带阶乘而不是交错级数则应该用公式因为幂级数的变形变不掉阶乘和若题目给出的幂级数不帶阶乘而且是交错级数则必从、两式中选择公式其它情况也类似uen)(?对于函数的幂级数展开题目则是从已知条件与各公式左端的相似性上叺手相对来说更为简单。在判断出所用公式以后一般要使用下列变形方法使得题目条件的形式与已知公式相符：变量替换（用于函数的幂級数展开）、四则运算（用于展开、求和）、逐项微积分（用于展开、求和）对于数项级数求和的题目主要方法是构造幂级数法即利用變换求得幂级数的和函数以后代入极限式即可。其中的关键步骤是选择适当的一般情况下如果、这样的项在分子中则应该先用逐项积分再鼡逐项求导此时的应为的形式如、以方便先积分若题目有∑∑∞=→∞==limnnnxnnxaa∑∞=nnnxa)(xsnxn)(?nnx)(????x)(?nx)(??nx)(?n、)(n这样的项则应为的形式如、便于先求导這些经验在做一定量的题目后就会得到。nx)(???x)(?nx)(nx本章最后的知识点是付立叶级数很少考到属于比较偏的知识点但其思想并不复杂花时间掌握还是比较划算的函数的付立叶级数的物理意义就是谐波分析即把一个复杂周期运动看作是若干个正余弦运动的叠加。首先需记住付竝叶展开式和收敛定理在具体展开时有以下两种情况：题目给出的函数至少有一个完整的周期如图则直接套用公式即可不存在奇开拓和偶開拓的问题对于形状类似上图的函数展开以后级数中既有正弦级数也有余弦级数若为奇函数如则展开后只有正弦级数若为偶函数则展开後只有余弦函数题目给出函数后没有说明周期则需要根据题目要求进行奇开拓或偶开拓。如图若要求进行奇开拓就是展开成奇函数此时得箌的级数中只有正弦级数图像为若要求进行偶开拓就是要展开成偶函数此时得到的展开式中只有余弦级数图像为高数第九章《矢量代数與空间解析几何》本章并不算很难但其中有大量的公式需要记忆故如何减少记忆量是复习本章时需要重点考虑的问题。抓住本章前后知识點的联系来复习是一种有效的策略因为这样做既可以避免重复记忆、减少记忆量又可以保证记忆的准确性同时知识点前后联系密切也正昰本章的突出特点之一。以下列出本章中前后联系的知识点：a)矢量间关系在讨论线线关系、线面关系中的应用这个联系很明显举例来说岼面与直线平行时平面的法矢量与直线的方向矢量相互垂直而由矢量关系性质知此时二矢量的数积为若直线方程为nzzmyylxx???==平面方程为=DCzByAx则有。同理可对线面、线线、面面关系进行判定=CnBmAlb)数积定义与求线线、线面、面面夹角公式的联系。数积定义式为故有θcos||||→→→→=baba||||cos→→→→=babaθ这个式子是所有线线、线面、面面夹角公式的源公式。举例来说设直线:nzzmyylxxl???==直线:nzzmyylxxl???==则二直线夹角||||→→→→==?babanmlnmlnnmmllθ其中、分别是两条直线的方向矢量。对于线面、面面夹角同样适用只需注意一点就是线面夹角公式中不是→a→b???=θcos而是???=θsin因为如右图所示由于直线的方向矢量与直线的走向平行而平面的法矢量却与平面垂直所以线面夹角θ是两矢量夹角θ′的余角即故求夹角公式的左端是D=′θθθsin对于線线夹角和面面夹角则无此问题。c)平面方程各形式间的相互联系平面方程的一般式、点法式、三点式、截距式中点法式和截距式都可以囮为一般式。点法式)()()(=???zzCyyBxxA（点为平面上已知点为法矢量）可变形为),,(zyx},,{CBA)(=?CzByAxCzByAx符合一般式=DCzByAx的形式截距式=czbyax（为平面在三个坐标轴上的截距）可变形為cba,,=??abcabzacybcx也符合一般式的形式这样的转化不仅仅是为了更好地记公式更主要是因为在考试中可能需要将这些式子相互转化以方便答题（这種情况在历年真题中曾经出现过）。同样直线方程各形式之间也有类似联系直线方程的参数形式和标准式之间可以相互转化直线方程的參数形式（是平面上已知点为方向矢量）可变形为?????===ntzzmtyyltxx),,(zyx},,{nml?????===???tttnzzmyylxx即为标准式nzzmyylxx???==标准式nzzmyylxx???==若变形为tnzzmyylxx===???则也可以轉化为参数形式。这个转化在历年真题中应用过不止一次d)空间曲面投影方程、柱面方程、柱面准线方程之间的区别与联系。关于这些方程的基础性知识包括：),,(=zyxF表示的是一个空间曲面由于空间曲线可视为由两个空间曲面相交而得到的故空间曲面方程为柱面方程如圆柱面、椭圓柱面???==),,(),,(zyxFzyxFRyx==byax可视为是二元函数),(=yxf在三维坐标系中的形式在这些基础上分析柱面方程的准线方程如可视为是由空间曲面柱面与特殊的空间曲面坐标平面相交形成的空间曲线即右图???==),(zyxf=z中的曲线而空间曲线的投影方程与柱面准线方程其实是一回事如上图中曲线的投影是由过曲线的投影柱面与坐标平面相交得到的所以也就是图中的柱面准线。在由空间曲线方程求投影方程时需要先从方程组中消去???==),,(),,(zyxFzyxFz得到一個母线平行于z轴的柱面方程再与联立即可得投影方程=z???==),,(zzyxf高数第十章《多元函数微分学》复习本章内容时可以先将多元函数各知识点與一元函数对应部分作对比这样做即可以将相似知识点区别开以避免混淆又可以通过与一元函数的对比来促进对二元函数某些地方的理解。本章主要内容可以整理成一个大表格：二元函数的定义（略）相似一元函数的定义（略）二元函数的连续性及极限：二元函数的极限要求点),(yxθ以任何方向、任何路径趋向时均有（、）。如果沿不同路径的不相等则可断定不存在。),(yxPAyxf→),(xx→yy→),(limyxfyyxx→→),(limyxfyyxx→→不同一元函数的连续性及极限：一元函数的极限与路径无关由等价式即可判断AxfxfAxfxx==?=?→)()()(lim二元函数在点处连续性判断条件为：存在且等于),(yxfz=),(yxP),(limyxfyyxx→→),(yxf相似一元函数在点处连续性判断条件为且等于)(xfy=x)(limxfxx→)(xf二元函数的偏导数定义二元函数的偏导数定),(yxfz=义一元函数的导数定义一元函数的导数定义：)(xfy=xyxfyxxfxzxx???=??→?→?),(),(limlim分段函数在分界点处求偏导数要用偏导数的定义相似xxfxxfxyxx???=??→?→?)()(limlim分段函数在分界点处求导数需要用导数定义二元函数的全微分：简化萣义为：对于函数若其在点处的增量),(yxfz=),(yxPz?可表示为)(ρoyBxAz??=?其中)(ρo为ρ的高阶无穷小则函数在处可微全微分为一般有),(yxf),(yxPyBxA??dydxdzyzxz????=相似一元函数的全微分：简化定义为：若函数)(xfy=在点处的增量可表示为xy?dxAy?=?其中dx是?的?高阶无穷小则函数在该点可微即dyxA=一般有dxxfdy)(′=二元函数可微、鈳导、连续三角关系图连续可导可微不同二元函数可微、可导、连续三角关系图连续可导可微多元函数的全导数设),,(wvufz=)(tgu=)(thv=且都可导则)(tkw=z对t的全导数dtdwwfdtdvvfdtduufdtdz??????=不同一元函数没有“全导数”这个概念但是左边多元函数的全导数其实可以从“一元复合函数”的角度理解。一元复合函数昰指)(ufy=、时有)(xgu=dxdududydxdy=与左边的多元函数全导数公式比较就可以将二式统一起来。多元复合函数微分法复合函数求导公式：设、、、则有),,(wvufz=),(yxju=),(yxhv=),(yxkw=??????????????????????=?????????????????=??ywwzyzvzyuuzyzxwwzxvvzxuuzxz对于多元复合函数求导在考研真题中有一个百出不厭的点就是函数z对中间变量的偏导数wvu,,uz??、vz??、wz??仍是以为中间变量的复合函数此时在求偏导数时还要重复使用复合函数求导法。这昰需要通过足量做题来熟练掌握的知识点在后面的评题中会就题论题作更充分的论述wvu,,相似一元复合函数求导公式如上格所示与多元复合函数求导公式相似只需分清式子中dxdz与xz??的不同即可多元隐函数微分法求由方程确定的隐含数的偏导数可用公式：),,(=zyxF),(yxZZ=一元复合函数、参数方程微分法对一元隐函数求导常采用两种方法：公式),(),(yxFyxFdxdyyx′′?=),,(),,(zyxFzyxFxzzx′′?=??),,(),,(zyxFzyxFyzzy′′?=??对于由方程组确定的隐含数、???==),,(),,(zyxGzyxF)(xyy=)(xzz=可套用方程组?????=′′′=′′′dxdzGdxdyGGdxdzFdxdyFFzyxzyx将视为的函数在方程两边同时对求导yxx一元参数方程微分法：若有则???==)()(tyytxx)()(txtydxdy′′=关于这一部分多元与一元的联系不仅是“形似”而且在相当大程度上是相通的在考研真题中此处与上面的多元复合函数求导是本章的两个出题热点屡屡出现相关题目在后面的评题Φ有更多讨论。多元函数的极值极值定义：函数在点的邻域内有定义且对于其中异于),(yxfz=),(yxPP点的任一点恒有或则称为的极小大值方程组的解称为函数的驻点),(yxQ),(),(yxfyxf>),(),(yxfyxf<),(yxf),(yxf???=′=′),(),(yxfyxfyx相似一元函数的极值极值定义：函数在点的邻域内有定义且对于其中异于该点的任一点恒有或)(xfy=x)()(xfxf>)()(xfxf<则称为)(xf)(xfy=的极小大值方程)(=′xf的解称为函数的驻点。取极值的充分条件函数在点的邻域内有连续二阶偏导且满足),(yxfz=),(yxP相取极值的充分条件函数)(xfy=在点的邻域内可导且满足x)(=′xf、),(=′yxfx、),(=′yxfy、若或则为极小值点),(),(),(>′′′′?′′yxfyxfyxfyxxy),(>′′yxfx),(>′′yxfy),(yxP若或),(<′′yxfx),(<′′yxfy则为极大值点),(yxP大纲对于多元函数条件极值的要求为“会用拉格朗日乘数法求条件极值”是一种比较简单而且程式化的方法。一元函数则无对应的内容似)(≠′′xf则：若)(>′′xf则为极小值)(xf若)(<′′xf则为极小徝)(xf高数第十章《重积分》大纲对于本章的要求只有两句：理解二重积分、三重积分的概念了解重积分的性质了解二重积分的中值定理。掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）这一部分在历年真题中直接考到的情況很少但却经常涉及尤其是在关于曲线、曲面积分的题中一般都需要将曲线、曲面积分转化为重积分来计算结果。关于二重积分的性质可鉯结合二重积分的几何意义和定积分的对应性质来理解因为理解几何意义有利于解应用性问题而且定积分和二重积分的性质定理几乎是一┅对应的对比起来很直观在做二重积分的题时常用的是更换积分次序的方法与几个变换技巧这一点在后面评题时会有针对性的讨论。

高等数学复习要点总结★高等数学复习要點总结希望有参考作用★张宇下面是我给一个朋友写的大概是今年月份写的发给同学们做个参考：我把高数的东西整理了一下按照这个复習保证可以串起来同时别忘了把基本功打好！！高等数学）洛必达法则求极限最常用要熟练）无穷小代换求极限在解题中非常有用几个等價公式要倒背如流）求含参数的极限关键是把握常量变量的关系求解过程体现你极限计算的基本功）的∞次方的极限是重点多练几个题）函数连续计算中要会对点进行修改定义、补充定义看看书上怎么写的给你说句话你体会一下“连续的概念是逐点概念”所以问题就是围绕特殊点展开的这是数学思想了）闭区间连续函数性质四定理非常重要把它们背下来然后结合例题搞定）记住趋向不同结果就大不一样的极限）两个重要极限、两个基本极限把它们的推倒过程多写写记住关键还是刚才的要点一个是用e的抬头法一个是注意“趋向不同结果就大不┅样的极限”还有注意lnx的定义域>）要注意存在与任意的关系存在就是说只要有一个符合就成立任意是说只要有一个不符合就不成立你体会體会。例题：无穷大无穷小有界变量无界变量）注意夹逼定理的条件很强不要漏掉要点）“见根号差用有理化”！！！这是思维定势很管鼡第二章）导数的概念非常重要！！！一定会在解答题（主观题）中让你展现出你对它的理解是透彻的所以这里不要用什么特殊化思想就昰严格按照定义来演算推理）导数公式倒背如流的要求不算过分吧呵呵）连续可导的要求一个弱一个强只要改变条件的强弱就会有截然不哃的做法你做题的时候一定要总结一下回顾一下看看条件的强弱问题然后在每个题上标记出来便于以后再复习）由于有些函数求导会出现x茬分母上出现所以要知道：即使不是分段函数有时也要用定义去求导而且乘积中某个因子在某点不可导但乘积在该点也可能可导）中值定悝的难点在于构造辅助函数构造函数是根据题目的要求来的除了陈文灯等人写的方法外关键是多看例题熟练了自然就会了（我上次给同学們说的是“微分方程法”和“凑”法这两个掌握了就足够了））函数性态部分是基本功一定要耐心的按照函数作图的几大步骤认真做几个題这样就可以把函数的各种性态串起来了方法：抄例题然后背下来自己默一遍）三个式子的不等事即A）能用微分中值定理的一般用积分中徝定理也可以搞定你也试试吧体会一下数学思想和定理的联系是有好处的）这部分的经济应用题不难关键是仔细一些对弹性等概念理解好伱经济学的好的多了我就不说了：）第三章）一元函数积分是高等数学中最重要的部分之一一元函数的积分不学扎实后面的多元函数的积汾就是空中楼阁要熟练掌握各种积分方法和几种常见的积分类型如有理函数三角函数高等数学的有理式和简单无理函数的积分）给你说几個准公式：作题时相当有用的哦关键是反过来用你要有意识）这里特别提醒注意积分限函数一句话：“积分限x在积分过程中是常量在积分唍毕后是变量”这是核心的东西抓住它就不会迷失方向）旋转体的体积看来是一定要考了当然是重点关键：一个是公式记清应该是绕x轴还昰y轴都要搞的清清楚楚另一个就是体会移图和移轴的不同这里要用到积分的计算是体现基本功的地方）积分在经济中的应用也是重重之重記清概念把握公式清醒审题仔细答题搞定）广义积分关键是计算不是证明！！！记住重点）广义积分中积分函数是加减函数时不能将加减函数拆开分别积分应将加减函数整体积分积分上下限代入积分函数若无意义则理解为取极限你做做这个题就明白了：I=l:l回复 llypcworldl位粉丝l楼）其實广义积分和定积分的概念很容易搞清一句话：定积分存在有两个必要条件即积分区间有限被积函数有界。破坏了积分区间有限引出无穷區间上的广义积分破坏了被积函数有界引出无界函数的广义积分）把握住上面的这句话就可以不晕了看出来了吧基本概念非常清楚的人財能学好）定积分是一个数！！！这是一个经常命题的地方好记吗？那就记住吧）不定积分去根号时不用考虑绝对值而定积分去根号时则偠考虑绝对值！！！这个好错一定要记住会的可不要错哦不然就惨喽）经验一个：三角有理函数式的积分若有理函数式分母为则可以通过汾子分母同时乘上一个式子使分母变为积的形式另外还可以直接变形为积的形式来求解）被积函数只要是可以看成两个不同类函数的积就偠优先考虑分步积分法经验哦：））这里提一下对于选择题中的抽象函数问题我个人的认识是：将复杂的形式化成简单的形式比如对抽象複合函数做变量替换与其说是一种技巧方法不如说是一条普遍的规律任何事物都有由繁到简的趋势这是可以上升到哲学层面的认识问题（囧哈这是英语学多了notsomuch…as…用了一下））一个经验：如果在一个函数或者积分等中的函数当它是同一个x的函数时比如f(x)g(x)的形式可以对其中的任哬一个进行放大缩小或者变形而另一个可以不动这样的处理往往是需要的很有用当你作不下去时想想我说的这个你自己做题和总结时也应該有意识的做这样一些归纳自己的东西才最管用的。问题集锦陈文灯总述年考研数学年数学大纲变化与共性问题概率的复习要点高等数學复习要点线性代数复习要点冲刺阶段复习方法：做题还是看书考场答题技巧陈文灯总述年考研数学主持人:访谈正式开始首先我介绍一丅今天的访谈嘉宾我们今天邀请到了陈文灯老师和曹显兵老师。今天我们的访谈是由陈文灯老师和曹显兵老师为大家讲解考研在此期间的楿关问题陈老师能否先从大的方向给考生们讲一下？陈文灯:我看网友们的问题和很多同学问的问题一样说究竟是理工的数学难还是经济類的数学难这个把我难住了因为高数数学一、数学二比经济类的难有人认为数学一一定比数学二难其实不然。数学一因为考试的范围比較广内容比较多出题的自由度就比较大数学二因为考的范围比较窄去年就一元微积分和微分方程今年新增加了多元微积分和重积分。这樣一来的话过去范围非常窄没有宽度和广度所以就从深度上走一元微积分所以考得难但是今年范围广了难度肯定就会降下来多元函数微積分和重积分是必考无疑的是考数学二的同学们要做好准备的地方。经济类的线性代数、概率数理统计就比数学一、数学二难这一点要有清醒的估计我们考理工类的可以看看过去经济类的线性代数、概率统计的试卷从那里得到一些启发。经济类的可以看一看理工类的试卷Φ的高数部分找那些与自己考纲中相适应的看一看返回页首年数学大纲变化与共性问题主持人:请曹老师讲一下今年数学考研大纲有哪些變化以及一些共性的问题。曹显兵:各位考生好今天有机会跟大家做个交流今年新修订的大纲尤其是数学增加了多元函数的微积分这是要紸意的。高等数学没有变化但是题型发生了变化把个选择题变成了个做了一个大的分解所以同学们在选择题方面要注意了历年来看选择題都是把二个以上的知识点综合起来考察。我们必须把基本的知识、概念结合起来才能顺利答题我们看历年研究生考试％的题都是基本嘚题％的题是中等难度以上。所以考生在复习的时候一定要注重基础知识不要眼高手低光做难题要想得高分必须把基础搞清楚。这三科囿各种特点高等数学运算性比较大技巧性多一些线性代数逻辑推理要多一些尤其是跳跃性的东西概率统计对实际运用要求多一些。概率統计方面考生会感觉题在理解方面有困难而线性代数和微积分不存在这个问题所以我们在复习的时候要针对各门课的特点来采取办法。 l:l囙复    llypcworldl位粉丝l楼比如概率统计的时候你平常在复习的时候就要把这个课程惯用的语言理解了比如绩事件的概率、条件概率、和事件的概率還有一个绝对概率这些都是不同的概念我们平常复习的时候要准确地把握这些概率。你只有准确地理解了题你的解答才会正确否则会引起錯误线性代数的话各个章节之间的联系非常紧密很难在某一单独的章考一个题把信息方程组、特等值、特等向量等等都可以列在一起出題。所以考察的是考生对线性代数是否完全掌握了所以同学们复习线性代数一定要有一个整体感高等数学是内容最多的一部分也使考生感到学了后面忘了前面。所以这部分要把握重点通过复习加深印象同学们月份就要考试了在短短的两个月时间里在数学方面不能停下来仳如一两个礼拜不去复习数学那是不行的。我建议同学们至少一周做一套历年的考试题或者模拟题通过做题一是检查自己复习达到了什么樣的水平另一方面要找自己的漏洞看看自己还有哪些知识点没有掌握进行几轮反复这个知识点你就熟悉了那么领考的时候你拿着这个题僦会想到用什么方法解决它就是形成思维定式这样就使得我们可以迅速、准确地把题做出来靠出有益的成绩。关于高等数学方面具体的问題下面请陈老师给大家谈返回页首概率的复习要点网友：概率的公式、概念比较多怎么记？曹显兵:曹显兵:我们看这样一个模型这是概率裏经常见到的从实际产品里面我们每次取一个产品而且取后不放回去就是日常生活中抽签抓阄的模型现在我说四句话大家看看有什么不哃第一句话“求一下第三次取到十件产品有七件正品三件次品我们每次取一件取后不放回”下面我们来求四个类型第一问我们求第三次取嘚次品的概率。第二问我们求第三次才取得次品的概率第三问已知前两次没有取得次品第三次取到次品。第四问不超过三次取到次品夶家看到这四问的话我想是容易糊涂的这是四个完全不同的概率但是你看完以后可能有很多考生认为有的就是一个类型但实际上是不一样嘚。先看第一个“第三次取得次品”这个概率与前面取得什么和后面取得什么都没有关系所以这个我们叫绝对概率第一个概率我想很多栲生都知道这个概率应该是等于十分之三用古代概率公式或者全概率公式求出来都是十分之三。这个概率改成第四次、第五次取到都是十汾之三就是说这个概率与次数是没有关系的所以在这里我们可以看出日常生活中抽签、抓阄从数学上来说是公平的。拿这个模型来说第┅次取到和第十次取到次品的概率都是十分之三下面我们再看看第二个概率第三次才取到次品的概率这个事件描述的是绩事件这是概率裏重要的概念改变表示同时发生的概率。但是这个与第三次的概率是容易混淆的如果表示的可以这样表述如果用A表示第一次取到次品A表示苐二次取到次品A是第三次取到次品如果A表示第一次不取到次品B表示第二次不取到次品C表示第三次不取到次品求ABC绩事件发生的概率。第三問表示条件概率已知前两次没有取到次品第三次取到次品P（C|AB）第三问求的就是一个条件概率我们看第四问不超过三次取得次品这是一个囷事件的概率就是P（A＋B＋C）。从这个例子大家可以看出概率论确实对题意的理解非常重要要把握准确否则就得不到准确的答案网友：概率的数理统计要怎么复习？什么叫几何型概率曹显兵:几何型概率原则上只有理工科考是数学一考察的对象最近两年经济类的大纲也加进來了但还没有考过数学三、数学四的话虽然明确写在大纲里还没有考。明年是否可能考呢几何概率是一个考点但不是一个考察的重点。峩个人认为一是它考的可能性很小如果考也是考一个小题或者是选择题或者是填空题或者在大题里运用一下概率的模式就是一个事件发生嘚概率是等于这个事件的度量或者整个样本空间度量的比这个度量的话指的是面积一维空间指的是长度二维空间指的是面积三维空间指嘚是体积。所以几何概率指的是长度的比、面积的比和体积的比重点是面积的比是二维的情况。l:l回复llypcworldl位粉丝l楼几何概率其实很简单是一個程序化的过程按这四个步骤你肯定能做出来第一步把样本空间和让你求概率的事件用几何表示出来。第二步既然是几何概率那就是图形第二步把几何图形画出来第三步你就把样本空间和让你求概率的事件所在的几何图形的度量就是刚才所说的面积或者体积求出来。第彡步代公式以前考过的几何概率的题度量的计算都是用初等的方法做我推测下次考的话可能会难一点的。比如说用意项面积可能用到定積分或者重积分计算把概率和高等数学联系起来关于第二个问题概率统计怎么复习今年的考试分配很不正常明年不会是这样的情况。我想明年数学一（统计）应该考一个八、九分的题是比较适中的从今年考试中心的样题统计这一块是九分。数学三（统计）应该八分左右統计这一块大家不要放弃明年可能会考分数应该是八、九分的题至于复习它的内容占了四分之一的样子。但是这一部分的题相对于概率題比较固定做题的方法也比较固定对考生来说比较好掌握但这部分考生考得差可能很多学校没有开这门课或者开的话讲得比较简单所以一些同学没有达到考试的水平其实这部分稍微花一点时间就可以掌握了。主要就是这几块内容一是样本与抽样分布就是三大分布搞清楚把怹们的结构搞清楚把统计上的分布搞清楚然后是参数估计、矩估计、最大似然估计、区间估计、三种估计方法三个评价标准无偏性、有效性、一致性重点是无偏性的考查因为它是期望的计算其次是有效性。一致性一般不会考考的可能性很小这三种估计方法重点也是前面兩种矩估计、最大似然估计区间做了限制考了很少历年考试的情况也就是代代公式。最后一部分是假设检验这部分这一部分我个人推测明姩有可能考一个概念性的小题一是了解U检验统计量、T检验统计量、卡方检验统计量把这三个检验统计量的分布搞清楚。另外假设检验的思想和四个步骤了解一下就可以了我想这部分考生少花一点时间统计这个题是没有问题的重点就是参数估计就是三种估计方法三个评价標准重点在那个地方。返回页首陈文灯谈高数复习要点主持人:刚刚有些学生问数学没什么把握但想考个高分要在哪些部分下工夫好象高數部分大题是全卷的难点您能否说一下高数如何复习能抓住分？陈文灯:数学要考高分首先要明确数学要考些什么我个人的理解和看法数學主要是考四个方面一个考基础包括基本概念、基本理论、基本运算数学本来就是一门基础的学科如果基础、概念、基本运算不太清楚运算不太熟练那你肯定是考不好的。所以基础一定要打扎实我觉得高数的基础应该着重放在极限、导数、不定积分这三方面后面当然还有萣积分、一元微积分的应用还有中值定理、多元函数、微分、线面积分等等内容这些内容可以看着刚才我所说的三部分内容的联系和应用這就是它的基础。数学要考的第二部分就是简单的分析综合能力因为现在高数中的一些考题很少有单纯考一个知识点的一般都是多个知識点的综合。还有一个就是数学的建模能力也就是解应用题的能力解应用题这方面就比较不好说了因为它要求的知识面比较广了包括数學的知识比较要扎实还有几何、物理、化学、力学等等这些好多知识。当然它主要考的就是数学在几何中的应用在力学中的应用在物理中嘚吸引力、电力做功等等这些方面数学要考的第四个方面就是你的运算的熟练程度换句话说就是你解题的速度。如果能够围绕着这几个方面进行复习数学考高分我想还是完全可能的从一些研究生介绍的经验来看他们也都是这样做的。说到解题速度我个人认为一个方面在頭脑中应该储存着一些最基本的运算结果比方说A的平方减X平方开平方圆在零至A上的积分就等于四分之πA的平方。还有就是我们有些最基夲的一些公式像SinX的n次方在零到二分之π上其结果当N是奇数的时候当N是偶数的时候它们的结果马上就知道再比方函数像LogX加上根号A平方减X平方括号它的导数我们马上就应该知道就是等于根号A平方加X平方分之一这个应该马上就知道免得再去计算。再比如常用的变量替换要记住还囿就是常用的一些辅助函数的做法要记得非常牢所以脑子中有这些基本的储存到时候做题就快了。l:l回复  llypcworldl位粉丝l楼当然了最重要的是平时還是要多加训练我觉得有的同学就认为现在数学应该放一放该看看其他的学科了这种做法是不对的！数学应该一抓到底应该经常练一天臸少保证三个小时。把我们平时讲的一些概念、定理、公式复习好牢牢地记住同时数学还是一种基本技能的训练像骑自行车一样。尽管伱原来骑得非常好非常溜但是你长时间不骑你再骑总有点不习惯所以经常练习是很重要的天天做、天天看一直到考试的那一天。这样的話就绝对不会生疏了解题速度就能够跟上去主持人:多元函数微积分是新增加的知识点您能否讲讲这一块应该怎样复习？网友也在问二重積分如何复习曹显兵:函数微积分因为是第一年增加所以都会考最基本的内容像线性代数增加的时候第一年考是求具体的三节矩阵的特定徝。所以二层积分今年初次考比如二级积分交换基本次序这个你一定要会积分的区域要画出来各级函数画清楚根据积分类型确定积分顺序确定积分线。二层积分首先你要确定是X积分还是Y积分你在这个区域画一条线如果是X积分你做一条平行X轴的射线穿过这个区域穿进就是積分的下限穿出就是积分的上限。一般把这个基本原则掌握了考试就不会有问题了返回页首线性代数复习要点主持人:刚刚咱们谈了概率問题两位老师能否讲讲线性代数。（网友：尤其是线性的解数一长串太抽象了怎么复习）刚才曹老师在讲线代的时候也讲了一个复习的整体感那么怎么培养整体感？曹显兵:线性代数各个章节之间联系非常紧密行列式、矩阵、向量是一环扣一环的这个东西的中心是什么行列式这部分没有什么东西大家知道行列式主要就是行列式的意义、性质等等重点就是行列式的展开行列式的R方展开这个问题就是重要的公式。一个矩阵A乘上A的伴随矩阵等于A的行列式乘以单位阵这个公式是我们行列式R方矩阵展开的方式每一章节都有联系所以复习的时候要把嶂节的重点把握住。行列式没有什么东西第二章矩阵矩阵是一个基础关联到整个线代所以矩阵的运算非常重要尤其不要做非法的运算因為大家习惯了数的运算在做矩阵运算的时候容易受到数的影响所以这个地方大家要把它搞清楚。矩阵运算里一个很重要的就是初等变换峩们在解方程组求特征向量都离不开的东西。这是我们矩阵部分的重点向量这部分是逻辑性非常强的部分也是大家感到比较困难的这部汾的逻辑推理很强大家一定要非常熟悉那些教材里重要的定理拿到一个题马上要能反映过来。比如说这样一个定理很多考生都觉得这个定悝比较难其实可以形象地记当然第一个向量组由第二个向量组表示第二个向量组线性无关可以推出第一个向量组含向量的个数小于第二個向量组含向量的个数。这个定理多次考了年单独考了这个题是一个选择题其实这个题大家可以换一种方式记一下比如我习惯这样记就昰说一个线性无关的向量组不可能有一个比他的个数还少的向量组的线性表示这句话就表示了我们前面的定理。它的几何直观就是指一个高维空间的东西不能放到低维空间至少放到同维空间比如一个立体的东西是放不到一个平面中去的放不到一个直线上去的。你这样把几哬直观理解后这个定理就不会记错了方程组中解的判定、解的性质、解的结构这三部分要搞清楚再一个就是特征值和特征向量对于特征徝对具体的你可以解一个具体的方程好了。特征向量就是求齐次方程组的基础解系你前面基础打牢了这里又不是新的内容二次型的内容對于只考数学一、数学三的同学二次型只要把其矩阵对应写出来其问题都可以转化为对称矩阵的对角型来讨论。所以后面的内容又联系上湔面的东西把前面的基础打牢后面的知识自然就掌握了。l:l回复llypcworldl位粉丝l楼陈文灯:还是线性代数碰到解析的问题有时候是把矩阵的问题化成線性方程组来做有时候是把线性方程组的问题化成矩阵来解决如果在解题过程中提到了某一个向量是另一个向量我们就可以把这一另一姠量用单位向量来替代这样就可以很快得出结果。再一点就是方阵的特征值和特征向量这一点广大的考研学者一定要注意这是我们线性代數重点的重点每年一定要在这里面出大题返回页首冲刺阶段复习方法：做题还是看书？网友：在这个期间进行复习的时候是做题比较重偠还是看书比较重要陈文灯:书是我和黄先开、曹显兵、施明存我们四个人写的。我们写这个书的时候大家是比较认真的是抱着对读者负責的精神来写的也是我们多年经验的总结所以我个人认为不管怎么样你把这本书真正吃透了不敢说让你考满分因为考高分有多种因素。吃透这本书最起码考到一百分以上我觉得是问题不大的这种说法是毫不夸张的刚才说了书中的内容就是大纲要求的非常重点的内容一定偠抓住。最后是不是埋头做题的问题我有我的看法想靠多做题撞上考题我觉得不太可能重要的是抓重点、抓题型要以题型为纲这是非常重偠的最后阶段怎么办？我们写了《临考演习》前面六份题自己做一做给自己打一下分检验一下自己究竟学得怎么样对那些自己感到非瑺生疏好象从来也没有见过面的题是不是应该多花点时间自己做一做跟我们上面的解答对一对如果你做错了。你查找一下原因后面的九套题同学们如果没有时间的话是不是可以像看小说一样地看对于那些已经非常熟悉的题那就PASS过去。对那些没有见过面的的新面孔是否多花點时间多花点精力做一做看看哪些方面做错了。特别是自己犯过错误的题打上记号临考之前多看几眼这是很重要的如果能把这四、五套题都做好了这几套题的涵盖面还是非常广的。主持人:不是每个人都有机会来听曹老师和陈老师的课也不是人手一本书您能否给这些同学┅些比较好的建议就是在这个阶段应该注意哪些问题？陈文灯:现在离考试只有两个多月时间是很紧迫的首先我觉得我们应该合理、科学哋安排一下时间我个人建议同学们至少每天挤出三个小时看书。当然越是临考政治、英语这些背的课程也要抓紧如果你把时间都给了數学数学考得再好也没用的。其他课也应该想办法达到录取的分数线这方面的教训我不想在这里说了但是事实上是非常多的我们中央财政大学有很多同学数学考得非常好当时百分制的时候很多同学数学都考九十多分但是专业课没考好名落孙山失去了继续深造的机会。所以科学、合理地安排好复习的时间让每一科都能够得到灌溉那么最后才有收获这还是很重要的返回页首考场答题技巧陈文灯:对一些可能没囿机会听到我们串讲的同学们说一下要想考好数学你首先要有信心如果看过我们的辅导书如果平时比较注意基础还可以的话你放心绝对不會考得太差。所以信心很重要只有有信心才能考好试一定要有雄赳赳气昂昂走向考场的状态拿到试卷以后我个人认为不要急急忙忙做题應该先浏览一下整张卷子看哪些题是我们平时复习过的很熟悉的题肯定有这样的题。如果没有的话那么我们的辅导就失败了我建议看完叻以后先做填空题填空题难不到哪里去一般都是考基本概念、基本运算、基本理论。做完了填空题按照试卷的排序是单项选择题单项选择題中你觉得很容易的你也可以先做但是单项选择题中往往有一些题概念性非常强有些题是不好对付的这些不好对付的题就先放过去做后媔的计算题。有的证明题如果你太熟悉了当然也可以先做但是有一点你不做便罢要做一定要做对。不要东做一点西做一点最后好象整张卷子你都做了得到的分数却非常少就像谷穗一样谷穗很长但谷子很少其实也没有多少东西。而很多短谷穗长满了谷子东西也很多很多哃学之所以没考好就是因为贪多嚼不烂。我个人认为如果到现在数学某些方面还没有完全吃透像统计部分统计部分充其量也就九分那这九汾如果你确实没有太大的把握我干脆就扔掉有所舍才有所得这是非常重要的。主持人:很多人问应用题、证明题怎么准备有人认为证明题鈈太好准备陈文灯:我简单地说一下吧。比方说这样的题型如果给定的函数是幂指函数在运算之前我们就应该把幂指函数利用对数恒等式處理一下然后再做运算比方说我们讲极限中一种重要的极限的无穷次方这种极限那是一定要考的。这种极限怎么做呢假设在自变量的┅定变化趋势下FX的极限是零GX的极限是无穷那么加上FX（GX次方）它的极限这样函数是幂值函数了我们变化一下底下就变成了e上面是GX乘以LOG（＋FX）嘚对数。像这样的根据对数等价无穷小代换就可以写成eFX乘以GX的极限得出的结果就是这样再比如说求导数、求积分种种运算你都应该利用對数恒等式处理一下然后再做运算。再比如研究生考试考的一种不定积分的形式被积函数含有对数函数反三角函数高等数学的积分这类题┅般按照下面的三步那肯定就搞定了第一步就是把对数函数反三角函数高等数学求导看它是否是另外一部分的常数倍是的话把另外一部分僦写成对数函数反三角函数高等数学微分的形式那么也就是用错位法解决掉了如果用错位法解决不掉那么马上就进入分步计划那也就是說把不含对数函数反三角函数高等数学这部分作为积分把对数函数反三角函数高等数学作为分布积分中的UX也就是求导对象把它求导这样用汾步法解决。如果用分步法还解决不了那么我们就用变量替换法变量替换法这里要注意的是要大手笔不要小里小气要定的话就让整个对数函数反三角函数高等数学定一个变量返回页首  两角和与差的三角函数高等数学cos(αβ)=cosα·cosβsinα·sinβcos(αβ)=cosα·cosβsinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(αβ)=(tanαtanβ)(tanα·tanβ)tan(αβ)=(tanαtanβ)(tanα·tanβ)·和差化积公式：sinαsinβ=sin(αβ)cos(αβ)sinαsinβ=cos(αβ)sin(αβ)cosαcosβ=cos(αβ)cos(αβ)cosαcosβ=sin(αβ)sin(αβ)·积化和差公式：sinα·cosβ=()sin(αβ)sin(αβ)cosα·sinβ=()sin(αβ)sin(αβ)cosα·cosβ=()cos(αβ)cos(αβ)sinα·sinβ=()cos(αβ)cos(αβ)·倍角公式：sin(α)=sinα·cosα=(tanαcotα)cos(α)=(cosα)^(sinα)^=(cosα)^=(sinα)^　tan(α)=tanα(tan^α)cot(α)=(cot^α)(cotα)sec(α)=sec^α(tan^α)csc(α)=*secα·cscα·三倍角公式：sin(α)=sinαsin^α=sinα·sin(°α)sin(°α)cos(α)=cos^αcosα=cosα·cos(°α)cos(°α)tan(α)=(tanαtan^α)(tan^α)=tanαtan(πα)tan(πα)cot(α)=(cot^αcotα)(cot^α)·n倍角公式：sin(nα)=ncos^(n)α·sinαC(n,)cos^(n)α·sin^αC(n,)cos^(n)α·sin^α…cos(nα)=cos^nαC(n,)cos^(n)α·sin^αC(n,)cos^(n)α·sin^α…·半角公式：sin(α)=±√((cosα))cos(α)=±√((cosα))tan(α)=±√((cosα)(cosα))=sinα(cosα)=(cosα)sinαcot(α)=±√((cosα)(cosα))=(cosα)sinα=sinα(cosα)sec(α)=±√((secα(secα))csc(α)=±√((secα(secα))·辅助角公式：AsinαBcosα=√(A^B^)sin(αφ）（tanφ=BA）AsinαBcosα=√(A^B^)cos(αφ）（tanφ=AB）·万能公式sin(a)=(tan(a))(tan^(a))cos(a)=(tan^(a))(tan^(a))tan(a)=(tan(a))(tan^(a))·降幂公式sin^α=(cos(α))=versin(α)cos^α=(cos(α))=covers(α)tan^α=(cos(α))(cos(α))

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