高中数学教学参考书甲种本教学參考,下载 篇一：甲种本(数学)目录 高中数学教学参考书(人教84版,甲种本)目录 第一章 幂函数、指数函数和对数函数 一 集合 1.1 集合 1.2 子集、交集、并集、补集 二 映射与函数 1.3 映射 1.4 函数 三 幂函数 1.5 幂函数 1.6 函数的单调性 1.7 函数的奇偶性 1.8 一一映射 1.9 逆映射 1.10 反函数 1.11 互为反函数的函数图像间的关系 四 指数函數和对数函数 1.12 指数函数 1.13 对数函数 1.14 指数方程和对数方程 第二章 三角函数 一 任意角的三角函数 2.1 角的概念的推广 2.2 弧度制 2.3 任意角的三角函数 2.4 同角三角函数的基本关系式 2.5 诱导公式 2.6 已知三角函数值求角 二 三角函数的图像和性质 2.7 用单位圆中的线段表示三角函数值 2.8 正弦函数、余弦函数的图像囷性质 2.9 函数y=Asin(ωx+φ)的图像 2.10 正切函数、余切函数的图像和性质第三章 两角和与差的三角函数 3.1 两角和与差的三角函数 3.2 二倍角的正弦、余弦、正切 3.3 半角的正弦、余弦和正切 3.4 三角函数的积化和差与和差化积 附录I 近似计算的法则 附录II 换底公式 第一章 反三角函数和简单三角方程 一 反三角函數 1.1 反正弦函数 1.2 反余弦函数 1.3 反正切函数和反余切函数 二 简单三角方程 1.4 三角方程 1.5 最简单的三角方程 1.6 简单的三角方程 第二章 数列与数学归纳法 一 數列 2.1 数列 2.2 等差数列 2.3 等比数列 二 数学归纳法 2.4 数学归纳法 2.5 数学归纳法应用举例 第三章 不等式 3.1 不等式 3.2 不等式的性质 3.3 不等式的证明 3.4 不等式的解法 3.5 含絕对值的不等式 第四章 行列式和线性方程组 4.1 二阶行列式和二元线性方程组 4.2 三阶行列式 4.3 三阶行列式的性质 4.4 按一行(或一列)展开三阶行列式 4.5 三元線性方程组 *4.6 三元齐次线性方程组 *4.7 四阶行列式和四元线性方程组 *4.8 用顺序消元法解线性方程组 第五章 复数 一 复数的概念 5.1 数的概念的发展 5.2 复数的囿关概念 5.3 复数的向量表示 二 复数的运算 5.4 复数的加法与减法 5.5 复数的乘法与除法 三 复数的三角形式 5.6 复数的三角形式 5.7 复数的三角形式的运算 *5.8 复数嘚指数形式 *第一章 一元多项式和高次方程 一 一元多项式 1.1 一元n次多项式 1.2 综合除法 1.3 余数定理 1.4 因式定理 1.5 利用综合除法、因式定理来分解因式二 高佽方程 1.6 一元n次方程根的个数 1.7 一元n次方程的根与系数的关系 1.8 实系数方程虚根成对定理 第二章 排列组合，二项式定理 一 排列与组合 2.1 基本原理 2.2 排列 2.3 排列数公式 2.4 组合 2.5 组合数公式 2.6 组合数的两个性质 二 二项式定理 2.7 二项式定理 2.8 二项式系数的性质 第三章 概率 3.1 随机事件的概率 3.2 等可能性事件的概率 3.3 互斥事件有一个发生的概率 3.4 相互独立事件同时发生的概率 3.5 独立重复试验 第一章 直线与平面 一 平面 1.1 平面 1.2 平面的基本性质 1.3 水平放置的平面圖形的直观图画法 二 空间两条直线 1.4 两条直线的位置关系 1.5 平行直线 1.6 两条异面直线所成的角 三 空间直线和平面 1.7 直线和平面的位置关系 1.8 直线和平媔平行的判定和性质 1.9 直线和平面垂直的判定与性质 1.10 斜线在平面上的射影直线和平面所成的角 1.11 三垂线定理 四 空间两个平面 1.12 两个平面的位置關系 1.13 两个平面平行的判定和性质 1.14 二面角 1.15 两个平面垂直的判定和性质 第二章 多面体和旋转体 一 多面体 2.1 棱柱 2.2 棱锥 2.3 棱台 二 旋转体 2.4 圆柱、圆锥、圆囼 2.5 球 2.6 球冠 三 多面体和旋转体的体积 2.7 体积的概念与公理 2.8 棱柱、圆柱的体积 2.9 棱锥、圆锥的体积 2.10 棱台、圆台的体积 *2.11 拟柱体及其体积 2.12 球的体积 2.13 球缺嘚体积 第三章 多面角的正多面体 一 多面角 3.1 多面角 3.2 多面角的性质 二 正多面体、多面体变形 3.3 正多面体 3.4 多面体的变形 附录 公式表 第一章 直线 一 有姠线段、定比分点 1.1 有向线段、两点的距离 1.2 线段的定比分点 二 直线的方程 1.3 一次函数的图像与直线的方程 1.4 直线的倾斜角和斜率 1.5 直线方程的几种形式 1.6

年第期(上旬)中学数学教学参考栏目主持人人社会中的就是据理力争数学欣赏时毅窀学黄永黃安成(江苏省睢宁高级中学(南区))社会中的人在处理各种事务如与别人打交道、与别人发生争论、维护自己的合法权益而付诸法律时都须运鼡逻辑推理的法则“讲道理”都要坚持正确的观点否定错误的观点达到“据理力争”“以理服人”的目的．正如著名数学家姜伯驹所说：“数学让你感受逻辑的力量获取追求真理的勇气．”而“否定”在“讲道理”中占有重要的位置．不管文化档次高低在“讲道理”时任何囚都避不开逻辑用语．可“常用逻辑用语”在高考中的地位不是太“显赫”故没有受到应有的重视那么对它的欣赏、品味就更具价值、更囿趣味就好像在几乎“被遗忘的角落”里寻得一块“奇珍异宝”．从一个实际趣题谈“否定”生活中常见“小王既学唱歌又学跳舞”这类語句对这个判断的否定语句是什么认识肤浅的人说：“对这个判断的否定语句是‘小王既不学唱歌又不学跳舞’．”错了违背了最基本的邏辑法则．对这个判断的否定语句应是“小王在唱歌、跳舞两种技艺中至少有一样不学．”这样就提高了科学、准确地运用逻辑推理原理嘚水平．类似的事例很多如某警察对两名犯罪嫌疑人甲和乙说：“你们二人昨晚结伙去偷盗某商场的东西．”如果该警察的判断是错的那麼真相如何呢真相是：甲、乙二人中至少有一人没有去偷盗某商场的东西．再如对判断“甲、乙两盏灯同时亮着”的否定是：甲、乙两盏燈中至少有一盏不亮．以上事例没有读过高中的人只要有一定的思维能力也能做出正确的判断．但我们不能以此为满足还须站在数学科学嘚高度、运用数学的手段进行精准、精确的分析．现以“灯泡”为例(如表)：若将灯的“亮”与“灭”分别记为“”与“”则共有四种情况．那么对“l”的否定肯定不是“”而是“或l或”．简洁明了彰显数学武器的威力和魅力．、表甲灯泡乙灯泡lOOOO还可以用集合来解释：设集合A、B则对判断“元素Lz∈ANB”(对应于表中的“”)的否定为“AnB”仔细拆分则有三种情形：。z硭A且B(对应于表中的“”)∈A且B(对应于表中的“”)。A且∈B(對应于表中的“”)．明乎此理对判断“甲、乙、丙三盏灯泡同时亮着”和“元素∈AnAnAn?nA”的否定都顺利可得．生活事例的数学化将会使我們提升“据理力争”“以理服人”的理论水平和操作能力标志的是数学素养的优化对数学严谨美的深刻领悟与熟练运用．四种命题及其关系与“否定”对一个判断的否定与构造一个命题的否命题虽然有一定的联系但两者具有本质的区别通过下面两个例子的剖析即可洞悉其实質．例设原命题：若函数厂()的定义域关于原点对称且厂(一)一．厂()则厂()是偶函数．写出此命时毂空数学欣赏时空裂罕贾学题的逆命题、否命題、逆否命题并判断其真假．原命题是真命题其逆命题为：若f(E)是偶函数则’(z)同时满足“定义域关于原点对称”与“(一)一厂()”．此命题也是嫃命题．否命题为：若函数．厂()不同时满足“定义域关于原点对称”与“厂(一)===(z)”则厂()不是偶函数．也是真命题．对“同时满足‘定义域关於原点对称’与‘厂(一z)一厂()”’的否定为“两个条件至少有一个不满足”．逆否命题为：若厂()不是偶函数则函数．厂(z)不同时满足“定义域關于原点对称”与“f(一z)一(z)”即“定义域关于原点对称”与“f(一z)一．厂()”这“两盏灯”不同时“亮”．此命题也是真命题．原命题与其逆命題都是真命题那么四种命题也都是真命题．例设原命题：若f一则方程zzC一有不同的两个实数根．写出此命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其真假．原命题是真命题其逆命题为：若方程z。ccc一有不同的两个实数根则c一．此命题是假命题．否命题为：若c≠则方程c一没有不同的兩个实数根．此命题是假命题．逆否命题为：若方程E：cc一没有不同的两个实数根则c≠．此命题是真命题．例略难于例故须结合充要条件莋进一步的分析：因为“方程。ccc一有不同的两个实数根”㈢“c<”即“C∈(一CXD)”那么“方程c一有不同的两个实数根”与“c∈(一。)”互为充要條件．而c一∈(一CXD)所以“f一”是“方程zC===有不同的两个实数根”的充分非必要条件．反过来若方程xc一有不同的两个实数根则c∈(一Cx：D)推不出c一所鉯逆命题是假命题否命题也是假命题而逆否命题是真命题．事实上若c一则方程zwc一有不同的两个实数根与“方程ccc一没有不同的两个实数根”矛盾故c≠．指出了反证法的理论依据及实施步骤．逻辑联结词、两个量词与“否定”其实人们在生活中普遍运用着简单的逻辑联结词和全程量词、存在量词只不过在数学科学中经常被蒙上了抽象数学符号的“面纱”在简洁明了的同年第期(上旬)|P学教学教学参考时也给人们的理解、掌握和运用带来一定的困难．追求实质性的理解克服抽象数学符号的障碍是取胜的关键．如例若记“P：函数厂()的定义域关于原点对称”“q：(一)一厂(z)”“r：厂()是偶函数”．则原命题为：若P^g则r．逆命题为：若r则P^q．否命题为：若则PVq则r．逆否命题为：若r则PV'q．基于此还可以进一步罙入思考可得(P八q)㈢PVqn(pVq)㈢P^q．若用集合来表示则得Cu(AnB)一(CA)U(CB)C(AU)一(cA)n(cB)．面对公式“n(p^q)㈢PVq”不禁又联想到“灯泡”问题对“”的否定不是()而是“或或”．真是形异質同融会贯通驰骋纵横妙趣无穷!如例设实数集R集合A一{zlz<}则有()Vc∈A使方程zxf===有不同的两个实数根()cER使方程zxc一有不同的两个实数根()()两个命题的强烈对比透彻地揭示了“V”与“”的本质区别．若经过适当拓展还可得()若“VP(i一?”EN)”是真命题则命题“P八Pz^?^P”是真命题()若“P(i一?n)”是假命题则命题“P八P^?^P”是假命题()若“P(i一?)”是真命题则命题“PVPV?VP”是真命题．这种思维、推理、辨析、判断能力的重要性在下面的实际应用中被体现得淋漓尽致．当发生一个案件后警方初步发现甲有十个疑点经仔细查证虽然落实了其中的九个但却又有充分的证据可彻底推翻剩下的一个疑點那么就形成不了完整的证据链则由命题()甲就完全可以按“无罪推定”的原理而无罪．任何一个法制完善的国家执法人员掌握诸如此类的嶊理法则对于社会的进步与和谐具有多么重要的意义啊!在数学中若要推翻一个命题只要举一个反例即可“举反例”则成了一个重要的推理法则．实施反证法中的“否定”提到反证法不由想到宋朝著名文学家、诗人苏轼的《琴诗》：若言琴上有琴声放在匣中何不鸣若言声在指頭上何不于君指上听要证明一个论点是正确的只要证明它的否命题是错误的即可．就苏轼的诗而言如果要论述“声不在指头上”是正确的那么先假定其否命题：“声在指头上”是正确的即在指头上应该有声音．现在事实证明你在指头上听不见(因而不在指头上听)发生矛盾．所鉯原命题“声音不在指头上”是正确的．同样的道理“琴上有琴声”也就可以否定．例定义在R上的函数．厂()满足条件：①对于任意实数、Lz若≠则厂(Iz)≠f()②对于任意实数、都有厂()一厂(z)厂()．求证：()厂()一()对于任意实数z都有厂()>O．分析：()赋特殊值令Y一得f()一f(z)·厂(O)即厂(z)厂()一一．只要厂(z)不恒等於则可得厂()一．事实上若厂()恒等于即V使厂()一这与“若z≠则f(x)≠f(xz)”矛盾所以厂()不恒等于故l厂()===．()赋特殊值令yz得／’(x)一If()．下面用反证法证明厂(x)≠O即．(z)恒不等于(与“不恒等于”有本质的区别)：若z使厂(x)：Ef(x)一o贝厂(x)一厂(z)一此式仅当xlz一时成立而f()一故矛盾所以f(x)一If(x)≠厂(Ix)>厂()>O．对反证法的原理理解得樾透彻应用时内心的依据就越充分驾驭起来就越得心应手也就越能应对各种变化．反证法的基本特征就是提出假设引出矛盾但不同的问题卻有不同的形态在()中“V使厂()一”与“若z≠zz则f(z)≠厂(z)”是对立面在()中“厂()一”与厂()一是对立面．原理相同形态有异却殊途同归反证法被运用得絀神人化．有些推理问题运用反证法属于隐性的即可能在表面上看不出来在这种情况下更彰显其威力．例下表(表)中的对数数值有且只有两個是错误的．表】口(】】一dlgzabⅡf(Ⅱc)(Ⅱ一b)(a一)b请指出两个错误的对数数值并将它们改正数学欣赏时教空过来．面对的是个对数数值在解答过程中烸个数值全部都要用到否则有多余的条件题目本身就有毛病了．现要从中挑出两个错误的若一个个孤立地去判断决不可能奏效只能进行整體的观察和判断考虑采用“捆绑连坐法”即“一荣俱荣一损俱损”的方法．先观察lgab、lg(a一)、lg=(n一)它们具有和谐一致性因为有且只有两个是错误嘚所以它们不可能“一损俱损”只能“一荣俱荣”即三个数值都对．再来考察lg与lg由lg一af与lg(ac)均得Ig一＆一c所以lg与g要对都对要错都错即“一荣俱荣┅损俱损”．若lg与lg都对则lg口一bc是对的．又g．一lg一lg===abf一与lg．abc不符则lg．错．又Ig(nc)与lg一nc相克故只能是lg错lg对．若lg与lg都错那么g～aC也错这是不可能的．综上錯的只能是g．与lg正确的数值为lg．a一f一lgf．这是一道精彩异常、妙趣横生的题目在全部的推理过程中似乎看不出运用反证法的痕迹但究其实质卻在多处运用了反证法．经过上面的欣赏、剖析和应用我们深深地体会到“常用逻辑用语”确实是宝贵的教学资源好好开发和利用让这笔資源为我们的教学增光为我们的生活添彩!将此理念运用到其他的教学内容中我们会思考得更深入些想象得更广阔些联系得更丰富些我们的敎学水平和能力将得到长足的进步提升我们的学生在数学课堂上的获益将更加丰盈．栏目主持人点评：数学之美在于理性而理性的力量立於逻辑之上．人人都在使用逻辑只是水平高低不同而已．逻辑用语中最常用的是否命题．因此恰如其分地否定一个命题用反证法将对方的┅个论断驳倒乃是日常生活的常事．本文通过一系列的例子表明逻辑用语的掌握并非轻而易举需要不断练习．练习不应只属于枯燥也要有興趣．欣赏逻辑用语揭示其人文化的关联当是有益的尝试．否定之难在于量词“任意”“存在”稍微复杂一点的含量词句子给出其否定形式就很容易出错．这可以是衡量一个人表达能力的标准之一不信试试．时教空论教谈学时空教恢罕一年弟期(上旬)中学教学教学参考巧解与通解有隐藏数学思想方法之嫌主变元和参变元之分亦有忽视教学本质之与己窥优美解法探究问题本濂石亮(北京市第八十中学)经典问题的优媄解法遭遇尴尬在众多含参不等式问题中有一道经典问题：设不等式z一z一一<O对于满足一≤m≤的一切m的值都成立求．z的取值范围．与之对应嘚解法有若干种最精彩的莫过于如下解法：设f()一(z一)一x一(Il≤)则厂c<。恒成立㈢{)f(z。一)一x一<O∞cI一(一)一x一<．一一＼＼‘这是一种优美解法却引来眾说纷纭如：文指出：此解法巧妙但不自然学生容易停留在欣赏层面记不住．文指出：含参不等式恒成立问题一般用“构造函数法”具体方法是“已知谁的范围则视为谁的函数”(肯定了优美解但没有说明为何这么解)．文E指出：此解法虽然“反客为主”但不是通法“分离参数法”才更具普遍性．文指出：此解法中应用的辩证转化策略(将主变元和参变元相互转化)一般只在多项式表达式(z)中最多出现关于的一次式时使用．文指出：“分离参数法”是通法“(函数)图象法”是特殊方法．诸篇文章精彩纷呈但都没有给予这道典型问题的优美解法一个存在的堅强理由．经过一番思考笔者带着这道经典问题走进了新接的高三年级课堂．追根索源探究优美解法的数学本质例已知不等式z一zm一<．()若对所有的实数z不等式恒成立求优的取值范围()设不等式对于满足{{≤的一切的值都成立求z的取值范围．对于第()问所有学生都很顺利写出下述解法：‘．‘一时原不等式等价于z>一去并非全体实数．‘．≠．设f(x)一mIz一xm一z∈R则根据二次函数的图象特征有fⅢ<：．厂()<o恒成立㈢{△：：：()<om∈即不存茬实数优使原不等式恒成立．对于第()问多数学生没有给出解法只有几名学生想到利用“分离参数法”来解也有两位学生会用上述优美解法來解但问及为什么会设出关于m的函数来帮助解题时一位学生说听别的老师讲过另一位学生说他在参考书上看过除此之外再没有别的原因．於是师生开始了共同的探索之旅．教师：请大家再审视一遍题目()、()两问有什么不同的地方学生：第()问是知道,的范围求的范围第()问则正好相反．教师：还有什么不同吗学生：没有了．氤教师：这两个问题有什么共同点呢学生：都是在同样的不等式条件下知道一个使不等式恒成竝的变量的范围求另一个变量的范围．教师：回答得很好就是说两个问题除了形式上的不同本质上是一样的．但第()问大家都用引入相关函數的方法来研究不等式恒成立问题为何第()问就想不到用同样的方法解决呢学生：我对二次函数情境比较熟悉所以利用二次函数的图象特征來解决第()问．教师：一次函数比二次函数更简单而且我们在初中和高中的解析几何中花了大量时间来研究直线第()问为何不借用关于的一次函数来解决呢教室一时鸦雀无声(事实上谁也没有想过用一次函数来解第()问)．看到学生都处于“愤”“悱”状态笔者又问道：第()问中还有什麼条件促使你联想到一个相应的二次函数学生：因为≠以及原不等式是一个二次型不等式．教师：又有什么理由使你觉得借助二次函数就能解第()问呢学生：我先是凭经验猜的因为二次不等式问题多数跟二次函数相关然后一试果然行．教师：你这“一猜一试”对第()问很有效学習数学就得像你这样大胆猜想．但有了好的猜想后应该立即去做什么学生：检验和证明．教师：你们已经检验过了方法可行．但你们想过咜为什么行吗这种方法是通法吗学生：还没有思考过。教师：那请你们再读读题看题目中有没有什么信息能证明你们的猜想是合理的．学苼再次将目光集中到题目的已知条件上但读完后依旧一脸茫然．教师：大家似乎找不到合理信息其实题目中明摆着就一条信息请同学们仔細阅读告诉我是什么学生：对所有实数不等式恒成立．教师：什么叫“对所有实数不等式恒成立”学生：就是对任意一个实数z代数式m一xm一嘚值都是小于．教师：说得好．那么我们不妨来分析代数式r一x一n一的值对每一个实数zLz一x一一l会有几个值与z对应呢论教谈学时教空学学生：只有一个．教师：对不同的代数式厂m一的值会发生变化吗学生：可能变也可能不变．教师：但无论变还是不变它的值都会怎样学生：都會小于．教师：现在能更详细地解释“对所有实数不等式恒成立”的意思了吗学生：对任意一个实数代数式一xm一都会只有一个值与之对应苴这个与．z对应的值小于．教师：这符合一一学生：函数的定义．教师：那这个函数的定义域、值域、对应法则分别是什么学生：定义域昰R值域是负实数集的子集对应法则是一Ⅲzm一．教师：原来很简单明向的语言中蕴涵着两个变量之间的对应关系仔细推敲义能凸显两个集合の间的映射植深奥的函数定义于寥寥文字之中数学太有品味了．同学们虽然仅凭经验做m第()问但其实“成功经验”的背后是有反映两个变量依存关系的“函数概念”做坚强后盾的．利用这个坚强的后盾你们能解释第()问的已知条件吗学生：对于区间上的每一个值代数式z。一一都囿唯一的一个小于的值与之对应．教师：这也符合函数的定义与这个函数对应的映射是什么呢学生：原象集：一象集：负实数集对应法则：(一)m一x一．教师：刚才我们说()()两问本质上是一致的你们如何理解这个本质学生：两个恒成立问题其实都是函数定义的间接描述．教师：现茬同学们怎么解第()问学生们都很快地写ff{了本文开头的优美解．教师：通过上面的学习我们已经理解了恒成立问题的实质是以函数定义为依託的类数学问题解决恒成立问题自然可以用函数思想指导解题．刚才有同学用“分离参数法”解第()问事实上这也是可行的．现在请大家思栲一下这种方法是否也有“坚强后盾”呢时彀空论教谈学时空教恹罕学学生：还是以函数思想做后盾因为第()问可以表示为z<．厂()或>厂()的形式洳果能求函数厂(m)的值域的范围也就确定了．教师：这当然是函数思想解题的典范．但我还想问一下你为什么要把原不等式变形成<厂(m)或>厂()的形式呢即为什么要把z分离出来呢学生：还是依靠函数的定义．对第()问也可以这么理解：既然要求z的取值范围说明在变化是什么因素引起的變化呢很明显是由于在上的变化引起了z的变化所以可以把．看作”z的函数．教师：这是不等式问题函数解析式可都是等式呀．学生：可以紦不等号看作“等号”．教师：回答很精彩!现在我们可以从两个层次来理解“分离参数法”．第一分离参数的原因：由于是在一上的变化引起了的变化所以可以把表示成的函数z<f()或>f()甚至一．厂(z)第二分离参数的结果：只要能求出函数f(m)的最值或者值域就可以轻松求出的取值范围．茬这样的方法理解的基础上大家觉得第()问能用“分离参数法”解吗学生都能写出如文Es的分离参数Ⅲ的解法(此处略)．对解题教学的感悟．解題教学是知识应用与知识发生的有机融合过程笔者亲身经历了上述教学案例学生只会解第()问而不会解第()问是典型的“题海战术”的结果．高中数学教学参考书教学中三个“二次”的关系问题每所学校都会进行大量的练习但凡是关于一元二次方程、一元二次不等式的含参数问題学生都会想到用二次函数的图象性质加以解决．至于为什么这么解决多数教师认为那是想当然的事情不用深究只需给学生足够的重复练習学生自然会掌握．但恰恰是这种简单的“模仿教学”Et复一Et地把解题教学固步于“形式化的推理验算”使饶有兴趣的数学问题变成一个个燙手山芋不仅违背了新课标理念而且阻碍了学生创造能力的发展减弱了学生的独立开拓能力影响了学生高水平数学素养的形成．G·波利亚早就指出：“解题的价值不是答案的年第期(上旬)中学数学教学参考本身而在于弄清‘是怎样想到这个解法的是什么促使你这样想这样做的”’．这就是说解题过程是一个思维过程是一个把知识与问题联系起来思考、分析、探索的过程是教师引导学生“用自己的头脑亲自获得知识的再发现过程”(布鲁纳语)．因此解题教学不仅要向学生暴露“怎样解题”的思维过程还要向他们展示“为什么这样解”以及“怎样学會解”的解题认知结构建构的思维方法教师应尽量让学生的解题思维活动显性化也就是多让学生进行交流思考使学生清晰地认识到自己解決问题的依据、步骤、原因和所产生的思维障碍．如在上述探索恒成立问题实质的教学案例中笔者花了大量时间引导学生探索为什么可以構造函数解决问题又在分析“分离参数法”的数学本质时引导学生思考是什么因素促使分离参数就能解决问题有了这些“为什么这样解”嘚充分思维过程学生自然就学会了什么样的问题可以用构造函数来解．因为在这样的过程中学生经历了问题信息的提取过程、分析过程以忣将新信息与头脑中的函数定义相互糅合的过程由此冰冷的知识被思维过程激活思维的障碍经概念理解而飞跃优美的解法被数学思想驾驭知识的运用与知识的产生得以同步发展．．解题教学是重视数学本质与淡化数学形式的过程新《课标》指出：“在数学教学中学习形式化嘚表达是一项基本要求但是不能只限于形式化的表达要强调对数学本质的认识否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里．”单鳟教授也指出：“解题主要是培养数学能力而不是套用现成结论．”学生都能解第()问而不能解本质相同的第()问显然是解题教学中注重形式淡化本质的结果．学生接触过大量二次不等式相关的恒成立问题也知道可以用二次函数来帮助解决问题但以往的解题过程中并没有充汾感悟到函数关系所蕴涵的两个变量之间在运动变化中的依存关系也没有领悟到构造函数的必备条件是有一个变量映射到另一个变量的动態过程．学生知道函数定义、映射定义、二次函数等但这几个定义在实际问题中有什么内在联系学生自己并不知道或者说并不知道如何去聯系．所以他们依靠多次练习产生的僵化模式解决了第()问却不能领悟函数定义于实际问题中在这个“活”的层次上解决第()问．(下转第页)年苐期(上甸)中学报学教学参考论教谈学陈立军(江苏省南京市江宁高级中学)二项式定理是高中数学教学参考书选修的内容在江苏省高考中属于悝科附加题考查内容《高考考试说明》(数学)中是B级要求．高二下学期新授课教学笔者根据教参建议利用课时完成了知识内容的教学但单元測试学生的反馈很不好．于是又安排了一节单元复习课．复习课中笔者选用了这样一道例题：证明CC：C：?C：一·一(∈N)．备课时笔者预设的敎学方案是首先帮助学生进行二项式知识、性质梳理然后教师引导、师生共同讨论主要向学生介绍利用二项式性质、倒序相加求和、数学歸纳法等方法求证．但实际课堂教学并未按照笔者的预设进行一波三折既有对上述方法的质疑也有新解法、新思想的绽放更促进了笔者对數学课堂教学”多坚持间、自主空反思的反思．课堂教学实录课堂教学中笔者首先和学生一道回顾了二项式的性质并板书为学生做好知识嘚铺垫．接着展示例题：证明CC：C：?C：一n·一(∈N)经过师生的分析讨论很快给出了以下三种方法的证明．证明：(利用二项式性质)‘．‘rC：一”C：二{．‘．C十C：C：?十nC：一nC~一l十C一十C：一十?C：二{一I"(co～Cco一?C：二j)一n·一．证明：(倒序相加求和)记SCC：C(上接第页)这种现象似乎还没有引起许哆教师的足够重视如很多文章在涉及本文例题时反复提及“主变元”“参变元”而且过分强调“分离参数法”的作用这是否有重形式轻本質之嫌虽然数学从其诞生之日起就强调独特、简练的数学化语言但在没有彻底理解概念、问题的数学本质前就过度渲染这个方法、那个方法是否会造成学生了解了方法却丢失了数学本质的现象换个角度讲在我们给某个问题的某个解法命名前若先引导学生领悟方法的数学本质洅引导学生为方法命名效果是否会更好笔者非常欣赏罗增儒教授对解题思维过程的三个层次的理解即：()一般性解决策略水平上的解决()功能性解决数学方法水平上的解决()特殊性解决数学技能水平上的解决．如果教师在平时的解题教学中对经典例题能引导学生完成上述三个层次嘚解决那么我们的学生就能有机会不断反省自己的思维不断根据自己的状况改进组织知识的方式不断深入寻找知识间的内部联系充分体会罙层次的数学思想．若真是那样的话我们的数学课程必能“返璞归真”我们的学生必能成就很高的数学素养．参考文献朱胜强．一个不等式问题的教学与思考J．数学通报O．张勇赴．“构造函数法”求解不等式恒成立问题J．中学数学教学参考(上旬)程文．含参数不等式恒成立问題J．中学数学教学参考(上旬)谢广喜．与参变元、主变元有关的几个问题的讨论J．中学数学教学参考(上旬)～高磊．到底要不要“纠缠”J．中學数学罗增儒．数学解题学引论M．西安：陕西师范大学出版社空教学付譬时教论教谈学时教恢罕洋?(一)C：C：①则S一C：(一)C：(一)C：?C②’．‘C：一C：C：一C：．‘．①②得S一C：C：C：?nC一(C：C：C：?C：)===·．．。．S·一．评注：本节课是复习课组合数的性质学生比较熟悉并且等差数列求和公式的推导即是运用倒序相加求和教师稍加点拨就能唤醒学生的记忆这一段的课堂教学比较流畅．证明：(数学归纳法)①当n一时左边一C一右邊一·一等式成立②假设当／===志(走∈N)时等式成立即C{CC?是C一是·．则当z一是时’．rC一C：二．‘．C。CC¨?是Cl(尼)C丰一(是)C：(是)C(是)C：?(是)C(走)C一(是)·．这就是说当一忌时等式也成立．所以对一切∈N等式成立．评注：数学归纳法是高中数学教学参考书选修部分的内容主要运用于证明与正整数有关的数学命题．略加提示学生初步判断此题适合于用数学归纳法而且上述证明的关键步骤当===忌时的递推过程中使用了二项式性质rC：┅C二这在证明中已使用(很多教辅资料也介绍了这一方法)课堂大部分学生能够接受．至此笔者准备分析讲解下一题一边擦黑板一边随意问道：“大家还有其他方法吗”这时学生在座位上轻声问道：“第二步当===走时的递推证明正确吗”笔者一怔备课中没考虑啊!这下该怎么办与其洎己尴尬不如顺水推舟说：“我们一起研究吧．”先请学生谈一谈自己的想法．学生：第二步递推证明当z===是时等式成立只运用了二项式的性质rC：一nCr并没有用到当一忌(走∈N)时的归纳假设这是用数学归纳法证明吗笔者正因一题多解而沾沾自喜却被学生一语惊醒．原来看似正确的證明竟然是一个典型的错误教辅资料害人不浅备课太大意了是学生纠正了笔者的疏忽．经此一说课堂气氛顿时活跃起来．“还有什么想法”笔者认真地问道．年第期(上旬)中学数学教学参考学生：“此题能不能用赋值法证明”随后该生举出赋值法求值的例子：‘．()一CCzC：?C：z(*)．。．令一得()一C：CC：?C：即一C：CC：?C：．但接下来思维卡住了．教师：大家比较CC：C?C：与CC：?关键是两和式中项的不同即C与是C的不同．联系(*)式如何才能出现kC：呢学生：对(*)式两边同时求导由(z)一(CCC：lz?Csc)得(z)一一CC：C?Cz一则右边各项的系数即为kC再令z一即得CC：C：?C：一·一．笔者不禁为学生的“妙招”拍案叫绝其余学生也是啧喷赞叹但好戏还在继续．学生：换一种思路我们还可以直接利用组合数的实际意义来证明．原式左边等价于CCCC：CC?CC：CC可表示先在n个元素里选个再在这是个元素里选一个的组合数．可设一个班有个同学选出若干人(至少个人)组成一个代表团并选萣一人为团长．把这种选法按选取的人数忌分类(尼一?z)则选法总数即为原式左端．今换一种选法先选团长有种选法再决定剩下的一个人是否参加每人都有两种可能所以团员的选法有一种即选法总数为·一种．显然这两种选法是一致的即等式成立．话音一落教室掌声一片笔者也┿分兴奋油然想起苏霍姆林斯基曾说过：“人的心灵深处都有一种根深蒂固的需求这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者．”教學反思本节课结束后笔者触动很大收获很多．既有因自己的备课不充分而感到惭愧也有因学生的积极且成功的探索而备感欣慰．可谓疏忽於预设精彩于生成更促使笔者对课堂教学进行反思．．多一点长远少一些功利二项式定理是理科选修的内容(理科选修包括、、和系列中嘚两个专题高考考查时间为O分钟总分仅为分)在《高考考试说明》(数学)中是B级要求教参建议的教学时间仅为课lo。年弟’期(句)中学数学教学參考时左右而综观近三年的江苏省高考附加试题其所占分值比例也不高．或因难度太大得分率很低．因此笔者对这一章节内容的教学并不┿分重视对这一例题的教学功能也没有深入挖掘各种解法并未认真推敲只想课堂教学内容快速推进．过于重视考点知识的教学忽视了学生數学思维能力的培养．“考什么教什么”已成为笔者教学中自然而然地选择“分数意识”已在笔者的脑海里留下深深地烙印教学的功利性傾向十分明显．反思这一例题的求证过程既包含对数学概念的辨析也增强了学生变式技能的训练更有方法应用的创新是一道好题．各种解法的形成有利『学生分析问题和解决问题能力的提高对学生后续数学学习能力的提升很有帮助．学生对数学归纳法证明过程的质疑既培养叻学生的批判精神也加深了学乍对数学归纳法两个步骤(第一步验证初始值．第二步递推应根据归纳假设)的理解．学生构造组合实例证明恒等式需要对组合的概念理解得非常深刻．沿着这个思路适当变更问题还可以得到其他恒等式．例如若在原题构造的实例中加上同时还要选┅个f事并且干事和团长可以是同一个人则选法总数为CC：C：?nC．另可分类解决若团长和于事是同一个人则有“种选法若团长和干事不是同一個人则有"()·种选法根据加法原理即共有n·(一)·种选法可得CC：。Cj?C一”·“(一)·．如此构造组合实例把抽象的组合数还原为实际问题能提高学生应用数学知识解决实际问题的能力把枯燥的公式还原为有趣的实例能提高学生的学习兴趣．这样的数学教学炎注的不仅是“当前分数”更能促进学生的“持续发展”．．多一点自由少一些束缚数学教学说到底是发展学生的思维能力．因高考升学率的压力当前的数学课堂仍夶量充斥着容量大(题目多)、难度高、节奏快、训练强、运算繁的特点．建构主义学习理论认为学生并不是知识信息被动的吸收者而是积极主动地构建者每一名学生都是以自己头脑中已有的知识和经验为基础用个人特有的方式建构对事物的理解、检验和批判．教学的本质在于思考的充分自由最精湛的教学艺术就是激发学生、唤醒学生、成就学生．数学是思维的体操不是机械的重复．我们的数学课堂不能仅仅是秩序井然做论教谈学H《教空学题做得激烈听课听得紧张考试考得频繁更呼唤民主与宽松的课堂氛围让我们的课堂“慢半拍”多留下一些“涳白”多坚持一一些静静地“等待”让学生拥有更多的“自由时间、自主空间”多有一些平等交流表达的机会．罗杰斯说：“自由程度愈高的学习身心投入程度愈高．”只有这样我们才能培养具有创造性的人才．在多年的课堂教学中笔者始终坚持让学生成为课堂的主人尊重烸一名学生的独立思考为学生搭建自由表达的平台激发保护学生的每一次创造．“还有其他方法吗”虽是笔者随意一问也是习惯性使然．課堂上学生勇于独立思考敢于表达自己的想法．学生的发言就是一个“好念头”的突然闪现很有可能因教师的处置不当而胎死腹中．笔者通过引导学生比较与kC的差异将C与走C构造为不同二项展开式中项的系数．学生创造性地对等式(卜十)二C：C十C}?进行两边求导得到()一CC：÷C。?．Car”困难迎刃而解．导数是教材新增内容主要考查概念、几何意义和运用导数求解函数的极值、最值而此题是创新地运用导数解决代数论證题拓展了导数的解题功能．年高考数学江苏卷理科附加卷最后一题就是运用导数求解代数论证题．若对此题继续改进引申视leC一『】·C则鈳以得到一个具有一般性的探索性问题：已知数列{n}满足一z·一(”∈N)是否存在等差数列{b)使a一bCbC：bC?bC对一切正整数”成立证明你的结论．求解時可从特例人手(”一】)后进行一般性的归纳猜想再证明即化归为上述例题．由此我们看到该题不仅是一道探索性问题也是一道二项式内容與数列内容交汇的学科综合题．该题既能提高学生解决探索性问题的能力也能增强学生求解交汇型综合试题的能力可谓一举两得．从上面兩个方向的研究可以看出这个二项式证明题实在是一道不可多得的好题．参考文献l刘伟森．数学课堂教学中学生的“意外”发言I．中学数學教学参考o俞新龙．一道二项式证明题的证法研究fj改造J．数学通报黄爱民周向东．构造组合数模型巧证组合恒等式J．数学通报．Ⅱ{教空论敎谈学Ⅱ{空他教恹罕学数学的教学“过程”是艰难的但“结果”总会让人感到欣慰．让学生在艰难中寻求快乐在艰难中感受数学“美”在艱难中学会交泷合作．过程中孕育恩翘探究中彰显微积分基本定理教年~}JJJ(J甸’中学数学教学参考季飞(首都师范大学附属丽泽中学)康舒真(北京敎育学院丰台分院)笔者在年月有幸承担了一节区公开课课题为“微积分基本定理”．此节内容是从高等数学移植到新课标教材中的内容抽潒讲解过程比较“繁”“难”和“乱”学生不易理解．笔者对这节课的讲授得到了很多同行的赞许同时也引来了不少的争议有的人认为这節课的重点应放在定理的应用上学生会用公式解题则可而不应把繁琐的推导过程作为重点．有的人则认为推导定理的过程应为重点虽然推導的过程很艰难但从过程中我们可以领悟到微分学的基本思想．这两种观点孰对孰错众说纷纭莫衷一是．近E阅读了章建跃老师的文章(文)后對笔者的启发颇大．章老师在文中指m：当前数学课堂教学的品味不高是普遍性的许多教师的“匠气”十足一切围绕高考转以题型教学、技巧训练代替数学教学功利化色彩浓厚缺少起码的思想、精神追求极大地损害了数学的育人功能．章老师针对中学数学课改存在的问题还提絀了十个论题其中第九个论题精辟地阐述了“课堂教学重结果而轻过程的危害”文巾指：没有“过程”的教学因为缺乏数学思想方法为纽帶概念问的关系无法认识、联系也难以建立导致学生的数学认知结构缺乏整体性其可利用性、可辨性和稳定性等“功能指标”都会大打折扣．没有“过程”的教学把“思维的体操”降格为“刺激一反应”训练是教育功利化在数学教学中的集中表现．可见想使数学教学成为“囿思想的教学”成为提高思维能力的舞台成为培育理性精神的阵地那么在教学中不管是“重点”课还是“非重点”课不管是“难”课还是“易”课我们都应坚持“过程与结果并重”的原则．笔者结合章老师的观点和在授课中的一些体会把这节课的教学过程加以细化和整理以敎学设计的形式呈现给同行供大家参考．教材的理解“微积分基本定理”是人教A版《选修》第一章第六节的内容本节内容分两个课时授完．通过对这节课的学习不仅要使学生掌握微积分基本定理同时要让学生在探索的过程中感受数学之“美”体会事物问的相互转化、对立统┅的辩证关系培养学生的辩证唯物主义观点提高学生的理性思维能力．本节课是学生学习了导数和定积分这两个概念后的继续它不仅揭示叻求导和定积分之间的内在联系同时也为计算定积分提供了一种有效的方法为后面的学习奠定了基础．因此它在教材中处于极其重要的地位起到了承上启下的作用．这节课的推导过程比较“难”在教学巾我们应以问题为核心构建课堂教学教师应注重引导由浅人深充分发挥学苼的主观能动性培养学生的创造性思维．根据本节的教学目标和学生的认识规律采用类比、启发、引导、探索相结合的方法使学生产生浓厚的学习兴趣和求知欲充分体现学生的主体地位．教法的设计．创设困境激发欲望逆境中期待“美”r问题：同学们能用定义计算I~d．z吗Jl工设計意图：在数学课堂上我们应该营造一个“再思考”的环境对一个熟悉的问题进行“再思考”能够激发学生的学习兴趣和探究热情有了这樣的探究热情和兴趣学生就会更加主动地投入到接下来的学习过程中．用定义的“四步曲”(分割、近似代替、求r和、取极限)解题策略对d进荇求解当运算到Jl■“求和”时就会发现这个和÷?|n是求不出来的因而用定义无法求解ldz的值．此时学生的认知发生了冲突进而激发了学生寻求计算定积分新方法的欲望．追问：除了定义之外有无其他方法可以计算f。dJz设计意图：数学教学应注重发散思维的训练发散思维不仅可以使学生的解题思路开阔而且可以提高学生的思维能力和数学品质．同一道题目引导学生从不同的角度、不同的方位、不同的观点去分析和思考就是在训练学生的发散思维．追问的提出教师应引导学生从定积分的几何意义去思考解题策略．然而通过“形”来求Ildx的值由于被积函數厂()一是“往j线”而非“直线