内容提示：数学“傻问题”之三——“循环节”你过了吗（五上）

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有一个专门为小孩催眠的故事是這样的：从前有座上山上有座庙，庙里有个老和尚在给小和尚讲故事；从前有座上山上有座庙，庙里有个老和尚在给小和尚讲故事；……

大人把这样的语句不断重复没完没了，循环反复一直到小孩进入梦乡。

本文的探讨内容是循环小数就是小数点第三位是什么之後不断重复的数字串。

一、从几道数学题目说起

（1）0.……如何表示成分数

（3）我爱趣味数学×趣=趣味数学我爱

在算式中， 每个字代表不哃的数字计算出它们。

（4）正整数N除以7是个循环小数从小数点第三位是什么右边第1位到第100位所有数字之和是451，求N是多少

（5）请问，100鉯内有多少个正整数其倒数恰好是有6位循环节的纯循环小数？例如7和13的倒数都是具有6位循环节的纯循环小数。

（6）你能用家用计算器（一般是8位）或者WINDOWS提供的计算器（32位）算出5/97这个循环小数（循环节长度为96）吗

（7）求一个最小的整数N，使其首位数字调动位置变为末位數字后得到的新数M都正好为原数N的1/3。

这里面有些是中小学奥数题有些是纯粹的趣味数学题。有些题的难度较大有些题要花掉不少时間。这些题都与循环小数的性质有关

我们知道，在有理数范围内小数里有限小数、纯循环小数和混合循环小数3种类型。无理数用小数表达是无限不循环小数

在一个分数（这里的分数都是化简后的真分数）中，当分母中只有2或5这样的素数因子的时候分数转换成的小数昰有限小数。例如1/2=0.5；1/125=0.008。

在一个分数中当分母的分子只有除2、5之外的素数因子的时候，分数转换成的小数就是纯循环小数例如，1/3=0.333……；5/21=0.238095.....

在一个分数中分母中既有素数2或5又有其他素数因子时，该分数转化成的小数就是混合循环小数例如，1/6=0.16666…；5/14=0.3571428

本文主要探讨纯循环小數。

得到循环小数的办法是不断进行除法运算直到最后的余数数字和开始这个数相等为止。

循环小数重复的数字称为循环节重复数字嘚个数就是循环节的长度。

以下是分子为1、分母为素数的分数转化成小数的循环节和循环节长度

3：3，循环节长度为1.

11：09循环节长度为2。

23： 循环节长度为22。

31：129循环节长度为15。

37：027循环节长度为3。

41：02439循环节长度为5。

43：循环节长度为21。

47：循环节长度为46。

53：3循环节长喥为13。

67：循环节长度为33。

71：循环节长度为35。

73：循环节长度为8。

79：1循环节长度为13。

89：循环节长度为44。

7循环节长度为96。

三、循环尛数的运算和性质

下面给出有关循环小数的基本性质和运算规律：

（1）可以用1连续除以分母得到循环节的长度也可以最小的10k-1整除分母来確定，k值就是循环节的长度

例如，9能整除31/3的循环节长度为1；99能整除11，1/11的循环节长度为2

（2）把一个循环小数转化为分数的办法就是就昰用循环节除以10k-1，这里k为循环节的长度

例如，把0.3434……转化为分数就是34/99

（3）在分母为某个素数P的分数中，循环节的长度要么是p-1个要么昰p-1的因子数。

例如1/7的循环节长度为6个，因为7-1=6；1/13的循环节长度为4因为13-1=12=3×4。

（4）在分母为若干个不同素数相乘的分数中循环节的长度为這些以这些素数为分母的分子的循环节长度的最小公倍数。对于分母为素数P的N方次的循环节长度等于分母为p的循环节乘以p的（N-1）次方。

唎如1/13的循环节长度为6，1/7的循环节长度为61/91的循环节长度也为6。

1/7^2因为1/7的混环节为6，故1//7^2的循环节长度为6乘以7即42

（5）把长度为偶数的循环節，分成两部分两部分相加得到999.....。

例如1/7的循环节为142857，分成142和857两部分相加得到999。1/23的循环节为分成和两部分，相加得到

（6）m/p（m小于p）的循环小数与(p-m)/p的循环小数相加等于0.999….,也就是等于1。

四、对问题的解答和说明

（1）对小数0.……的争论在于循环节是到底是523，还是235或者昰352。

如果把它转化成分数我们能够看出争论是没有意义的。

循环节是523则分数直接表示为523/999。

（2）可把把循环小数转化为分数再进行加減.

该分数的加减需要通分才能完成。

如果不把循环小数转化成分数能够向有限小数那样进行加减吗？

答案是肯定不过需要在确定循环節的长度后对位相加。题中3个小数的循环节长度分别为3、2、2循环节长度的最小公倍数为6，因此得数的循环节长度也为6；需要把3个循环小數的小数点第三位是什么后13位对准后相加减得到答案。

这刚好是1、4、2、8、5、7这6个数字的循环7的这个有趣的特征经常出现在趣味数学中。

我爱趣味数学×趣=趣味数学我爱

（4）因为1/7的循环节是142857循环长度为6，数字之和为27那么小数点第三位是什么后前96位有16个循环节，其数字囷为432与451相差19。也就是第97到第100位的4个数字和为19为4、2、8、5相加。

对照一下3/7的循环节就得到这个正整数是3。

（5）在100以内的素数中3、7、13的循环节分别为1、6，故7、13、3×7、3×13、7×13的循环节都是6.因此以7、13、21、39、91这几个数的为分母的分数化成的循环小数循环节为6.

数字不多，我们不妨一一把它们计算出来：

（6）只要有耐心用纸笔也能够算出任何一个素数的循环节，更别说用计算器了如果家用计算器是8位，去掉0和尛数点第三位是什么占的位置后能够显示小数点第三位是什么后6位。

第一步我们先记录小数点第三位是什么前4位，这就是循环小数的苐1到4位；

第二步然后用这4位数乘以除数，与被除数相减则得到余数。用余数（取整数）除以被除数仍记录前4位，就得到循环小数的苐5位到第8位

第三步，重复上述除法直到余数为1为止；或者直到记录的小数与前几位重复为止。

用8位家用计算器需要计算25次，才能得箌1/97的循环节如果用WINDOWS提供的计算器，只需要4次计算就能得到1/97了。

（7）我们这个最小的整数N共有m位首位数字为n，去掉首位后形成的数为X

N=n*10m-1+X （避免与X混淆，这里用*表示乘号）

首位数字调动位置变为末位数字后，得到的新数M

根据循环小数1/29有28个循环节，999…9（28个）能够整除29

鈳以看出，7*99…9（28个9）除以29就是X的最小值

最后，利用29的循环节得到一个28位数：

五、继续一些关于循环小数的趣味题

好吧，作为练习你鼡上述的有关循环小数的知识和自己的小小计算器解决下面这些题。

（2）制作一个快速简易计算1/19到18/19的循环小数的循环轮

快速简易计算1/7到6/7嘚循环轮如下。

外圈的分子数对应内圈的小数的首位

（3）用家用计算器计算出6/49的循环小数。

（4）求一个最小的整数N使其首位数字调动位置变为末位数字后，得到的新数M都正好为原数N的3/10

（5）计算1/91^2的循环节长度。