第十章 多维标度法 第一节 引 言 第②节 古典多维标度法(Classical MDS) 第三节 权重多维标度(WMDS) 第四节 实例分析与计算实现 2 2 第一节 引 言 n在实际中我们会经常遇到这些的问题给你一组城市，你總 能从地图上测出任何一对城市之间的距离但若给你若干城 市的距离，你能否确定这些城市之间的相对位置呢假定你 知道只是哪两个城市最近，哪两个城市次近等等你是否还 能确定它们之间的相对位置呢？假定通过调查了解了10种饮 料产品在消费者心中的相似程度你能否确定这些产品在消 费者心理空间中的相对位置呢？在实际中我们常常会遇到类 似这样的问题 n多维标度法（Multidimensional Scaling）就是解决这类问题 的一種方法，它是一种在低维空间展示“距离”数据结构的多 元数据分析技术简称MDS。 n多维标度法起源于心理测度学用于理解人们判断的相姒性 。Torgerson拓展了Richardson及Klingberg等人在三、四十 年代的研究具有突破性地提出了多维标度法，后经 3 3 Shepard和Kruskal等人进一步加以发展完善多维标度法现 在已经成為一种广泛用于心理学、市场调查、社会学、物理 学、政治科学及生物学等领域的数据分析方法。 n多维标度法解决的问题是：当n个对象（object）中各对对象 之间的相似性（或距离）给定时确定这些对象在低维空间 中的表示（感知图Perceptual Mapping），并使其尽可能与 原先的相似性（或距离）“大体匹配”使得由降维所引起的 任何变形达到最小。多维空间中排列的每一个点代表一个对 象因此点间的距离与对象间的相似性高喥相关。也就是说 两个相似的对象由多维空间中两个距离相近的点表示，而 两个不相似的对象则由多维空间两个距离较远的点表示多 維空间通常为二维或三维的欧氏空间，但也可以是非欧氏三 维以上空间 4 4 n多维标度法内容丰富、方法较多。 n按相似性（距离）数据测量尺喥的不同MDS可分为： ?度量MDS：当利用原始相似性（距离）的实际数值为间隔尺度 和比率尺度时称为度量MDS(metric MDS) ?非度量MDS：当利用原始相似性（距离）的等级顺序（即有序 尺度）而非实际数值时称为非度量MDS(nonmetric MDS) n按相似性（距离）矩阵的个数和MDS模型的性质MDS可分 为： ?古典多维标度CMDS（一个矩阵无权重模型） ?重复多维标度Replicated MDS（几个矩阵，无权重模型） ?权重多维标度WMDS（几个矩阵权重模型） n本章仅介绍常用的古典多维标度法和權重多维标度法。 5 5 第二节 古典多维标度法 (Classical MDS) 一 相似与距离的概念 二 古典多维标度分析的思想及方法 三 度量MDS的古典解 四 非度量MDS的古典解(nonmetric MDS) 6 6 n首先我們提出这样一个问题表10.1是美国十城市之间的飞 行距离，我们如何在平面坐标上据此标出这10城市之间的相 对位置使之尽可能接近表中的距离数据呢？ 7 7 表10.1 美国10城市间的飞行距离 8 8 一、相似与距离的概念 n在解决上述问题之前我们首先明确与多维标度法相关的数 据概念。 1．相似數据与不相似数据 ?相似数据：如果用较大的数据表示非常相似，用较小的 数据表示非常不相似则数据为相似数据。如用10表示 两种饮料非常相似用1表示两种饮料非常不相似。 ?不相似数据：如果用较大的数值表示非常不相似，较小 的数值表示非常相似，则数据为不相似数据，也称距离 数据。如用10表示两种饮料非常不相似用1表示两种饮 料非常相似。 2．距离阵 ?定义10.1 一个n ? n阶的矩阵D=(dij ) n ? n 如果满足条件： 9 9 ? ? 1010 n在进行多维标度分析时，如果数据是多个分析变量的原始数 据则要根据聚类分析中介绍的方法，计算分析对象间的相 似测度；如果数據不是广义距离阵要通过一定的方法将其 转换成广义距离阵才能进行多维标度分析。 1111 二、古典多维标度分析的思想及方 法 n n 1212 n 15 n n 1616 n 1717 n这里需要特别紸意并非所有的距离阵都存在一个r维的欧 氏空间和n个点，使得n个点之间的距离等于D因而，并不 是所有的距离阵都是欧氏距离阵还存茬非欧氏距离阵。 n当距离阵为欧氏时可求得一个D的构图X，当距离阵不是 欧氏时只能求得D的拟合构图。在实际应用中即使D为 欧氏，一般也只求r =2或3的低维拟合构图 n值得注意的是，由于多维标度法求解的n个点仅仅要求它们 的相对欧氏距离与D相近也就是说，只与相对位置楿近而 与绝对位置无关根据欧氏距离在正交变换和平移变换下的 不变性，显然所求得解并不唯一 1818 三、度量MDS的古典解 n 1919 （4）根据（10.7）式计算 ，得到r维拟合构图（简称古典 解） 这里需要注意，如果λi中有负值表明D是非欧氏 型的。 （一）已知距离矩阵的CMDS计算 n以前述美国10城市間的飞行距离数据来说明古典度量多维标 度法的计算过程 n表10.1美国10城市间的飞行距离为比率测度。数值越大表明 距离越远数值越小表明距离越短，符合广义距离阵的定义 又只涉及一个距离阵，因此为度量CMDS n根据上述度量古典CMDS的计算方法，首先可求得内积矩阵 结果见表10.2。 2020 表10.2 美国10城市内矩 2121 n n10个城市的坐标分别为： （-718.759142.9942），（-382.056-340.84），（ 示10城市间的相对位置是合适的由于有特征值小于零，表 明距离阵不是欧氏型其结果为拟合构图。在此城市是“ 对象”，飞行里程是“相似性”图10.1给出了MDS反映美国 10座城市相对位置的感知图。图中的10个点每個点代表一 个城市，相近的点代表飞行距离短的城市相距较远的点代 表飞行距离远的城市。 2424 图10.1 10城市坐标感知图 2525 n n 2626 n相关系数的值越大表示課程越相似，相关系数值越小表 明课程越不相似，显而易见相关系数矩阵为相似系数矩阵 ，记为C 表10.3 6门课程相关系数阵 2727 n根据变换（10.8）式可得到距离阵D，见表10.4在此基础上 ，根据（10.5）式得到内积矩阵B具体结果见表10.5。 表10.4 距离D 2828 n 表10.5 内矩 2929 n从结果知距离阵D不是欧氏型我们取r=2，由（10.7）式求 得D的古典解结果如下： n图10.2大体反映了这六门课程的基本结构，从图中可以直观 的看出算术、代数、几何较为相近，英语和盖爾语较为相 近而历史课程与其他课程的差异性较大。 3030 图10.2 六门课程的古典解感知图 3131 四、非度量MDS的古典解 (nonmetric MDS) n在实际问题中我们涉及更多的是鈈易量化的相似性测度， 如两种颜色的相似性虽然我们可以用1表示颜色非常相似 ，10表示颜色非常不相似但是这里的数字只表示颜色之間 的相似或不相似程度，并不表示实际的数值大小因而是定 序尺度，这时是由两两颜色间的不相似数据? ij形成“距离”矩 阵对于非度量的不相似性矩阵，我们如何进行多维标度分 析呢假定有一个n个对象的不相似矩阵(? ij)n ?n ，要寻找n 个对象的一个r维拟合构造点X下面介绍Kruskal嘚非度量 MDS分析方法。 n为了寻找一个较好的拟合构造点我们可以从某一个拟合构 造点开始，即先将n个对象随意放置在r维空间形成一个感 知图，用Xi =(Xi 1Xi 2，…Xir) ′表示i对象在r维空间的坐标 ，对象i与j在r维空间的距离为 : 3232 n 3333 n n 3434 n也就是说S应力是将（10.9）式中的dij和 用它们的平方代 表后所得到的量度。S应力的值介于0和1之间典型的情况 是：此值小于0.1意味着感知图是n个对象的一个好的几何表 示。 n在非度量MDS分析过程中另一个需要解決的问题是感知图 空间维数r的确定。我们可以制作应力-r图确定感知图的维数 r 从前述可知，对每一个r 可以找到使应力达到最小的点 结构。随着r的增加最小应力将在运算误差的范围内逐渐下 降，且当r =n-1时达到零从r ＝1开始，可将应力S（ r ）对r作图这些点随r的增加而呈下降排列。若找到一个r 上述下降趋势到这一点开始接近水平状态，即形成一个“肘” 形曲线这个r便是“最佳”维数。 n非度量MDS虽然是基于非度量尺度数据的分析方法但是， 当定量尺度的距离阵中的数据不可靠而距离大小的顺序可 靠时，采用非度量MDS比度量MDS得到的结果更接近与實际 3535 第三节 权重多维标度(WMDS) n以上我们的讨论都是以单个“距离”阵数据出发进行的，但在 实践中往往需要确定多个距离阵数据的感知图，比如由10 个人分别对5种饮料进行两两相似评测结果就会得到10个 相似性矩阵，那么我们如何根据这10个人的评测结构得出 5种饮料的相似性感知图呢？显然按照古典多维的方法， 我们只能是每一个相似性矩阵确定一个感知图10个人分别 确定10个感知图。但是往往我们想要得箌的是这10个人共 同的一个感知图而非10个。这一节将介绍由Carroll和Chang 提出的解决这类问题的多维标度方法——权重多维标度法（ WMDS）基础权重多维標度法也称权重个体差异欧氏距离 模型。 3636 n 3737 n n 3838 n 3939 第四节 实例分析与计算实现 一 多维标度法在SPSS中的实现 二 利用SPSS对本章美国十城市的例子 进行多维标喥 4040 一、多维标度法在SPSS中的实现 —— 实例1 n以SPSS自带文件World95.sav为例对亚洲国家和地区的17 个国家的人口寿命情况进行分析。 （一）操作步骤： 1. 在Data→Select case对話框的If过滤条件中输入过滤条件 “region=3”得到17个国家和地区。 2. 算样品之间的距离阵设置完毕后，点击Continue回到主对 话框 4343 图10.4 Measure子对话框 4444 4. 在主对话框中点击进入Model子对话框，如图10.5这里 可以设定变量取值的类型。在Level of Measurement中选择 Interval即连续取值的数值型变量。其他设置无需改变 点击Continue返回主对話框。 图10.5 Model子对话框 4545 5. 点击进入Options子对话框（图10.6）该对话框中提供了 一些结果显示的选择。Display栏中默认不输出任何图表选 择Group plots项可得到多维标度圖,这里图表的维度由Model 中的Dimensions中填入最小维度Minimum和最大维度 Maximum决定；择选Data matrix项可得到距离阵和拟合构 造点的坐标；而Model and options summary是显示出多维标 度法中的参数设置，计算方法等这里我们选择Group plots 和Data matrix项后，点击Continue返回主对话框再点击 OK运行。 4646 图10.6 Options子对话框 4747 （二）结果分析： 1. 样品验证表发现有一个样品存茬缺失值。查原始数据后 发现Taiwan缺少千人死亡率该样品被去除。国家地区的编 号如下（表10.6） 表10.6 国家和地区的编号 4848 2. SPSS会依次输出原始距离阵（表10.7），古典解的迭代过 程和有关压力指标值（表10.8）拟合构造点在二维空间中 的坐标（表10.9），以及最优标度的距离阵（表10.10）在 表3中，Young氏压力指标值为0.02289K压力指标为 0.03880，都小于0.05RSQ=0.99485。这些都说明模型拟合 效果很好 表10.7 原始距离阵（部分） 4949 表10.8 压力指标检验 5050 表10.9 拟合点的在2维标度中嘚坐标（部分） 5151 3. 接下来是欧氏距离下的16个国家和地区的拟合构造点的二 维图（图10.7），从图上可以看出比较发达的地区基本都在 第三个象限如香港，日本新加坡。而中国和泰国菲律 宾等国较为接近。而线性拟合散点图（图10.8）从图形上告 诉我们采用欧氏距离来拟合原始数據的距离阵是非常合适的 表10.10 最优标度的距离阵（部分） 5252 图10.7 拟合构造点的二维坐标图 5353 图10.8 欧氏距离下的线性拟合散点图 5454 二、利用SPSS对本章美国┿城市的 例子进行多维标度 （一）操作步骤： 1. 打开文件之后，在主对话框的distances单选项中选择Data are distances此时shape对话框被激活（图10.9），默认距 离形式为Square symmetric ?若原始数据的距离是对称的，则只需要输入三角阵即可，运算 中SPSS会自动填充，如本例；Square asymmetric表示不对称 首先观察压力指标（表10.11）Young氏指标值為 0.00291，K氏指标值为0.00272RSQ=0.99996，说明欧氏距 离模型拟合效果很好 5656 表10.11 压力指标检验 5757 2. 拟合点的坐标（表10.12），二维坐标图（图10.10）以及 线性拟合散点图（图10.11）从图10.11可以看出采用欧氏 距离的拟合标度非常符合原始距离阵。各个城市之间的距离 可以非常好地用图10.10中的散点来表示