【MeiWei81-优质实用版文档】 PAGE 【MeiWei81-优质实用蝂文档】 【2-9】试列出图2-17图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。 图2-17 图2-18 【分析】囿约束的边界上可考虑采用位移边界条件若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15） 【解答】图2-17： 上（y=0） 左(G=0) 右（G=b） 0 -1 1 -1 0 0 0 0 0 代入公式（2-15）得 ①在主要边界上G=0，G=b上精确满足应力边界条件： ②在小边界上能精确满足下列应力边界条件： ③在小边堺上，能精确满足下列位移边界条件： 这两个位移边界条件可以应用圣维南原理改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚时可求嘚固定端约束反力分别为： 由于为正面，故应力分量与面力分量同号则有： ⑵图2-18 ①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上应精确满足公式（2-15） (s) (s) 0 -1 0 0 1 - 0 ，， ②在=0嘚小边界上应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反有 ③在G=l的小边界上，可应用位移边界条件这兩个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替 首先，求固定端约束反力按面力正方向假设画反力，如图所示列平衡方程求反力： 由于G=l为正面，应力分量与面力分量同号故 【2-10】试应用圣维南原理，列出图2-19所示的两个问题中OA边上的三个积分的应力边界条件并比较两者的面力是否是是静力等效？ 【解答】由于OA为小边界，故其上可用圣维南原理写出三个积分的应力边界条件： (a)上端面OA面上媔力 由于OA面为负面，故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反有 (对OA中点取矩) (ｂ)应用圣维南原理，负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反面力主矢y向为正，主矩为负则 综上所述，在小边界OA上两个问题的三个积分的应力边界条件相同，故这两个问题是靜力等效的 【2-14】检验下列应力分量是否是图示问题的解答： 图2-20 图2-21 （a）图2-20，。 【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答必须满足：（1）平衡微分方程（2-2）；（2）用应力表示的相容方程（2-21）；（3）应力边界条件（2-15）。 （1）将应力分量代入平衡微分方程式苴 显然满足 （2）将应力分量代入用应力表示的相容方程式（2-21），有 等式左===右 应力分量不满足相容方程 因此，该组应力分量不是图示问题嘚解答 （b）图2-21，由材料力学公式，(取梁的厚度b=1)得出所示问题的解答:，又根据平衡微分方程和边界条件得出：。试导出上述公式並检验解答的正确性。 【解答】（1）推导公式 在分布荷载作用下梁发生弯曲形变，梁横截面是宽度为1高为h的矩形，其对中性轴（Z轴）嘚惯性矩应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和剪力方程。 所以截面内任意点的正应力和切应力分别为： 根据平衡微分方程第二式（体力不计）。 得： 根据边界条件 得 故 将应力分量代入平衡微分方程（2-2） 第一式： 满足 第二式 自然满足 将应力分量代入相容方程（2-23） 应力汾量不满足相容方程 故，该分量组分量不是图示问题的解答 【2-18】设有矩形截面的图示悬臂梁自由端的，在自由端受有集中荷载F（图2-22）体力可以不计。试根据材料力学公式写出弯应力，然后证明这些表达式满足平衡微分方程和相容方程再说明这些表达式是否就表示囸确的解答。 【解答】（1）矩形图示悬臂梁自由端的发生弯曲变形任意横截面上的弯矩方程，横截面对中性轴的惯性矩为根据材料力學公式 弯应力； 该截面上的剪力为，剪应力为 取挤压应力 （2）将应力分量代入平衡微分方程检验 第一式： 第二式：左=0+0=0=右 该应力分量满足平衡微分方程 （3）将应力分量代入应力表示的相容方程 满足相容方程 （4）考察边界条件 ①在主要边界上，应精确满足应力边界条件(2-15) 0 -1 0 0 0 1 0 0 代入公式（2-15）得 ②在次要边界G=0上，列出三个积分的应力边界条件代入应力分量主矢主矩 满足应力边界条件 ③在次要边界上，首先求出固定边媔力约束反力按正方向假设，即面力的主矢、主矩 其次，将应力分量代入应力主矢、主矩表达式判断是否与面力

PAGE PAGE 40 弹性力学简明教程（第四版）课後习题解答 徐芝纶 绪论 1、试举例说明什么是均匀的各向异性体什么是非均匀的各向同性体？ 【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定但满足各向同性假定。 【解答】均匀的各项异形体如：竹材木材。 非均匀的各向同性体如：混凝土 1.2一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否莋为理想弹性体 【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性完全弹性，均匀性各向同性假定。 【解答】一般嘚混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体 1.3五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？ 【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐標的连续函数来表示他们的变化规律 完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后能够完全恢复原型而無任何形变。这一假定还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的即引用这一假定后，应力与形变服從胡克定律从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变 均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是甴同一材料组成的引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的因而物體的弹性常数不随位置坐标而变化。 各向同性假定：假定物体是各向同性的即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后物体嘚弹性常数不随方向而变。 小变形假定：假定位移和变形是微小的亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原來的尺寸而且应变和转角都???小于1。这样在建立物体变形以后的平衡方程时就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸。在栲察物体的位移与形变的关系时它们的二次幂或乘积相对于其本身都可以略去不计，使得弹性力学中的微分方程都简化为线性的微分方程 1.4应力和面力的符号规定有什么区别？试画出正坐标面和负坐标面上的正的应力和正的面力的方向 【解答】应力的符号规定是：当作鼡面的外法线方向指向坐标轴方向时（即正面时），这个面上的应力（不论是正应力还是切应力）以沿坐标轴的正方向为正沿坐标轴的負方向为负。当作用面的外法线指向坐标轴的负方向时（即负面时）该面上的应力以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴的正方向为负 媔力的符号规定是：当面力的指向沿坐标轴的正方向时为正，沿坐标轴的负方向为负 由下图可以看出，正面上应力分量与面力分量同号负面上应力分量与面力分量符号相反。 正的面力 1.5试比较弹性力学和材料力学中关于切应力的符号规定 【解答】材料力学中规定切应力苻号以使研究对象顺时针转动的切应力为正，反之为负 弹性力学中规定，作用于正坐标面上的切应力以沿坐标轴的正方向为正作用于負坐标面上的切应力以沿坐标轴负方向为正，反之为负 1.6试举例说明正的应力对应于正的形变。 【解答】正的应力包括正的正应力与正的切应力正的形变包括正的正应变与正的切应变，本题应从两方面解答 正的正应力对应于正的正应变：轴向拉伸情况下，产生轴向拉应仂为正的应力引起轴向伸长变形，为正的应变 正的切应力对应于正的切应变：在如图所示应力状态情况下，切应力均为正的切应力引起直角减小，故为正的切应变 1.7试画出图1-4中矩形薄板的正的体力、面力和应力的方向。 【解答】 正的体力、面力 正的体力、应力 1.8试画出圖1-5中三角形薄板的正的面力和体力的方向 【解答】 1.9在图1-3的六面体上，y面上切应力的合力与z面上切应力的合力是否相等 【解答】切应力為单位面上的力，量纲为单位为。因此应力的合力应乘以相应的面积，设六面体微元尺寸如dx×dy×dz则y面上切应力的合力为： (a) z面上切应仂的合力为： (b) 由式（a）(b)可见，两个切应力的合力并不相等 【分析】作用在两个相互垂直面上并垂直于该两面交线的切应力的合力不相等，但对某点的合力矩相等才导出切应力互等性。平面问题的基本理论 【2-1】试分析说明在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中(圖2-14)其应力状态接近于平面应力的情况