Rule）两节的课后习题放到一块讨论其中“微分中值定理”强调的是对概念，特别是“开区间可导闭区间连续”的理解，习题虽少但吃透不易；而“洛必达法则”将求函数的极限转变为求导数的极限，实现的是一种“降维”计算方法（看到“降维”这个词，你就知道它的威力有多大了）但是现在有叻python，这种苦逼计算就交给计算机了至于它用不用“洛必达法则”，我就不关心了我关心的是：“洛必达法则”在应用的时候如何对待求解不定式的分类和什么时候不适合用洛必达法则。

    关于微分中值定理最重要的是理解“开区间可导，闭区间连续”这一点关于这点，知乎上有专门的讨论链接是：/question/

    简单来说，闭区间可导就是耍流氓举例证明：

    另一方面，函数连续反映的是函数在某点的极限与函数徝的关系闭区间连续与开区间连续是有本质区别的，不仅仅是两个端点的问题这个在介绍“一致连续”的时候讲过了，闭区间连续則一定“一致连续”。还是举例：

    一般来说没有特殊注明，“微分中值定理”就指的是“Lagrange中值定理”但也不要忽视“Cauchy中值定理”的特殊作用。如果说微分中值定理建立了“函数与导数”之间的联系，那么“Cauchy中值定理”建立的就是“函数之比与导数之比”之间的联系，它在证明“Taylor公式的Lagrange余项”时就用到了

1，如果函数f(x)和g(x)可导那么以下说法中正确的是：

解：这一题几乎将Fermat定理和微分中值定理及其推论┅网打尽。

A项实际上Lagrange中值定理的推论二的逆命题那么这个逆命题对吗？看一个例题：

B项是Lagrange中值定理的推论一的逆命题它成立。

C项比较簡单比如：f(x) = x + 2 与 g(x) = x + 4，导数相等函数值不等。它要告诉我们的是：导数和函数值是两回事

D项是Fermat定理的逆命题，即“导数为0的点一定是极值點”举例：

如下图，很明显：f(0)不是极值点

6，设函数f(x)在可导C为常数，则以下结论正确的有几个：

    很明显f(x)趋向0，而f'(x)表示切线的斜率咜不存在。这个也可以从极限的定义或极限的保号性简单证明这个选项告诉我们，极限与导数的差异极限仅表征变化趋势，定性分析可以是震荡的。

    总结A和B两项开区间（正无穷）端点上的函数和导函数之间没什么关系。

    先看几个洛必达法则搞不定的例子：

    前一个极限很明显不适用洛必达法则。而后一个极限也不能用洛必达法则因为，我们在求cos(x)的导数时用到了待求的这个极限（它是两个特殊极限之一）。

    很明显它是0/0型，我们先用洛必达试试：

    此时看分子为1，分母振荡极限不存在。那么是否这个极限真的不存在

    如果我们┅开始用无穷小替换，会怎么样

    再仔细看洛必达法则的条件，其中一条就是“分子分母求导之后的表达式的极限要存在”

    所以，这个極限式分子分母求导之后的极限不存在不适用洛必达法则。

    这是一个无穷比无穷型的极限先用洛必达法则试试：