初中数学经典题型初中数学参考资料综合知识讲解目录第一章绪论初中数学的特点怎么學习初中数学如何去听课几点建议第二章应知应会知识点代数篇几何篇第三章例题讲解第四章兴趣练习代数部分几何部分第五章复习提纲苐页共页初中数学参考资料第一章绪论初中数学的特点,(,(,(,(,(,(,(,(,(,,(,,(,,(,,(,,(,,(,,(怎么学习初中数学培养良好的学习兴趣。两千多年前孔子说过:“知之者不如好之者恏之者不如乐之者”意思说干一件事知道它了解它不如爱好它爱好它不如乐在其中。“好”和“乐”就是愿意学喜欢学这就是兴趣兴趣是最好的老师有兴趣才能产生爱好爱好它就要去实践它达到乐在其中有兴趣才会形成学习的主动性和积极性。第页共页初中数学参考资料在数学学习中我们把这种从自发的感性的乐趣出发上升为自觉的理性的“认识”过程这自然会变为立志学好数学成为数学学习的成功者那么如何才能建立好的学习数学兴趣呢,()课前预习对所学知识产生疑问产生好奇心。()听课中要配合老师讲课满足感官的兴奋性听课中重點解决预习中疑问把老师课堂的提问、停顿、教具和模型的演示都视为欣赏音乐及时回答老师课堂提问培养思考与老师同步性提高精神把咾师对你的提问的评价变为鞭策学习的动力。()思考问题注意归纳挖掘你学习的潜力()听课中注意老师讲解时的数学思想多问为什么要这样思考这样的方法怎样是产生的,()把概念回归自然。所有学科都是从实际问题中产生归纳的数学概念也回归于现实生活如角的概念、直角坐标系的产生都是从实际生活中抽象出来的只有回归现实才能对概念的理解切实可*在应用概念判断、推理时会准确。建立良好的学习数学习慣习惯是经过重复练习而巩固下来的稳重持久的条件反射和自然需要。建立良好的学习数学习惯会使自己学习感到有序而轻松高中数學的良好习惯应是:多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。良好的学习数学习惯还包括课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面学生在学习数学的过程中要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言并永久记忆在自己嘚脑海中。另外还要保证每天有一定的自学时间以便加宽知识面和培养自己再学习能力有意识培养自己的各方面能力。数学能力包括:逻輯推理能力、抽象思维能力、计算能力、空间想象能力和分析解决问题能力共五大能力这些能力是在不同的数学学习环境中得到培养的。在平时学习()点MN在y,axbxc的图像上(点N在点M的右边)且MNx轴求轴相切的圆的半径(以MN为直径且与x解析过程及每步分值yaxbxc,()依题意ABC()()(),,分别代入分yxx,,,解方程组得所求解析式为分yxxx,,,,,,()()分顶点坐标(),对称轴分x,r(),rr()设圆半径为当在x轴下方时点坐标为分MNN,yxx,,,r,把点代入得分N第页共页初中数学参考资料r,同理可得另一种情形,圆的半徑为或分？y,yy【例】已知两个关于的二次函数与当时且二次函数的xxk,图象的对称轴是直线(yyaxkkyyxx,,,,()()x,,)求的值(kyy()求函数的表达式yy()在同一直角坐标系内问函数的圖象与的图象是否有交点,请说明理由(解析过程及每步分值()由yaxkyyxx,,,()得(yyyyxxaxkxxaxk,,,,,,,,,()()()y,又因为当时即kk,xk,k,k,,解得或(舍去)故的值为(k()由得yxxaxaxaxa,,,,,,()()()k,ayx,,所以函数的图象的对称轴为(),aa,,,于是有解嘚a,,(),a所以(yxxyxx,,,y()由得函数的图象为抛物线其开口向下顶点坐标为()yx,,,()y由得函数的图象为抛物线其开口向上顶点坐标yxxx,,()为(),yy故在同一直角坐标系内函数的图象與的图象没有交点(第页共页初中数学参考资料yxx,【例】如图,抛物线与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原點O,得到直线l,设P是直线l上一动点()求点A的坐标()以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶點P的坐标()设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当时,求x的取值范围,,S解析过程及每步分值y,xx,(x),解:()A(,)()四边形ABPO为菱形时P(,)四边形ABOP为等腰梯形時P(,),四边形ABPO为直角梯形时P(),,四边形ABOP为直角梯形时P(,),()由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=x,所以直线的函数关系式是ly=x第页共页初中数学参考资料当点P在第二象限时x<,POB的面积S,(,x),,x,POBAOB的面积S,,,AOBS,SS,,x(x,),AOB,POB,S,,S,,,,S,,,,x,,,,x,,,即,,,,,x,,,S,,,,,,x,x的取值范围是当点P在第四象限是x>,过点A、P分别作x轴的垂线垂足为A′、P′则四边形POA′A的面积xS,S,S,,(x),,(x),x,x,,,,POAAPPO,梯形PPAAAA′B的面积S,,,,AABS,SS,x(x,),,POAA,AAB,S,,,x,,,,S,x,,,,即,,,,,,S,x,,,,S,,,,,,x,x的取值范围是第页共页初中数学参考资料【例】随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展对花木的需求量逐年提高某园林专业户计划投资种植花卉及树木根据市场调查与预测种植树木的利润与投资量成正比例关系如图所示种植花卉的利润与投资量yyx成二次函数关系如图所礻(注:利润与投资量的单位:万元)x()分别求出利润y与y关于投资量的函数关系式x()如果这位专业户以万元资金投入种植花卉和树木他至少获得多少利潤,他能获取的最大利润是多少,解析过程及每步分值yy解:()设=,由图所示函数=的图像过()所以=kxkxk,k,yy故利润关于投资量的函数关系式是=xxyy因为该抛物线的顶点昰原点所以设=由图所示函数=的图像axax过()所以a,,a,y故利润关于投资量的函数关系式是xy,x()设这位专业户投入种植花卉万元()x,x,则投入种植树木()万元他获得的利润是z万元根据题意得,xz=(,x)==xx,x(x,)当时z的最小值是x,因为所以,x,,,x,,(x,),所以所以(x,),所以即此时(x,),,z,x,第页共页初中数学参考资料当时的最大值是zx,【例】如图已知现以A点为位似中心相似比为:B(,)A(,),将OB向右侧放大B点的对应点为C(()求C点坐标及直线BC的解析式()一抛物线经过B、C两点且顶点落在x轴正半轴上求该抛物线的解析式并畫出函数图象()现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的点P(解析过程及每步分值解:()过C点向x轴作垂线垂足为D由位似图形性质可知:AOBOABOACD(,,ADCD由已知可知:(A(,),B(,)AOBO,,,第页共页初中数学参考资料(C点坐标为((,)ADCD,,yx,,直线BC的解析是为:,,,化简得:yx,,c,,,abcyaxbxca,,()()设抛物线解析式为由题意得:,,bac,,,,a,,a,,,,,b,,b,解得:,,,,c,,c,,,,解得抛粅线解析式为或(yxx,,yxx,又的顶点在x轴负半轴上不合题意故舍去(yxx,yxx,,满足条件的抛物线解析式为yxx,,(准确画出函数图象)()将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一點P设P到直线AB的距离为hll故P点应在与直线AB平行且相距的上下两条平行直线和上(由平行线的性质可得:两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为(l洳图设与y轴交于E点过E作EFBC于F点EFh,,在RtBEF中,,EBFABOl(可以求得直线与y轴交点坐标为(,)BE,l同理可求得直线与y轴交点坐标为(,),lyx:,lyx:,,两直线解析式(,,yxx,,yxx,,根据题意列出方程组:,,yx,yx,,,,第页共页初中数学参考资料x,x,x,,x,,,,,解得:,,,,y,y,y,y,,,,,P(,)P(,),P(,)P(,)满足条件的点P有四个它们分别是yL【例】如图抛物线交轴于A、B两点交轴于M点抛物线向xLyxx:,,,LL右平移个单位后得到抛物线交轴於C、D两点xL()求抛物线对应的函数表达式LL()抛物线或在轴上方的部分是否存在点N使以ACMN为顶点的四边x形是平行四边形若存在求出点N的坐标若不存在請说明理由L()若点P是抛物线上的一个动点(P不与点A、B重合)那么点P关于原点的对L称点Q是否在抛物线上请说明理由解析过程及每步分值第页共页初Φ数学参考资料PAD,【例】如图在矩形oabc中中点是边上的动点(点ABCDAB,BCPBP不与点点重合)过点作直线交边于点再把PQBDQCCDR沿着动直线对折点的对应点是点设的长度為PQCPQxCCPy与矩形重叠部分的面积为(PQRABCD()求的度数CQPRAB()当取何值时点落在矩形的边上,xABCDy()求与之间的函数关系式x当取何值时重叠部分的面积等于矩形面积的,xQCDCCDDPRAAABBB(备用圖)(备用图)第页共页初中数学参考资料解析过程及每步分值解:()如图四边形是矩形(ABCD？,,ABCDADBC又AD,,CAB,BC,(,CDBC？,,tanCDB(,CDBCD？,,CQPCDB(PQBDQ()如图由轴对称的性质可知RPQCPQCD(,RPQCPQRPCP,PABR,CQP？,,RPQCPQ由()知(图),RPBP(？,RPBPBx,,(CPx,,PRx在Φ根据题意得:(),,xxRPBx,解这个方程得:(RAB()当点在矩形的内部或边上时ABCDSCPCQxxx,,,,xCPQyx,,xRPQCPQ？当时R,,x当在矩形的外部时(如图)ABCD在中,RPBQRtPFBCD,,,PFBPx()PFEABR？,,,,RFRPPFx又RPCPx,,(图)在中RtERF,,ERx(,,EFRPFB第页共页初中数学参考资料？,,,SERFRxxERFySS,,RPQERF,,x当時(yxx,,,,xx(),,yy,综上所述与之间的函数解析式是:(x,,,,,,()xxx,yx,,,,x矩形面积当时函数随自变量的增大而y增大所以的最大值是而矩形面积的的值,,y,,,x而所以当时的值不可能是矩形面积的,,x当时根据题意得:,,,xxx,,,解这个方程得因为x,所以不合题意舍去(x,,所以(x,,综上所述当时PQR与矩形重叠部分的面积等于矩形面积的ABCD(第四章兴趣练习玳数部分yaxbxc,已知:抛物线与x轴交于A、B两点与y轴交于点C(其中点A在x轴的负半轴上点C在y轴的负半轴上线段OA、OC的长(OA<OC)是方程第页共页初中数学参考资料的兩个根且抛物线的对称轴是直线(xx,,x,()求A、B、C三点的坐标()求此抛物线的解析式()若点D是线段AB上的一个动点(与点A、B不重合)过点D作DEBC交AC于点E连结CD设BD的长为mCDE嘚面积为S求S与m的函数关系式并写出自变量m的取值范围(S是否存在最大值,若存在求出最大值并求此时D点坐标若不存在请说明理由(yODBAxECl已知如图过点莋平行于轴的直线抛物线上的两点的xE,yx,AB、,ABFyl横坐标分别为和直线交轴于点过点分别作直线的垂线垂足分AB、D别为点、连接(CCFDF、()求点的坐标ABF、、()求证:CFDF,PP()點是抛物线对称轴右侧图象上的一动点过点作交轴PQPOxyx,P于点Q是否存在点使得OPQ与相似,若存在请求出所有符合条件CDFP的点的坐标若不存在请说明理由(yyBFFAOxOxDEClEDC(圖)备用图已知矩形纸片的长为宽为以长所在的直线为x轴为坐标原点建OABCOAOP立平面直角坐标系点是边上的动点(与点不重合)现将沿翻折PCOAOA、POCABPD得到再在邊上选取适当的点将沿翻折得到使得PECPADPFDD直线重合(PEPF、E()若点落在边上如图求点的坐标并求过此三点的抛物线的函BCPCD、、第页共页初中数学参考资料數关系式Ey()若点落在矩形纸片的内部如图设当为何值时OPxADy,,xOABC取得最大值,PD()在()的情况下过点三点的抛物线上是否存在点使是以QPDQPCD、、为直角边的直角三角形,若不存在说明理由若存在求出点的坐标(QyyEBBCCFEFDDOPxOPxAA图图yxx,y如图已知抛物线交轴于A、B两点交轴于点C?抛物线的对称x,轴交轴于点E点B的坐标为()(x()求抛物线的對称轴及点A的坐标xoy()在平面直角坐标系中是否存在点P与A、B、C三点构成一个平行四边形,若存在请写出点P的坐标若不存在请说明理由()连结CA与抛物線的对称轴交于点D在抛物线上是否存在点M使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分,若存在请求出直线CM的解析式若不存在请y说明理由(CDxAOBE第页共頁初中数学参考资料如图已知抛物线(a)与轴交于点A()和点B(,)y,axbxx与y轴交于点C(()求抛物线的解析式()设抛物线的对称轴与轴交于点M问在对称轴上是否存在点P使CMP为等腰三x角形,若存在请直接写出所有符合条件的点P的坐标若不存在请说明理由(()如图若点E为第二象限抛物线上一动点连接BE、CE求四边形BOCE面积嘚最大值并求此时E点的坐标(yyCCBBMAAOOxx图图二、动态几何如图在梯形中厘米厘米的BCABCDDCABAAD,,DC,PAABBB坡度动点从出发以厘米秒的速度沿方向向点运动动点Q从点出i,D发以厘米秒的速度沿方向向点运动两个动点同时出发当其中一个动BCD,,点到达终点时另一个动点也随之停止(设动点运动的时间为秒(t()求边的长BC()当t为何值時与BQ相互平分PCyyy()连结PQ设PBQ的面积为探求与t的函数关系式求t为何值时有最大值,最大值是多少,CDccQcBAPccc第页共页初中数学参考资料y已知:直线与轴交于A与轴交於D抛物线与直线交xyx,yxbxc,于A、E两点与轴交于B、C两点且B点坐标为()(x()求抛物线的解析式()动点P在轴上移动当PAE是直角三角形时求点P的坐标(x()在抛物线的对称轴仩找一点M使的值最大求出点M的坐标(||AMMC,yEABCODxy已知:抛物线的对称轴为与轴交于两点与轴xyaxbxca,,x,,AB交于点其中、A,C(,C()求这条抛物线的函数表达式(()已知在对称轴上存在┅点P使得的周长最小(请求出点P的坐标(PBCD()若点是线段上的一个动点(不与点O、点C重合)(过点D作交轴xOCDEPCPDPEE(于点连接、(设的长为的面积为(求与之间的函数关mmCDPDESS系式(试说明是否存在最大值若存在请求出最大值若不存在请说明理由(SyOABxCEM如图已知抛物线经过坐标原点()和x轴上另一点顶点的坐标为矩形OAAD,y的顶点與点重合分别在x轴、轴上且(ABCDOADAB、AB,()求该抛物线所对应的函数关系式()将矩形以每秒个单位长度的速度从图所示的位置沿x轴的正方向匀速平行ABCDPAB移动哃时一动点也以相同的速度从点出发向匀速移动(设它们运动的时间为t秒(((((AB()直线与该抛物线的交点为(如图所示)(tNPME当时判断点是否在直线上并说明悝由t,第页共页初中数学参考资料设以为顶点的多边形面积为试问是否存在最大值,若存在求出这PNCD、、、SS个最大值若不存在请说明理由(yyMMNCCBBPODEADOExx(A)图图已知抛物线:(y,,xxy()求抛物线的顶点坐标(y()将抛物线向右平移个单位再向上平移个单位得到抛物线y求抛物线的解析式(yy()如下图抛物线y的顶点为P轴上有一动點M在、y这两条抛物线上是x否存在点N使O(原点)、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形若存在求出N点的坐标若不存在请说明理由(by,axbxc【提示:抛物线()的對称轴是顶点坐标是x,,a,a,,bacb,y】,,,aa,,Pyy,Ox,,,,第页共页初中数学参考资料如图已知抛物线C:的顶点为P与x轴相交于A、B两点(点Ay,ax,在点B的左边)点B的横坐标是(()求P点坐标及a的值(汾)()如图()抛物线C与抛物线C关于x轴对称将抛物线C向右平移平移后的抛物线记为CC的顶点为M当点P、M关于点B成中心对称时求C的解析式(分)()如图()点Q是x轴正半轴上一点将抛物线C绕点Q旋转后得到抛物线C(抛物线C的顶点为N与x轴相交于E、F两点(点E在点F的左边)当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时求點Q的坐标((分)yyCCMNBQBAAOxOxEFPPCCC图图第页共页初中数学参考资料如图在平面直角坐标系中已知矩形的三个顶点、、(抛B()C()D()ABCDyaxbx,物线过两点(AC、A()直接写出点的坐标并求出抛粅线的解析式PAABB()动点从点出发沿线段向终点运动同时点从点出发沿线段向QCDCDPPEAB终点运动速度均为每秒个单位长度运动时间为秒(过点作交于tACE点(EEFADF过点莋于点交抛物线于点(当为何值时线段最长,tGEG连接(在点运动的过程中判断有几个时刻使得是等腰三角形,EQPQ、CEQ请直接写出相应的值(tyFADGPEQCOBx如图已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M(,)且P(,)为双曲线上的一点Q为坐标平面上一动点PA垂直于x轴QB垂直于y轴垂足分别是A、B(()写出正比例函数和反比例函数嘚关系式()当点Q在直线MO上运动时直线MO上是否存在这样的点Q使得OBQ与OAP面积相等,如果存在请求出点的坐标如果不存在请说明理由()如图当点Q在第一象限中的双曲线上运动时作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ求平行四边形OPCQ周长的最小值(yhx=xQBAOxMP图第页共页初中数学参考资料yfx=xQBAOxMCP图如图矩形ABCD中AB=cmAD=cm点E在边DC上且DE=cm(动点P從点A开始沿着ABCE的路线以cms的速度移动动点Q从点A开始沿着AE以cms的速度移动当点Q移动到点E时点P停止移动(若点P、Q从点A同时出发设点Q移动时间为t(s)P、Q两点運动路线与线段PQ围成的图形面积为S(cm)求S与t的函数关系式(DECQABPy,(xm)k,m如图已知二次函数的图象与x轴相交于两个不同的点PAx()Bx()y、与轴的交点为(设的外接圆的圆心為点(ABCCy()求与轴的另一个交点D的坐标PAB()如果恰好为的直径且的面积等于求m和的值(ABCkP第页共页初中数学参考资料E如图点坐标分别为()、()点是线段上一动點点在轴xOBAB、C正半轴上四边形是矩形且(设矩形与OEtt,,()OEDCOEOC,OEDCAOB重合部分的面积为(根据上述条件回答下列问题:SDAB()当矩形的顶点在直线上时求的值tOEDC()当时求的值t,Sy()直接写出与的函数关系式(不必写出解题过程)tSB()若则(t,S,DCAOEx直线与坐标轴分别交于两点动点同时从点出发同时到PQ、yx,,AB、OAP达点运动停止(点Q沿线段运动速度为烸秒个单位长度点沿路线OAOBA运动(()直接写出两点的坐标AB、()设点Q的运动时间为t秒OPQ的面积为求出与t之间的函数关系式SSP()当时求出点的坐标并直接写出鉯点OPQ、、为顶点的平行四边形的第S,M四个顶点的坐标(yBPxOQA第页共页初中数学参考资料如图过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线外侧两條直线之间的距离叫ABC的“水平宽”(a)中间的这条直线在ABC内部的线段的长度叫ABC的“铅垂高”(h)(我们可得出一种计算三角形面积的新方法:即三角形媔积等,Sah,ABC于水平宽与铅垂高乘积的一半(A铅垂高ChB水平宽a图解答下列问题:如图抛物线顶点坐标为点C()交x轴于点A()交y轴于点B(()求抛物线和直线AB的解析式S()求CAB嘚铅垂高CD及CAB()设点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点是否存在一点P使S=SPABCAB若存在求出P点的坐标若不存在请说明理由(yCBDxOA图B如图在平面直角坐标系中點的坐标分别为点在轴上(已x()(),,、AC、ABP知某二次函数的图象经过、、三点且它的对称轴为直线点为直线下x,BCCPBPy方的二次函数图象上的一个动点(点与、鈈重合)过点作轴的平行线交于BCCF(点()求该二次函数的解析式PPF()若设点的横坐标为m用含m的代数式表示线段的长(P()求面积的最大值并求此时点的坐标(PBC第頁共页初中数学参考资料yBOAxFCPx=P的边长为厘米(从初始时刻开始点、同如图所示菱形Q,BABCDAP时从点出发点以厘米秒的速度沿的方向运动点以厘米秒的速QACB,,DP度沿的方向运动当点运动到点时、两点同时停止运动设QQABCD,,,Py、运动的时间为秒时与重叠部分的面积为平方厘米(这里规定:QxAPQABC((((点和线段是面积为的三角形)解答下列问题:OP()点、Q从出发到相遇所用时间是秒P()点、Q从开始运动到停止的过程中当APQ是等边三角形时的值是秒xy()求与之间的函数关系式(xCDPBAQAFFFFF定义一種变换:平移抛物线得到抛物线使经过的顶点(设的对称轴ABDFF分别交于点点是点关于直线的对称点(DBCFyx,yxbx,F()()如图若:经过变换后得到:点的坐标为C则的值等于b㈣边形为()ABCDA(平行四边形B(矩形C(菱形D(正方形第页共页初中数学参考资料BFyaxc,()如图若:经过变换后点的坐标为求的()c,ABD面积PFAC,()如图若:经过变换后点是直线上的yxx,,ACPDAD动點求点到点的距离和到直线的距离之和的最小值(yFyFyFFDFDFDPACCAxCO(A)BBBxOxO(图)(图)(图)AB如图已知直线交坐标轴于两点以线段为边向上作正方形A,Byx,,E过点的抛物线与直线另一个茭点为(A,D,CABCD()请直接写出点的坐标C,D()求抛物线的解析式ABD()若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线下滑直至顶点落在轴上x时停止(设正方形落在轴下方蔀分的面积为求关于滑行时间的函数关txSS系式并写出相应自变量t的取值范围()在()的条件下抛物线与正方形一起平移同时停止求抛物线上两点C,E间嘚抛物线弧所扫过的面积(yDCAxBOEyx,,备用图第页共页初中数学参考资料E如图点坐标分别为()、()点是线段上一动点点在轴xOBAB、C正半轴上四边形是矩形且(设矩形与OEtt,,()OEDCOEOC,OEDCAOB重合部分的面积为(根据上述条件回答下列问题:SDAB()当矩形的顶点在直线上时求的值tOEDC()当时求的值t,S()直接写出与的函数关系式(不必写出解题过程)tSyB()若则(t,S,DCAOEx如图所示某校计划将一块形状为锐角三角形的空地进行生态环境改造(已知ABCAD的边长米高长米(学校计划将它分割成、、ABCBCBHEAHGEF和矩形四部分(如图)(其中矩形的一边在边上其余两GFCEFGHEFGHBCABH个顶点、分别在边、上(现计划在上种草每平米投资元在GACAHG、上都种花每平方米投资元在矩形上兴建爱心鱼池每岼BHEEFGHFCG方米投资元(()当长为多少米时种草的面积与种花的面积相等,FG()当矩形的边为多少米时空地改造总投资最小,最小值为多少,EFGHFGABCAKHGBCEDF第页共页初中数学参栲资料tttt,已知:是方程的两个实数根且抛物线tt,,yxbxc,AtBt()()的图象经过点(()求这个抛物线的解析式()设点是抛物线上一动点且位于第三象限四边形是以为对角线OPAQPxy()OA嘚平行四边形求的面积与之间的函数关系式并写出自变量的取值范围OPAQxxSP()在()的条件下当的面积为时是否存在这样的点使OPAQOPAQP为正方形,若存在求出点唑标若不存在说明理由(yQBxOAP三、说理题如图抛物线经过ABC()()(),三点(()求出抛物线的解析式()P是抛物线上一动点过P作轴垂足为M是否存在P点使得以APMx,PM为顶点的三角形与相似,若存在请求出符合条件的点P的坐标若不存在OAC请说明理由()在直线AC上方的抛物线上有一点D使得的面积最大求出点D的坐标(DCAyABxO,C第页共页初Φ数学参考资料如图在平面直角坐标系中半径为的圆的圆心在坐标原点且与两坐标轴xOyODyaxbxc,yyx,分别交于四点(抛物线与轴交于点与直线交于ABCD、、、A点苴分别与圆相切于点和点(MANC、MN、OC()求抛物线的解析式EDEDEFEF()抛物线的对称轴交轴于点连结并延长交圆于求的长(xOBPP()过点作圆的切线交的延长线于点判断点昰否在抛物线上说明理由(ODCyDNEAOxCFMBy如图已知:抛物线与轴交于两点与轴交于点经xyxbxc,AB、C过两点的直线是连结(yx,,BC、ACB()两点坐标分别为()、()抛物线的函数关系BC、C式为()判断的形状并说明理由ABC()若内部能否截出面积最大的矩形(顶点在各边ABCABCDEFCDEF、、、GAB上),若能求出在边上的矩形顶点的坐标若不能请说明理由(,,bacb,yaxbxc,抛物线的頂点坐标是,,,,aa,,yyOAOBAxBxCC图图(备用)第页共页初中数学参考资料已知:如图在平面直角坐标系中矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上OCxOy在x轴的正半轴上OA=OC=(过原点O作AOC的平分线茭AB于点D连接DC过点D作DEDC交OA于点E(()求过点E、D、C的抛物线的解析式()将EDC绕点D按顺时针方向旋转后角的一边与y轴的正半轴交于点F另一边与线段OC交于点G(如果DF與()中的抛物线交于另一点M点M的横坐标为那么EF=GO是否成立,若成立请给予证明若不成立请说明理由()对于()中的点G在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的PCG是等腰三角形,若存在请求出点Q的坐标若不存在请说明理由(yDBAEExOC第页共页初中数学参考资料AEF如图所示将矩形沿折叠使点恰好落在上处以为边作正OABCBCCFOM方形延长至使再以、为边作矩形(CMCEEO,,CFGHBCCOCMNOCM()试比较、的大小并说明理由(EOECS四边形CFGH()令请问是否为定值,若是请求出嘚值若不是请说明理mmm,S四边形CMNO由(AE()在()的条件下若为上一点且抛物线COCEQ,,QF,ymxbxc,经过、两点请求出此抛物线的解析式(QCABPymxbxc,()在()的条件下若抛物线与线段交于点试问茬直线BCKPBKKP上是否存在点使得以、、为顶点的三角形与相似,若存在请求直线AEFTy与轴的交点的坐标若不存在请说明理由(yGHFCBMEQxNOA第页共页初中数学参考资料幾何部分经典难题(一)、已知:如图O是半圆的圆心C、E是圆上的两点CDABEFABEGCO(求证:CD,GF((初二)CEGABDOF、已知:如图P是正方形ABCD内点PAD,PDA,(DA求证:PBC是正三角形((初二)PCB、如图已知四边形ABCD、ABCD嘟是正方形A、B、C、D分别是AA、BB、CC、DD的中点(AD求证:四边形ABCD是正方形((初二)DAADBCBCBC、已知:如图在四边形ABCD中AD,BCM、N分别是AB、CD的中点AD、BC的延长线交MN于E、F(F求证:DEN,F(ECND第页共页ABM初中数学参考资料经典难题(二)、已知:ABC中H为垂心(各边高线的交点)O为外心且OMBC于M(A()求证:AH,OM()若BAC,求证:AH,AO((初二)OHEBCDM、设MN是圆O外一直线过O作OAMN于A自A引圆的两条直线交圆於B、C及D、E直线EB及CD分别交MN于P、Q(GE求证:AP,AQ((初二)OCBDNMQPA、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内则由此可得以下命题:设MN是圆O的弦过MN的中点A任作两弦BC、DE设CD、EB分别交MNE於P、Q(C求证:AP,AQ((初二)AQMNPOBD、如图分别以ABC的AC和BC为一边在ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG点P是EF的中点(D求证:点P到边AB的距离等于AB的一半((初二)GCEPFABQ第页共页初中数学参考资料经典难题(三)、如图四边形ABCD为正方形DEACAE,ACAE与CD相交于F(求证:CE,CF((初二)DAFEBC、如图四边形ABCD为正方形DEAC且CE,CA直线EC交DA延长线于F(求证:AE,AF((初二)ADFBCE、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点PFAPCF平汾DCE(求证:PA,PF((初二)ADABPCE、如图PC切圆O于CAC为圆的直径PEF为圆的割线AE、AF与直线PO相交于B、D(求证:AB,DCBC,AD((初三)AODBPEFC第页共页初中数学参考资料经典难题(四)、已知:ABC是正三角形P是三角形内一点PA,PB,PC,(求:APB的度数((初二)APBC、设P是平行四边形ABCD内部的一点且PBA,PDA(求证:PAB,PCB((初二)ADPBC、Ptolemy(托勒密)定理:设ABCD为圆内接凸四边形求证:ABCDADBC,ACBD((初三)ADBC、平行四边形ABCD中设E、F分别是BC、AB上的一点AE与CF相交于P且AE,CF(求证:DPA,DPC((初二)ADFPBCE第页共页初中数学参考资料经典难题(五)、设P是边长为的正ABC内任一点l,PAPBPC求证:l,(APCBDA、已知:P是边长为的正方形ABCD内的一点求PAPBPC的最小值(PCB、P为正方形ABCD内的一点并且PA,aPB,aPC,a求正方形的边长(DAPCB、如图ABC中ABC,ACB,D、E分别是AB、AC上的点DCA,EBA,求BED的度数(AED第页共页CB初中数学参考资料第五章复习提纲初中數学总复习提纲第一章实数重点实数的有关概念及性质实数的运算内容提要一、重要概念(数的分类及概念数系表:正整数整数(有限或无限循環性数)负整数有理数正分数分数负分数实数正无理数无理数(无限不循环小数)负无理数说明:“分类”的原则:)相称(不重、不漏))有标准整数有理數分数正数无理数实数整数有理数分数负数无理数(非负数:正实数与零的统称。(表为:x)常见的非负数有:a(a为一切实数)aa(a)性质:若干个非负数的和为则烸个非负担数均为(倒数:定义及表示法性质:Aaa(a)Ba中aC,a,时a,a,时a,D积为。(相反数:定义及表示法性质:Aa时aaBa与a在数轴上的位置C和为,商为(数轴:定义(“三要素”)第頁共页初中数学参考资料作用:A直观地比较实数的大小B明确体现绝对值意义C建立点与实数的一一对应关系。(奇数、偶数、质数、合数(正整数洎然数)定义及表示:奇数:n偶数:n(n为自然数)(绝对值:定义(两种):代数定义:a(a)a=a(a<)几何定义:数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离a,符号“”是“非负数”的标志数a的绝对值只有一个处理任何类型的题目只要其中有“”出现其关键一步是去掉“”符号。二、实数的运算(运算法则(加、减、乘、除、乘方、开方)(运算定律(五个加法乘法交换律、结合律乘法对加法的分配律)(运算顺序:A高级运算到低级运算B(同级运算)从“左”到“右”(如)C(有括号时)由“小”到“中”到“大”三、应用举例(略)附:典型例题(已知:a、b、x在数轴上的位置如下图求证:xaxb=baaxb已知:ab=且ab<(ab)判断a、b的符号。第二章代数式重点代数式的有关概念及性质代数式的运算内容提要一、重要概念分类:单项式整式多项式有理式分式代数式无理式样代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式单独的一个数或字母也是代数式。整式和分式统称为有悝式整式和分式含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。第页共页初中数学参考资料没有除法运算或虽有除法运算但除式Φ不含有字母的有理式叫做整式有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。单项式与多项式没有加减运算的整式叫做单项式(數字与字母的积包括单独的一个数或字母)几个单项式的和叫做多项式。说明:根据除式中有否字母将整式和分式区别开根据整式中有否加减運算把单项式、多项式区分开进行代数式分类时是以所给的代数式为对象而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时是从外形来看如x=x,=x等。xx系数与指数区别与联系:从位置上看从表示的意义上看同类项及其合并条件:字母相同相同字母的指数相同合并依据:乘法分配律根式表示方根的代数式叫做根式含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。注意:从外形上判断区别:、是根式但不是无理式(是无理数)算術平方根a正数a的正的平方根(a与“平方根”的区别)算术平方根与绝对值联系:都是非负数=aaa区别:a中a为一切实数中a为非负数。同类二次根式、最简②次根式、分母有理化化为最简二次根式以后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式满足条件:被开方数的因数是整数因式是整式被開方数中不含有开得尽方的因数或因式。把分母中的根号划去叫做分母有理化指数nn(幂乘方运算)aaa…a=an个nnna,时,a,时,(n是偶数),(n是奇数)aaa零指数:=(a)a,pp负整指数:a=a(a,p是囸整数)第页共页初中数学参考资料二、运算定律、性质、法则(分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则(分式的性质bmb基本性质:=(m)aamb,bb符号法则:,,,aa,a繁分式:定义化简方法(两种)(整式运算法则(去括号、添括号法则)mnmnmnmnmnm,n(a)(幂的运算性质:===aaaaaaanaannnn(ab)(),=abnbbba,pp技巧:(),()ab(乘法法则:单单单多多多。(a,b),a,abb(乘法公式:(正、逆用)(ab)(ab)=a,b(a,abb)(ab)=a,b(除法法则:单单多单(洇式分解:定义方法:A提公因式法B公式法C十字相乘法D分组分解法E求根公式法。ab,a,b(算术根的性质:,(a,baa(a),a(a,)aa),(a,b,)(正用、逆用)bb(根式运算法则:加法法则(合并同类二次根式)乘、除法法则分母有理bab,化:ABCaaama,nbn(科学记数法:(a,,n是整数,a三、应用举例(略)四、数式综合运算(略)第三章统计初步重点内容提要一、重要概念第页共页初Φ数学参考资料总体:考察对象的全体个体:总体中每一个考察对象。样本:从总体中抽出的一部分个体样本容量:样本中个体的数目。众数:┅组数据中出现次数最多的数据中位数:将一组数据按大小依次排列处在最中间位置的一个数(或最中间位置的两个数据的平均数)二、计算方法''x,x,ax,x,a样本平均数:若?x,(xx？x)nn''x,则x,xa(a常数xx?接近较整的常数a)加权平均数:x,x,annnxfxfxfkk平均数是刻划数据的集中趋势(集x,(ff？f,n)kn中位置)的特征数通常用样本平均数去估計总体平均数样本容量越大估计越准确。(样本方差:若s,(x,x)(x,x)(x,x)nn'''''''x,x,ax,x,a,,?,,则(as,(xx？x),nxx,x,annnnxxxxxx接近、、?、的平均数的较“整”的常数)若、、?、较“小”较“整”nn则样夲方差是刻划数据的离散程度(波动大小)s,(xxx),nxnn的特征数当样本容量较大时样本方差非常接近总体方差通常用样本方差去估计总体方差。(样本标准差:s,s三、应用举例(略)第四章直线形重点相交线与平行线、三角形、四边形的有关概念、判定、性质内容提要一、直线、相交线、平行线(線段、射线、直线三者的区别与联系从“图形”、“表示法”、“界限”、“端点个数”、“基本性质”等方面加以分析。(线段的中点及表示(直线、线段的基本性质(用“线段的基本性质”论证“三角形两边之和大于第三边”)(两点间的距离(三个距离:点点点线线线)(角(平角、周角、直角、锐角、钝角)(互为余角、互为补角及表示方法(角的平分线及其表示(垂线及基本性质(利用它证明“直角三角形中斜边大于直角边”)(对頂角及性质第页共页初中数学参考资料(平行线及判定与性质(互逆)(二者的区别与联系)(常用定理:同平行于一条直线的两条直线平行(传递性)同垂矗于一条直线的两条直线平行(定义、命题、命题的组成(公理、定理(逆命题二、三角形分类:按边分按角分(定义(包括内、外角)(三角形的边角關系:角与角:内角和及推论外角和n边形内角和n边形外角和。边与边:三角形两边之和大于第三边两边之差小于第三边角与边:在同一三角形中等角等边大边大角小边小角(三角形的主要线段讨论:定义线的交点三角形的心性质高线中线角平分线中垂线中位线一般三角形特殊三角形:直角三角形、等腰三角形、等边三角形(特殊三角形(直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形)的判定与性质(全等三角形一般三角形全等的判定(SAS、ASA、AAS、SSS)特殊三角形全等的判定:一般方法专用方法(三角形的面积一般计算公式性质:等底等高的三角形面积相等。(重要辅助线Φ点配中点构成中位线加倍中线添加辅助平行线(证明方法直接证法:综合法、分析法间接证法反证法:反设归谬结论证线段相等、角相等常通過证三角形全等证线段倍分关系:加倍法、折半法证线段和差关系:延结法、截余法证面积关系:将面积表示出来三、四边形分类表:(一般性质(角)內角和:顺次连结各边中点得平行四边形推论:顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。第页共页初中数学参考资料推论:顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形外角和:(特殊四边形研究它们的一般方法:定义性质判定对对面角边称积角性线轴中对心称对称平行㈣边形、矩形、菱形、正方形梯形、等腰梯形的定义、性质和判定判定步骤:四边形平行四边形矩形正方形菱形对角线的纽带作用:相等且互楿平分矩形垂直相等互相平分相等且互相垂直四边形平行四边形正方形相等垂直菱形互相垂直平分互相垂直平分且相等(对称图形轴对称(定義及性质)中心对称(定义及性质)(有关定理:平行线等分线段定理及其推论、三角形、梯形的中位线定理平行线间的距离处处相等。(如找下图中媔积相等的三角形)(重要辅助线:常连结四边形的对角线梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、“连结顶点和对腰中点并延长與底边相交”转化为三角形(作图:任意等分线段。四、应用举例(略)第五章方程(组)重点一元一次、一元二次方程二元一次方程组的解法方程嘚有关应用题(特别是行程、工程问题)第页共页初中数学参考资料内容提要一、基本概念(方程、方程的解(根)、方程组的解、解方程(组)(分类:一佽方程二次方程整式方程高次方程有理方程方程分式方程无理方程二、解方程的依据等式性质(a=bac=bc(a=bac=bc(c)三、解法(一元一次方程的解法:去分母去括号迻项合并同类项系数化成解(元一次方程组的解法:基本思想:“消元”方法:代入法加减法四、一元二次方程axbxc,(a,)(定义及一般形式:(解法:直接开平方法(注意特征)配方法(注意步骤推倒求根公式),b,b,acx,(b,ac,)公式法:,a因式分解法(特征:左边=)(根的判别式:,,b,acbc(根与系数顶的关系:xx,,x,x,,aaxx,m,x,x,nx,x逆定理:若则以为根的一元二次方程是:。x,mxn,xx,(xx),xx(瑺用等式:(x,x),(xx),xx五、可化为一元二次方程的方程(分式方程定义去分母基本思想:分式方程整式方程第页共页初中数学参考资料x,x基本解法:去分母法换え法(如),xx,验根及方法(无理方程定义乘方基本思想:无理方程有理方程基本解法:乘方法(注意技巧～～)换元法(例)验根及x,,x方法(简单的二元二次方程组甴一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解六、列方程(组)解应用题概述列方程(组)解应用题是中学数學联系实际的一个重要方面。其具体步骤是:审题理解题意。弄清问题中已知量是什么未知量是什么问题给出和涉及的相等关系是什么設元(未知数)。直接未知数间接未知数(往往二者兼用)一般来说未知数越多方程越易列但越难解。用含未知数的代数式表示相关的量寻找楿等关系(有的由题目给出有的由该问题所涉及的等量关系给出)列方程。一般地未知数个数与方程个数是相同的解方程及检验。答案综仩所述列方程(组)解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题(设元、列方程)在由数学问题的解决而导致实际问题的解决(列方程、写出答案)。在这个过程中列方程起着承前启后的作用因此列方程是解应用题的关键。常用的相等关系(行程问题(匀速运动)基本关系:s=vtCAB相遇问题(同时出發):相遇处乙甲sst,ts=乙乙甲AB甲追及问题(同时出发):CAB(相遇处)乙甲s,sst,tAC乙乙(CB)甲甲(AB)(甲)若甲出发t小时后乙才出发而后在B处追AB乙(相遇处)上甲则s,st,tt乙乙甲甲v,船速水速v,船速,水速水中航行:顺逆第页共页初中数学参考资料(配料问题:溶质=溶液浓度溶液=溶质溶剂n,(增长率问题:a,a(,r)n(工程问题:基本关系:工作量=工作效率工作时間(常把工作量看着单位“”)(几何问题:常用勾股定理几何体的面积、体积公式相似形及有关比例性质等。注意语言与解析式的互化如“多”、“少”、“增加了”、“增加为(到)”、“同时”、“扩大为(到)”、“扩大了”、??又如一个三位数百位数字为a十位数字为b个位数字為c则这个三位数为:abc而不是abc注意从语言叙述中写出相等关系。如x比y大则xy=或x=y或x=y又如x与y的差为则xy=。注意单位换算如“小时”“分钟”的换算s、v、t单位的一致等七、应用举例(略)第六章一元一次不等式(组)重点一元一次不等式的性质、解法内容提要(定义:a,b、a,b、ab、ab、ab。(一元一次不等式:ax,b、ax,b、axb、axb、axb(a)(一元一次不等式组:(不等式的性质:a>bac>bca>bac>bc(c>)a>bac<bc(c<)(传递性)a>b,b>ca>ca>b,c>dac>bd(一元一次不等式的解、解一元一次不等式(一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组(茬数轴上表示解集)(应用举例(略)第七章相似形重点相似三角形的判定和性质内容提要一、本章的两套定理第一套(比例的有关性质):bd反比性质:,acdcabac,或,哽比性质:,,ad,bc,bacdbda,bc,d(比例基本定理),合比性质:bdacmac？ma,,,(bd？n,),等比性质:,bdnbdnb涉及概念:第四比例项比例中项比的前项、后项比的内项、外项黄金分第页共页初中数学參考资料割等。第二套:平行线分线段应用于中推论相似基本成比例定理(骨干定理)定理(基本定理)判相(定似Rt定三推论的理角推论定理逆定理形萣理定理推论注意:定理中“对应”二字的含义平行相似(比例线段)平行二、相似三角形性质(对应线段?(对应周长?(对应面积?。三、相关莋图作第四比例项作比例中项四、证(解)题规律、辅助线(“等积”变“比例”“比例”找“相似”。(找相似找不到找中间比方法:将等式咗右两边的比表示出来。amcmm,,,(为中间比)bndnnamcm',,,,n,n'bndn''amcmmm'',,m,mn,n或,,(,)''bndnnn(添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径(对比例问题常用处理方法是将“一份”看着k对于等比问题常用处理办法是设“公比”为k。(对于复杂的几何图形采用将部分需要的图形(或基本图形)“抽”出来的办法处理五、应鼡举例(略)第八章函数及其图象重点正、反比例函数一次、二次函数的图象和性质。内容提要一、平面直角坐标系(各象限内点的坐标的特点(唑标轴上点的坐标的特点(关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点第页共页初中数学参考资料(坐标平面内点与有序实数对的对应关系二、函数(表示方法:解析法列表法图象法(确定自变量取值范围的原则:使代数式有意义使实际问题有意义。(画函数图象:列表描点连线三、几种特殊函数(定义图象性质)(正比例函数定义:y=kx(k)或yx=k。图象:直线(过原点)性质:k>?k<?(一次函数定义:y=kxb(k)图象:直线过点(,b)与y轴的交点和(bk,)与x轴的交点yyyyooooxxxx(k>,b>)(k<,b>)(k>,b<)(k<,b<)性质:k>,?k<,?图象嘚四种情况:(二次函数y,axbxc(a,)(一般式)定义:y,a(x,h)k(a,)(顶点式)y,ax(a,),y,axk(a,)特殊地都是二次函数。图象:抛物线(用描点法画出:先确定顶点、对称轴、开口方向再对称地描点)y,axbxc(a,)y,a(x,h)k(a,)用配方法变为则顶点为(h,k)对称轴为直线x=ha>时开口向上a<时开口向下。性质:a>时在对称轴左侧?右侧?a<时在对称轴左侧?右侧?反比例函数k,定义:或xy=k(k)。y,,kxx圖象:双曲线(两支)用描点法画出性质:k>时图象位于?y随x?k<时图象位于?y随x?两支曲线无限接近于坐标轴但永远不能到达坐标轴。四、重要解題方法y(用待定系数法求解析式(列方程组求解)对求二次函数X=(,)第页共页ox求解析式初中数学参考资料的解析式要合理选用一般式或顶点式并应充分运用抛物线关于对称轴对称的特点寻找新的点的坐标。如下图:(利用图象一次(正比例)函数、反比例函数、二次函数中的k、ba、b、c的符号陸、应用举例(略)第九章解直角三角形重点解直角三角形内容提要一、三角函数(定义:在RtABC中C=Rt则sinA=cosA=tgA=ctgA=(特殊角的三角函数值:sinαcosαtgαctgα(互余两角的三角函數关系:sin(α)=cosα?(三角函数值随角度变化的关系(查三角函数表二、解直角三角形(定义:已知边和角(两个其中必有一边)所有未知的边和角。(依据:边嘚关系:ab,c角的关系:AB=边角关系:三角函数的定义注意:尽量避免使用中间数据和除法。三、对实际问题的处理(俯、仰角:(方位角、象限角:(坡度:北ih仰角西α东俯角li=hl=tgα南(在两个直角三角形中都缺解直角三角形的条件时可用列方程的办法解决四、应用举例(略)第十章圆重点圆的重要性质直線与圆、圆与圆的位置关系与圆有关的角的定理与圆有关的比例线段定理。内容提要一、圆的基本性质第页共页初中数学参考资料(圆的定義(两种)(有关概念:弦、直径弧、等弧、优弧、劣弧、半圆弦心距等圆、同圆、同心圆(“三点定圆”定理(垂径定理及其推论(“等对等”定理忣其推论(与圆有关的角:圆心角定义(等对等定理)圆周角定义(圆周角定理与圆心角的关系)弦切角定义(弦切角定理)二、直线和圆的位置关系三种位置及判定与性质:d>R直线与圆相离d=R直线与圆相切d<R直线与圆相交切线的性质(重点)切线的判定定理(重点)。圆的切线的判定有??(切线长定理三、圓换圆的位置关系五种位置关系及判定与性质:(重点:相切)d>Rr外离d=Rr外切Rr<d<Rr相交d=Rr内切d<Rr内含相切(交)两圆连心线的性质定理两圆的公切线:定义性质四、与圓有关的比例线段相交弦定理切割线定理五、与和正多边形O圆的内接、外切多边形(三角形、四边形)α三角形的外接圆、内切圆及性质圆的外切四边形、内接四边形的性质βABM正多边形及计算:中心角:,,,,(右图)nn(n,):,内角的一半:(右图),nSP(解RtOAM可求出相关元素,、等)nn六、一组计算公式圆周长公式圆面积公式第页共页初中数学参考资料扇形面积公式弧长公式弓形面积的计算方法A圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算七、点的轨迹CDPO六条基本轨迹仈、有关作图作三角形的外接圆、内切圆B平分已知弧作已知两线段的比例中项等分圆周:、、等分九、基本图形十、重要辅助线作半径见弦往往作弦心距见直径往往作直径上的圆周角切点圆心莫忘连两圆相切公切线(连心线)两圆相交公共弦第页共页初中数学参考资料第页共