在学习线性代数的时候很多童鞋不知道如何用matlab求解最大线性无关组，下面小编替大家讲讲

WORD文档下载可编辑 专业技术资料 精惢打造资料 求向量组的秩与最大无关组 对于具体给出的向量组求秩与最大无关组 1、求向量组的秩（即矩阵的秩）的方法：为阶梯形矩阵 【定理】 矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩.(三秩相等) ①把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A； ②对矩阵A进行初等行變换化为阶梯形矩阵B； ③阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩． 【例1】 求下列向量组a１=(1, 2, 3, 4)a2 =( 2, 3, 4, 5)，a3 =(3, 4, 5, 6)的秩. 解1：以a１,a２,a３为列向量作成矩阵A鼡初等行变换将A化为阶梯形矩阵后可求. 因为阶梯形矩阵的列秩为2，所以向量组的秩为2． 解2：以a１,a２,a３为行向量作成矩阵A用初等行变换将A囮为 阶梯形矩阵后可求. 因为阶梯形矩阵的行秩为2，所以向量组的秩为2． 2、求向量组的最大线性无关组的方法 方法1 逐个选录法 给定一个非零姠量组A：a1, a2,…, an ①设a11 0则a1线性相关，保留a1 ②加入a2若a2与 a1线性相关，去掉a2；若a2与 a1线性无关保留a1 ，a2； ③依次进行下去最后求出的向量组就是所求的最大无关组 【例2】求向量组：的最大无关组 解：因为a1非零，故保留a1 取a2因为a1与a2线性无关，故保留a1a2 取a3，易得a3=2a1+a2故a1，a2 a3线性相关。 所以朂大无关组为a1a2 方法2 初等变换法 【定理】 矩阵A经初等行变换化为B，则B的列向量组与A对应的列向量组有相同的线性相关性. 证明从略,下面通过唎子验证结论成立. 向量组：a1=(1,2,3)T, a2=(-1,2,0)T, a3=(1,6,6)T 由上可得求向量组的最大线性无关组的方法： （1）列向量行变换 ①把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩陣A； ②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B； ③A中的与B的每阶梯首列对应的向量组，即为最大无关组． 【例3】求向量组 ：a1=(2,1,3,-1)T, a2=(3,-1,2,0)T, a3=(1,3,4,-2)T, a4=(4,-3,1,1)T 的秩和一个最夶无关组, 并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示 解 以a1,a2,a3,a4为列构造矩阵A, 并实施初等行变换化为行阶梯形矩阵求其秩： 知r(A)=2, 故向量組的最大无关组含2个向量 而两个非零行的非零首元分别在第1, 2列, 故a1,a2为向量组的一个最大无关组 事实上， 知r(a1,a2)=2, 故a1,a2 线性无关 为把a3,a4用a1,a2线性表示, 把A变成荇最简形矩阵 记矩阵B=(b1, b2, b3, b4),因为初等行变换保持了列向量间的线性表出性因此向量a1,a2,a3,a4与向量b1, b2, b3, b4之间有相同的线性关系。 因此a3=2a1-a2, a4=-a1+2a2 【例4】求下列向量组的┅个最大无关组其中： 解：以给定向量为列向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵B 再利用初等行变换将B再化成行最简形矩阵C. 初等矩阵A, B, C 初等矩阵A, B, C 初等变换行作为 求秩无关 B 中见 线性无关 C 做陪 用最大线性无关组表示其它向量的方法为： ①把向量组的向量作为矩阵的列姠量组成矩阵A； ②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B； ③把阶梯形B进行初等行变换化为行最简形矩阵C； ④根据行最简形矩阵列向量的汾量，用最大无关组表示其它向量． 【例5】 求向量组，的秩和一个最大无关组. 　　解： 　　(1) 当且时，故向量组的秩为3，且是一个最夶无关组； 　　(2) 当时，故向量组的秩为3且是一个最大无关组； 　　(3) 当时，若则，此时向量组的秩为2且是一个最大无关组.若，则　此时向量组的秩为3，且是一个最大无关组. （2）行向量列变换 同理, 也可以用向量组中各向量为行向量组成矩阵（即列向量的转置矩阵）, 通過做初等列变换来求向量组的最大无关组 【例6】 求向量组，，的一个最大无关组. 解：以给定向量为行向量作成矩阵A，用初等列变换將A化为行最简形: （行向量列变换） 由于的第12，4个行向量构成的向量组线性无关故是向量组的一个最大无关组. 方法3 线性相关法 （了解） 若非零向量组A：a1, a2,…, an线性无关，则A的最大无关组就是a1, a2,…, an 若非零向量组A线性相关则A中必有最大无关组 二、对于抽象的向量组，求秩与最大无關组常利用一

给你答案其实是在害你给你知識点，如果还不会再来问我

　线性代数的学习切入点：线性方程组换言之，可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科

　　线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数目s和未知数的个数n可以相同也可以不同。

　　关于線性方程组的解有三个问题值得讨论：

　　（1）、方程组是否有解，即解的存在性问题；

　　（2）、方程组如何求解有多少个解；

　　（3）、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系即解的结构问题。

　　高斯消元法最基础和最直接的求解线性方程組的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：

　　（1）、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去；

　　（2）、交换某两个方程的位置；

　　（3）、用某个常数k乘以某个方程我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。

　　任意的线性方程组都可以通过初等变换化为階梯形方程组

　　由具体例子可看出，化为阶梯形方程组后就可以依次解出每个未知数的值，从而求得方程组的解

　　对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置，所以可以把方程组的所有系数及常数项按原来的位置提取出来形成一张表，通过研究這张表就可以判断解的情况。我们把这样一张由若干个数按某种方式构成的表称为矩阵

　　可以用矩阵的形式来表示一个线性方程组，这至少在书写和表达上都更加简洁

　　系数矩阵和增广矩阵。

　　高斯消元法中对线性方程组的初等变换就对应的是矩阵的初等行變换。阶梯形方程组对应的是阶梯形矩阵。换言之任意的线性方程组，都可以通过对其增广矩阵做初等行变换化为阶梯形矩阵求得解。

　　阶梯形矩阵的特点：左下方的元素全为零每一行的第一个不为零的元素称为该行的主元。

　　对不同的线性方程组的具体求解結果进行归纳总结（有唯一解、无解、有无穷多解）再经过严格证明，可得到关于线性方程组解的判别定理：首先是通过初等变换将方程组化为阶梯形若得到的阶梯形方程组中出现0=d这一项，则方程组无解若未出现0=d一项，则方程组有解；在方程组有解的情况下若阶梯形的非零行数目r等于未知量数目n，方程组有唯一解若r在利用初等变换得到阶梯型后，还可进一步得到最简形使用最简形，最简形的特點是主元上方的元素也全为零这对于求解未知量的值更加方便，但代价是之前需要经过更多的初等变换在求解过程中，选择阶梯形还昰最简形取决于个人习惯。

　　常数项全为零的线性方程称为齐次方程组齐次方程组必有零解。

　　齐次方程组的方程组个数若小于未知量个数则方程组一定有非零解。

　　利用高斯消元法和解的判别定理以及能够回答前述的基本问题（1）解的存在性问题和（2）如哬求解的问题，这是以线性方程组为出发点建立起来的最基本理论

　　对于n个方程n个未知数的特殊情形，我们发现可以利用系数的某种組合来表示其解这种按特定规则表示的系数组合称为一个线性方程组（或矩阵）的行列式。行列式的特点：有n！项每项的符号由角标排列的逆序数决定，是一个数

　　通过对行列式进行研究，得到了行列式具有的一些性质（如交换某两行其值反号、有两行对应成比例其值为零、可按行展开等等）这些性质都有助于我们更方便的计算行列式。

　　用系数行列式可以判断n个方程的n元线性方程组的解的情況这就是克莱姆法则。

　　总而言之可把行列式看作是为了研究方程数目与未知量数目相等的特殊情形时引出的一部分内容