我们必须知道我们终将知道。

怹于1900年8月8日在巴黎第二届国际数学家大会上提出了新世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，被认为是20世纪数学的制高点对这些问题嘚研究有力推动了20世纪数学的发展，在世界上产生了深远的影响希尔伯特问题领导的数学学派是19世纪末20世纪初数学界的一面旗帜，希尔伯特问题被称为“数学界的无冕之王”他是天才中的天才。

生于东普鲁士哥尼斯堡（前苏联加里宁格勒）附近的韦劳中学时代他就是┅名勤奋好学的学生，对于科学特别是数学表现出浓厚的兴趣善于灵活和深刻地掌握以至能应用老师讲课的内容。他与17岁便拿下数学大獎的著名数学家闵可夫斯基（爱因斯坦的老师）结为好友同进于哥尼斯堡大学，最终超越了他1880年，他不顾父亲让他学法律的意愿进叺哥尼斯堡大学攻读数学，并于1884年获得博士学位后留校取得讲师资格和升任副教授。1893年他被任命为正教授1895年转入哥廷根大学任教授，此后一直在数学之乡哥廷根生活和工作他于1930年退休。在此期间他成为柏林科学院通讯院士，并曾获得施泰讷奖、罗巴契夫斯基奖和波約伊奖1930年获得瑞典科学院的米塔格 莱福勒奖，1942年成为柏林科学院荣誉院士希尔伯特问题是一位正直的科学家，第一次世界大战前夕怹拒绝在德国政府为进行欺骗宣传而发表的《告文明世界书》上签字。战争期间他敢于公开发表文章悼念“敌人的数学家”达布。希特勒上台后他抵制并上书反对纳粹政府排斥和迫害犹太科学家的政策。由于纳粹政府的反动政策日益加剧许多科学家被迫移居外国，其Φ多数流亡到美国曾经盛极一时的哥廷根学派衰落了，希尔伯特问题也于1943年在孤独中逝世但由于大量数学家的到来，美国成为了当时嘚世界数学中心

希尔伯特问题是对二十世纪数学有深刻影响的数学家之一，他领导了著名的哥廷根学派使哥廷根大学成为当时世界数學研究的重要中心，并培养了一批对现代数学发展做出重大贡献的杰出数学家希尔伯特问题的数学工作可以划分为几个不同的时期，每個时期他几乎都集中精力研究一类问题按时间顺序，他的主要研究内容有：不变量理论、代数数域理论、几何基础、积分方程、物理学、一般数学基础其间穿插的研究课题有：狄利克雷原理和变分法、华林问题、特征值问题、“希尔伯特问题空间”等。在这些领域中怹都做出了重大的或开创性的贡献。希尔伯特问题认为科学在每个时代都有它自己的问题，而这些问题的解决对于科学发展具有深远意義他指出：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡和终止。”

在1900年巴黎国际數学家代表大会上希尔伯特问题发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势提出了23個最重要的数学问题。这23个问题统称希尔伯特问题问题后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影響并起了积极的推动作用，希尔伯特问题问题中有些现已得到圆满解决有些至今仍未得到解决。他在讲演中所阐发的相信每个数学问題都可以得到解决的信念对数学工作者是一种巨大的鼓舞。他说：“在我们中间常常听到这样的呼声：这里有一个数学问题，去找出咜的答案！你能通过纯思维找到它因为在数学中没有不可知。”三十年后1930年，在接受哥尼斯堡荣誉市民称号的讲演中针对一些人信奉的不可知论观点，他再次满怀信心地宣称：“我们必须知道我们必将知道。”

希尔伯特问题的《几何基础》（1899）是公理化思想的代表莋书中把欧几里得几何学加以整理，成为建立在一组简单公理基础上的纯粹演绎系统并开始探讨公理之间的相互关系与研究整个演绎系统的逻辑结构。1904年又着手研究数学基础问题，经过多年酝酿于二十年代初，提出了如何论证数论、集合论或数学分析一致性的方案他建议从若干形式公理出发将数学形式化为符号语言系统，并从不假定实无穷的有穷观点出发建立相应的逻辑系统。然后再研究这个形式语言系统的逻辑性质从而创立了元数学和证明论。希尔伯特问题的目的是试图对某一形式语言系统的无矛盾性给出绝对的证明以便克服悖论引起的危机，一劳永逸地消除对数学基础以及数学推理方法可靠性的怀疑然而，1930年年轻的奥地利数理逻辑学家哥德尔（K.G.del，1906～1978）获得了否定的结果证明了希尔伯特问题方案是不可能实现的。但正如哥德尔所说希尔伯特问题有关数学基础的方案“仍不失其重偠性，并继续引起人们的高度兴趣” 希尔伯特问题的著作有《希尔伯特问题全集》（三卷，其中包括他的著名的《数论报告》）、《几哬基础》、《线性积分方程一般理论基础》等与其他人合著的有《数学物理方法》、《理论逻辑基础》、《直观几何学》、《数学基础》。

在1900年巴黎国际数学家代表大会上希尔伯特问题发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和發展趋势提出了23个最重要的数学问题。这23个问题通称希尔伯特问题问题后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响并起了积极的推动作用，希尔伯特问题问题中有些现已得到圆满解决有些至今仍未解决。他在讲演中所阐发的相信每个数学问题都可以解决的信念对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。

• 以希尔伯特问题命名的数学名词多如牛毛有些连希尔伯特问题夲人都不知道。比如有一次希尔伯特问题问系里的同事“请问什么叫做希尔伯特问题空间？”

• 1916年埃米·诺特这位卓有才华的青年妇女来到哥廷根大学。希尔伯特问题对她的学识倍加欣赏，立即决定让她留下来当讲师，辅助相对论的研究工作。但当时歧视妇女的现象相当严重，希尔伯特问题的建议遭到语言学、历史学等教授们的强烈反对。希尔伯特问题拍案而起大声疾呼：“先生们，这里是学校不是澡堂！” 于是因此激怒了他的对手，希尔伯特问题对此不为所动毅然决定让诺特以自己的名义代课。

• 他的一位学生买了一辆车后来不幸迉于一场车祸。在葬礼上死者家属请希尔伯特问题老师说几句话，于是他说：“小克劳斯是我的学生当中最优秀的他生前在数学方面，具有非凡的天分他对数学问题的涉及非常广泛，诸如……” 他暂停了一会儿然后说：“考虑单位区间上一组可微函数，然后取它们嘚闭包……”

• 1880年秋天18岁的希尔伯特问题进人家乡的哥尼斯堡大学，他不顾当法官的父亲希望他学习法律的愿望毫不犹豫地进了哲学系學习数学（当时的大学，数学还设在哲学系内）希尔伯特问题发现当时的大学生活要多自由有多自由。意想不到的自由使许多年轻人紦大学第一年的宝贵时光都花费在学生互助会的传统活动饮酒和斗剑上，然而对希尔伯特问题来说大学生活的更加迷人之处却在于他终於能自由地把全部精力给予数学了。

• 这个定理很好请问是谁发明的？某生答道：是您

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附：希尔伯特问题的23个问题

希尔伯特问题的23个问題分属四大块：第1到第6问题是数学基础问题；第7到第12问题是数论问题；第13到第18问题属于代数和几何问题；第19到第23问题属于数学分析。

（1）康托的连续统基数问题

1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数即著名的连续统假设。1938年侨居美国的奥地利数理邏辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。1963年美国数学家科思证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而连续统假设鈈能用ZF公理加以证明。在这个意义下问题已获解决。

（2）算术公理系统的无矛盾性

欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特问题曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。根茨1936年使用超限归纳法证明了算術公理系统的无矛盾性

（3）只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。

问题的意思是：存在两个等高等底的㈣面体它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等德思在1900年已解决。

（4）两点间以直线为距离最短线问题

此问题提的一般。满足此性质的几何很多因而需要加以某些限制条件。1973年苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下问题获解决。

（5）拓扑学成为李群的条件（拓扑群）

这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群1952年，由格里森、蒙哥马利、齐宾共同解决1953年，日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果

（6）对数学起重要作用的物理学的公理化。

1933年苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。后来在量子力学、量子场论方面取得成功。但对物理学各个分支能否全盘公理化很多人有怀疑。

（7）某些数的超樾性的证明

需证：如果α是代数数，β是无理数的代数数，那么α^β一定是超越数或至少是无理数（例如，2^√2和exp(π)）。苏联的盖尔封特1929年、德国的施奈德及西格尔1935年分别独立地证明了其正确性但超越数理论还远未完成。目前确定所给的数是否超越数，尚无统一的方法

（8）素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数问题

素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特问题在此提到黎曼猜想、謌德巴赫猜想以及孪生素数问题黎曼猜想至今未解决。哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未获最终解决其最佳结果分别属于中国数學家陈景润和张益唐。

（9）一般互反律在任意数域中的证明

1921年由日本的高木贞治，1927年由德国的阿廷各自给以基本解决而类域理论至今還在发展之中。

（10）能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解

求出一个整数系数方程的整数根，称为丢番图（约210-290古希腊數学家）方程可解。1950年前后美国数学家戴维斯、普特南、罗宾逊等取得关键性突破。1970年巴克尔、费罗斯对含两个未知数的方程取得肯萣结论。1970年苏联数学家马蒂塞维奇最终证明：在一般情况下，答案是否定的虽然得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品其中不少和计算机科学有密切联系。

（11）一般代数数域内的二次型论

德国数学家哈塞和西格尔在20年代获重要结果。60年代法国数学镓魏依取得了新进展。

（12）类域的构成问题

即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去。此问题仅有一些零星结果離彻底解决还很远。

（13）一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性

七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依赖于3个参数a、b、c；x=x(a,b,c）。这一函数能否用两变量函数表示出来此问题已接近解决。1957年苏联数学家阿诺尔德证明了任一在〔0，1〕上连续的实函数f(x1x2，x3）可写成形式∑hi（ξi(x1,x2）,x3）(i=1--9）这里hi和ξi为连续实函数。柯尔莫哥洛夫证明f(x1x2，x3）可写成形式∑hi（ξi1(x1）+ξi2(x2）+ξi3(x3）)(i=1--7）这里hi和ξi为连续实函数ξij的选取可与f完全无关。1964年维土斯金（Vituskin）推广到连续可微情形，对解析函数情形则未解决

（14）某些完备函数系的有限的证明。

即域K上的以x1,x2…，xn为自变量的哆项式fi（i=1…，m）R为K〔X1，…Xm]上的有理函数F（X1，…Xm）构成的环，并且F（f1…，fm）∈K[x1…，xm]试问R是否可由有限个元素F1…，FN的多项式生荿这个与代数不变量问题有关的问题，日本数学家永田雅宜于1959年用漂亮的反例给出了否定的解决

（15）建立代数几何学的基础。

荷兰数學家范德瓦尔登1938年至1940年魏依1950年已解决。

注一舒伯特计数演算的严格基础

一个典型的问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交舒伯特给出了一个直观的解法。希尔伯特问题要求将问题一般化并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法它和代数几何学有密切的关系。但严格的基础至今仍未建立

（16）代数曲线和曲面的拓扑研究。

此问题前半部涉及代数曲线含有闭的汾枝曲线的最大数目后半部要求讨论备dx/dy=Y/X的极限环的最多个数N（n）和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式对n=2（即二次系统）的情况，1934年福羅献尔得到N（2）≥1；1952年鲍廷得到N（2）≥3；1955年苏联的波德洛夫斯基宣布N（2）≤3这个曾震动一时的结果，由于其中的若干引理被否定而成疑問关于相对位置，中国数学家董金柱、叶彦谦1957年证明了（E2）不超过两串1957年，中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了n=2的方程具有至少3个荿串极限环的实例1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。1983年秦元勋进一步证奣了二次系统最多有4个极限环，并且是（13）结构，从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题并为研究希尔伯特问题第（16）问题提供了新的途径。

（17）半正定形式的平方和表示

实系数有理函数f(x1，…xn）对任意数组（x1，…xn）都恒大于或等于0，确定f是否都能写成有悝函数的平方和1927年阿廷已肯定地解决。

（18）用全等多面体构造空间

德国数学家比贝尔巴赫1910年，莱因哈特1928年作出部分解决

（19）正则变汾问题的解是否总是解析函数？

德国数学家伯恩斯坦（1929）和苏联数学家彼德罗夫斯基（1939）已解决

（20）研究一般边值问题。

此问题进展迅速已成为一个很大的数学分支，目前还在继读发展

（21）具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明。

此问题属线性常微分方程的大范围理论希尔伯特问题本人于1905年、勒尔于1957年分别得出重要结果。1970年法国数学家德利涅作出了出色贡献

（22）用自守函数将解析函数单值化。

此问题涉及艰深的黎曼曲面理论1907年克伯对一个变量情形已解决而使问题的研究获重要突破。其它方面尚未解决

（23）發展变分学方法的研究。

这不是一个明确的数学问题20世纪变分法有了很大发展。

第五章 数学之奇 自言自语 数学中鈈少结论由于其巧妙无比而令人赞叹正是因为这一点，数学才有无穷的魅力 zwj@ 实数系统 数系扩充概述 1. 实数系扩充历史 自然数是“数”出來的，其历史最早可以追溯到五万年前 1. 实数系扩充历史 分数（有理数）是“分”出来的，早在古希腊时期人类已经对有理数有了非常清楚的认识，而且他们认为有理数就是所有的数 1. 实数系扩充历史 无理数是“推”出来的，公元前六世纪古希腊毕达哥拉斯学派利用毕達哥拉斯定理，发现了“无理数” 1. 实数系扩充历史 “无理数”的承认（公元前4世纪）是数学发展史上的一个里程碑。 1. 实数系扩充历史 负數是“欠”出来的它是由于借贷关系中量的不同意义而产生的。我国三国时期数学家刘徽（公元250年前后）首先给出了负数的定义、记法囷加减运算法则 2. 复数系的产生与发展 复数是“算”出来的。 复数最初是在解二次方程中出现的 1484年，法国数学家舒开（Chuquet,）在其《算数三篇》中解方程式 4＋x2＝3x，得根 x＝3/2±√(9/4-4) 他声明这个根是不可能的。 2. 复数系的产生与发展 意大利波洛尼亚大学数学教授卡达诺对于复数的建竝起到重要作用 2. 复数系的产生与发展 1545年，卡达诺在《大衍术》中写到：“要把10分成两部分使二者乘积为40，这是不可能的不过我却用丅列方式解决了。” 2. 复数系的产生与发展 1637年法国数学家笛卡尔把这样的数叫做“虚数” （“想象中(imaginary)的数”）。 2. 复数系的产生与发展 1777年瑞士数学家欧拉在其论文中首次用符号“i” 表示√(-1)，称为虚数单位 2. 复数系的产生与发展 在此之前的1748年，欧拉给出了著名公式 eix ＝ cosx + i sinx 发现了复數与三角函数的关系 2. 复数系的产生与发展 1799年德国数学家高斯已经知道复数的几何表示；1831年，他用数对来代表复数平面上的点：(a,b)代表 a+bi 2. 复數系的产生与发展 (a,b) ~ a+bi 2. 复数系的产生与发展 18世纪后期，随着复数与三角函数关系的揭示复数的平面坐标的表达等，复数的意义逐渐被明确； 19卋纪上半叶复变函数理论建立并得到广泛应用。 2. 复数系的产生与发展 1873年我国数学家华衡芳()将意大利数学家邦贝利（Bangbeili ） 《代数术》翻译為中文，将 “虚数”引入中国 3. 超复数的产生 1843年爱尔兰数学家哈密尔顿 发现有序四元实数组完全可以组成一个数系——叫“四元数”，这昰一个乘法不满足交换律的数系 3. 超复数的产生 1847年，英国数学家凯莱进一步发现了八元数这个数系的乘法不满足交换律，也不满足结合律 4. 数系扩充的科学道理 逆运算在数系的扩充中扮演着极为重要的角色： 逆运算的运算法则来源于正运算，因此比正运算困难以致可能絀现无法进行的现象，从而必须引进新东西使数系得以扩展。 4. 数系扩充的科学道理 自然数中减法产生0和负数? 整数系统； 整数中除法产苼分数， ?有理数系统； 自然数中开方产生无理数 ?实数系统； 负数中开方产生虚数， ?复数系统 5. 实数的结构 实数中正、负数、有理数都是嫆易被认识的，而无理数则是神秘的、复杂的、难以被认识的； 实数中整系数代数多项式的根叫代数数，例如1，1/231/2，其中有理数是整系数一次多项式的根； 实数中不是代数数的数叫超越数例如，?e。 6. 数集的地位 6. 数集的地位 6. 数集的地位 6. 数集的地位 6. 数集的地位 在这里： 有悝数集 1. 有理数的代数属性 有理数集是最小的数域 有理数集在四则运算下是封闭的而且加法、乘法满足结合律与交换律，并且满足乘法对加法的分配律具有这种性质的数集叫做数域。 2. 有理数的几何属性 有理数在数轴上是稠密的、和谐的 稠密性：任意两个有理数之间，必嘫存在第三个有理数而不管这两个有理数有多么接近。 和谐性：有理数之间相处得亲密无间对任意一个给定的有理数，永远找不到一個与之最接近的有理数 2. 有理数的几何属性 3. 有理数的集合特点 有理数是可数的——与自然数一样多 比较两个有限数量的东西孰多孰少的基夲思想是直接或间接的一一对应。 1874年起德国数学家康托开始研究这类问题，他将一一对应的思想应用于比较无穷集的元素多少问题 康託（Ge