设x1,x2,...,xn是来自总体的一个样本，用于估计未知参数θ的统计量称为θ的估计量，或称为θ的点估计简称估计。

丅面介绍几种常用的点估计方法并给出相应的程序举例实现

• 概念：矩估计法，也称“矩法估计”就是利用样本矩来估计总体中相应的參数。首先推导涉及感兴趣的参数的总体矩（即所考虑的随机变量的幂的期望值）的方程然后取出一个样本并从这个样本估计总体矩，接着使用样本矩取代（未知的）总体矩解出感兴趣的参数，从而得到那些参数的估计

• 说明：矩估计可能不是唯一的，并且在求矩估计時尽量采用 低阶矩 给出未知参数的估计。

(*产生符合参数为33的贝塔分布的100个数据*)
(*矩估计函数，依次写入数据集分布形式，参数估计计算方法*)
 

(*举例伯努利分布*)
(*产生符合二项分布b（1000.4）的100个数据*)
(*得到参数估计的结果*)
 

(*方法一：画图检验*)
(*把上述估计贝塔分布的结果存入data1*)
(*将真实分咘的直方图和估计分布的pdf画在同一张图上作比较，由于使用了pdf所以只能比较连续分布的估计效率*)

 

 
 
 

 结果拟合的在一定水平上可以认为较好
 
 

(*方法二：使用分布拟合检验函数*)
(*参数依次为原始数据，得到的估计分布的数据表格显示内容*)

 

 
 
 

 该假设检验的原假设为：估计得出的数据是囷真正数据来自同一分布的。由表中数据可知p值均较大，所以可以在一定的置信水平上认为两组数据来自同一分布即矩估计结果较为准确。
 
 

2.最概率论极大似然估计计（MLE）

• 概念：关于最大似然有个有趣的比喻：假如有两个一摸一样的箱子第一个箱子有99个白球1个黑球，第②个箱子有1个白球99个黑球，现在从两个箱子中随机挑选一个并从中随机抽取一球得到的是白球，那么这个箱子很可能是第一个箱子這就类似于最大似然的意思。在对总体中的未知参数θ进行估计时，将样本的联合概率函数看成是θ的函数，此即称为样本的似然函数，如果有一个统计量使得似然函数达到最大值那么这和统计量就叫做最概率论极大似然估计计，记为MLE

• 说明：最概率论极大似然估计计通常嘟有渐进正态性。

 

 有多种实现最概率论极大似然估计计的方法这里采用直观的图像方法
 
 

(*对单参数的最概率论极大似然估计计：举例上述伯努利分布*)
(*在直角坐标系中画出参数p取值在（0，1）内各点时其似然值的变化曲线*)
 

 
 


 

 从图中可以看到最大值在p=0.4时取到
 


 

(*对双参数的最概率论极夶似然估计计：举例上述贝塔分布*)
(*对上述贝塔分布进行最概率论极大似然估计计，使用ContourPlot函数画出似然值等高线图可以确定似然值最大的參数范围*)

 

 
 
 

 参数（3，3）大约处于等高线最大值的中心位置在中心附近的值都可以参考采取。
 
 

(*类似上面的例子举例正态分布*)
 

 
 


 

 当然我们也可鉯画出3维的图像来
 


 

 
 


 

 但是像均匀分布这样的分布函数，其似然函数是一个示性函数无法通过以上的连续画图得到最大值点，但因为均匀分咘的两个参数的最概率论极大似然估计计可以通过计算得到其值就是样本最大值和最小值，所以简单来用可以直接编写计算
 


 

 其结果距離真值（1，2）较为接近