求解流程图微分方程求解总结折线积分凑全微分定积分轉为z的一阶线性关于u一阶二阶变系数二阶一阶二阶常系数解的结构PP一、一阶微分方程求解一阶标准类型方程求解关键:辨别方程类型,掌握求解步骤一阶非标准类型方程求解()变量代换法mdashmdash代换自变量代换因变量代换某组合式()积分因子法mdashmdash选积分因子,解全微分方程四个标准类型:可分离變量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程例求下列方程的通解提示:()故为分离变量方程:通解、一阶标准类型方程两边同除以x即为齐次方程,令y=ux,化為分离变量方程调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解化为方法这是一个齐次方程方法化为微分形式故这是一个全微分方程唎求下列方程的通解:提示:()令u=xy,得()将方程改写为(伯努利方程)(分离变量方程)原方程化为二、非标准类型：令y=ut(齐次方程)令t=xndash,则可分离变量方程求解化方程为变方程为两边乘积分因子用凑微分法得通解:例设F(x)＝f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(－infin,infin)内满足以下条件:()求F(x)所满足的一阶微分方程()求出F(x)的表达式解:()所以F(x)满足嘚一阶线性非齐次微分方程:()由一阶线性微分方程解的公式得于是二、两类二阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法mdash降阶法令令逐次积分求解二阶线性微分方程的解法常系数情形齐次非齐次代数法二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:()写出相应的特征方程()求出特征方程的两个根()根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规则写出微分方程的通解求解二阶常系数线性方程非齐通解齐次通解非齐特解难點：如何求特解？方法：待定系数法()上述结论也可推广到高阶方程的情形解答提示P题求以为通解的微分方程提示:由通解式可知特征方程的根为故特征方程为因此微分方程为P题求下列微分方程的通解提示:()令则方程变为特征根:齐次方程通解:令非齐次方程特解为代入方程可得思考若()中非齐次项改为提示:原方程通解为特解设法有何变化P题()求解提示:令则方程变为积分得利用再解并利用定常数思考若问题改为求解则求解過程中得问开方时正负号如何确定思考:设提示:对积分换元,则有解初值问题:答案: