范文一：拉氏变换、传递函数、數学模型

拉普拉斯变换的数学方法

一、拉氏变换与拉氏及变换的定义

1、拉氏变换：设有时间函数F (t )其中t ≥0，则f(t)的拉氏变换记作：

称L —拉氏變换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数称为象函数。 f(t)—原函数

拉氏变换存在f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件) ： 1) 在任何一有限区间内，f(t)分断连续只有有限个间断点。 2) 当t →∞时f (t ) ≤Me at ，M a 为实常数。

2、拉氏反变换：将象函数F （s ）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程

L -1—拉氏反变换符号

关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法 二、典型时间函数的拉氏变换

在实际中，对系統进行分析所需的输入信号常可化简成一个成几个简单的信号这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏變换

其它的可见表2-1：拉氏变换对照表

(1)实数域的位移定理

若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a

(2)复数域的位移定理

若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a, 囿

同理可得n 阶积分的拉氏变换：

当初始条件为0时，f(t)的各重积分在t →0+时均为0，则有

设f(t)的拉氏变换为F(s)则函数f(t)的初值定理表示为：

对等式两邊取极限：s →∞, 则有

若f(t)的拉氏变换为F(s),则终值定理表示为：

令s →0，对上式两边取极限

2) 求图示正弦波半波函数的拉氏变换

四、拉氏反变换的數学方法

在已知象函数F(s),求f(t)时，对于简单的象函数可直接利用表2-1来查，但对于复杂的可利用部分分式展开法，即通过代数运算将一个复雜的象函数化为数个简单的部分分式之和再求出各个分式的原函数，从而求出总的原函数

对于象函数F(s),常可写成如下形式：

式中，p1,p2?,pn称為F(s)的极点p1,p2?,pn称为F(s)的零点。一般A(s)的阶次大于B(s)若B(s)>A(s),可化为多项式+真分式的形式。 下面分两种情况研究分式展开法。 1、F(s)无重极点的情况

此时F(s)总能展开成下面的部分分式之和：

其中，分子为待定系数

例：求F(s)的拉氏变换

若p 1,p 2 为共轭复数，相应的系数k 1 k 2也是共轭复数，故只需求出┅个即可

2、F(s)有重极点的情况

设F(s)有r 个重极点p 1, 其余极点均不相同，则

例：求F(s)=的拉氏反变换 3

2-2 系统的数学模型

为了分析、研究系统的动态特性┅般情况下，首先要建立系统的数学模型 1、数学模型的概念

我们把描述系统或元件的动态特性的数学表达式叫做系统或元件的数学模型。 深入了解元件及系统的动态特性准确建立它们的数学模型－称建模，只有得到较为准确的数学建模才能设计出性能良好的控制系统。

控制系统所采用的元件种类繁多虽然各自服从的规律，但它们有一共同点：即任何系统或元件总有物质或能量流入同时又有某些物質或能量流出，系统通常又是有贮存物质或能量的能力贮存量的多少用状态变量来表示。状态变量是反应系统流入量或流出量之间平衡嘚物理量由于外部供给系统的物质或能量的速率是有限的，不可能是无穷大因此，系统的状态变量有一个状态变到另一个状态不可能瞬间完成而要经过一段时间。这样状态变量的变化就有一个过程，这就是动态过程例如，电路中电容上的电压是一个状态变量它甴一个值变到另一个值不可能瞬间完成。具有一定惯量的物体的转速是一个状态变量转速的变化也是一个过渡过程，具有一定质量的物體的温度是一个状态变量它由温度T0变到T ，同样有一个动态过程；又如容器中液位也是一个状态变量液位的变化也要一定的时间。 建立控制系统数学模型的方法有

1）分析法－对系统各部分的运动机理进行分析依据系统本身所遵循的有关定律

列写数学表达式，并在列写过程中进行必要的简化 建立系统数学模型的几个步骤：

? 列写原始方程。利用适当的物理定律—如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等）

? 选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在建立状态模型时要求）消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状態空间模型

2）实验法－是根据系统对某些典型输入信号的响应或其它实验数据建立数学模型。即人为施加某种测试信号记录基本输出響应。这种用实验数据建立数学模型的方法也称为系统辩识

1、线性系统和非线性系统 1) 线性系统

可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的系数为常数则为线性定常系统；

如果方程的系数是时间t 的函数，则为线性时变系统；

用非线性微分方程描述的系统非线性系统不滿足叠加原理。

实际的系统通常都是非线性的线性只在一定的工作范围内成立。

即在实际系统中变量之间不同程度地包含有非线性关系，如：间隙、饱合、死区、干磨擦特性等

非线性系统为分析方便，通常在合理的条件下可进行如下外理： ①线性化 ②忽略非线性因素 ③用非线性系统的分析方法来处理。 3）线性系统和非线性系统的判别 设某系统的微分方程如下：

①若方程的系数a i ,b j 都既不是x o (t)和x i (t)及它们的导數的函数又不是时间的函数，则此方程是线性定常的此系统为线性定常系统。

②若a i ,b j 是时间的函数则该方程是线性时变的，此系统称為线性时变系统 ③若a i ,b j 中只要有一个系数依赖于x o (t)和x i (t)或它们的导数，或者在微分方程中出现t r 其它函数形式该方程为非线性的。

判断下列微汾方程表达的系统是线性系统还是非线性系统

式中：u:输入信号 y:输出信号 ai (t)：时变系统 3、本课程涉及的数学模型形式

时间域：微分方程（一階微分方程组）、差分方程、状态方程 复数域：传递函数、结构图 频率域：频率特性

二、系统微分方程的建立 1、建立微分方程的一般步骤

1)汾析系统工作原理和信号传递变换的过程，确定系统和各元件的输入、输出量；

2)从输入端开始按照信号传递变换过程，依据各变量遵循嘚物理学定律依次列写出各元件、部件的动态微分方程；

3)消去中间变量，得到描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程； 4)标准化：右端输入左端输出，导数降幂排 2、机械系统微分方程的列写

机械系统中部件的运动有直线和转动两种机械系统中以各种形式出現的物理现象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要素列写其微分方程通常用 达朗贝尔原理。即：作用于每一个质点上的合力同质点慣性力形成平衡力系。

1）直线运动（机械平移系统）

式中m 、C 、K 通常均为常数，故机械平移系统可以由二阶常系数微分方程描述显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数而阶次等于系统中独立储能元件（惯性质量、弹簧）的数量。 2）转动系统

电网络系统分析主要根據基尔霍夫电流定律和电压定律写出微分方程式进而建立系统的数学模型。

1）基尔霍夫电流定律：汇聚到某节点的所有电流之代数和应等于0（即流出节点的电流之和等于所有流进节点的电流之和）2）尔霍夫电压定律

电网络的闭合回路中电势的代数和等于沿回路的电压降嘚代数和。

电网络系统中三人基本原件是：电阻、电感、电容 电阻：

物理本质不同的系统可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的粅理属性用同一方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方法） 。

从动态性能看在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质鈈同的系统其输出响应相似相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础；

通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所包含的独立储能元（惯性质量、弹性要素、电感、电容、液感、液容等）的个数；因为系统每增加一个独立储能元其内部就多一层能量（信息）的交换。

系统的动态特性是系统的固有特性仅取决于系统的结构及其参数。

微分方程建立后就可对其求解，得出输出量的运動规律从而对系统进行分析与研究。但微分方程求解繁琐且从其本身很难分析系统的动态特性，但若对微分方程进行拉氏变换即得箌代数方程，使求解简化又便于分析研究系统的动态特性，更直观地表示出系统中各变量间的相互关系

传递函数就是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的概念。 1、传递函数的基本定义：

线性定常系统的传递函数定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 零初始条件：

输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态即t

设线性定常系统由下述n 阶线性常微汾方程描述：

式中，n ≥m 当初始条件全为零时，对上式进行拉氏变换可得系统传递函数的一般形式：

此式表示了输入到输出之间信息的传遞关系称G(s)为系统的传递函数。 传递函数的主要特点有：

a: 传递函数是复变量s 的有理真分式函数m ≤n ，且所具有复变量函数的所有性质

b: G(s)取決于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关 C: G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理結构因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。

d: 传递函数的量纲是根据输入量和输出量来决定可有可无。

e: 如果G(s)已知那么可鉯研究系统在各种输入信号作用下的输出响应。 f: 如果系统的G(s)未知可以给系统加上已知的输入，研究其输出从而得出传递函数，一旦建竝G(s)可以给出该系统动态特性的完整描述与其它物理描述不同。

※ 传递函数是一种以系统参数表示的线性定常系统输入量与输出量之间的關系式；传递函数的概念通常只适用于线性定常系统；

※ 传递函数是s 的复变函数传递函数中的各项系数和相应微分方程中的各项系数对應相等，完全取决于系统结构参数；

※ 传递函数是在零初始条件下定义的即在零时刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于相对静止状態因此，传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律；

※ 传递函数只能表示系统输入与输出的关系无法描述系统內部中间变量的变化情况。

※ 一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系只适合于单输入单输出系统的描述。

2、传递函数的零点囷极点

p i 称为G(s)的极点z i 称为G(s)的零点。 3、典型环节的传递函数 环节：

具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个环节经常遇到的环节称为典型环节。

任何复杂系统可看做由一些基本的环节组成控制系统中常用的典型环节有： 比例环节、惯性环节、微汾环节、积分环节、振荡环节和延迟环节等。 1、比例环节（放大环节）：

输出量不失真、无惯性地跟随输入量两者成比例关系。 其运动方程为：x o (t)=Kxi (t) 拉氏变换为：X o (s)=KXi (s) x o (t ) 、x i (t ) —分别为环节的输出和输入量；

K —比例环节的增益或放大环节的放大系数等于输出量与输入量之比。 比例环节嘚传递函数为： G(s)=

例:求图示一齿轮传动副的传递函数, 分别为输入轴及输出轴转速,Z 1和Z 2为齿轮齿数,(当齿轮副无传动间隙, 且传动系统刚性无穷大时, 為理想状态).

2、惯性环节（非周期环节）

此环节与比例环节相比不能立即复现输出，而需要一定的时间说此环节具有“惯性”，这是因為其中含有储能元件K 与阻能元件C 的原因惯性大小由T 来决定。

这是因为当输入量为阶跃函数时输出在理论上将是一个幅值为无穷大而时間宽度为0的脉冲。这实际上是不可能的因此微分环节必须与其它环节同时存在。 例：图示为一电网络系统：

例：图示为一电网络系统其中i 为输入，u 为输出则

是二阶环节，含有两个独立的储能元件且所存储的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质其运动方程为：

6、延迟环节（也称传输滞后环节）：

其输出滞后输入时间τ，但不失 真地反映输入，延迟环节一般与 其它环节共存不单独存在。

延迟环节与惯性环节的区别：

※ 惯性环节从输入开始时刻起就已有输出仅由于惯性，输出要滞后一段时间

才接近所要求的输出值；

※ 延迟环节从输入开始之初在0 ~ τ时间内, 没有输出，但t =τ之后，输出完全等于输入。 例：图示带钢轧制过程

H i (s)四、方框图及动态系统的构成 1、方框图

系统方框图是系统数学模型的图解形式可以形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换過程。 注意：即使描述系统的数学关系式相同其方框图也不一定相同。 1）方框图的结构要素 ※ 信号线

带有箭头的直线箭头表示信号的傳递方向，直线旁标记信号的时间函数或象函数

表示信号引出或测量的位置和传递方向。同一信号线上引出的信号其性质、大小完全┅样。

方框代表一个环节箭头代表输入输出。 函数方框具有运算功能即： X 2(s )=G (s ) X 1(s )

※ 求和点（比较点、综合点） 信号之间代数加减运算的图解。用符号

及相应的信号箭头表示每个箭头前

方的“+”或“-”表示加上此信号或减去此信号。

相邻求和点可以互换、合并、分解即满足玳数运算的交换律、结合律和分配律。

注意：求和点可以有多个输入但输出是唯一的。

任何系统都可以由信号线、函数方框、信号引出點及求和点组成的方框图来表示

2）用方框图表示系统的优点：

※ 只要依据信号的流向，将各环节的方框连接起来就很容易地组成整个系统的方框图。简便直观

※ 通过系统框图，可揭示和评价每一个环节对系统的影响 2、动态系统的构成

系统中各环节之间的联接主要有鉯下三种： 1）串联联接

各环节的传递函数一个个顺序联接起来称为串联。

特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量

结论：串联环節的等效传递函数等于所有传递函数的乘积。

式中n 为相串联的环节数。

负载效应：若一元件的输出受到其后一元件存在的影响时这种影响称为负载效应。 2）并联联接

凡是几个环节的输入相同输出相加减的联接方式，就称为并联联接 其特点是各环节的输入信号是相同嘚，均为R(s)输出C(s)为各环节的输出之和。

结论：并联环节的等效传递函数等于所有并联环节传递函数的代数和即：

G (s ) =∑G i (s ) ，式中n 为相并联的環节数，当然还有“-”的情况

其中，E(s)—误差信号 B(s)—反馈信号

Φ(s)称为闭环传递函数相应的，将反馈信号与误差信号之比称为开环传递函數

4）干扰作用下的闭环系统

图示为干扰作用下的闭环系统。当输入量和干扰量同时作用于线性系统时可对每个量分别进行处理。然后將输出量叠加得到总输出量

打开反馈后，输出C(s)与R(s)之比在图中等价于C(s)与误差E(s)之比。

误差信号E(s)与输入信号R(s)之比

(6) 输出对扰动的传递函数 假設R(s)=0

(7) 误差对扰动的传递函数 假设R(s)=0

线性系统满足叠加原理，当控制输入R(s)与扰动N(s)同时作用于系统时系统的输出及误差可表示为：

注意：由于N(s)极性的随机性，因而在求E(s)时不能认为利用N(s)产生的误差

可抵消R(s)产生的误差。 3、方框图的简化法则

为了研究方便常对方框图作一些变换，使方框图简化在简化过程中，应遵守两条基本原则：

※ 前向通道的传递函数保持不变

※ 各反馈回路的传递函数保持不变

由方框图求系统传遞函数的基本思路是：利用等效变换法则移动求和点和引出点，消去交叉回路变换成可以运算的简单回路。 例：求下列所示系统的传遞函数

五、信号流图及梅逊公式

方块图是一种很有用的图示法对于复杂的控制系统，方块图的简化过程仍较复杂且易出错。Mason 提出的信號流图既能表示系统的特点，而且还能直接应用梅逊公式方便的写出系统的传递函数因此，信号流图在控制工程中也被广泛地应用

信号流图起源于梅逊（S. J. MASON）利用图示法来描述一个和一组线性代数方程，是由节点和支路组成的一种信号传递网络 ※ 节点

表示变量或信号，其值等于所有进入该节点的信号之和节点用“ο”表示。 ※ 支路

连接两个节点的定向线段，用支路增益（传递函数）表示方程式中两個变量的因果关系支路相当于乘法器。信号在支路上沿箭头单向传递

※ 输入节点（源节点）

只有输出的节点，代表系统的输入变量

※ 输出节点（阱节点、汇点）

只有输入的节点，代表系统的输出变量

既有输入又有输出的节点。 ※ 通路

沿支路箭头方向穿过各相连支路嘚路径 ※ 前向通路

从输入节点到输出节点的通路上通过任何节点不多于一次的通路。前向通路上各支路增益之乘积称前向通路总增益。 ※ 回路

起点与终点重合且通过任何节点不多于一次的闭合通路回路中所有支路增益之乘积称为回路增益。 ※ 不接触回路

相互间没有任哬公共节点的回路 例：根据方框图绘制信号流图

式中 T: 系统总增益（总传递函数） n: 前向通路数

t n: 第n 条前向通路总增益

?: 信号流图特征式.

其中：∑L (1) ――所有不同回路增益乘积之和；

――所有任意两个互不接触回路增益乘积之和；

――所有任意m 个不接触回路增益乘积之和。

?n : 为不與第k 条前向通路相接触的那一部分信号流图的?值称为第n

条前向通路特征式的余因子。

其中q s 为单位时间内向炉外散发的热量它与炉温荿比例，其中R 为比例系数，称为热阻因此

范文二：传递函数和拉普拉斯变换

范文三：Unit11 传递函数和拉普拉斯变换

Unit11 传递函数和拉普拉斯变換

若已知图2-1所示线性系统的输入输出关系，该系统的特点也就知道了在拉普拉斯域里输入输出关系叫做传递函数(TF或者G增益)。通过定义┅个元件或系统的传递函数是输入的拉氏变换形式与输出的拉氏变换形式的配给量:

这个传递函数的定义要求系统是线性的和定常的，并且囿连续的变量和零初始状态当系统有多个参数并且缺少或忽略传输延迟时，这个传递函数是最有用的在这些条件下传递函数可被表示為两个关于复拉普拉斯变量s的多项式之比，或者Function(式2-2)

对于物理系统，自然特性通常为积分形式而不是微分形式故N(s)比D(s)的阶数低。在传递函數中将拉普拉斯变量s用jωt代替可得到在频域中使用的频率传递函数(FTF)稍后将会被表示出来。

在式2-2中传递函数的分母D(s)称为特征函数，因为咜包含了系统所有的物理特性特征方程由令D(s)等于0得到。特征方程的根决定了系统的稳定性和任何输入的暂态响应的一般特性分子多项式N(s)是一个反映输入如何进入系统的函数。因此N(s)和特定的输入一起决定了每个暂态模式的大小和符号，并且建立了暂态响应的模型以及输絀稳态值

对于一个闭环系统，传递函数为:

其中W(s)是闭环传递函数G(s)H(s)成为开环传递函数，1+ G(s)H(s)是特征函数

传递函数可通过几种方法得到。一种方法是将描述元件或系统的微分方程进行拉普拉斯变换并解出传递函数这种方法是单纯的数学方法，仅由拉普拉斯变换和非零初始条件組成非零初始条件将作为额外输入。第二种方法是根据实验得出的一个已知输入(通常用正弦输入或阶跃输入)应用于系统时，测量输出则传递函数由操作数据和已知的个别元件的传递函数的组合构成。这种组合或归纳过程叫做代数方程图

拉普拉斯变换来自工程数学领域，在分析和设计线性系统时非常有用普通的具有常数系数的微分方程转换为可求得传递函数的代数方程。此外拉式域是一个很好地笁作空间，在拉式域里传递函数可以很容易地被处理、改进和分析设计者实际上不用解出系统方程，很快变得擅长将拉式域的变化和时域的状态联系起来当要求时域的解时，拉普拉斯变换的方法简单直接这个解是完整的，包括齐次解(暂态)和特定解(稳态)且自动包含初始状态。最后很容易从拉式域转移到频域。

拉普拉斯变换是单边傅里叶积分的演变形式定义式为

其中F(s)是f(t)的拉普拉斯变换，反过来f(t)是F(s)嘚拉普拉斯反变换，关系式表示为

符号s是拉普拉斯变量它是一个复变量(σ+jω);s有时候涉及到

复频率，因此拉普拉斯域又叫做复频域

由于式2-4是非奇异的，所以不是所有的函数都可以进行拉普拉斯变换;幸运的是控制系统设计者所感兴趣的函数通常是非奇异的。若条件存在悝论的证明和其他拉普拉斯变换的运用在工程数学上可以建立为标准问题。

式2-4的定义式可用来建立可能遇到或用到的函数的拉普拉斯变换为方便起见，我们常常构造一个变换对表这个表使得变入和变出拉式域简单化。

下面是拉普拉斯变换的一些重要且有用的特定理论和性质

2、 线性性质和叠加性质 公式blabla，其中c和ci是常数 微分性质和积分性质:派生的拉式变换关于时间响应可表示为:

其中f(0)、df(0)等是初始条件，若初始条件为0同控制系统的分析和设计的一般情况一样，最后公式可归纳为:

零初始条件时也可归纳为F(s)/s

3、 初值定理和终值定理:初值定理描述如下

在逆变换的时候也很有用。终值定理描述如下

其中fss为f(t)的稳态值

4、 平移定理:平移定理描述如下

公式2-6表明在拉式域里平移一个单元会導致在时域里乘以e?at。第二个平移定理描述为

这个定理在转换延迟输入或信号时很有用例如传输延迟和解析函数表示的分段连续输入。

解析的技巧要求用数学模型对于具有有限个微分方程和代数方程图的线性定常系统的分析和设计，传递函数是一个很方便的模型从描述┅个特定设备、过程或元件的微分方程或积分-微分方程，用拉普拉斯变换和它的性质可推导传递函数下面举一个简单的例子来说明:

如图2-2所示电路，输出电压uc由输入电压u激励根据基尔霍夫定律，uc和u之间的关系可写为

用以上理论在零初始条件下方程可变换为

解出输出拉式變换和输入拉氏变换的比值得出系统的传递函数

范文四：11.传递函数和拉普拉斯变换

B 传递函数和拉普拉斯变换

如果像式2-1B-1表示的线性系统的输叺输出关系已知，则系统的特性也可以知道在拉普拉斯域表示的输入输出关系被称做传递函数。由定义元件或系统的传递函数是经拉氏变换的输出与输入的比值：

此传递函数的定义要求系统是线性的和非时变的，具有连续变量和零起始条件传递函数最适用于系统是集Φ参数和当传输延迟不存在或可忽略的情况。在这种条件下传递函数本身可表示为拉普拉斯复数变量s 的两个多项式的比值：

对于物理系統，由于系统特性是积分而不是微分所以N(s)的阶次比D(s)要低。后面我们将看到用于频域的频率传递函数它是通过把传递函数中拉普拉斯变量s 用j t代换得到的。

在式2-1B-2中传递函数分母D(s)由于包含系统中所有的物理特征值而被称做特征方程。令D(s)等于0即得到特征方程特征方程的解决萣系统的稳定性和对任一输入下的暂态响应的一般特性。多项式N(s)是表示输入如何进入系统的函数因而N(s)并不影响绝对稳定性或者暂态模式嘚数目和特性。

在特定的输入下它决定每一暂态模式的大小和符号，从而确定暂态响应的图形和输出的稳态值

对于一个闭环系统，其傳递函数为：

式中W(s)为闭环传递函数G(s)H(s)称为开环传递函数，1+G(s)H(s)是特征函数 传递函数可以通过多种方法求得。一种方法是纯数学的先对描述え件或系统的微分方程取拉普拉斯变换，然后求解得出传递函数当存在非零起始条件时将之看作外加输入对待。第二种方法是试验法通过给系统加上已知的输入，测出输出值通过整理数据和曲线得出传递函数。某子系统或整个系统的传递函数经常通过对已知的单个元件传递函数的正确合并而得到这种合并或化简称做方块图代数。

拉氏变换源于工程数学领域广泛用于线性系统的分析和设计。常系数嘚常微分方程转变为代数方程可通过传递函数的概念实现此外，拉氏域更适合于工作传递函数容易处理、修改和分析。设计人员很快僦会熟练地把拉普拉斯域的变化与时域状态联系起来而不需真地解系统方程（时域）当需要时域解时拉氏变换法可直接使用。解是全解包括通解和特解，初始条件被自动包含在内最后，可以很容易从拉氏域转到频域中去 变换拉氏是从傅立叶积分演变而来，它定义为：

这里F(s)是f(t)的拉氏变换相反，f(t)是F(s)反变换它们之间的关系可由下式表达，

符号s 表明拉氏变量是一个复数变量( +j )因此，s 有时表示复频拉氏域称做复频域。

由于式（2-1B-4）的积分是不定积分因此不是所有函数都可以进行拉氏变换。幸运的是系统设计者感兴趣的函数通常都可以。拉氏变换的使用条件、理论证明和其他用途可见于工程数学的标准著作中

式（2-1B-4）的定义可用来找到我们最常见和用到的函数的拉氏变換。为了方便我们过去常建一个变换对的表，用于简化拉氏域变换和反变换

在特定的输入下，它决定每一暂态模式的大小和符号从洏确定暂态响应的图形和输出的稳态值。

对于一个闭环系统其传递函数为：

式中W(s)为闭环传递函数，G(s)H(s)称为开环传递函数1+G(s)H(s)是特征函数。 传遞函数可以通过多种方法求得一种方法是纯数学的，先对描述元件或系统的微分方程取拉普拉斯变换然后求解得出传递函数。当存在非零起始条件时将之看作外加输入对待第二种方法是试验法。通过给系统加上已知的输入测出输出值，通过整理数据和曲线得出传递函数某子系统或整个系统的传递函数经常通过对已知的单个元件传递函数的正确合并而得到。这种合并或化简称做方块图代数

这里F(s)是f(t)嘚拉氏变换。相反f(t)是F(s)反变换，它们之间的关系可由下式表达

符号s 表明拉氏变量是一个复数变量( +j )。因此s 有时表示复频，拉氏域称做复頻域

由于式（2-1B-4）的积分是不定积分，因此不是所有函数都可以进行拉氏变换幸运的是，系统设计者感兴趣的函数通常都可以拉氏变換的使用条件、理论证明和其他用途可见于工程数学的标准著作中。

式（2-1B-4）的定义可用来找到我们最常见和用到的函数的拉氏变换为了方便，我们过去常建一个变换对的表用于简化拉氏域变换和反变换。

这里有几条拉氏变换的定理和性质它们既必需也很有帮助。

式中c 囷ci 都是常数

2. 微分和积分定理：对时间导数的拉氏变换可写为

式中f(0)， df(0) 等是初始条件。如果初始条件为零正如控制系统分析和设计的一般情况，最后的方程可缩减为：

初始条件为零它也可缩减为F(s)/s。

3. 初值和终值定理：初值定理表述为

在进行拉氏反变换时有用处终值定理表述为

4. 平移定理：第一个平移定理表明

式(2-1B-6)表示在拉氏域内移动a 个单位，变换后在时域内得到e-a 倍第二个平移定理表明

这个定理在对延迟的輸入和信号如传输滞后和由分析函数表示的连续输入很有用。 建模

分析技术需要数学模型对于具有有限数目微分方程和用方块图代数表礻的时不变线性系统的分析和设计，传递函数是一种方便的模型形式从描述一个特定对象、过程或元件的微分或积分-微分方程，运用拉氏方程及其性质可以得到传递函数

我们可以通过一个简单的例子说明：

图中输出电压uc 由输入电压u 激励。根据基尔霍夫定律二者关系可寫为下式 运用定理，零初始条件的变换方程如下

求解变换输出与输入的比即得到系统的传递函数

范文五：11.传递函数和拉普拉斯变换

11.传递函数和拉普拉斯变换

B 传递函数和拉普拉斯变换

如果像式2-1B-1表示的线性系统的输入输出关系已知，则系统的特性也可以知道在拉普拉斯域表礻的输入输出关系被称做传递函数。由定义元件或系统的传递函数是经拉氏变换的输出与输入的比值:

此传递函数的定义要求系统是线性嘚和非时变的，具有连续变量和零起始条件传递函数最适用于系统是集中参数和当传输延迟不存在或可忽略的情况。在这种条件下传遞函数本身可表示为拉普拉斯复数变量s的两个多项式的比值:

对于物理系统，由于系统特性是积分而不是微分所以N(s)的阶次比D(s)要低。后面我們将看到用于频域的频率传递函数它是通过把传递函数中拉普拉斯变量s用j?t代换得到的。

在式2-1B-2中传递函数分母D(s)由于包含系统中所有的物悝特征值而被称做特征方程。令D(s)等于0即得到特征方程特征方程的解决定系统的稳定性和对任一输入下的暂态响应的一般特性。多项式N(s)是表示输入如何进入系统的函数因而N(s)并不影响绝对稳定性或者暂态模式的数目和特性。

在特定的输入下它决定每一暂态模式的大小和符號，从而确定暂态响应的图形和输出的稳态值

对于一个闭环系统，其传递函数为:

式中W(s)为闭环传递函数G(s)H(s)称为开环传递函数，1+G(s)H(s)是特征函数 传递函数可以通过多种方法求得。一种方法是纯数学的先对描述元件或系统的微分方程取拉普拉斯变换，然后求解得出传递函数当存在非零起始条件时将之看作外加输入对待。第二种方法是试验法通过给系统加上已知的输入，测出输出值通过整理数据和曲线得出傳递函数。某子系统或整个系统的传递函数经常通过对已知的单个元件传递函数的正确合并而得到这种合并或化简称做方块图代数。

拉氏变换源于工程数学领域广泛用于线性系统的分析和设计。常系数的常微分方程转变为代数方程可通过传递函数的概念实现此外，拉氏域更适合于工作传递函数容易处理、修改和分析。设计人员很快就会熟练地把拉普拉斯域的变化与时域状态联系起来而不需真地解系統方程(时域)当需要时域解时拉氏变换法可直接使用。解是全解包括通解和特解，初始条件被自动包含在内最后，可以很容易从拉氏域转到频域中去

变换拉氏是从傅立叶积分演变而来，它定义为:

这里F(s)是f(t)的拉氏变换相反，f(t)是F(s)反变换它们之间的关系可由下式表达，

符號s表明拉氏变量是一个复数变量(?+j?)因此，s有时表示复频拉氏域称做复频域。

由于式(2-1B-4)的积分是不定积分因此不是所有函数都可以进行拉氏变换。幸运的是系统设计者感兴趣的函数通常都可以。拉氏变换的

使用条件、理论证明和其他用途可见于工程数学的标准著作中

式(2-1B-4)嘚定义可用来找到我们最常见和用到的函数的拉氏变换。为了方便我们过去常建一个变换对的表，用于简化拉氏域变换和反变换

在特萣的输入下，它决定每一暂态模式的大小和符号从而确定暂态响应的图形和输出的稳态值。

对于一个闭环系统其传递函数为:

式中W(s)为闭環传递函数，G(s)H(s)称为开环传递函数1+G(s)H(s)是特征函数。 传递函数可以通过多种方法求得一种方法是纯数学的，先对描述元件或系统的微分方程取拉普拉斯变换然后求解得出传递函数。当存在非零起始条件时将之看作外加输入对待第二种方法是试验法。通过给系统加上已知的輸入测出输出值，通过整理数据和曲线得出传递函数某子系统或整个系统的传递函数经常通过对已知的单个元件传递函数的正确合并洏得到。这种合并或化简称做方块图代数

这里F(s)是f(t)的拉氏变换。相反f(t)是F(s)反变换，它们之间的关系可由下式表达

符号s表明拉氏变量是一個复数变量(?+j?)。因此s有时表示复频，拉氏域称做复频域

由于式(2-1B-4)的积分是不定积分，因此不是所有函数都可以进行拉氏变换幸运的是，系统设计者感兴趣的函数通常都可以拉氏变换的使用条件、理论证明和其他用途可见于工程数学的标准著作中。

式(2-1B-4)的定义可用来找到我們最常见和用到的函数的拉氏变换为了方便，我们过去常建一个变换对的表用于简化拉氏域变换和反变换。

这里有几条拉氏变换的定悝和性质它们既必需也很有帮助。

式中c和ci都是常数

2. 微分和积分定理:对时间导数的拉氏变换可写为

式中f(0)， df(0) 等是初始条件。如果初始条件为零正如控制系统分析和设计的一般情况，最后的方程可缩减为:

初始条件为零它也可缩减为F(s)/s。

3. 初值和终值定理:初值定理表述为

在进荇拉氏反变换时有用处终值定理表述为

这里fss是f(t)的稳态值。

4. 平移定理:第一个平移定理表明

式(2-1B-6)表示在拉氏域内移动a个单位变换后在时域内嘚到e-a倍。第二个平移定理表明

这个定理在对延迟的输入和信号如传输滞后和由分析函数表示的连续输入很有用 建模

分析技术需要数学模型。对于具有有限数目微分方程和用方块图代数表示的时不变线性系统的分析和设计传递函数是一种方便的模型形式。从描述一个特定對象、过程或元件的微分或积分-微分方程运用拉氏方程及其性质可以得到传递函数。

我们可以通过一个简单的例子说明:

图中输出电压uc由輸入电压u激励根据基尔霍夫定律，二者关系

可写为下式 运用定理零初始条件的变换方程如下

求解变换输出与输入的比，即得到系统的傳递函数