计算机的世界每天都在发生着深刻的变化新操作系统的发布、CPU性能的提升、智能手机和平板电脑的流行、存储介质的变化、云的普及……这样的变化数不胜数。

在这样ㄖ新月异的时代中“算法”是不变的重要基石。要编写高效率的程序就需要优化算法。无论开发工具如何进化熟识并能灵活运用算法仍然是对程序员的基本要求。

本文为那些已经学习过排序、搜索等知名算法并想要学习更多有趣的算法，进一步提升编程技巧的工程師准备了四道数学谜题形式的问题这四道趣题分入门、初级、中级、高级，四种级别

100%的程序员都想挑战这四道有【等级区别】算法趣題。

在挑战之前先听小编介绍下问题的具体形式：

每个问题大致分为“问题”和“详解”两部分。

请各位先通读问题描述并动手编写程序尝试解题。在这个过程中具体的实现方法是其次，更重要的是思考“通过哪些步骤来实现才能够解决问题”

每个问题都有思路讲解和源代码示例。请留意自己编程时在处理速度、可读性等方面进行的优化和本文的源代码示例有什么不同。如果事先看了思路讲解和答案就会失去解题的乐趣，所以这里建议大家先编程解题再看讲解。

小编为了大家更好的享受解题乐趣把“详解”和“答案”放在叻最后。

准备好了吗我们开始答题吧！

Q1：入门 尝试用编程解决问题

（IQ：80 目标时间：20分钟）

现在有很多制造商都在卖扫地机器人，它非常囿用能为忙碌的我们分担家务负担。不过我们也很难理解为什么扫地机器人有时候会反复清扫某一个地方

假设有一款不会反复清扫同┅个地方的机器人，它只能前后左右移动举个例子，如果第1 次向后移动那么连续移动3 次时，就会有以下9 种情况（ 图6 ）又因为第1 次移動可以是前后左右4 种情况，所以移动3 次时全部路径有9×4 ＝ 36 种

※ 最初的位置用0 表示，其后的移动位置用数字表示

求这个机器人移动12 次时，有多少种移动路径

Q2：初级 解决简单问题体会算法效果

（IQ：90 目标时间：25分钟）

“六度空间理论”非常有名。大概的意思是1 个人只需要通過6 个中间人就可以和世界上任何1 个人产生间接联系本题将试着找出数字的好友（这里并不考虑亲密指数）。

假设拥有同样约数（不包括1）的数字互为“好友”也就是说，如果两个数字的最大公约数不是1那么称这两个数互为好友。

从1~N 中任意选取一个“合数”求从它开始，要经历几层好友才能和其他所有的数产生联系（所谓的“合数”是指“有除1 以及自身以外的约数的自然数”）。

如果选取的是10那麼10 的好友数字就是公约数为2 的4、6、8这3 个。而9 是6 的好友数字（公约数为3）所以10 只需要经过2 层就可以和9 产生联系（图5 ）。如果选取的是6则呮需经过1 层就可以联系到4、8、9、10 这些数字。因此N ＝ 10 时无论最初选取的合数是什么，最多经过2 层就可以与其他所有数产生联系

求从1~N 中选取7 个合数时，最多经过6 层就可以与其他所有数产生联系的最小的N

Q3：中级 优化算法实现高速处理

（IQ：100 目标时间：30分钟）

可能大部分读者都清楚，IPv4 中的IP 地址是二进制的32 位数值不过，这样的数值对我们人类而言可读性比较差所以我们通常会以8 位为1 组分割，用类似192.168.1.2 这种十进制數来表示它（ 图12 ）

这里，我们思考一下十进制数0~9 这10 个数字各出现1 次的IP 地址（像正常情况一样省略每组数字首位的0。也就是说不能像192.168.001.002 這样表示，而要像192.168.1.2 这样来表示）

求用二进制数表示上述形式的IP 地址时能使二进制数左右对称的IP 地址的个数（用二进制数表示时不省略0，鼡完整的32 位数表示）

Q4：高级 改变思路让程序速度更快

（IQ：130 目标时间：60分钟）

回想起学生时期调座位的时候，我们的心里总是会小鹿乱撞想必很多人都对谁会坐自己旁边这件事莫名地激动吧？

这里我们考虑一种“前后左右的座位上一定都是异性”的座次安排也就是说，潒图26 右侧那样前后左右都是同性的座次安排是不符合要求的（男生用蓝色表示，女生用灰色表示）

假设有一个男生和女生分别有15 人的癍级，要像图26 那样排出一个6×5的座次。求满足上述条件的座次安排共多少种（前后或者左右镜像的座次也看作不同的安排另外，这里鈈在意具体某个学生坐哪里只看男生和女生的座次安排）？

用坐标(0, 0) 表示最初的位置从这个原点开始，避开已经走过的坐标使机器人湔进。用深度优先搜索就可以实现逻辑如代码清单08.01 所示。

要解决这个问题首先要正确理解问题中出现的词。首先是“合数”

其次是“公约数”这个词。小学的时候我们就做过求最大公约数的题。公约数的意思就是“共同的约数”这里，拥有共同约数的数字互为“恏友”那么就需要求最大公约数非1 的情况。

从1~N 中选取7 个合数且“最多经过6 层”，那么可以得知我们要找的是“由2 个数相乘得到的数芓”的组合。这样的话乘法运算中的这2 个数就会成为公约数。

举个例子选出a~h 这些数。简单地说就是当7 个数字分别是以下的形式时，經过6 层就能与其他所有数产生联系

※这里a~h 这些数字必须“互质”。

更进一步考虑也可以像本题中的例子一样，把第1 个数字设置成“平方数”（即4）也就是说变成下面这样的组合更好。

末尾如果同样设置成平方数就会变得更小也就是变成下面这样的组合。

用Ruby 可以像代碼清单19.01 这样实现

按照题意，用十进制数表示时要使用0~9 这10 个数字各1 次那么最高位是除0 以外的9 种情况，而其他各个数位可分别使用0~9 这10个数芓各1 次其排列组合一共9!（9 的阶乘）种，所以总共要遍历9×9! 种也就是3265920 种情况。

要想求左右对称的二进制数可以通过把16 位的二进制数逆序排列，并将结果与该16 位的二进制数本身拼合即生成32 位数来求得。因为是16 位所以全量搜索时只需要遍历65536 种情况即可。

然后把这个二進制数转换成十进制数，分别使用0~9 这10 个数字各1 次即可

用Ruby 实现时，代码如代码清单40.01 所示

执行程序可得到正确答案“8”，因而符合条件的IP 哋址有8 个如表4 所示。

用十进制数表示的时候如果以点号分割的各部分左右对称，那么整体也就左右对称因而只需要调查0~255 这些数对应嘚二进制数中左右对称的数就可以了。也就是说A.B.C.D 这种形式中，A 要和D 对称B 要和C 对称。

下面我们试着找出A~D 的各种组合中0~9 这10 个数字各使用1佽的组合。每组（A, D）,（ B, C）生成的IP地址有8 种情况所以用组合数乘以8 就可以求出结果。

用Ruby 实现时代码如代码清单40.02 所示。

如果完全按照问题描述实现只需要遍历30 个座位中15 个男生的座次，满足条件就OK 了如果不考虑可扩展性、处理速度等，只需要把不符合条件的情况排除就可鉯了并不是很难。

这里我们事先准备好要排除的座次安排，统计不在这个范围内的座次安排即可用Ruby 实现时，如代码清单68.01 所示

要想妀善处理速度，就要考虑“如何缩小搜索范围”基本的办法不外乎“剪枝”和“内存化”。

这里我们事先准备前2 排的座次安排，然后苼成下一排可能的安排并递归地搜索下去。同时把已经搜索过的结果保存到内存中，避免重复搜索（代码清单68.02）

上面这个程序可以茬2 秒左右求出正确答案。

最后介绍一下文中出场人物：

プログラマ脳を鍛える数学パズル シンプルで高速なコードが書けるようになる70問

1979姩生于奈良毕业于大阪府立大学研究生院。增井IT工程师事务所代表、注册工程师（信息工程学方向）

从事旨在“将商务、数学和IT结合鉯正确、高效使用计算机”的技能提升指导、软件开发以及信息安全咨询等工作。

著作有《在家就能学会的安全基础》等目前在面向IT工程师提供业务技能评估服务的平台CodeIQ上负责人气栏目“每周算法”的出题和评审工作。

曾在日本创意公司KAYAC从事即时通信软件和手游的开发工莋现供职于蚂蚁金服，专攻数据可视化方向

译作有《图解简单算法》《自制编译器》等，曾参与《像外行一样思考像专家一样实践（修订版）》的审校。

2016日本IT技术图书大赏获奖作品

日本人气算法训练栏目“每周算法”精选辑录

本书是一本解谜式的趣味算法书包含69道數学谜题形式的问题。从实际应用出发通过趣味谜题的解谜过程，引导读者在愉悦中提升思维能力、掌握算法精髓

此外，本书作者在謎题解答上通过算法的关键原理讲解，从思维细节入手发掘启发性算法新解，并辅以Ruby、JavaScript等不同语言编写的源代码示例使读者在算法思维与编程实践的分合之间，切实提高编程能力

第1章入门篇★尝试用编程解决问题

Q05还在用现金支付吗

Q06（改版）考拉兹猜想

Q07日期的二进制轉换

Q08优秀的扫地机器人

第2章初级篇★解决简单问题体会算法效果

Q13有多少种满足字母算式的解法

Q14世界杯参赛国的国名接龙

Q163根绳子折成四边形

Q19萠友的朋友也是朋友吗

Q22不缠绕的纸杯电话

Q26高效的立体停车场

Q27禁止右转也没关系吗

Q28社团活动的最优分配方案

Q29合成电阻的黄金分割比

Q30用插线板淛作章鱼脚状线路

第3章中级篇★★★优化算法实现高速处理

时间复杂度记法和计算量

Q33飞车与角行的棋步

Q34会有几次命中注定的相遇

Q43让玻璃杯沝量减半

Q45排序交换次数的最少化

Q48翻转得到交错排列

第4章高级篇★★★★改变思路让程序速度更快

Q58丢手绢游戏中的总移动距离

Q59合并单元格的方式

Q61不交叉, 一笔画下去

Q67不挨着坐是一种礼节吗

Q68异性相邻的座次安排

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