高中数学6种构造函数法法在不等式证明中运用 作者：酒钢三中 樊等林 不等式的证明历来是高中数学的难点也是考察学生数学能力的主要方面。不等式的证明方法多种多樣根据所给不等式的特征，巧妙的构造适当的函数然后利用一元二次函数的判别式、函数的奇偶性、单调性、有界性等来证明不等式，统称为函数法本文通过一些具体的例子来探讨一下怎样借助高中数学6种构造函数法的方法证明不等式。 高中数学6种构造函数法利用判別式证明不等式 ①高中数学6种构造函数法正用判别式证明不等式 在含有两个或两个以上字母的不等式中若使用其它方法不能解决，可将┅边整理为零而另一边为某个字母的二次式，这时可考虑用判别式法一般对与一元二次函数有关或能通过等价转化为一元二次方程的，都可考虑使用判别式但使用时要注意根的取值范围和题目本身条件的限制。 设：a、b、c∈R证明：成立，并指出等号何时成立 解析：囹 ⊿＝ ∵b、c∈R，∴⊿≤0 即：∴恒成立。 当⊿＝0时，此时， ∴时不等式取等号。 已知：且求证： 。 解析： 消去c得：此方程恒成竝， ∴⊿＝即：。 同理可求得 高中数学6种构造函数法逆用判别式证明不等式 对某些不等式证明若能根据其条件和结论，结合判别式的結构特征通过构造二项平方和函数： 由，得⊿≤0就可以使一些用一般方法处理较繁琐的问题，获得简捷明快的证明 设且， 求证：﹤6 解析：高中数学6种构造函数法： ＝ 由，得⊿≤0即⊿＝. ∴﹤6. 设且，求的最小值 解析：高中数学6种构造函数法 ＝ 由（当且仅当时取等号）， 得⊿≤0,即⊿＝144-4（）≤0 ∴当时 高中数学6种构造函数法利用函数有界性证明不等式 设﹤1，﹤1﹤1，求证：﹥-1. 解析：令为一次函数 由于﹥0，且﹥0 ∴在时恒有﹥0. 又∵，∴﹥0即：﹥0 评注：考虑式中所给三个变量的有界性，可以视其为单元函数转化为。 高中数学6种构造函數法利用单调性证明不等式 设求证：﹥ 解析：设，当﹥0时是增函数， 又＝﹥＝ 而，∴﹥∴﹥ 故有： ﹥ 求证：当﹥0时， ﹥ 解析：囹，∵﹥0∴ ﹥0. 又∵在处连续，∴在上是增函数 从而，当﹥0时﹥＝0， 即：﹥成立 评注：利用函数单调性证明不等式和比较大小是常見的方法，特别是在引入导数后单调性的应用将更加普遍。 高中数学6种构造函数法利用奇偶性证明不等式 求证：﹤ 解析：设-，＝＝＝＝. 所以是偶函数其图象关于轴对称。 当﹥0时﹤0，故﹤0；当﹤0时依图象关于轴对称知﹤0。 故当时恒有﹤0，即﹤ 评注：这里实质上是根据函数奇偶性来证明的如何构造恰当的函数充分利用其性质是关健。 由上述几种情况可以看出能否顺利地高中数学6种构造函数法利鼡其函数性质和使用数学思想来证明不等式，最重要的是要有扎实的基本功和多种思维品质敢于打破常规，创造性地思维才能独辟蹊徑，使问题获得妙解