玉澳师专学报 自然科学版 年第 期 關于常关于微分的题方程中一道习题的看法曹 军 在东北师大数学系所 编 《 常关于微分的题方程 》一书中的第一章 初等积分法的 最 后 一节 怪 几种可降阶的高阶方程中有一道习题 , 书中 页 题 在教学中感到此题与书 本 教学内容有所差异 , 困难较大 , 就此 本文给予一点讨论 。 原题 护 一 · · ? ① 提示 令 分析 不属 于课本中所 讲类型 “ , ?
? ‘“ ’ 一 ‘ , , ‘ “ , ? ? ‘ , “· , ’ 恰当导数方程 。 法一 给出按提示的 解法 , 解 令 即一 云 二 币 瓜 ┅ 石空反 ’ 令 晶帐 · 黔 一一一 ︸一尖 篡 · 么 厄厄 百而万沃赢 丁 , 、 黑 、 代入方程 ①、口 沪 盯蔽 一 一 一 则 · ︸得 又 ,’ ’ 原方程 ①化为 “ “ 厂 一 ② · · ? ② 其中 为 自变量
, 为未知 函数 通过 自变量变 换后方程 ②看 似较 ①谐和 , 但还是不属于书中所 讲三种类型 , 实为本书没讲的二阶变系数线性方程 下面给出找一特解作变换的方法 。 找到方程 ②有一特解 , ’ 令 二 则 ‘ 二 “ “ ’ 代入整理 “ ’ “ 产 属于书中可降阶类 三 ’ 令 户 代入 则 ‘ 二 一 为 , 阶变量可分离方程 两边积分 生 一 仁 十 生扩之 “ “ 即
‘ , 玄石万不乏玄一了 户 旧汤 即 一 十 ““ 为 ②的 另一特解 ,’ 与 线性无关 · , 一 为 ②‘自通解 , 即 ①的通解为 工 “ 一方程 ②还 可用 公式法解 课本上没有讲口 , ‘ 二 月代换令 , 为黎卡提方程 声 一 〔 、 〕 所 以 ② 于化为 二 一 ’ 下乏飞 要解此方 程 也必须找一待解 , 但这是比较 困难的 可见在提示下要解决此题要用到课本
教学 范围外大量知识 , 使人不尽 如意 , 能不用此提示吗法二 對原题 给出一种 与书内容稍接近一种解法 。 解 变 形 ’ 一 瓦 “ 二, 一 , 花瓜 ‘ 晨力 ·要 ‘ 一 赫 二 一 一 令 一 “ 十 五飞 国为 黎卡提方程 找到一 个特解 一 一 了 、‘ 、 一卜 心 亏 丫 令 二 , 一 而蔽丽又 代入 ④ 整理 , 一 为伯努利方程 再令整理 ’’代入上式 五
一 为一阶线性非齐次方程 。 嘎 ‘· , · 二 一卜 ‘· , · 一 、浦、 一 落而几扩、 二 。 一 众 且 一 乙 王酥 二反干己一 牙玩政而污又 声 厂 酥 二天不万 一 丽面而云 ? ‘ ‘ ,‘ ’ 五 酥井亩六 “ 一 え在及汉 “ 十 “‘ ‘ , 】 ‘ 一 · ? · 一 , ‘一 “ , 二 “‘ , ’ , 一 即 , 一 为原题的通解 。
这是结合书本 内容巧 用恰当导数方程降阶 , 但对于新的黎 卡提方程 ④要找一特解又是极大的 困难 法三 给出直 接找特解作变换解法 。解 ,’ 是方程 ①一个特解 ’令 二 代入 ① 整理 一赢 , 。 为书中可 降阶类 ’ 洅 令 , 代入得 忽冠 。 ’ 八 ? 一 , 另一特 解 一一 下转第 页 路通到红塔山片区海拔高度最高的玉溪化工广, 交通比较方 便 , 而且 ,
这一带属红塔山片人ロ 相对比较集中的地带 仅卷烟厂就是一个比较大的市场 。 这样的位置 , 有利于服 务 中 心 “ 门槛人 口 ” 的增加 、 应 以 购物 、 邮 电、 储蓄 为主要服务项 目 任何地 区 , 综合服务中心经营项 目的确定 , 必须首先考虑该服