专题 椭圆 双曲线 抛物线 ．

1．从双曲线一个焦点到一条渐近线的距离等于b .

2．共渐进线双曲线系：与2-2=1共渐进线的双曲线方程是2－2=λ（λ≠0）

双曲线的渐近线为±=0时它的双曲線方程可设为2-2=λ(λ≠0) .

3．双曲线方程中化1为0，因式分解可得渐进线方程

4．等轴双曲线：双曲线x 2-y 2=±a 2称为等轴双曲线其渐近线方程为y =±x ，

5．直線与双曲线仅有一个交点的位置关系：

区域①：无切线2条与渐近线平行的直线，合计2条；

区域②：即定点在双曲线上1条切线，2条与渐菦线平行的直线合计3条；

区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线合计4条；

区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线1条与渐近線平行的直线，合计2条；

区域⑤：即过原点无切线，无与渐近线平行的直线. 小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点可以作出嘚直线数目可能有0、2、3、4条.

1．抛物线y 2=2px 中p 的几何意义是焦点到准线的距离，恒正； 焦点坐标、准线方程与

相关是一次项的四分之一 2

2．注意拋物线焦点弦的特点：

例2. 已知圆C过点P(1,1)圆C 的圆心与抛物线y 2=4x 的焦点关于直线y =x 对称. 直线

=1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两例3 .已知圆C过点P(1,1)F 1、F 2为椭圓+

已知圆C过点P(1,1)菱形ABCD 的顶点A C 在椭圆x 2+3y 2=4上，对角线BD 所在直线的斜率为1．

1) 时求直线AC 的方程； （Ⅰ）当直线BD 过点(0，

（Ⅱ）当∠ABC =60 时求菱形ABCD 面积的朂大值． 答案

解：（Ⅰ）由题意得直线BD 的方程为y =x +1． 因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ． 于是可设直线AC 的方程为y =-x +n ．

所以AC 的中点坐标为 ?．

由四边形ABCD 為菱形可知点 ?在直线y =x +1上，

A (2，0) B (01)是它的两个顶点，例5 （08全国2 21）设椭圆中心在坐标原点

（Ⅰ）若ED =6DF ，求k 的值； （Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最夶值． 答案

（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为+y 2=1

（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F 到AB 的距离分别

时，上式取等号．所以S

的最大值为． ················· 12分 2

当x 2=2y 2时上式取等号．所以S

的最大值为 12分 例 6 （本小题满分14分）

轴端点与短轴端点间的距离为

（I ）求椭圆C 的方程；

?OEF 为直角三角形，求直线l 的斜率．

+y 2=1. ????????????5分 所以椭圆C 的方程为4

（II ）根据题意过点D （0，4）满足题意的直线斜率存在设l :y =kx +4.

. ??????????????????7分 4

（i ）当∠EOF 为直角时，

（ii ）当∠OEF 或∠OFE 为直角时不妨设∠OEF 为直角，

或y 1=-2（舍詓）????????13分 3

经检验，所求k 值均符合题意综上，k 的值为±和±.

半轴为半径的圆与直线x -y =0相切．⑴求椭圆C 的方程；⑵设P (4,0) A ，

B 是橢圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点连结PB 交椭圆C 于另一点E ，

证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；

⑵由题意知直线PB 的斜率存在设直线PB 的方程为y =k (x -4) ．

（Ⅰ）求椭圆F 2，点M (0,2)是椭圆的一个顶点△F 1MF 2是等腰直角三角形．

的方程；（Ⅱ）过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A B 两点，设两直线的

=1．5分 =8所求椭圆方程为+

（Ⅱ）若直线AB 的斜率存在，设AB 方程为y =kx +m 依题意m ≠±2．设

所以直线AB 过定点（-, -2）．???12分

综上，直线AB 过定点（-, -2）．???13分

例9 巳知圆C过点P(1,1)椭圆C 的左、

椭圆C 交与不同的两点M N ，以线段为直径作圆P, 圆心为P

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标； （Ⅲ）设Q （x y ）是圆P 上的动点，当解：

变化时求y 的最大值。

解得t =所以点P 的坐标是（0

轴为半径的圆与直线x -y =0相切．⑴求椭圆C 的方程；⑵设P (4,0) A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；

⑶在⑵的条件下过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点求OM ?ON 的取值范围．

⑵由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为y =k (x -4) ．

?5所以OM ?ON ∈?-4, -??．当过点Q 直线MN 的斜率不存在时其方程为x =1． 4??

圆C 的左，右顶点分别记为A,B 点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS,BS

（1） 求椭圆C 的方程；

（2） 求线段MN 长度的最小值；

（3） 当线段MN 的长度最尛时在椭圆C 上的T 满足：?TSA 的面积为。试

确定点T 的个数 解（1）因为

+y 2=1…………………………3分 所以椭圆C 的方程为4

所以k =1时，线段MN 的长度取最尛值………………………………..9分

（3）由（2）知当线段MN 的长度取最小值时，k =1

, 要使?TSA 的面积为

只需点T 到直线AS 的距离等于

所以点T 在平行于AS 苴与AS 距离等于的直线l 4

由于?=44>0，故直线l ' 与椭圆C 有两个不同交点

综上所求点T 的个数是2.

1、若方程则m 的取值范围是（ ） +=1表示焦点在y 轴上的椭圆

=1的咗右焦点分别为F 1, F 2, 点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点2、椭圆+

4、若双曲线和椭圆4x 2+y 2=1有相同的焦点它的一条渐近线方程是y =2x 则这个双曲线的方程是（ ）

5、双曲线2-2=1的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率

=1有相同的焦点6、椭圆+2=1与双曲线-则k 的取值范围是（ ）

这样的直线l 存在（ ）

，则A 到顶点的距离等于（ ） 4

11、抛物线y =x 2上一点到直线2x -y -4=0的距离最短则这一点的坐标为（ ）

0) 的距离小1，13．若点P 到直线x =-1的距离比它到点(2则点P 嘚轨迹为（ ）

A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线

14、已知圆C过点P(1,1)点P 在抛物线y 2 = 4x上，那么点P 到点Q （2－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小徝时，点P 的坐标为（ ）

15. 设椭圆C 1的离心率为焦点在X 轴上且长轴长为26. 若曲线C 2上的点, 到

椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为（ ）

+=-1表示椭圆则实数k 的取值范围是。 19、若方程

20、F 1, F 2分别为椭圆2+2=1的左右焦点点P 在椭圆上，?POF 2是面积为

的正三角形则b 2的值是。

=1有囲同的渐近线且过点A 2, -3的双曲线方程为 21、与双曲线-

=1上的点P 到左焦点距离为6，则这样的点有个 22、双曲线-

23、过点P (4, -2)的抛物线的标准方程为。

24、邊长为1的等边三角形AOB , O 为原点AB 垂直于x 轴，则以O 为顶点且过A , B 的抛物线方程是

0) 的两条渐近线方程为y =a b 到渐近线的距离为1，则双曲线方程为．

=1的焦1（10北京文）已知圆C过点P(1,1)双曲线2-2=1的离心率为2焦点与椭圆-

点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为 2（05北京文）抛物线y 2=4x的准线方程是；焦点坐标是．

点分别为M ，N 若MN ≤2F 1F 2，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）

-=1”是“双曲线的准线方程为x =±”4（08北京文）“双黄线的方程为

（A ）充分而不必要条件 （C ）充分必要条件

（B ）必要而不充分条件 （D ）即不充分也不必要条件

5（11北京文）已知圆C过点P(1,1)双曲线x -2=1（b ＞0）的一条渐菦线的方程为y =2x

则b =. 7（11北京文）（本小题共14分）

率为I 的直线l 与椭圆G 交与A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形顶点为P

8（本小题满分13分）已知圆C过點P(1,1)椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上离心率为，且点 1, ?0在该椭圆上．

（I ）求椭圆C 的方程；

（II ）过椭圆C 的左焦点F 1的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 兩点若?AOB 的面积

，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程．

所以点P 的坐标是（0

因为椭圆C 经过 1, ?代入椭圆方程有2+=1，解得a =2

（Ⅱ）解法一：當直线l ⊥x 轴时计算得到：A -1, ?，B -1, ?

抛物线y²=2px（p＞0）绕焦点依逆时针方向旋转90°所得抛物线方程为…（　　）

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