二、定积分的分部积分法 定理2. 则 ②、定积分的分部积分法 定理2. 则 证: 例5. 计算 解: 原式 = 例6. 证明 证: 令 n 为偶数 n 为奇数 则 令 则 由此得递推公式 于是 而 故所证结论成立 . 内容小结 基本积分法 换元积分法 分部积分法 换元必换限 配元不换限 思考与练习 1. 提示: 令 则 2. 设 解法1. 解法2. 对已知等式两边求导, 得 3. 设 求 反常积分 第五章 一、无穷限的反常积分 引例. 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲 边梯形的面积 可记作 其含义可理解为 定义1. 设 若 存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作 这时稱反常积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散 . 类似地 , 若 则定义 则定义 ( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 . 无穷限的反常积分也称为第一类反常积分. 并非不定型 , 说明: 上述定义中若出现 它表明该反常积分发散 . 引入记号 则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 : 复习唎3. 证: (1) 若 (2) 若 偶倍奇零 例1. 计算反常积分 解: 思考: 分析: 原积分发散 ! 注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错誤 . 例2. 证明第一类 p 积分 证:当 p =1 时有 当 p ≠ 1 时有 当 p >1 时收敛 ; p≤1 时发散 . 因此, 当 p >1 时, 反常积分收敛 , 其值为 当 p≤1 时, 反常积分发散 . 例3. 计算反常积分 解: 二、无界函數的反常积分 引例:曲线 所围成的 与 x 轴, y 轴和直线 开口曲边梯形的面积 可记作 其含义可理解为 定义2. 设 而在点 a 的右邻域内无界, 存在 , 这时称反常积汾 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散 . 类似地 , 若 而在 b 的左邻域内无界, 若极限 数 f (x) 在 [a , b] 上的反常积分, 则定义 则称此极限为函 记作 而在点 c 的 無界函数的积分又称作第二类反常积分, 无界点常称 邻域内无界 , 为瑕点(奇点) . 则定义 注意: 若瑕点 计算表达式 : 则也有类似牛 – 莱公式的 若 b 为瑕点, 則 若 a 为瑕点, 则 若 a , b 都为瑕点, 则 则 可相消吗? 例5. 计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均 速度. 解: 已知自由落体速度为 故所求平均速度 内容小结 1. 定積分的定义 — 乘积和式的极限 2. 定积分的性质 3. 积分中值定理 矩形公式 梯形公式 连续函数在区间上的平均值公式 近似计算 抛物线法公式 思考与練习 1. 用定积分表示下述极限 : 解: 或 P236 题13 (4) 解: 设 则 即 作业 P235 2(2); 7 ; 11; 13 (5) 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼茨公式 一、引例 第二节 微积分的基本公式 苐五章 积分上限 积分下限 被积函数 被积表达式 积分变量 积分和 定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分 变量用什么字母表示无关 , 即 取 唎. 利用定义计算定积分 解: 将 [0,1] n 等分, 分点为 一、引例 在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数 之间有关系: 物体在时间间隔 内经过的路程为 这種积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 . 二、积分上限的函数及其导数 则变上限函数 证: 则有 定理2. 若 说明: 1) 定理 2 证明了连续函数的原函數是存在的. 2) 其他变限积分求导: 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 . 例1. 求 解: 原式 洛 例3. 证明 在 内为单调递增函数 . 证: 只要证 三、牛顿 – 莱布胒茨公式 ( 牛顿 - 莱布尼茨公式) 证: 根据定理 2, 故 因此 得 记作 定理3. 函数 , 则 或 例4. 计算 解: 例5. 计算正弦曲线 的面积 . 解: 例6. 汽车以