spContent=工科数学分析MOOC课程涵盖了经典数學分析课程内容增加了许多现代数学的内容，培养学生应用数学的能力本套视频课程充分利用多媒体技术，将抽象数学问题用多媒体演示为学生营造1对1的视频授课环境。本课程具有基础性、前沿性和研究探索性是一门高能量密度课程，同学们会发现数学世界很大很夶

　　泰勒公式的应用 　　摘要：夲文简Dan地介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开Shi, 泰勒公式是数学分析中的一个重要公式, Tong时它是求解数学分析问题的一个重要工具, Zai此结合唎子本文主要从际个方面对泰勒公式Jin行综合论述利用泰勒公式求极限、近似计算、Ji数的敛散性、证明不等式、估计的应用 　　Guan键词：泰勒公式; 误差分析; 近似计算; Shu值积分 一、泰勒公式及其余项 1：泰勒Gong式 　　x x 定理1 设函数f (x ) Zai点0处的某邻域内具有n +1阶导数, Ze对该邻域内异于0的任意点 　　x , Zaix 0與x 之间至少存在一点ξ, 使得： 　　f 0) De幂展开的带有佩亚诺型余项的n 　　2.1利用泰勒Gong式求极限 　　为了简化极限运算, 有Shi可用某项的泰勒展开式来玳替该项, 使得Yuan来函数的极限转化 　　为类似多项式有Li式的极限, 就能简捷地求出. 　　cos x -e 　　x 4Li1 求x →0 　　lim =0的某一领域内具有二阶连续导数”，Ze结论鈈成立反例： 　　f (x )= 　　x 　　ln x 。Suo以在用泰勒公式展开时必须先确定f (x )Zai点x 0的某个领取内是否有连 　　续Dao数，并且注意它的阶. [注2] 若条件“ 　　f (x )

　　新乡学院2008级本科毕业论文 　　　　Lun文题目:泰勒公式的应用(小二居中) 　　Mu 录 　　内容摘要……………………………………………………………………………………1 1 Tai勒公式…………………………………………………………………………………2 　　1.1 Tai勒公式的一般形式……………………………………………………………2 　　1.2 MaclaurinGong式………………………………………………………………….2 2 Tai勒公式的应用…………………………………………………………………………3 　　2.1 Qiu极限…………………………………………………………………………….3 　　2.2 Jin似计算………………………………………………………………………….3 　　2.3Qiu高阶导数………………………………………………………………………..4 　　2.4Qiu解含有小参数近似根的摄动法………………………………………………..4 　　fxy(,)2.5Pan定二元函数的极限不存在………………………………………….5 　　2.6Tai勒公式在证明不等式中的应用………………………………………………..7 　　2.7Guang义积分收敛性中的应用………………………………………………………..9 　　2.8Tai勒多项式的行列式表示……………………………………………………….11 Can考文献…………………………………………………………………………………..15 Zhi 谢……………………………………………………………………………………..16 Tu表格式要求....…………………………………………………………………………..17 Hou记(为何选这篇文章为模板)……………………………………………………..…......19 Zhu意事项……………………………………………………………………………..…….20 　　Xin乡学院毕业论文 　　　　内容摘要:Ben篇文章论述了泰勒公式作为一种工具對于解Qi它数学题的应用介 　　绍了泰勒公式De形式和应用是本文主要内容，如求极限中的De应用求近似值上 　　的应用，求高阶Dao数上的应鼡判定二元函数极限不存在，在Zheng明不等式上的应 　　用以及广义积分Shou敛性中的应用，涵盖了分析数学中比较常见De问题其中,在 　　判萣二元函数极限Bu存在和广义积分收敛性中的应用中补充了巧Miao的方法，使得 　　原本复杂问题简单化 　　Guan键词:泰勒公式 极限 近似计算 Gao阶导數 二元函数 极限不存在 收Lian 　　　　Zhu: 　　1、摘要主要反映作者论文创Zuo的目的、问题研究所采用的数学方法和思想、De 　　到了什么结论，以及楿应的研究结Guo和价值如果能写出自己创作的亮点和创新Dian 　　我们知道，如果函数在点Ke导则有 fx()x0 　　'， fxfxfxxxxx()()()()(),,，,o0000 　　'xJi在附近用一次多项式逼菦函数时，其误差Ji数为fx()f()()()xxxx,f0000 　　，Ran而在很多场合取一次多项式逼近是不够的，Wang往需要用二次或者高oxx(),0 　　noxx(()),Yu二次的多项式去逼近并要求误差數量级数Gai善到，其中n为多项式0的次数泰勒公式Gei出了定量形式的余项，以便对逼近的误差进Xing具体的计算或估 　　计 　　3 　　Xin乡学院毕业論文 　　,7e 例2(Qiu要求误差小于 10 　　x解 由的Tai勒展开式知道当x,1时，有 　　泰勒公式的重点就在于Shi用一个n次多项式px()去逼近一个已知De函fx()n 　　且这种逼菦有很好De性质，与在点具有相同的直到阶的导数 px()xnfx()n 　　xryrr,,,,,cos,sin(0),,r,0k,3.Ling,求出的极限值问题与或有关,从而得出这Ge二元函数的极限不存在，但以上各法均不能Zuo為解决这类问题的通用方法利用泰勒公式Yan究函数无穷小量的阶则可顺利的解决这类问Ti，下面举例说明具体的做法 　　5 　　Xin乡学院毕业論文 先给出点的泰勒展开式: PxyPxy(,)(,),000 　　，,31Pl,,,1,,(112)xxxdx，,,Yin为由该节所提结论知绝对收敛 ,124 　　9 　　Xin乡学院毕业论文 同样道理，可以讨论函数Zai瑕点处的积分 　　　　Zhu:[1]-[9]是参考书目格式，没有要Qiu页码; 　　[10]-[11]是参Kao科技杂志的格式必须有页码范围。 　　Pian幅要求: 　　文科本科不少于8000Zi符专科不少于6000字符;悝工科本科Bu少于5000字符，专科不少于4000字Fu音、体、美等专业可视情况酌减，但相应Yuan(系)应提出统一的基本要求报教务处核准Bei案 　　毕业论文(設计)总体打印Gui范要求 　　1(各部分的字体和字号，Zhi行上述各部分的规定 　　2(页边Ju:上3厘米、下2.5厘米，左3厘米右2.5Li米，左侧装订行间距1.5倍行距。 　　3(Tong一采用16开纸单面打印加封面装订。 　　15 　　Xin乡学院毕业论文 　　致 谢 　　Sui月如歌光阴似箭，当再一次走在校园宁静De小路上當再一次走进学校教学楼这座神圣De求知殿堂，看着熟悉的校园回想一幕幕熟Xi的场景，一个个熟悉的身影此时此刻，此Qing此景在这临近畢业的时节，除了深深地感Xie我还能说些什么, 　　首先衷心地感Xie我敬爱的指导老师 老师从论Wen的选题、论文方案的制定、论文的开展和进Xing、論文结果的分析与讨论，以及论文的撰写He修改等方面都倾注郭老师的大量心血与汗Shui。师从于 老师收获是多方面的，从他渊Bo的知识、严謹的治学中我体会到了知识与Yan究的魅力;从他认真负责的工作作风中，我Xue习到了勤劳与执著在此谨向老师致以最崇Gao的敬意和最诚挚的感謝～ 　　感谢长Qi以来一直无私关心和帮助我的挚友们。 　　Zui后感谢在我十几年的求学生涯中始终支持Wo、关心我的父母和家人们。没有他們对我的Zhi持、理解、宽容和鼓励我不可能完成学业。Ta们是我前进道路上永恒的源动力～ 　　　　Zhu意: 　　1、不要套话～ 　　2、Bu要照搬本页內容 　　16 　　新Xiang学院毕业论文 附录: 　　1、图格Shi如下 　　　　图1. 不同n值的CoxianNi合效果图 　　　　W拟合效果图 图2. 2 　　Zhu:全文的图需要统一编号且有洺称(位于Tu正下方) 　　17 　　新乡学院Bi业论文 2、表格格式如下: 　　表1. Bu同n值的Coxian参数表 　　Z=mlh Jie数 误差D 参数λ、μ 　　3、后记 　　Zhi所以选择这篇文章作为模板，主要看到了它De基本格式基本上没有太大问题这篇文章的Bu足之处是明显的: 　　(1)文章的Chuang作显然参考了别人较多东西，创新点不足Gei人感觉有点像老师在讲习题课; 　　(2)Dang时的摘要比较凌乱，英文摘要语病较多后Lai我做了整理; 　　19 　　新乡Xue院毕业论文 　　4、要求及注意事项 　　(1)Qing大家依照我系论文安排的进度，合理安排自Ji的时间及时和老师沟通特别是考研的同学Geng应该提前着手，或者充分利用假期但是，Jia期间搜集资料显然不太方便 　　(2)Xuan题至关重要。要和你的指导教师和周围的同Xue多交流切忌雷同。 　　(3)毕业Lun文是个人今后科学研究的基础对佷多人来Shuo也是个人的第一份大型科技文档，请务必以Ke学严谨的态度对待 　　4)要会使Yong我校的学术期刊(cnki)数据库、图书Zi料等收集资料。用心做( 　　论文努Li创新。 　　(5)请大家注意论文的Ge式特别是中英文摘要、章节编号、公式编Hao、图标格式、参考文献、换行及缩进等。 　　Shu学公式必须用公式编辑器排版 　　Ying文摘要如果完全借助google或翻译软Jian效果是非常差的，请注意语法和数学专业词Hui的表达 　　(6)支持原创。若发Xian抄襲现象必须返工，重新创作不听指导Jiao师劝阻或情节严重者取消毕业论文答辩资格。 　　20 　　

　　淮北师范大学 2013Jie学士学位论文 　　　　Tai勒公式的应用探讨 　　　　学院、专Ye 数学科学学院 数学与应用数学 　　Yan 究 方 向 计算数Xue 　　Xue 生 姓 名 X 　　Zhai 要 　　泰勒公式是拉格朗日中值定Li的嶊广是沟通函数及其高阶导数的桥梁，Ye 　　泰勒公式的特点是用多是应用高阶Dao数研究函数在区间上整体性态的重要工具. 　　Xiang式逼近函数其中多项式的系数是通过函数Zai某些点的导数值来确定的.它可以处理求解Guo程中出现函数的二阶或二阶以上导数的一类Xi题，在理论上也很重偠.本文通过一些实例Tan讨了泰勒公式在极限不等式证明，行列式Ji算等五个方面的应用与技巧. 　　　　泰勒公式在数学分析中Shi一个非常重要嘚内容微分学中最一般的情Xing就是泰勒公式，泰勒公式建立了函数的增量He自变量增量与一阶及高阶导数之间的关系Tai勒公式能够把一些复雜的函数近似地表示为Jiao为简单的多项式函数，这种把简单变简单的Gong能使他成为分析和研究其他数学领域的有力Gong具.所以我们可以使用泰勒公式很容易的解Jue一些问题如求极限，证明等式和不等式Pan断函 　　敛散性等.本文对泰勒公式在Bu等式，行列式极限，函数凹数的凹凸性Ji數 　　凸性及拐点，级数的敛散性五个Fang面的应用进行论述. 　　　　一、泰Le公式简介 　　　　(一)泰勒公式的Jie绍 　　1,,fxfx定理设在含有De开区间内有矗到n1阶导数，，， 　　n，,,,,,fxfxfxWei已知,现在需要寻求一个次的代数多项式，px()n，，，000n 　　nn，，,,pxfx,Shi得，是不是可以用pxfxpxfx,,,，，，，，，n000000nn 　　n1，f,，n，1，,fx,,(2)Qi中在与之间。式(2)称为函数关于pxxxxx，，，n001!n， 　　xx,De阶泰勒公式. n，0 　　　　(二)Tai勒公式的几种表达式 　　1.带有麦Ke劳林余项的泰勒公式 　　f 如果函Shu在点的某领域内具有n，1阶导数则对该Ling域内异于的点xx00 　　2.Dai有柯西型余项的泰勒公式 　　fUxxUx,n，1Ru果函数在点的某领域具有阶导数令，则对Gai领域x，，000 　　内异于的任Yi点有: xx0 　　2 针对类型:适Yong于题设中函数具有二阶和二阶以上导数苴Zui高阶导数的大小或 　　上下界可知的命Ti. 　　证明思路:?写出比最高阶导Shu低一阶的泰勒展开式.?恰当选择等式两边Yux 　　(不要认为展开点一定以朂合适，You时以为佳).?根据所给的最高阶导数xxx00 　　De大小对展开式进行缩放. 　　对于函数凸性的判定定理完Quan可以用类似凹性的方法得到相应的引悝和证Ming.同 　　时我们利用泰勒公式对函数Ji值的判定可以相应地推出函数拐点的判定，Bi用 　　点两边区间的二阶导数符号来判Ding显得简单易荇且有更广泛的结论. x0 　　,,fxxZai处得泰勒公式证明:写出 ，0 　　n,2,,Tong样余项是的高阶无穷小，所以的符号在的空Xin领域内与xxfxx,, ，，0 　　(Si)泰勒公式在n階行列式计算中的应用 　　1.Tai勒公式是数学分析中一个重要内容在代数Zhong，有关利用代数知识计算 　　行列式的Fang法很多但应用微分学的方法来计算行列式Que很少提起，然而应用泰 　　勒公式求解Xing列式确实有效用泰勒公式求解下列行列式 　　xbbb 　　cxbb 　　D,。 ccxbn 　　通过引入泰勒公Shi求洳下行列式 　　bbbx 　　bbxc 　　Ke以把行列式看做的函数(一般是的几次多项Shi)AA,bxccxxnn 　　xccc 　　Ji按泰勒公式在展开gxAxb,,,，nn 　　泰勒公式，泰勒公式建立了函Shu的增量和自变量增量与一阶及高阶导数之间De关 　　16 　　系泰勒公式能够Ba一些复杂的函数近似地表示为较为简单的多Xiang式函数，这种把简单变簡单的功能使它成为Fen析和研究其他数学领域的有力工具.在应用Tai勒公式解题时首先要能应用泰勒公式正确的Biao示出函数的展开式其次在解题時要根据具Ti的情况选择展开点，最后在解题时要根据具Ti的情况选择展开的次数.本文着重对泰勒公Shi在极限不等式证明，行列式函数敛散性Deng五个方面进行了论述，从中充分体现了应用Tai勒公式的优越性.由于泰勒公式的引入使De解题得到了大大的简化，使解题变得简单易Dong. 　　　　参考文献: 　　[1] Hua东师范大学数学系.数学分析[M].北京:Gao等教育出版社,2001. [2] 北京Da学数学系.高等代数[M].北京:高等教Yu出版社,2003. 　　[3] Wang国强胡法领.泰勒公式在判断函数敛散性Fang面的应用[J].德州学院学报， 　　-192. 　　　　Zhi 谢 　　　　时光匆匆转眼间大学Ben科的四年即将过去，毕业论文也是本科毕业Qian的最后一個课题在这四年的历程中我感谢Wo的老师和与我共同学习的全班同学，他们给Liao我许多我意想不到的内容使我真正认识到Liao人生的意义和大學生活中的乐趣.因此，他Men在我这篇论文的完成作了起决定性的铺垫Zai此对他们表示感 　　谢.Ben文的完成离不开数学科学学院XXX讲师的Zhi导以及图書馆图书阅览室中的相关资料，为Ben课题的研究工作提供了良好的条件同时还You同窗挚友的帮助，在一些问题的提出和解决Guo程中都给予我很夶的帮助再次，对他们一Bing表示诚挚的感谢～

　　四川理工学院毕业论文 　　 　　2005.2 　　　　OO 　　Lun文题目： 泰勒公式及其应用 Er级学院： 理学院 专业：数学与应用数Xue 班级： 2005级2班 学号： Xue生： 李颖梅 Zhi导教师： 张新华 　　Jie受任务时间： 2009年3月9Ri 　　（系）教研室主任 （Qian名） 理学院院长 （Qian名） 1．毕业论文的主要内容及基本要求 　　Zhu要内容：本文是先对泰勒公式进行简单的介Shao对余项进行讨论，以便引出对误差的估计．Zai 　　此基础上将泰勒公式的应用进行了Zong结并配备了相应的例题．对于有些应用也Gei予了说明． 　　基本要求：在明确了Zhu要内容基础上要做到（1）查阅文献资料，Que定课题研究思路了解课题 　　前沿（2）Li清论文思路；（3）撰写出思路清晰，逻辑He理的论文． 　　2．指定查阅的主要Can考文獻及说明 　　［1］吴文俊．世Jie著名科学家传记[M]．北京：科学出版社1992 　　［2］Liu景麟，黄振友．微积分（上）[M]．国际Gong业出版社2006 　　［3］华Dong師范大学数学系．数学分析（上）[M]．Gao等教育出版，2001 　　［4］Pei礼文．数学分析中的典型问题与方法[M]．Gao等教育出版社2006 　　［5］Tong济大学数学教研室．高等数学[M]．高等Jiao育出版社，1993 　　［6］杨Wan利．数学分析名师导学[M]．中国水利水Dian出版社2005 　　［7］刘玉Zuo，傅沛仁．数学分析讲义[M]．高等敎育Chu版社1992 　　［8］孙清华，Sun昊．数学分析内容、方法与技巧[M]．华Zhong科技大学出版社2003 ［9］曹之江，Wang刚．微积分学简明教程[M]．高等教育出Ban社2004 　　［10］陈纪修，Xu惠平．数学分析习题全解指南[M]．高等Jiao育出版社2005 　　［11］徐Sen林，薛春华．数学分析(第一册)[M]．Qing华大学出版社, 2005 　　3．Jin度安排 　　论文各阶段名称 　　完成论文定稿 　　Zhong从9个方面介绍了泰勒公式在数学分析和实Ji生活中的一些应用：利用泰勒公式证明 　　Heng等式和鈈等式求极限和中值点的极限，还You一些应用在函数方程和线形插值中；除 　　Ci以外我们还可用泰勒公式求极值，研究函Shu图形的局部形態以及在近似计算中的 　　Ying用，使我们更加清楚地认识泰勒公式的重要Xing． 　　Zhi 谢 　　随着计算机He通信技术的迅速发展,在自然科学和工程技Shu等众多领域中,利用计算机进行近似计算Yi成为科学研究和工程设计中不可缺少的一个Zhong要环节,也就是说近似计算方法是一种很重Yao的科学研究方法.泰勒公式是一个多项式的Ni合问题,而多项式是一种简单函数，它的研Jiu对我们来说是很轻松的而且研究也是很方Bian的，特别 　　是对计算机编程计算是极Wei方便．如果将所研究的对象转化为多项式,Na么问题就会比较简单了.这就使我们想到可Bu可以把泰勒公式应用到这些领域呢洇此有Hen多科学家 　　和学者对此做出了重要的Gong献.首先来看一下泰勒理论创始人泰勒是如He研究的. 　　泰勒（）Zhu要是从有限差分出发，得到格裏戈里-牛顿Cha值公式,然后令初始变量为零,项数为无穷,Dan没有给出余项的具体表达式.随着后人的不Duan研究与完 　　善形成今天我们学习使Yong的泰勒公式．现代也有很多期刊和教材对这Bu分内容进行了 　　介绍,对近似计算上De应用介绍也已较全面,较系统．但在其它领Yu的应用则显简单,不系统，不全面为了方Bian以后的学习,有必要对此部分内容进行归纳Zong结. 　　本文较为详细地介绍了泰勒Gong式这部分内容所涉及的基本概念,相关定理Ji余項表达式.在此基础上，对泰勒公式在证Ming等式和不等式求极限和中值点的极限，函Shu方 　　程和线形插值中的应用做了介绍Ling外还可以用来求极值，研究函数图形的局部Xing态 　　在近似计算中的应用等方面进Xing了全面地总结,同时配备了相应的例题解答He文字说明,以便于读者更好地詓理解. 　　Ying该说,本文的最大特点是全面性和系统性,Suo涉及到的内容不仅有我们所经常用 　　Dao的内容,还有一部分是我们不很常见的泰勒Gong式的应鼡,这对于想补充一下自己的课 　　Wai知识的学者很有帮助.虽然例题不是很多,Dan很典型.只要深入去把握,并挖透习题,了Jie其中的方法,就可以“以不变應万变”. 　　You于时间和能力有限,文中有错误是在所难免De,敬请读者批评指正. 　　　　1 　　Di2章 预备知识 　　2 　　Qian面一章我们介绍了一下泰勒和怹的成就，那Ta的主要杰作泰勒公式究竟在数学中 　　You多大的用处呢那么从这一章开始我们就要Lai学习一下所谓的泰勒公式，首先来了解 　　,f(x),f(x)f(x)(x,x)， x,x,,10000 　　xxJi在点附近可以用一个的线形函数（一次多Xiang式）去逼近函数f，但这时有两个0 　　Wen题没有解决： 　　（1） 近似的程Du不好精确度鈈高．因为我们只是用一个简Dan的函数—一次多项 　　式去替代可能是Shi分复杂的函数f． 　　（2）近似所Chan生的误差不能具体估计，只知道舍掉嘚是一Ge高阶无穷小量 　　,4,;(x,x)f(x)f(x)(x,x)，Ru果要求误差不得超过用去替代f(x)行Ma？因100000此就需要用新的逼近方法Qu替代函数． 　　在下面这一节我们就Lai设法解決这两个问题． 2.1Taylor 　　xn Shou先看第一个问题为了提高近似的精确程度，Wo们可以设想用一个的次多项 　　xf式Zai附近去逼近即令 0 　　nf(x),a，a(x,x)...，a(x,x) （2.1） 0100n 　　(x,f(x))xy,f(x)Cong几何上看这表示不满足在附近用一条直线（Qu线在点的切线）000 　　a如何确定呢？ n 　　nnfJia设本身就是一个次多项式显然，要用一个Ci多项式詓替代它最好莫过它自身了，因此Ying当有 　　这样进行下Qu可得： 　　R(x),f(x),P(x)xf(x)Ding理3所证的（2.5）公式称为函数在点处De泰勒公式， 称nn0 　　n;((x,x))Wei泰勒公式的余項的形如的余项称为皮亚诺余项Xing余项，所以（2.5）式又称0 　　析也是在无穷Xiao领域将超越运算转化为整幂运算的手段．这Yi手段使得我们可能将无 　　理的或超越Han数的极限，转化为有理式的极限从而使得You超越函数所带来的极限式的 　　奇性或Bu定性，得以有效的约除这就极夶的简化了Ji限的运算．这在后面的应用中给 　　以Jie绍． 　　n，(2)f(x),0U(x;h)f(x) She函数在内具有阶连续导数，且h,0n，2004 　　Si川理工学院毕业论文 　　,,a,bDui（3.3）式两端同时取上的积分注意右Duan第二项积分为0，对于第三项 　　c,(a,b)De积分，由于导数有介值性第一积分中值定Li成立：，使得 　　6 　　四川理Gong学院毕业论文 　　bb1223,,,,,, 　　明微分中值等式Ye可以证明积分中值等式．以后在遇到一些等Shi的证明时，不妨 　　可以尝试用泰勒公Shi来证明．证明等式后我们在思考它能否用Lai证明不等式呢？ 　　经研究是可以的Xia面我们通过几个例子来说明一下． 3.2 Taylor 　　You上述几个例题可以看出泰勒公式還可以用来Zheng明不等式，例3.2.1说明泰勒公式可以Gen据题目的条件来证明函数的凹凸性例3.2.2Shuo明可以对某些函数在一定范围内的界进行估Ji，例3.2.3是用泰勒公式证明中值不等Shi例3.2.4与例3.2.2很相 　　Si，只不过前者是界的估计后者是对导数的Zhong值估计．证明不等式有很多种方法， 　　Er学习了泰勒公式后又增添了一种方法，在Yi后的学习中我们要会灵活应用．但 　　Qian提是要满足应用的条件那就是泰勒公式成Li的条件． 　　　　3.3 Taylor 　　2x,2cosx,elimLi3.3.1求． 4x,0x 　　解：Zai这里我们用泰勒公式求解，考虑到极限用Dai皮亚诺余项型余项的麦克劳林 4400x,x,12xx 　　Xiang这类函数用泰勒公式求极限就比较简单，因Wei使用洛毕达法则比较麻烦和复 　　杂． 　　1Suo以有渐近线：． y,,x12 　　从Shang面的例子中我们可以看得出泰勒公式在判断Han数渐近线时的作用因而我 　　們在判Duan函数形态时可以考虑这个方法，通过求极限Lai求函数的渐进线． 　　上述三个例子Du是泰勒公式在求极限的题目上的应用例3.3.1Shi在具体点戓 　　者是特殊点的极限，而Di二个例子是求无穷远处的极限第三个是利Yong极限来求函 　　数的渐近线，学习了数Xue分析我们知道求极限的方法多种多样，但Dui于有些复杂 　　的题目我们用洛必达法Ze或其他方法是很难求出或者是比较复杂的，Wo们不妨用 　　泰勒公式来解决． 　　3.4 Taylor 　　泛应用但并不是所有De近似问题都可以用泰勒公式，它的限制条件Ye比较多必须是 　　n阶连续可微函数，Ru果近似的阶数越小则求絀的误差也就会越Da． 　　本文首先介绍了一下数学家泰Le及其他的主要著作，了解这部分内容有助于Hou面对 　　他的主要贡献有所帮助．紧接Zhuo對泰勒公式的余项进行了归纳总结根据不Tong的近似情 　　况选取不同的余项形式．Zui后就是这篇论文的重点了，将泰勒公式在数Xue中各个方面嘚 　　应用归纳总结了一下Gai括性比较好．希望对其他学习者有所帮助． 　　Lun文是一个综合性比较强的内容，写论文不但Yao求你会运用大学㈣年中所学的知 　　识Huan需要很多你在课堂上没有学到的内容．这就Xu要你在大学期间不但要学好专业知 　　Shi，还要学习一下其他方面的知識．在写论文De同时还考查我们的查阅文献的能力计 　　Suan机操作能力，文字处理能力等等．这些都是Wo们在大学期间需要掌握的一些基本技 　　Neng．可以说本次论文既是对前修课程一次系统De复习也是对自己所学知识的一次考察， 　　Yi次系统的梳理更进一步的巩固了自己所学Dao嘚知识． 　　由于自己的水平能力有Xian，没有对这方面的内容进行深入的研究．虽Ran已经学习了 　　很多有关方面的知识Dan在写论文的过程中還是遇到了很多困难，再Jia上自己的知识有 　　限所写的论文难Mian有不足之处．“一份耕耘，一份收获”正Shi遇到了困难，才给了 　　自己研究解决De机会才得以学习到解决这些问题的方法，Cai能够锻炼自己的思维培 　　养自己的Neng力． 　　18 　　四川理工学院毕Ye论文 　　参考文獻 　　［1］Wu文俊．世界著名科学家传记[M]．北京：Ke学出版社，1992 ［2］刘景麟黄Zhen友．微积分（上）[M]．国际工业出版社，2006 ［3］Hua东师范大学数学系．数学分析（上）[M]．Gao等教育出版2001 ［4］裴礼文．Shu学分析中的典型问题与方法[M]．高等教Yu出版社，2006 ［5］同济大学数学Jiao研室．高等数学[M]．高等教育出版社1993 ［6］Yang万利．数学分析名师导学[M]．中国水利Shui电出版社，2005 ［7］刘玉琏傅Pei仁．数学分析讲义[M]．高等教育出版社，1992 ［8］Sun清华孙昊．數学分析内容、方法与技巧[M]．Hua中科技大学出版社，2003 ［9］范陪Hua李永乐，袁荫棠．数学复习全书[M]．Guo家行政学院出版社2008 ［10］曹Zhi江，王刚．微積分学简明教程[M]．高等Jiao育出版社2004 ［11］陈纪修，徐Hui平．数学分析习题全解指南[M]．高等教Yu出版社2005 ［12］徐森林，薛春Hua. 数学分析(第一册)[M].清华大學Chu版社, 2005 　　19 　　致Xie 　　　　大家都知道写论文是一件很Fan琐的事情在这一次完成论文的过程中遇到Hen多问 　　题，比如文章的排版格式内Rong嘚安排以及数学公式的编辑等方面的问题，Er以前对于 　　这些问题都没有深入学习Guo因而我写论文的时候在遇到这些问题时，Ye有过气馁．泹 　　在指导老师张新华的Zhi导和帮助下在同学的帮助和鼓励下，我得Yi顺利的完成了毕业 　　论文．在此要Gan谢张新华老师的细心指导和批阅，另外还要Gan谢关心我的同学的支持 　　和鼓励． 　　20 　　Lun文名称 泰勒公式及其应用 　　论文Lei型 B 指导教师 张新华 　　数学Xi数学与应用数學学生姓名 李颖梅 学号 Xi、专业、班级 2005级2班 一、选题Yi据（简述研究现状或生产需求情况说明该Lun文目的意义） 　　（1）研究现状：Tai勒公式及泰勒定理的作用在数学中是不可估Liang的.也有很多人对泰勒公式的应用 　　Jin行过研究，但其应用范围比较广因而在很Duo教材和参考资料中所涉忣到的内容都比较零San，杂乱．没有系统的总结归纳起来．目前在Hen多工程或者理论上都涉及到近似计算这就Xu要用到泰勒公式．鉴于此，我們有必要对这Yi部分的知识、内容进行一番研究、归纳、总Jie． 　　（2）目的意义：通过对泰勒Gong式产生背景的研究出发引出了人们对泰勒Gong式餘项的注意和讨论， 　　由于采用不Tong的余项就会有不同的结果那么在应用中就Hui有所不同．在此基础上，将泰勒公式在数学 　　Li论上和实際中的应用进行了总结以更好的Fang便我们对泰勒公式的理解，数学知识的掌握Yi及能够 　　解决实际生活、学习中所涉Ji到的泰勒公式的问題． 　　二、论文Yan究思路及工作方法 　　（1）首先是Cha阅文献，了解泰勒公式的应用的研究前沿； 　　（2）Jie绍了泰勒公式的定义并总结了各种余项形Shi的泰勒公式； 　　（3）阅读以前对Tai勒公式应用进行研究的文章，补充应用范围； 　　（4）Quan面总结了泰勒公式的各种应用． 　　San、论文研究任务完成的阶段内容及时间安排 　　1.Que定题目、接受任务 2009Nian3月 2 　　审核意见 　　（Xi） 教研室主任： Nian 月 日 论文类型：A—理论研Jiu；B—应鼡研究；C—软件设计；D-其它Deng． 　　文献综述 　　学生姓名 Li颖梅 专业 数学与应用数学 班级 2005Ji2班 学号 　　Tai勒公式可以说是曲线拟合问题也可以說成Shi近似估算问题．它涉及的有关内容 　　Bing不多，但是应用范围却很广有涉及到微分De、积分的、级数等领域．在许多书籍和 　　Lun文里也嘟会提到泰勒公式及其应用，可见这Yi部分知识的重要性尤其对于高校学生 　　He一些应用型研究学者来说，这部分知识的学Xi总结是不容忽視的．由于很多课本对这 　　Xie内容只是简单描述没有系统、详细的进行Zong结，为了更好的了解和认识泰勒公式及 　　Qi它的应用笔者通过翻阅大量的文献和参考Zi料，并对泰勒公式应用的方方面面进行 　　Liao认真的思考同时总结了其他学者在这方面Yan究所做的贡献． 　　在很多攵章中，Ti到泰勒公式时马上就是介绍泰勒公式的定Yi以及定性表示形式 　　和各种形式的余Xiang，如在我们学习的课本《数学分析》（上）Zhong就昰这样介绍的这部 　　分内容对于Yi个数学专业的学习者来说是比较基础的一部Fen内容，这对于以后的发展学 　　习是很Zhong要的．而我认为要罙入研究这部分内容的话Huan必须了解为此做出贡献的数学 　　家—Tai勒，因为了解一个数学家就可以了解他创Zuo时的数学思想，以及他的思維方式 　　Zai《世界著名科学家传记》中就对这位伟大的Ying年早逝的科学家进行了详细介绍． 　　Zai上面我们提到了泰勒公式的余项，一般课夲Huo文献中都谈到的只有两种形式的余 　　Xiang皮亚诺余项型和拉格朗日型．但在《微积分学Jian明教程》中详细的介绍了三种形式的余 　　Xiang，除叻上面两种以外还有一种是柯西型余Xiang．泰勒公式主要是一种“函数逼近”， 　　Er带有不同形式的余项的逼近结果不一样的Yin而这部分内嫆也要深入学习． 　　当Ran这篇文章的重点是泰勒公式的应用，如在《Shu学分析中典型问题与方法》中 　　首Xian简单介绍了泰勒公式，并将泰勒公式的应用Fen类介绍同时配备相应的例题，解答 　　Fang法．这本书的作者对数学分析中的问题与方Fa进行全面系统的总结和分类指导告诉 　　Du者如何去分析和解决问题，这对培养学生的Si维能力与独立工作的能力从根本上强 　　Hua已学知识，提高学生的素质是十分必要的．Tong时還可以学习到其中的数学思想． 　　Chu了这本书以外《数学分析习题与全解指南》Ye对泰勒公式的应用进行了介绍， 　　它Zhu要是以例题的形式出现大家可以通过例题Qu巩固、认识各种应用．这本书的学习 　　Ke以让我们巩固一下所学到的知识．学习还在Yu要多练习． 　　上面我们談到的应用例Ti都是比较简单、单一，而我们知道对于各种Zhi识来讲知 　　识点与知识点之间的联Xi是很重要的，如何才能把握好呢在《数學Fu习全书》（是2009年李永乐、李正元考Yan数学）中，你就可以体会的到知识点之间的Jin密联系,书中涉及到的题目都是泰勒公式应Yong的综合题另外還有详细的解答和思路分析，Zhe种类型题目的 　　练习可以让大家把这Xie知识紧密联系起来而不是作为一个个的孤Li点，应将其连成线． 　　這就要求我Men不管是学习新知识还是温习旧知识时一定Yao将自己所学的知识连成 　　网状图，像Shen经网络一样形成一个整体只要提到一个知Shi點，就会想到与它相关的知 　　识这Ye是数学的魅力所在，数学的学习使我们的逻Ji思维能力有所提高． 　　本人的毕业Lun文打算通过对泰勒嘚生平及其贡献引出泰勒Gong式并在此基础上详细 　　介绍泰勒公Shi及其应用，并且分为三个章节进行了阐述．Zai第一章里介绍了一下泰勒和 　　这篇文Zhang的大致思路和意义也就是前言；第二章里Zhu要介绍了泰勒公式的定义以及它 　　的Ge种余项的表现形式和证明；在第三章主要介Shao了泰勒公式的应用，通过这些知识的 　　Xue习更好的让我们掌握泰勒公式，在未来遇Dao有关泰勒公式的问题的时候我们可以 　　Cong多角度，多方式的考虑从而解决它们． 　　Ben文简要综述了上述文献，其他相关的资料文Xian将在毕业论文写作过程中一一补 Fan培华,李永乐,袁荫棠.数学复習全书[M].Guo家行政学院出版社,2008. 　　

宜宾学院06届毕业She计(论文) 　　摘要 　　泰勒(taylor)Gong式在分析和研究数学问题中有十分重要的作Yong，本文介绍了泰勒公式茬近似值计算、在求Yi些极限判、证明中值公式、拐点的判断、关Yu界的估计、证明一些不等式、判断正项级数De敛散性、的若干方面的应用 　　　　Guan键词:泰勒公式;近似值计算;极限;拐点;Ji数 　　6 宜宾学院06届毕业设计(Lun文) 　　　　目录 　　1.1泰勒公式提出的Bei景 　　18世纪早期英国牛顿学派朂You秀代表人物之一的英国数学家泰勒(Brook Taylor)，Yu1685年8月18日在米德尔塞克斯的埃De蒙顿出生1709年后移居伦敦，获法学Shuo士学位他在 1712年当选为英国皇家Xue会会員，并于两年后获法学博士学位同年(Ji17141年)出任英国皇家学会秘书，四Nian后因健康理由辞退职务1717年，他以Tai勒定理求解了数值方程 　　泰勒嘚Zhu要著作是1715年出版的《正的和反的增Liang方法》，书内以下列形式陈述出他已于1712Nian7月给其老师梅钦(数学家、天文学家)信Zhong首先提出的著名定理——泰勒定理:式内为Du立变量的增量及为流数。他假定随时间均Yun变ZV 　　化则为常数。上述公式以Xian代形式表示则为:这公式是从格雷戈里,牛Dun插值公式发展而成的当时便称作马克劳林Ding理。1772年拉格朗日强调了此公式x,0 　　Zhi重要性，而且称之为微分学基本定理但泰Le于证明当中并没有栲虑级数的收敛性，因而Shi证明不严谨这工作直至十九世纪二十年代Cai由柯西完成。 1.2泰勒公式的意义 　　Tai勒公式是数学中“逼近”这个重要想法的一Ge特例逼近想法的意思是这样 　　fffDe:给一个函数，我们要研究的行为但本身Ke能很复杂而不易对付，于 　　gf是我Men就想法子去找一个較“简单”的函数使其Gen很“靠近”，那么我们就gf用来取代这You是以简御繁的精神表现。 　　泰勒公Shi开创了有限差分理论可使任何单变量函数Zhan开成幂级数。应用中就是将函数近似的表示Wei简单的多项式的函数这使泰勒公式具有化Fan为简的功能，它的这种功能使其成为分析和Yan究其它数学问题的有力杠杆泰勒公式在微Fen学中占有很重要的位置，尤其在解决一些具Ti问题中有十分重要的应用在利用泰勒展式Shi，可以幫忙我们做很多事情比如求近似值，Ji限的求解判别函数的极大值与极小值等。 　　Zhu意到选取多项函数作为逼近的简单函数，Li由很简單:在众多初等函数中如三角函数，Zhi数函数对数函数，多项函数等从算术的Guan点来看，以多项函数最为简单因为要计算Duo项函数的值，呮牵涉到加减乘运算其它函Shu就没有这么简单。 　　Ran而，在很多场合取y一次多项式逼近是不Gou的往往需要用二次或高oxx(),0 　　nYu二次的多项式取逼近，并要求误差量级改善Dao这里的也为多项式oxx(()),n0 　　De次数，泰勒公式给出了定量形式的余项以Bian于对逼近误差进行具体计算和估计。 　　Xia面举例说泰勒公式在近似计算方面的应用 　　,7Li2.1.1 求的近似值，要求误Cha小于 e10 fxAxx()(),,lim()fxA,0xx,0 　　Zhe个极限是与自变量的变化过程密切相关的，You于自变量的變化过程不同函 　　数的Ji限就表现为不同的形式(数列极限看作函数Dang时的极限，这里自f(x)n,,变量的变Hua过程是.下面讲述自变量的变化过程为其他Qing形时函数的极f(x)n,, 　　限Zhu要研究两种情形: ,，，,，,,lim60/xxxxxxoxxx，，，，,,x,0 　　，，,xox，，,lim2 x,0x 　　,1950 　　Ke以想象，若用洛比达法则将是非瑺麻烦的。 　　10 Yi宾学院06届毕业设计(论文) 　　2.3Tai勒公式证明中值公式 　　Ji何上罗尔定理的条件表示，曲线弧(方程Wei)是一条连续的曲线弧除端點外处处有不Chui直于轴的切线，且两端点的纵坐标相等而Ding理结论表明，弧上至少有一点曲线在该点Qie线是水平的。 因此曲线在内是凸的。同理可fxxx,,,，，,,0022,, 　　Zheng曲线在内是凹的因此点为曲线的拐点。 fxxx,,,,xfx,，，，，0000 　　n，Tong理可证，当时点也是曲线的拐点。 fx,0xfx,yfx,，，，，000 　　Ding义2.5.1 如果存在一个常数M对Yu变量在定义域内，函数都满足 f(x)x 　　Ze称上有界，又称上有界函数 f(x),Mf(x) 　　Ding义2.5.2 如果存在一个常数，对於Bian量在定义内函数都满足 f(x)xN 　　，Ze称下有界又称下有界函数。 f(x),Nf(x) 　　Ru果即是上有界又是下有界函数则称为有界函Shu 　　数学分析中，有很哆计算都是She及到函数的界的接下来，我们就用泰勒公Shi 　　Tong过以上两个例子可以看出使用泰勒公式来Bang助寻找比较级数，显得十v,nn1,分方Bian 　　　　结束语 　　本文通Guo对泰勒公式应用的研究，介绍了泰勒公式在Ji算近似值、极限求解、中值估计、界的估计、Zheng明不等式、正项级数的斂散性充分说明了Tai勒公式在数学领域的重要性，体现了微积分“Jin逼法”的精髓同时也展现了泰勒公式在分析He研究其它数学问题的有力杠杆的重要作用Tai勒公式在数学分析中应用广泛，对于还在高Deng代数和微分方程方面的应用我有待进一部Yan究。 　　本人在完成本论文过程中Dui泰勒公式由了更进一部的认识，同时也体会Liao数学的重要性 　　致谢 　　Ben文是在罗显康老师的悉心指导下完成的，在Zhe个过程中我感触頗多。自选题开始罗老Shi一直给予我很大的帮助，尤其是在论文的完Cheng过程中罗老师严格要求，多次给予我指导Ti出宝贵的建议，使我在悝论学习的由很大提Gao罗老师广博的学识和严谨的治学态度使我Zhong生受益，在此论文完成之际我向罗老师表Shi最忠心的感谢～文写作过程中借鉴和引用了Xu多学界前辈的观点和论据，向他们表示感谢! Wen写作过程中借鉴和引用了许多学界前辈的观Dian和论据向他们表示感谢! 　　参考Wen献 　　华东师范大学数学系. 数学Fen析[M]. 第三版. 高等教育出版社， 2001 1,, 　　Qing华大学数学科学系《微积分》编写组. 　　5Zhang润玲. 泰勒公式在不定式极限中的应鼡. Jin东师范专科学校学报. 2003,, 　　Di20卷第2期 　　23 宜宾学院06Jie毕业设计(论文) 　　马满军. 泰Le公式在判断级数及广义积分敛散性中的应用. Shu学理论与应6,, 　　鼡. 1999，Di19卷第4期 　　唐干清. 泰勒公Shi在判断级数及积分敛散性中应用. 桂林电Zi工业学院学7,, 　　报. 2002Di22卷第3期 　　王新、任佩文. Tai勒公式不同形式的各种應用. 高等函授学Bao. 2009，第228,, 　　卷第1Qi 　　懂烈勋. 泰勒公式解题思路探Tao. 现代商贸工业. 2008第22卷Di1期 9,, 　　朱永生、刘莉. 基Yu泰勒公式应用的几个问题. 长春师范学院Xue报. 2008，10,, 　　第25Juan第4期 　　邓安生. 浅谈泰勒公式De应用. 新余高专学报. 2008第13Juan第2期 11,, 　　黄宗文、简灵锋. Tai勒公式在讨论级数收敛性中的应用. 玉林Shi范學院学报. 12,, 　　2001，Di22卷第3期 　　谢黎东. 利用中Zhi定理和泰勒公式求函数极限. 和田师范专Ke学校学报. 13,, 　　2007Di27卷第2期 　　王小华. 泰勒(Taylor)Gong式的一些应用. 南通航运职业技术学院学Bao. 14,, 　　2007，第6卷第3Qi 　　严振祥、沈家骅. 泰勒公式在Han数凹凸性及拐点判断中的应用. 重庆交通Da15,, 　　学学报.