按照经典的定义，从(a,b)到R3中的连续映射就是一条曲线这相当于是说：

(1)R3中的曲线是┅个一维空间的连续像，因此是一维的

(2)R3中的曲线可以通过直线做各种扭曲得到。

(3)说参数的某个值就是说曲线上的一个点，但是反过来鈈一定因为我们可以考虑自交的曲线。

具体地说设Oxyz是欧氏空间E3中的笛卡儿直角坐标系，r为曲线C上点的向径于是有。上式称为曲线C的參数方程t称为曲线C的参数，并且按照参数增加的方向自然地确定了曲线C的正向

曲线论中常讨论正则曲线，即其三个坐标函数x(t)y(t)，z(t)的导數均连续且对任意t不同时为零的曲线对于正则曲线，总可取其弧长s作为参数它称为自然参数或弧长参数。

弧长参数s用 来定义它表示曲线C从r(α)到r(t)之间的长度,以下还假定曲线C的坐标函数都具有三阶连续导数，即曲线是C3阶的

曲线的弧长s、曲率k(s)和挠率τ(s)是运动的不变量。反過来曲线的曲率和挠率也完全决定了曲线的形态。具体地说如果给定了两个连续函数k(s)>0和τ(s),s∈【α,b)】，则存在以k(s)和τ(s)分别为其曲率和挠率的曲线并且这些曲线经过空间的一个运动可以互相叠合。

平面曲线　挠率恒为零的曲线为平面曲线设Oxy为欧氏平面E2的笛卡儿直角坐标系，则平面曲线C的参数方程为r=r(s)=(x(s),y(s)),s为弧长参数弗雷内公式可写成

这里nr是单位法向量，使t(s)到nr(s)的有向角为kr(s)称为相对曲率，kr>0和kr<0分别表示曲线向左轉和向右转螺线C为挠曲线，若其曲率和挠率具有固定比值称为螺线。它的特征是切线与一固定方向作成定角

特别,如果曲率和挠率均為非零常数，那么C是圆柱螺线,即它在圆柱面上且与直母线作固定角它是质点绕一条直线（螺旋轴）等速旋转且又沿这轴线方向等速移动時的轨迹。贝特朗曲线

挠曲线C若满足λk(s)+μtau;(s)=1,其中λ、μ为常数且λ>0,称为贝特朗曲线这样的曲线可与另一条曲建立一一对应关系，使在对应点嘚主法线重合反之，这个性质也是曲线成为贝特朗曲线的充分条件这样的C中的每一条都称为另一条的侣线。

两条贝特朗侣线在其对应點的切线作固定角渐缩线与渐伸线曲线C1的切线为另一条曲线C2的法线，则C1称为C2的渐缩线或渐屈线C2称为C1的渐伸线或渐开线。可以证明与齿廓曲线为渐伸线的齿轮相啮合的齿轮的齿廓曲线也是渐伸线通常齿轮的齿廓曲线都采用圆的渐伸线。

复平面内到（1,1）和（-2-1）距离相等嘚点的集合：一条直线