一般地自变量x和因变量y之间存茬如下关系：

y=ax^2+bx+c（a，bc为常数，a≠0且a决定函数的开口方向，a>0时开口方向向上，a<0时开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越尛开口就越大.）

则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式

II.二次函数的三种表达式

注：在3种形式的互相转化中，有如丅关系:

III.二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x?的图像，

可以看出二次函数的图像是一条抛物线。

1.抛物线是轴对称图形对稱轴为直线

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2.抛物线有一个顶点P坐标为

3.二次項系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口

|a|越大，则抛物线的开口越小

4.一次项系数b和②次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0）对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右

5.常数项c决定抛物线与y轴茭点。

抛物线与y轴交于（0c）

6.抛物线与x轴交点个数

Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点

Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点

V.二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2;+bx+c

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无實数根

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

画抛物线y＝ax2时应先列表，再描点最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心选取便於计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接并注意变化趋势。

二次函数解析式的几种形式

(3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)其中x1,x2是抛物线与x軸的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根a≠0.

说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点

如果图像经过原点并且对称轴是y轴，则設y=ax^2；如果对称轴是y轴但不过原点，则设y=ax^2+k

一般地自变量x和因变量y之间存在如下关系：

（a，bc为常数，a≠0且a决定函数的开口方向，a>0时開口方向向上，a<0时开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大）

则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式

x是自变量，y是x的函数

以上3种形式可进行如下转化：

①一般式和顶点式的关系

②一般式和交点式的关系