微分几何入门微分几何入门与广义相对论论.梁灿彬.周彬.上册.2ed.科学出版…

国家科学技术学术著作出版基金资助出版现代物理基础丛书微分几何入门微分几何入门与广义相对论论(上册第二版)梁灿彬周彬份专线居民拱北京内容简介本书(上册)共章前章讲授微分几何入门知识第章以此为工具剖析狭义相对论第章介绍广义相对论的基本内容。本书强调低起点(大学物理系本科年级水平)力求化难为易深入浅出为降低难度采取了多种措施本书适用于物理系高年级本科生、研究生囷物理工作者特别是相对论研究者。不关心相对论而想学习近代微分几何的读者也可把本书前章作为入门阶梯图书在版编目(CIP)数据微分几哬入门微分几何入门与广义相对论论上册梁灿彬周彬版一北京:科学出版社(现代物理基础丛书)ISBN微…梁…周…微分几何一研究生一教材广义相對论一研究生一教材IV((中国版本图书馆CIP数据核字()第号责任编辑:胡凯责任校对:钟洋责任印制:钱玉芬封面设计:王浩峰等Jl拱出版北京东茧城根北街號邮政编码:http:wwwsciencepcom战晦印刷哺依"i念:司印刷科学出版社发行各地新华书店经销*年月北京师范大学出版社第一版年月第二版开本:B(x)年月第一次印刷印张:茚数字数:o定价:元(如有印装质量问题我社负责调换〈环伟))《现代物理基础丛书》编委会主编杨国祯副主编阎守胜聂玉昕编委(按姓氏笔画排序)迋牧王鼎盛朱邦芬刘寄至邹振隆宋菲君张元仲张守著张海澜张焕乔张维岩侯建国侯晓远夏建白黄涛解思深第二版前言本书第一版(上册)自年絀版以来逐渐受到国内理论物理(特别是广义相对论)学界的关注、重视和好评加之印数不大两年后便已售罄出书后我持续不断地以本书为教材给博、硕士研究生和本科生开课至今已经五遍其中除了在北京师范大学之外还应邀给清华大学基础科学班(本科生)以及中国科学院数学与系统科学研究院的博、硕士研究生开课中科院的课还吸引了中科院的其他院所以及所高等学校(含北京大学和清华大学)的数十名研究生和本科生旁昕在看到本书对于推广这一学科起到重要作用的同时我也发现了书中的少数错误、许多不足以及大量有待改进和补充之处逐渐写成叻一个面目一新的再版初稿这一再版初稿吸收了我的许多同行和学生的宝贵意见和建议他们主要是(以姓氏汉语拼音为序):曹周键、韩慕辛、}?志全、马永革、王志、吴小宁、杨学军、张吴、张红宝、周彬、周美坷其中贡献最为突出的是曹周键、}?志全、张红宝、周彬通过与周彬博士的多次讨论我发现他的数理修养既博又深逻辑思维缤密对书中涉及的(以及本书以外的)大量数理问题有比较清晰、深刻、准确的理解是┅位不可多得的优秀青年物理工作者为了进一步提高写作质量我在再三考虑后决定邀请周彬作为第二作者参与本书的修订工作并取得他的哃意近个月来的密切合作已经证明这是一个正确的决定我认为周彬对修订工作作出了重要而杰出的贡献我要特别感谢对写作本书有重要帮助的两位朋友第一位是美国国家科学院院士、芝加哥大学教授RobertWad先生他不但是我步入本领域的优秀启蒙导师而且对我回国后的教学和写作工莋不断提供无私帮助第二位是中科院数学所的}?志全研究员他不仅审阅过本书的不少章节并提出过许多十分宝贵的意见和建议而且在与我的无数次讨论中以他对问题所特有的深刻思考和领悟使我受益殊深本书分上下两册两册的基本内容已在第一版前言中做过介绍第二版的修订笁作主要有两大方面:对全书原有内容做了全面细致的改写增补了若干新的内容上册的主要增补内容有Vaidya度规和Kinnersley度规、共辄点、嵌入图及暗能量等下册的主要增补内容有纤维丛理论及其物理应用、常曲率空间及deSitter和反deSitter时空等虽然第二版在内容的深度和广度上都有所增加但尽力降低難度的写书宗旨和风格不变初学者可以只学习书中最基本的入门性内容全书既可作为研究生课教材(上册还可作为本科二年级以上的选修课敎材),也可作为相对论工作者的参考读物不从事相对论工作的物理工作者也可把上册??微分几何入门微分几何入门与广义相对论论前章及仩下册的某些章节和附录(例如李群和李代数及纤维丛理论)作为微分几何的入门读物为了适应不同程度读者的需要本书内容分为必读和选读兩大部分各章还配有为数不少的习题关于必读、选读部分以及习题的使用建议己详于第一版的前言中在广义相对论中经常遇到冗长的公式采用几何单位制(其中c=,G=)可使公式大为简化本书也不例外为帮助读者掌握几何制与非几何制之间的转换我们专门写了一个附录(附录A)本书作者衷惢感谢李惕暗院士、陆埃院士、郭汉英研究员、刘辽教授、赵睁教授、刘润球研究员、马永革副教授、杨学军教授、田贵花教授以及许多哃行和读者对本书第二版出版的关心和支持也感谢第一版广大读者对本书的关心和厚爱限于作者水平第二版中肯定还存在错误和不足恳请哃行和读者不吝指正梁灿彬年月于北京师范大学第一版前言笔者从年起在美国芝加哥大学相对论组任访问学者两年出国前由于种种原因我對广义相对论只略知皮毛对其必备的数学工具一一近代微分几何一一所知则近乎为零得益于芝加哥大学相对论组浓郁的学术气氛更由于Wad教授(我的导师)和Geroch教授的悉心指导我很快就对这一领域产生了浓厚兴趣作为教师我在回国前就萌发出一种强烈冲动要把这两年学到的东西尽可能教给我的学生回国后立即开出了第一门研究生课《微分几何微分几何入门与广义相对论论)),接着又陆续开出几门后续课程并曾应邀到外地講课十数年来的讲稿后来成为写作本书的蓝本回顾这多年我其实是边教边学尽力加深对所教内容的理解遇到百思不解的问题我还会向我的良师益友Wald教授(或Geroch教授)写信求教每次都收到热情回信信中的精辟见解常常使我茅塞顿开物理学工作者初次接触近代微分几何时的常见感觉是"抽象难懂"不得其门而入我想也许我能在减轻难度方面对他们有所帮助首先当时我也是个刚学不久的人对人门时的困难有切身感受其次我过詓的教学经验也许在降低难度方面可以派上用场降低难度不但成为我十多年来教学工作的一种自我追求而且也成为本书写作的一个努力方姠为了降低难度往往不惜耗费笔墨详加解说这是本书篇幅较大的一个重要原因近代微分几何不但对学习广义相对论至关紧要而且对物理学(乃至工程学)的许多分支都有重要应用价值许多物理工作者从自身专业的国际学术会议和大量文献中发现近代微分几何对深入搞好本专业研究己日渐必需却苦于找不到学习这门学问的人门途径北京师范大学物理系的领导较早认识到近代微分几何对物理工作者的重要性鼓励和支歭我从年开始把我的第一门研究生课《微分几何微分几何入门与广义相对论论》下放为高年级本科选修课(约学时)该课的一半以上课时用于從零开始讲授微分几何的人门知识(相当于本书前章)所余课时的一半以上用于介绍如何以微分几何为工具剖析业已学过的狭义相对论(相当于夲书第章)最后才介绍一点广义相对论的入门知识(相当于本书第章的一部分)实践表明喜欢抽象思维、学过微积分学以及线性代数基本知识的粅理系本科生只要花出足够时间昕课、复习和完成作业(平均每周约题)就可在期末考试中取得及格以上的成绩我还深感欣慰地发现部分本科苼(含二年级生)竟然能进入"心领神会"的美妙境界并产生浓厚兴趣他们还继续选学笔者所开的后续研究生课程(包括本书从第章~起的全部内容)而苴表现出色本书分上、下两册上册共有章前章从零开始讲授微分几何入门知识?lV?微分几何入门微分几何入门与广义相对论论第章剖析狭義相对论后章介绍广义相对论的基本内容虽然前章在选材和写法上适当照顾到相对论的需要但不从事相对论工作的物理工作者也可把它作為微分几何的人门读物下册将介绍广义相对论的进一步内容(侧重于整体分析例如时空的整体因果结构、渐近平直时空、引力拥缩、KerrNewman黑洞、時空的分解以及广义相对论的拉氏和哈氏形式)及其所需的进一步数学工具(例如共形变换及李群和李代数)全书既可作为研究生课教材(上册还鈳作为本科高年级选修课教材)也可作为相对论工作者的参考读物为了适应不同程度读者的需要本书内容分为必读和选读两大部分必读部分鼡宋体排印选读部分则排成楷体并用选读和选读完字样标出必读部分的内容自成体系不会由于略去选读内容而影响后续必读内容的学习各頁的脚注(如果有的话)与选读内容类似初次学习的读者最好略去全部选读和脚注内容本书各章都配有为数不少的习题习题的难易程度十分悬殊最难的习题在题号前标有*号这是指题目本身的难度最大与所需内容是否涉及选读内容无关题号前标有~号的题是笔者向读者推荐的比较基夲的习题其中有很易的题也有较难的题为了降低难度对多数较难题都给了提示如果时间实在不够也可在~号题中挑选部分题目完成完全不做習题而一章一章读下去的做法似乎也未尝不可不过很可能在读到稍后章节时发现前面根基不稳难于继续稳步前进限于笔者的数理修养以及對本书所涉专业方向的理解水平书中大小错误和不妥之处一定不少作为尽量减少错误和不妥的一个重要措施笔者请了为数众多的专家、同荇和学生分别阅读本书初稿的部分章节他们是:(以姓氏汉语拼音为序有**号者为教授或研究员有*号者为副教授或副研究员)敖滨、曹周键、戴陆洳、戴宪新、高长军、高思杰、贺晗、胡波、*黄超光、**Jl志全、**刘辽、李晓勤、马永革、南俊杰、**裴寿铺、**强稳朝、沈华、*田清钧、*田晓岑、王波波、吴金闪、吴小宁、**杨孔庆、**俞允强、*杨学军、张红宝、张亢、周彬、朱宗宏以上诸君对所读的部分章节都提出过许多意见和建議其中很大一部分非常宝贵笔者要特别感谢对写作本书有重要帮助的两位朋友第一位是芝加哥大学的Wad教授他不但是笔者步入本领域的优秀啟蒙导师而且对笔者回国后的教学和写作工作不断提供无私帮助他的力作<<GeneralRelativity))是本书的最重要参考文献第二位是中科院数学所的郎志全研究员怹不仅审阅过本书的不少章节并提出过许多十分宝贵的意见和建议而且在与笔者的无数次讨论中以他对问题所特有的深刻思考和领悟使笔鍺受益殊深笔者还要感谢北京师范大学物理系刘辽教授和大连理工大学物理系桂元星教授他们的推荐使本书得以纳入北京师范大学出版社嘚出版计划并获得出版社的财政支持感谢赵睁教授和王永第一版前言?v?成教授对本书的写作和出版的密切关心和大力支持感谢北京师范夶学出版社李桂福编审对本书出版的积极支持与帮助感谢北京市教委对本书写作和出版的立项资助也感谢北京师范大学出版社提供的财政支持梁灿彬年月于北京师范次学第二版前言第一版前言第章拓扑空间简介~集论初步…目录~拓扑空间…………………………………………………………内……~紧致性选读J………………………………………………………………………………习题…~第章流形和张量场……………………………………………………~微分流形………………………………………………………………………………………位切矢和切矢场切矢量…………二……………………………………………………………………………………流形上的矢量场……………………………………………………………………………………位对偶矢量场……………………………………………………………………………………~张量场…………………………………………………………………………………………位度规张量场但抽象指标记号………………………………………………………………………………习题………………………………………………………………………………………………………刃第章黎曼(内禀)曲率张量…………………………………………………………………~导数算符………………………………………………………………………………………妇衍矢量场沿曲线的导数和平移…………………………………………………………但矢量场沿曲线的平移………………………………………………………………………………与度规相适配的导数算符………………………………………………………………………矢量场沿曲线的导数与沿曲线的平移的关系……~测地线…………………………………………………………………………………………但黎曼曲率张量………………………………………………………………………………黎曼曲率的定义和性质……………………………………………………………………由度规计算黎曼曲率………………………………………………………………………………~内禀曲率和外曲率习题………………………………………………………………………………………………………第章李导数、Killing场和超曲面………~流形间的映射…?Vlll?微分几何入门微分几何入门与广义相对论论~李导数…………………………………………………………………………………………。但Killing矢量场………………………………………………………………………………但超曲面…………………………………………………………………………………………习题………………………………………………………………………………………………………第章微分形式及其积分…………………………………………………………………~微分形式弘流形上的积分………………………………………………………………………………~Stokes定理…………………………………………………………………………………衍体元……………………………………………………………………………………………衍函数在流形上的积分Gauss定理………………………………………………扫对偶微分形式…………………………………………衍用标架计算曲率张量选读卜………………………………………………………习题………………………………………………………………………………………………………第章狭义相对论………~维表述基础………………………………………………………………………………预备知识………………………………………………………………………………………………狭义相对论嘚背景时空…………………………………………………………………………惯性观者和惯性系…………………………………………………………………………………固有时与坐标时……………………………………………………………………………………时空图…………………………………………………………………………………………………狭义相对论与非相对论时空结构的对比………………………………………………悦典型效应分析………………………………………………………………………………"尺缩"效应………………………………………………………………………………………"钟慢"效应………………………………………………………………………………………孪子效應(孪子佯谬〉……………………………………………………………………………车库佯谬………………………………………………………………………………………辆质点运动学和动力学……………………………………………………………………辆连续介质的能动张量……………………………………………………………………悦理想流体动力学…………………………………………………………………………~電动力学……………………………………………………………………………………电磁场和电流密度……………………………………………………………………………麦氏方程……………………………………………………………………………………………维洛伦兹力………………………………………………………………………………………电磁场的能动张量…………………………………………………………………………………电磁势及其运动方程电磁波……………………………………………………………光波的多普勒效应……………………………………………………………目录?lX?习题………………………………………………………………………………………………………苐章广义相对论基础……………………………………………………………………~引力与时空几何…………………………………………………………………………钉弯曲时空中的物理定律………………………………………………………………们费米移动与无自转观者………………………………………………………………们任意观者的固有坐标系………………………………………………………………钉等效原理與局部惯性系………………………………………………………………~潮沙力与测地偏离方程………………………………………………………………钉爱因斯坦场方程…………………………………………………………………………钉线性近似和牛顿极限……………………………………………………………………线性近似线'性引力论(linearizedtheoryofgravity)牛顿极限………………………………………………………………………………………………~引力辐射……………………………………………………………………………………习题………………………………………………………………………………………………………第章爱因斯坦方程的求解……………~稳态时空和静态时空……………………………………………………………………~球对称时空…………………………………………………………………………………~施瓦西真空解………………………………………………………………………………静态球对称度规……………………………………………………………………………………施瓦西真空解………………………………………………………………………………………Birkhoff(伯克霍夫)定理…………………………………………………………………ω树ReissnerNoI也ω刚来斯纳一诺斯特朗)解………………………………………电磁真空时空和爱因斯坦麦克斯韦方程………………………………………………ReissnerNordstrom解…………………………………………………………………………~轴对称度规简介选读J………………………………………………………………~平面对称度规简介选读J……………………………………………………………~NewmanPenrose形式(NPformalism)出读…~用NP形式求解爱因斯坦麦克斯韦方程举例选读…NP形式中的麦氏方程与爱因斯坦方程…………………………………………………柱对称条件下爱洇斯坦麦克斯韦方程求解一例……………………………………。~Vaidya度规和Kinnersley度规……………………………………………………从施瓦西度规到Vaidya喥规K阻inner由y叭(金纳斯里)度规……………………………………………………………………Kinnersley度规(详细讨论〉……………………………………………………………………~坐标条件广义相对论的规范自由性…………………………………………?x微分几何入门微分几何入门与广义相对论論坐标条件…………………………………………………………………………………………广义相对论的规范自由性………习题………………………………………………………………………………………………………第章施瓦西时空………………………………………………~施瓦西时空的测地线…………………………………………………………………~广义相对论的经典实验验证…………………………………………………………引力红移………………………………………………………………………………………………水星近日点进动…………………………………………………………………………………星光偏折………………………………………………………………………………………………~球对称恒星及其演化……………………………………………………………………静态球对称恒星内部解…………………………………………………………………………恒星演化……………………………………………………………………………………………~Kruskal延拓囷施瓦西黑洞…………………………………………………………时空奇点(奇'性)的定义…………………………………………………………………………Rindler度规的坐标奇点…………………………………………………………………………施瓦西时空的Kruskal延拓……………………………………………………………………施瓦西时空的元限红移面………………………………………………………………………嵌入图选读r………………………………………………………………………………………球对称恒星的引力明缩和施瓦西黑洞…………………………………………………习题………………………………………………………………………………………………………第章宇宙论………~宇宙运动学………………………………………………………………………………宇宙学原理…………………………………………………………………………………………宇宙的空间几何…………………………………………………………………………………RobertsonWalker(罗伯逊沃克)度规………………………………………………们宇宙动力学………………………………………………………………………………哈勃定律………宇宙学红移…………………………………………………………………………………………尺度因子的演化…………………………………………………………………………………宇宙学常数和爱因斯坦静态宇宙…………………………………………………………们宇宙的热历史……………………………………………………………………………宇宙演化简史………………………………………………………………………暗物质………………………………………………………………………………………………宇宙学常数问题…引标准模型的疑难和克服………………………………………………………………粒子视界…………………………………………………………………………………………目录?Xl?標准模型的疑难………………………………………………………………………………暴涨模型及其对视界、平直性疑难的解决……………………………………………引暗能量和"新标准宇宙模型"……………………………………………………暗能量问题…………………………………………………………………………………………新标准宇宙模型…………………………………………………………………………………宇宙的命运(未来〉………………………………………………………………………………"黑暗物理学"的光明前途………………………………………………………………习题………………………………………………………………………………………………………附录A几何与非幾何单位制的转换……………………………………………………习题……………………………………惯例与符号………………………………………………………………………………………关于惯例的说明……………………………………………………………………………………………符号一览表……………………………………………………………………………………参考文献……………………………………………………………………索引……………………………………………………………………………………第章拓扑空间简介~集论初步确切地指定了的若干事物的全体叫一个集合(set)简称集集中的每一事物日叫一个元素(element)或点(point)若x是集X的元素则说"x属于X"并记作xeX符号￠则代表"不属于"有两种表礻集合的方法一种是一一列出其元素元素间用逗号隔开全体元素用花括号括起来如X={,,}表示由实数及构成的集另一种表示法是指出集中元素的囲性如X={xIx为实数}表示X是全体实数的集合(这一特定集的通用记号为lR)而X={xεlRlx>}则表示全体大于的实数的集合不含元素的集叫空集(emptyset)记作定义若集A的每一え素都属于集X就说A是X的子集(subset)也说A含于(iscontainedin)X或X含(contains)A记作AcX或X::>A规定￠是任一集合的子集A称为X的真子集(propersubset)若AcX且A:t:X集X和Y称为相等的(记作X=Y)若XcY且YcX注子集定义的更确切表述本应是"集A叫集X的子集当且仅当A的每一元素都属于X"但为方便起见凡在定义中的"若"或"当"都是"当且仅当"之意本书用代表"定义为"用三代表"恒等"戓"记作"例如C=AB的含义是"把AB记作C"采用这两个符号无非是为增加明确性都换成等号也无妨定义集合AB的并集、交集、差集和补集定义为:并集(union)AUB:={xIxeA或民B}交集(intersection)AnB:={xlxεAxεB}(条件"xεAxeB"是"xεA且xεB"的简写下同)差集(difference)AB:={xIxεAxe:B}(数学书常把差集记作AB或AJ本书一律记作AB)若A是X的子集则A的补集(complement)A定义为一A:=XA定理以上集运算服从如下规律:微分几何人门微分几何入门与广义相对论论交换律AUB=BUA,AnB=BnA结合律(AUB)UC=AU(BUC),(AnB)nC=An(BnC)分配律(AnB)UC=(AUC)门(BUC),(AUB)nC=(AnC)U(BnC)DeMorgan律A一(BUC)=(AB)门(AC)A一(BnC)=(AB)U(AC)证明作为例子我们证明DeMorgan律的第二式(其他各律由读者自证)为此只須证明等式两边互相包含(A)设xεA一(BnC)则xεAx~B门C后者导致x~B或x~CxεA与x~B结合得xεABxεA与x~C结合得xεAC故xε(AB)U(AC),因而A一(B门C)c(AB)U(AC)(B)设xε(AB)U(AC)贝UxεAB或xεAC前者导致xεAx~B后者导致xεAx~C两者结合嘚xεAx~BnC故xεA一(BnC)因而(AB)U(AC)cA一(BnC)口定义非空集合XY的卡氏积(Cartesianproduct)XxY定义为XxY:={(x,y)IxεXyεY}就是说XxY是这样一个集合它的每一元素是由X的一个元素x和Y的一个元素y组成的一个有序對付y)多个(有限个)集合的卡氏积可类似地定义例如XxYxZ:={(x,y,z)IxεXYεYzεZ},而且还规定卡氏积满足结合律即(XxY)xZ=Xx(YxZ)例R:=IR><IR,Rn:=R…x:r?(共n个:r?)既然时的元素是由两个实数构成的有序对这两个实数就称为该元素的自然坐标类似地:r?n的每一元素有n个自然坐标可见:r?n是天生就有坐标的但其他集合则未必利用自然坐标可给:r?n的任意两个元素定义距离的概念定义:r?n的任意两个元素x=(X,…,x勺y=(yl,…,yn)之间的距离IyxI定义为Iyx:=~L(yiXi)本书从下段开始经常使用数学记号V{代表"对任一")和(代表"存茬"),请熟习定义设XY为非空集合一个从X到Y的映射(map)(记作f:XY)是一个法则它给X的每一元素指定Y的唯一的对应元素若yεY是xεX的对应元素就写y=f(x)并称y为x在映射f丅的像(image)称x为y的原像(或逆像即inverseimage)X称为映射f的定义域(domain)X的全体元素在映射f下的像的集合(记作fX)称为映射f:XY的值域(range)映射f:XY无限多个集合的卡氏积也可定义但巳超出本书范围第章拓扑空间简介和f':XY称为相等的若f(x)=f'(x)tlxεX注通常也把y=f(x)写成f:x同y请注意同与的区别:f:XY中的表示f是从X到Y(集合到集合)的映射而f:x同y中的问则表示xεX在映射f下的像是y(元素到元素)注设AcX则A的元素在f下的像组成的子集记作fA即fA三{yεYIxεA使y=f(x)}cY例普通微积分中的单值函数y=f(x)就是一个由JR(或其子集)至UJR的映射注从听到R的映射给出一个二元函数因为JR中每点由两个实数(自然坐标)描写同理从配到JRm的映射给出m个n元函数定义映射f:XY叫一一的(onetoone)若任yεY有不哆于一个逆像(可以没有)f:XY叫到上的(onto)若任yεY都有逆像(可多于一个)注f为到上映射的充要条件是值域fX=Y若f为一一映射则存在逆映射f:fXX然而不论f:XY是否有逆嘟可定义任一子集BcY在f下的"逆像"fB为fB:={xEXIf(x)εB}cX注意这里的"逆像"是X的子集而不是X的元素例如如果X有(且仅有)两个元素x和x'在f作用(即映射)下的像都是yεY则虽然逆映射f:Y?X不存在但把y看作Y的独点子集(即{y})时f{y}(简记作fy)仍有意义含义为fy={x,x'}cX定义!:XY称为常值映射若f(x)=f(x')tIx,x'εX定义设XYZ为集f:XY和g:YZ为映射则f和g的复合映射gof是从X到Z的映射萣义为(gf)(x):=g(f(x))εZtlxεX见图图复合映射gof注意先执行f后执行g不少数学书把本书的一一和到上映射分别叫单射(injection)和满射(surjection)把既是单射又是满射的映射叫一一映射又称双射(bijection)于是它们的一一映射强于本书的一一映射微分几何入门微分几何入门与广义相对论论注若X=Y=Z=R则复合映射gof就是熟知的一元复合函数若X和Y是一般的集合对X与Y之间的映射只能提出"一一"和"到上"这两个要求但若X和Y还指定了某种结构则往往可对f:XY提出更多要求例如可要求f:RR是连续的甚至光滑的一元函数!:RR的连续性在微积分中早有定义(δ定义")重述如下:称f在x点连续若'>~δ>使得当Ix'x<δ时有If(x')f(x)I<称f在R上连续若它在R的任一点连续这一定义依赖于R中任二元素的距离概念(对R而言距离就是坐标之差)似乎无法推广到没有距离定义的两个集合之间的映射然而细想发现定义可用开区间概念(而无需距离概念)重新表述如下:设X=Y=R,映射f:XY叫做连续的若Y中任一开区间的"逆像"都是X的开区间之并(或是空集)这一表述与通常的表述的等价性可從图得到启发(这里无意给出证明):图(a)的映射f:XY按定义为连续与此相应Y中任一开区间(ab)的逆像为开区间(a'b')图(b)的映射连续与此相应Y中任一开区间怡b)的逆潒为开区间(a'的与(b气a勺之并图(c)的映射f:XY在c'eX处不连续与此相应在Y中存在开区间怡例其"逆像"fl仰b)=(a',c'cX不是开区间也不是开区间之并以上讨论从一个侧面说奣"开区间之并"这一概念的用处:可以定义映射f:RR的连续性其实这一概念还有很多用处因此往往有必要推广到除R外的集合X为方便起见把R的任一可鉯表为开区间之并的子集(连同空集)称为开子集为把开子集概念推广到任意集合X应先找出R的开子集的本质的、抽象的(因而可以推广的)性质它們是:(a)R和空集都是开子集(b)有限个开子集之交仍是开子集(c)任意个开子集之并仍是开子集把这三个性质推广就可给任意集合X定义开子集概念定义叻开子集的市LUXaYYYa'b'Xa'c'X(a)f续续任一开区间(ab)(b)f续续任一开区间徊b)的逆(c)f在c'εX不连续存在开区间衍b),的逆像是开区间(a'b')像是开区间之并(a'b')U(b",a")其逆像(a'c'不是开区间之并图用開区间表述连续性曲线代表映射!:XY第章拓扑空间简介集合叫拓扑空间由开子集概念出发又可定义许多概念并证明许多定理从而发展为一门完整丰富的学科分支一一点集拓扑学~和~两节将对拓扑空间的最基本内容做一介绍~拓扑空间如~末所述R的子集分为开子集和非开子集两大类(任一孓集要么是开的要么是非开的不要把非开子集称为闭子集根据后面要讲的闭子集定义子集可以不开不闭也可以既开又闭)开子集具有上述(a)、(b)、(c)三个性质对任意非空集合X也可用适当方式指定其中的某些子集是开的其他为非开的为使这种指定有用我们约定任何指定方式都要满足个偠求:(a)X本身和空集￠为开子集(b)有限个开子集之交为开子集(c)任意个(可以有限个也可以元限个)开子集之并为开子集对同一集合满足这个要求的指萣方式常常是很多的例如设X为任意集合可以指定X及￠为开子集其他子集都为非开这当然满足上述三要求其特点是开子集最少只有两个然而吔可采用另一种极端的指定即指定X的任意子集都是开子集不难看出这种指定也满足上述三要求上述两种指定虽然未必有太多用处但它们至尐能说明满足上述三要求的指定方式不止一种我们说每种满足上述三要求的指定给集合X赋予了一种附加结构称为拓扑结构对定义了拓扑结構的集合可以指着它的任一子集问"这是开子集吗"答案非"是"即"否"泾渭分明反之对没有定义拓扑结构的集合这样的问题毫元意义定义了拓扑结構的集合X的全体开子集也组成一个集合称为X的一个拓扑(topology)记作Y(是topology为首字母的花体大写)用代表由X的全体子集组成的集合(如图)则X的任一开子集O和任一非开子集V都集合X开子集O非开子集V集合F是夕的元素X的全体开子集组成P的一个子集图g是集合X的所有子!T(注意它不是X的子集)它就是X的拓扑请集嘚集合x的任何子集(如,V)都是夕的元素:T是注意符号C同ε的区别OcX只表明O是X的子的这样一个子集其中每一元集而Oεf则表明O是X的开子集以上铺垫有素(洳)是X的一个开子集助于理解如下用数学语言表述的定义定义非空集合X的一个拓扑(topology)!T是X的若干子集的集合满足:(a)Xε!T(b)若Oiε!Ti=,…爪则门。iε!T(其中门i代表这n个Oi之交)??微分几何人门微分几何入门与广义相对论论(c)若OαεYVα则UOαεY(Oαεf后加Vα表示每一个Oα都属于Y而且仇的个数没有限制UOαεf表示所有Oα之并属于Y)定义指定了拓扑F的集合X称为拓扑空间(topologicalspace)拓扑空间X的子集称为开子集(简称开集)若OEY对同一集合X可定义不同拓扑Y(满足定义的f可以佷多)设í和y都是X的拓扑则X的子集A可能满足Aε巧A~巧即A对巧而言(用牙衡量)是开集而对巧而言不是开集可见巧和二百把X定义为两个不同的拓扑空間为明确所选拓扑起见可用(XY)代表拓扑空间于是(X功和(X二百)代表不同拓扑空间虽然它们的"底集"都是X在明确选定一个拓扑后也可只用X代表拓扑空間对给定的具体集合X应选哪个拓扑使之成为一个拓扑空间这取决于X的自身性质以及我们关心哪些方面的问题例如对集合配在通常关心的大哆数问题中都选所谓的通常拓扑为拓扑(见下面的例)例设X为任意非空集合令f为X的全部子集的集合则它显然满足定义的三条件故构成X的一个拓撲叫离散拓扑(discretetopology)例设X为任意非空集合令Y={X例则它显然满足定义的三条件故构成X的一个拓扑叫凝聚拓扑(indiscretetopology)凝聚拓扑是元素最少的拓扑而离散拓扑是え素最多的拓扑例()设X=R则在:={空集