设x₁、x₂是关于x的方程x²-4x+k+1=0的两个实数根．问：是否存在实数k，使得3x₁?x₂-x₁＞x₂成立，请说明理由．

∴存在实数k，使得3x₁?x₂-x₁＞x₂成立．

[难点正本　疑点清源]

一元二次不等式的解集及解集的确定

一元二次不等式ax^2＋bx＋c<0 (a≠0)的解集的确定受a的符号、b^2－4ac的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y＝ax^2＋bx＋c (a≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集．若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax^2＋bx＋c>0(或<0)(其中a>0)的形式，其对应的方程ax^2＋bx＋c＝0有两个不等实根x1，x2，(x1<x2) (此时Δ＝b^2－4ac>0)，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集．

解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．

二次函数、二次不等式、二次方程之间有着密切关系．

一元二次不等式解集的端点就是对应的一元二次方程的解．不等式的解集结构与二次项系数有直接的关系．二次函数的图像能直观反映一元二次不等式解集的情况．

不等式应用题常以函数、数列为背景出现，多是解决现实生活、生产中的最优化问题，在解题中主要涉及到不等式的解法等问题，构造数学模型是解不等式应用题的关键．

与一元二次不等式有关的恒成立问题，可通过二次函数求最值，也可通过分离参数，再求最值．解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．本题考生易错点：忽略对m＝0的讨论．这是由思维定势所造成的．针对性练习

【点睛第5题】此题若把它看成关于x的二次函数,由于a, x都要变,则函数的最小值很难求出,思路受阻.若视a为主元,则给解题带来转机.

我是杨老师，高中数学、高考教育二十年，不定期推出经典题分析，高考模拟题选讲，高一高二都适用，敬请关注！如果觉得对你有益的话请点个赞吧，欢迎收藏与分享，感谢。

• 根的判别式有以下应用：

  ①不解一元二次方程，判断根的情况。

  ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。

  ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。

  ④应用根的判别式判断三角形的形状。

  ⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。

  ⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。

  ⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。

  ⑧利用根的判别式解有关抛物线

  （△>0）与x轴两交点间的距离的问题。