平均值的概念很简单：所有数据之和除以数据点的个数，以此表示数据集的平均大小；其数学定义为

以下面10个点的CPU使用率数据为例，其平均值为17.2。

方差这一概念的目的是为了表示数据集中数据点的离散程度；其数学定义为：
标准差与方差一样，表示的也是数据点的离散程度；其在数学上定义为方差的平方根：

标准差定义是总体各单位标准值（ xi）与其平均数（μ）离差平方和的算术平均数的。它反映组内个体间的离散程度。

所有数减去其平均值的平方和，所得结果除以该组数之个数（或个数减一，即变异数），再把所得值开根号，所得之数就是这组数据的标准差。

一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。

例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70，但A组的标准差约为17.08分，B组的标准差约为2.16分，说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。

与方差相比，使用标准差来表示数据点的离散程度有3个好处：

1. 表示离散程度的数字与样本数据点的数量级一致，更适合对数据样本形成感性认知。依然以上述10个点的CPU使用率数据为例，其方差约为41，而标准差则为6.4；两者相比较，标准差更适合人理解。
2. 表示离散程度的数字单位与样本数据的单位一致，更方便做后续的分析运算。
3. 在样本数据大致符合正态分布的情况下，标准差具有方便估算的特性：66.7%的数据点落在平均值前后1个标准差的范围内、95%的数据点落在平均值前后2个标准差的范围内，而99%的数据点将会落在平均值前后3个标准差的范围内。

在上面的方差公式和标准差公式中，存在一个值为N的分母，其作用为将计算得到的累积偏差进行平均，从而消除数据集大小对计算数据离散程度所产生的影响。不过，使用N所计算得到的方差及标准差只能用来表示该数据集本身(population)的离散程度；如果数据集是某个更大的研究对象的样本(sample)，那么在计算该研究对象的离散程度时，就需要对上述方差公式和标准差公式进行贝塞尔修正，将N替换为N-1：
经过贝塞尔修正后的方差公式：

经过贝塞尔修正后的标准差公式：

是否使用贝塞尔修正，是由数据集的性质来决定的：如果只想计算数据集本身的离散程度(population)，那么就使用未经修正的公式；如果数据集是一个样本(sample)，而想要计算的则是样本所表达对象的离散程度，那么就使用贝塞尔修正后的公式。在特殊情况下，如果该数据集相较总体而言是一个极大的样本 (比如一分钟内采集了十万次的IO数据) — 在这种情况下，该样本数据集不可能错过任何的异常值(outlier)，此时可以使用未经修正的公式来计算总体数据的离散程度。

平均值与标准差的适用范围及误用

大多数统计学指标都有其适用范围，平均值、方差和标准差也不例外，其适用的数据集必须满足以下条件：

1. 数据集只存在一个峰值。很简单，以假想的CPU使用率数据为例，如果50%的数据点位于20附近，另外50%的数据点位于80附近（两个峰），那么计算得到的平均值约为50，而标准差约为31；这两个计算结果完全无法描述数据点的特征，反而具有误导性。

2. 这个峰值必须大致位于数据集中部。还是以假想的CPU数据为例，如果80%的数据点位于20附近，剩下的20%数据随机分布于30~90之间，那么计算得到的平均值约为35，而标准差约为25；与之前一样，这两个计算结果不仅无法描述数据特征，反而会造成误导。

遗憾的是，在现实生活中，很多数据分布并不满足上述两个条件；因此，在使用平均值、方差和标准差的时候，必须谨慎小心。

如果数据集仅仅满足一个条件：单峰。那么，峰值在哪里？峰的宽带是多少？峰两边的数据对称性如何？有没有异常值(outlier)？为了回答这些问题，除了平均值、方差和标准差，需要更合适的工具和分析指标，而这，就是中位数、均方根、百分位数和四分差的意义所在。

网友：分别解释一下极差、方差、标准差的定义？极差、方差、标准差的定义？怎么算啊？
回复：极差是指一组数据内的最大值和最小值之间的差异。平均差是说明集中趋势的，标准差是说明一组数据的离中趋势的。一组数据中各数据与平均数的差的平方和的平均数...

网友：均值除以标准差表示什么
回复：应该是标准差除以平均值表示离散系数吧！

网友：样本均值的标准差为什么是总体均值标准差除以根号n？如题等
回复：刚刚好也在这个问题，看了一些其他的。顺便贴过来给你看看，不过我虽然知道公式怎么用了。但是还是没有理解为什么一个是除以n，一个是除以n-样本标准...

网友：概率里标准差的定义及意义
回复：X是一个随机变量，E(X)称为随机变量X的数学期望，也叫做均值，是概率意义下的X的平均值；D(X)=E{{X-E(X)]^}称为随机变量X的方差，这个指标是衡量X取值的分散...

网友：均值标准差是什么？物理实验测量误差和数据处理中的，根本找不到这个的定义
回复：就是平均值的标准差，等于测量列贝塞尔标准差的/(n)^(/),n为测量次数

回复：从一个数量为N的总体中抽取了n个样本，由这n个样本的数据可以进行统计，常用的统计量是均值、标准差与变异系数。样本均值是由n个样本平均所得，部分消除了样本的...

网友：样本均值的抽样标准差是什么东西啊？等，摆脱了，
回复：从总体中抽出一个样本，这个样本有一个均值。然而具有相同容量的样本不止一个，每次抽的的样本的均值也可能不同，即所抽样本的均值也构成一个统计量。如果总体的...

回复：标准差（Standard Deviation），也称均方差（mean square error），是各数据偏离平均数的距离的平均数，它是离均差平方均后的方根，用σ表示。标准差是方差...

网友：何为标准差？写出均值标准差的计算公式。

网友：举例说明如何用计算器计算:均值、方差、n项和、标准差_...举例说明如何用计算器计算:均值、方差、n项和、标准差
回复：、因为f(x)在x时是否有定义也不知道，当然无法判断x=a是否是函数的间断点了。但因为f'+(a)存在，f(x)在x=a处一定是右连续的。同理，f(x)在x=a处一定是左连续的...

网友：“标准差/均值”是什么意思，有什么数学含义，
回复：“标准差/均值”是什么意思，有什么数学含义，标准差/均值，反映单位均值上的离散程度，常用在两个总体均值

回复：很抱歉,我的英语生疏了,只能从数理统计的角度来猜,使其平均值接近,是减小平均值,使其与标准差的可比接近,否则，与其标准偏差相比时，它的变异系数就太小。在...

网友：求解一道关于均值和标准差的题设Y和X为两个的随机变量，已知X的均值为，标准差为；Y的均值为，标准差...

网友：样本均值的标准差是什么统计学里面的
回复：反应数据的波动范围，表现出数据的稳定。