第 11章 变 形 能 法 提要：本章主要讨论利用变形能原理解决变形固体在外因作用下的位移计算，其中主 要介绍卡氏定理的有关原理和方法，并利用该法计算杆或杆系的位移问题。 11.1 基 本 概 念 任何弹性体在外力作用下都要发生变形，同时外力作用点要产生位移。因此，在弹性 体变形过程中外力将沿其作用线方向做功，我们将此功称为外力功。用W 表示。当弹性体 的变形在弹性范围内时，外力由零缓慢增加，外力功将以能量的形式储存在弹性体内部， 通常称为变形能，用U 表示。在卸载过程中弹性体有恢复其原状的能力。 根据能量守恒定律可知，若不计其他能量损失，弹性体内的变形能在数值上应等于荷 载所做的功，即： W U (11.1) 根据这一原理求解可变形固体的位移和内力的方法称为能量法。 11.2 变形能的计算 现在讨论杆件在各种基本变形下变形能的计算。 11.2.1 轴向拉伸(压缩)杆弹性变形能 图 11.1(a)所示的受拉直杆，在线弹性范围内，当拉力FP 从零开始增加到最终值时， 杆件伸长Δl ，与拉力FP 之间的关系为一斜直线( 图 11.1(b))，外力FP 所做的功的大小可用 三角形 OAB 的面积来表示： 1 W F Δl (11.2) P 2 根据式(11.1)可知，受拉杆的弹性变形能为 1 U W F =Δl P 2 F

经典教材辅导用书 ·力学系列丛书 材料力学 习题详解 《材料力学 ·第四版》( 刘鸿文主编) 赵诒枢 吴胜军 尹长城 编 华中科技大学出版社 内 容 提 要 本书对高等教育出版社出版的、刘鸿文教授主编的《材料力学 ·第 四版》 一书的习题作 了较详细的解答, 是该书的配套教材 。全书共分十五章, 计有绪 论, 拉伸、压缩与剪切, 扭转, 弯 曲 内力, 弯 曲应力, 弯 曲变 形, 应 力和应变 分 析、强度理论, 组合变形, 压杆稳定, 动载荷, 交变应力, 弯 曲的几个补充 问题, 能量方法, 超静定结构, 平面 图形的几何特性等 内容 。每章包括“知识要点”和 “习题详解 ”两部分, 共 433 题 。 本书可供高等工科院校的本科生和专科生学习材料力学时参考, 也可供 成教、函授、电大及 自学考试等学生学习材料力学时参考 。还可作为报考相关 专业研究生者的复习资料, 并可作为教师的教学参考书。 前 言 刘鸿文教授主编的《材料力学》是一本获得三项 国家级奖的优 秀教材, 为众多高等学校所采用, 并被推荐为研究生入学考试参考 用书。我们在材料力学课程的教学中也一直用它作为教科书。该 书的第二版1990 年 由台湾高等教育出版社 以繁体字再版。2004 年 修订后的第四版, 被定为普通高等教育“十五”国家级规划教材。 材料力 学是一门与工程实际密切结合的基础学科, 习题 中很 多是来 自工程实际。对于一、二年级大学生来说, 他们虽然在物理 学和理论力学中已经学过 了一些力学知识, 但在学习材料力学时, 仍然要接受一些新概念、新理论和新方法, 尽 管这些新概念、新理 论和新方法并不特别难懂, 但在解题 中, 依然会遇到困难。一些学 生反映: “上课一听就懂, 下课一看( 教科书) 就会, 习题一做就错。” 究其原因, 困难往往不是数学方面和材料力学理论方面的, 而是怎 样应用 已学过的材料力学基本理论, 来建立力学模型, 从而选择适 当的数学方法求解。做 习题是材料力学教学的重要环节, 学生必须 通过完成一定数量的习题, 才 能达到巩 固材料力学基本理论并掌 握运用这些理论解决具体问题的 目的。 关于材料力学的 习题解答或习题集 已有多种, 但专门为一本 教材所编的习题解答并不多见。不是专为一本教材而编写的习题 解答, 难免因偏重针对性而疏于循序渐进, 从而导致缺乏系统性。 刘鸿文主编的《材料力学》从 1979 年第一版算起, 经历二十余年的 教学实践, 作过三次修订补充, 习题也几经筛选, 数量适度, 题型多 样, 从易到难, 由浅入深, 难易结合, 理论与工程实际并重。习题按 章节 内容被编排在各章正文之后, 与课程 内容紧密配合, 系统性 强。 本 习题解答是结合我们 的教学实践, 针对学生在解题 中经 常 ·Ⅰ· 遇到的疑难和 困惑, 对 每一道题的解答, 着重解题思路分析, 给 出 较详细 的解答步骤, 并说明每一步骤的理论依据和使用公式的 出 处, 目的在于使读者通过解题实践, 能更深入地理解并掌握材料力 学的基本理论, 提高解题能力。 我们是依据刘鸿文主编的《材料力 学 ·第四版》, 对 习题作 出 解答。刘鸿文主编的《材料力学 ·第四版》共18 章, 后4 章( 平面曲 杆, 厚壁圆筒和旋转圆盘、矩阵位移法、杆件的塑性变形) 因超 出教 育部颁发的“高等学校本科基础课程教学基本要求”的规定范围, 所 以, 后4 章的习题( 共 5 1 题) 没纳入本 习题解答之 内。 感谢刘鸿文教授慨允我们对他主编的《材料力学 ·第四版》中 的习题作解答, 并对为本书出版付 出辛勤劳动 的华 中科技大学 出 版社的同志们致以深切的谢意。 由于编者学识有限, 错误和不妥之处在所难免, 希望读者批评 指正。