1,第八节,一、多元函数的极值,二、最值应用问题,三、条件极值,多元函数的极值及其求法,2,一、 多元函数的极值,定义: 若函数,则称函数在该点取得极大值(极小值).,例如 :,在点 (0,0) 有极小值;,在点 (0,0) 有极大值;,在点 (0,0) 无极值.,极大值和极小值,统称为极值,,使函数取得极值的点称为极值点.,,的某邻域内有,3,定理1 (必要条件),函数,偏导数,,证:,据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.,取得极值 ,,取得极值,取得极值,且在该点取得极值 ,,则有,存在,故,4,5,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.,驻点,极值点,,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,注意：,,6,时, 具有极值,定理2 (充分条件),的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且,令,则: 1) 处,不是极值;,在点(?3,2) 处,为极大值.,在点(1,2) 处,不是极值;,,10,解,11,12,13,二、最值应用问题,,函数 f 在闭域上连续,函数 f 在闭域上可达到最值,,最值可疑点,驻点,边界上的最值点,特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,,为极小 值,,为最小 值,(大),(大),依据,14,解,,如图,,15,16,17,解,由,18,19,对于实际问题可根据实际问题的意义判断最大值和最小值的存在性。,例5某公司在生产中使用甲、两种原料,已知甲和乙两种 原料分别使用x单位和y单位可生产Q单位的产品，且,已知甲原料单价为20元/单位，乙原料单价为30元/单位， 产品每单位售价为100元，产品固定成本为1000元，求该 公司的最大利润。,解 利润函数为,20,（利润函数）,解方程组,求得唯一驻点（5，8）,所以 在（5，8）取得极大值,21,无条件极值： 对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.,22,三、条件极值,极值问题,无条件极值:,条 件 极 值 :,条件极值的求法:,方法1 代入法.,求一元函数,的无条件极值问题,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,,还有其它条件限制,例如 ,,,23,方法2 拉格朗日乘数法.,如方法 1 所述 ,,则问题等价于一元函数,可确定隐函数,的极值问题,,极值点必满足,设,记,例如,,故,故有,24,引入辅助函数,辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.,利用拉格,极值点必满足,,则极值点满足:,,朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.,25,推广,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.,设,解方程组,可得到条件极值的可疑点 .,例如, 求函数,下的极值.,在条件,,26,解 该问题即求函数,在条件 及x+y+z=1下的最大值与最小值。,求偏导得到可能的极值点：,27,由该问题的实际意义知该问题确实存在最大值与最小值， 其最大值与最小值为,28,解,则,29,例8 某公司通过电台和报纸两种方式做销售其产品的广告，根据统计资料分析可知，销售收 入R（万元）与电台广告费x（万元）、报纸广告费y（万元）有如下经验公式： R=15+14x+32y-8xy-2x2-10y2 （1） （1）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润； （2）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和其统一的价格，使该企业的总利润最大化； 并比较两种价格策略下的总利润大小。,,33,解（1）,34,（2）,35,例10： 某公司准备用2百万元的资金，通过两种方式做广告，一 种是电台广播，一种是在日报上登广告，根据以王经验，销售收 入与广告费用之间有如下关系,费和日报广告费，单位均为百万元.试确定广告费使用的最佳方案，使销售金额最大。,解,36,,且为最大值,37,38,例11 设产品的产量是劳动力x和原料y的函数为,假定每单位劳动力花费100元，每单位原料原料花费200元，现有资金30000元用于生产，应如何按排劳动力与原料，使产量达到最大.,解:该问题是在劳动力x与原料y满足条件100x+200y=30000的条件下，求目标函数 的最大值。,构造函数:,39,求可能的极值点,得到唯一的驻点x=225， y=37.5，?=-4.44，仅 有一个可能的极值点，由

在高等数学教材中,确定函数f(x,y,z),在条件F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0之下的条件极值问题,通常应用拉格朗日乘数法,可把以上条件极值问题化为求函数L(x,y,z)=f(x,y,z)+λF(x,y,z)+μG(x,y,z)的无条件极值问题。由极值的必要条件,需求解如下的方程组: