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代理日本电气/NEC EC2-24NU 原装正品，信号继电器
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3秒自动关闭窗口&p&刚毕业不久，把自己觉得有用的电气类网站和微信公众号罗列以下，希望对大家有用：&/p&&p&一、网站类：&/p&&p&1、MATLAB中文论坛&/p&&p&号称全球最大的MATLAB和Simulink中文社区，相信很多电气的或者非电气的都去过，学习或者用到MATLAB遇到问题的时候可以去逛逛，我也经常用。链接如下：&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//www.ilovematlab.cn/forum.php& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&MATLAB中文论坛&/a&&/p&&p&2、NE牛顿眼&/p&&p&电气领域专业的电气知识交流与技术合作平台，最近内容付费很火，这个网站算是电气行业知识付费的一个尝试了吧，感觉还不错我也经常用，里面有很多专业技术的交流，还可以买卖一些已有成果，发布任务什么的。链接如下：&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.niudunyan.com/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&NE牛顿眼-电气知识交流与技术合作平台&/a&&/p&&p&3、北极星电力网&/p&&p&虽然我不是电力系统方向的，但是我也知道这是一个比较专业的电力行业垂直门户网站吧，电力系统的可以多关注一下。链接如下：&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.bjx.com.cn/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&电力-北极星电力网-专业的电力行业垂直门户网站&/a&&/p&&p&4、电源网&/p&&p&是做电源技术交流比较有名的网站了。适用于电力电子电源方向的学生，里面有很多电源方向的设计经验、交流贴、一些教程等等。作为补充，还有另一个网站叫做世纪电源网，也可以关注一下。链接如下：&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.dianyuan.com/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&电源工程师一生的伙伴-电源网&/a&&/p&&p&5、小木虫&/p&&p&是一个比较老的论坛了吧，学术科研互动社区，但是对电气领域来说不够专业。链接如下：&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//muchong.com/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&小木虫 - 学术 科研 互动社区&/a&&/p&&p&6、Sci-hub&/p&&p&虽然没用过，但是听说过可以下载外文文献，没用过就不多介绍了。链接如下：&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.sci-hub.cc/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&removing barriers in the way of science&/a&&/p&&p&7、电力研学论坛&/p&&p&是一个技术交流论坛，电气工程专业技术交流、的网站，专注电力技术，虽然没用过但也听说过。好像还不错。链接如下：&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//tech.cepsc.com/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&电力研学论坛-电力行业第一真人社交网络，专注技术讨论、学术交流的最专业电力论坛 - China Electric Power Study Center - BBS&/a&&/p&&p&8、其它&/p&&p&谷歌学术镜像网站、Anaconda、pscad、bpa、psasp、电子发烧友网、TI官网&/p&&p&二、微信公众号&/p&&p&1、电气小青年&br&&br&这是我本人的微信公众号，当然强烈大家推荐关注哈哈 。干货多多哈&br&&/p&&p&2、NE电气&/p&&p&这个微信公众号我一直有关注，可以说的上是电气行业的青塔了吧，一方面是有推送电气行业的大牛报告，院士、教授、副教授、教师、博士的都有，也经常最新推出电气行业的热点和新闻，推荐大家关注。&/p&&p&3、北极星电力网&/p&&p&和它的网站一样，也是电力系统值得关注的微信公众号，像电改，电价什么的都关注的比较多，所以推荐电力系统方向的可以关注一下。&/p&&p&4、国家电网报&/p&&p&相信很多人会想进国家电网或者南方电网，可以关注这个了解一下电力系统里面的一些东西。比如一些实事热点、一些电网员工爬电线杆的故事啊什么的。&/p&&p&5、松哥电源&/p&&p&松哥电源应该是对电源分析的很透彻的一份公众号，是松哥自己的分享，几乎篇篇原创，做电源的可以关注一下。还有电源研发精英圏也是聚焦电源的一个公众号，也可以关注一下。&/p&&p&6、中国电机工程学报&/p&&p&也是聚焦电气学术领域的一个公众号，电机工程学报大家也知道，电力行业国家一级学报，全国中文核心期刊。所以微信公众号也还不错。&/p&&p&7、电工电气学习&/p&&p&这个公众号粉丝量比较大，但推送的内容都比较基础，觉得想要补充一下基础知识的可以关注一下。&/p&&p&8、电气观察&/p&&p&之前推送的介绍各大电气名校的图文质量还不错，前期原创多，感觉现在质量在下降，但是也还不错。&/p&&p&9、其它&/p&&p&其它的公众号还有很多，电力羊小硕、电力圈、鲜椒微电气、电气圈、变频圈、全球电气资源、国家电网报等等，就不一一列举了。&/p&&p&有时间再更，先这样&/p&
刚毕业不久，把自己觉得有用的电气类网站和微信公众号罗列以下，希望对大家有用：一、网站类：1、MATLAB中文论坛号称全球最大的MATLAB和Simulink中文社区，相信很多电气的或者非电气的都去过，学习或者用到MATLAB遇到问题的时候可以去逛逛，我也经常用。链…
&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-356db54c5e2c_b.jpg& data-rawwidth=&599& data-rawheight=&334& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&599& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-356db54c5e2c_r.jpg&&&/figure&&p&任何产品的应用学习，抓住它的本质则事半功倍。如果被困难先入为主，费时费力不说，甚至陷入死胡同也未可知。&strong&【思索】【琢磨】&/strong&为什么有同学耗费大量的时间学习，成绩却不怎样？为什么，有同学纵情人生学习工作成绩却都不错！难道次次都作弊了？&/p&&p&我们看看PLC应用怎么快速入门。&/p&&p&plc在生活中的用途非常广，特别是在自动化方面更为常用，自动化方面的朋友，掌握plc编程方面的知识，将为学习和工作带来很大的帮助。&br&&/p&&p&PLC中无非就是三大量：&strong&开关量、模拟量、脉冲量&/strong&。只在搞清楚三者之间的关系，你就能快速的入门PLC了。&/p&&p&各品牌学习资料和软件下载地址。目前更新包含了大部分主流品牌软件和应用学习资料。&/p&&h2&?&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//mp.weixin.qq.com/s/cF721Q6C_k00Jzz56uibUw& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&工控【资料库】【软件库】使用指南&/a&&/h2&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-2759efabbd921a2cfb780aed5536401f_b.png& data-rawwidth=&821& data-rawheight=&359& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&821& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-2759efabbd921a2cfb780aed5536401f_r.jpg&&&/figure&&h2&&strong&1开关量也称逻辑量&/strong&&/h2&&p&指仅有两个取值，0或1、ON或OFF。它是最常用的控制，对它进行控制是PLC的优势，也是PLC最基本的应用。&/p&&p&关量控制的目的是，根据开关量的当前输入组合与历史的输入顺序，使PLC产生相应的开关量输出，以使系统能按一定的顺序工作。所以，有时也称其为顺序控制。&/p&&p&而顺序控制又分为手动、半自动或自动。而采用的控制原则有分散、集中与混合控制三种。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-172b94e5cb25aa9e746ab87_b.png& data-rawwidth=&421& data-rawheight=&256& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&421& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-172b94e5cb25aa9e746ab87_r.jpg&&&/figure&&h2&&strong&2模拟量是指一些连续变化的物理量&/strong&&/h2&&p&如电压、电流、压力、速度、流量等。&/p&&p&PLC是由继电控制引入微处理技术后发展而来的，可方便及可靠地用于开关量控制。由于模拟量可转换成数字量，数字量只是多位的开关量，故经转换后的模拟量，PLC也完全可以可靠的进行处理控制。&/p&&p&由于连续的生产过程常有模拟量，所以模拟量控制有时也称过程控制。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-bd99d488aa1ace441d7b7b24a3c75489_b.png& data-rawwidth=&463& data-rawheight=&207& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&463& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-bd99d488aa1ace441d7b7b24a3c75489_r.jpg&&&/figure&&p&模拟量多是非电量，而PLC只能处理数字量、电量。所有要实现它们之间的转换要有传感器，把模拟量转换成数电量。如果这一电量不是标准的，还要经过变送器，把非标准的电量变成标准的电信号，如4—20mA、1—5V、0—10V等等。&/p&&p&同时还要有模拟量输入单元（A/D），把这些标准的电信号变换成数字信号；模拟量输出单元（D/A），以把PLC处理后的数字量变换成模拟量——标准的电信号。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-a4cf93e503_b.png& data-rawwidth=&336& data-rawheight=&217& class=&content_image& width=&336&&&/figure&&p&所以标准电信号、数字量之间的转换就要用到各种运算。这就需要搞清楚模拟量单元的分辨率以及标准的电信号。例如：&/p&&p&PLC模拟单元的分辨率是1/32767，对应的标准电量是0—10V，所要检测的是温度值0—100℃。那么0—32767对应0—100℃的温度值。然后计算出1℃所对应的数字量是327.67。如果想把温度值精确到0.1℃，把327.67/10即可。&/p&&p&模拟量控制包括：反馈控制、前馈控制、比例控制、模糊控制等。这些都是PLC内部数字量的计算过程。&/p&&h2&&strong&3脉冲量&/strong&&/h2&&p&是其取值总是不断的在0（低电平）和1（高电平）之间交替变化的数字量。每秒钟脉冲交替变化的次数称为频率。&/p&&p&PLC脉冲量的控制目的主要是位置控制、运动控制、轨迹控制等。例如：脉冲数在角度控制中的应用。步进电机驱动器的细分是每圈10000，要求步进电机旋转90度。那么所要动作的脉冲数值=10000/（360/90）=2500。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-4528aad68b0fa_b.png& data-rawwidth=&346& data-rawheight=&353& class=&content_image& width=&346&&&/figure&&p&▼相关推荐阅读▼&br&&/p&&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//mp.weixin.qq.com/s%3F__biz%3DMzIzMDc4MTY5NA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3De6fe837dfa2fb%26chksm%3De8af6551dfd8ec479d50a64f4fafbe60b715f1e92fccc7fde763a2b1052799fbff%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&技术丨8步轻松完成PLC系统设计&/a&&br&&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//mp.weixin.qq.com/s%3F__biz%3DMzIzMDc4MTY5NA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3D76f0a89aead358%26chksm%3De8af66d3dfd8efc69ede57fadbab5e254bc6%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&兼容并蓄 IEC61131-3 PLC编程标准&/a&&br&&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//mp.weixin.qq.com/s%3F__biz%3DMzIzMDc4MTY5NA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D2%26sn%3D394bd84cb0f01f3chksm%3De8af65d2dfd8ecc402edc326b644de7be31b473c06c0f017d6ff29b%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&技术丨PLC与常见输出元件连接&/a&&br&&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//mp.weixin.qq.com/s%3F__biz%3DMzIzMDc4MTY5NA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3D9fefdecdf5e6413%26chksm%3De8af61eddfd8e8fbbd3b678fe764f588b084ebb4a3db%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&PID调得好不好，它说了算！&/a&&br&&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//mp.weixin.qq.com/s%3F__biz%3DMzIzMDc4MTY5NA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3Deebadde9fda%26chksm%3De8af6067dfd8ead4a92f5a95882cea6ed7412c6bacc7a59ec49d12%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&PID控制器参数的整定&/a&&br&&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//mp.weixin.qq.com/s/BJGSdRCJbsKJi0YXJyBB_Q& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&3分钟搞定 FCS、DCS、PLC的区别到底是啥！&/a&&br&&a href=&http://link.zhihu.com/?target=https%3A//mp.weixin.qq.com/s/DftmvQ5VSvkkv3PUdKffbQ& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&PLC详细图解，so young so simple&/a&&br&&p&公众号（industry-care）分享。&/p&
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&p&&b&花了好长好长时间写的，转载请注明作者。&/b&&/p&&p&=======================================&/p&&p&题主简直坑爹。不讲微积分怎么给你讲麦克斯韦方程组？你不知道麦克斯韦方程组里面每个方程都是一个积分或者微分么？？那既然这样，我只能躲躲闪闪，不细谈任何具体的推导和数学关系，纯粹挥挥手扯扯淡地说一说电磁学里的概念和思想。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&1. 力、能、场、势&/b&&/p&&p&经典物理研究的一个重要对象就是&b&力force&/b&。比如牛顿力学的核心就是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D%3Dm%5Cmathbf%7Ba%7D& alt=&\mathbf{F}=m\mathbf{a}& eeimg=&1&& 这个公式，剩下的什么平抛圆周简谐运动都可以用这货加上微积分推出来。但是力有一点不好，它是个&b&向量vector&/b&（既有大小又有方向），所以即便是简单的受力分析，想解出运动方程却难得要死。很多时候，从能量的角度出发反而问题会变得简单很多。&b&能量energy&/b&说到底就是力在空间上的积分（能量=功=力×距离），所以和力是有紧密联系的，而且能量是个&b&标量scalar&/b&，加减乘除十分方便。分析力学中的拉格朗日力学和哈密顿力学就绕开了力，从能量出发，算运动方程比牛顿力学要简便得多。&/p&&p&在电磁学里，我们通过力定义出了&b&场field&/b&的概念。我们注意到洛仑兹力总有着 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D%3Dq%5Cleft%28%5Cmathbf%7BE%7D%2B%5Cmathbf%7Bv%7D%5Ctimes%5Cmathbf%7BB%7D%5Cright%29& alt=&\mathbf{F}=q\left(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}\right)& eeimg=&1&& 的形式，具体不谈，单看这个公式就会发现力和电荷（或电荷×速度）程正比。那么我们便可以刨去电荷（或电荷×速度）的部分，仅仅看剩下的这个“系数”有着怎样的动力学性质。也就是说，场是某种遍布在空间中的东西，当电荷置于场中时便会受力。具体到两个电荷间的库仑力的例子，就可以理解为一个电荷制造了电场，而另一个电荷在这个电场中受到了力，反之亦然。类似地我们也可以对能量做相同的事情，刨去能量中的电荷（或电荷×速度），剩下的部分便是&b&势potential&/b&。&/p&&p&一张图表明关系：&br&　　　　积分&br&　　力－－－＞能&br&　　｜　　　　｜&br&　　场＜－－－势&br&　　　　微分&/p&&p&具体需要指出，这里的电场（标为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BE%7D& alt=&\mathbf{E}& eeimg=&1&& ）和磁场（标为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BB%7D& alt=&\mathbf{B}& eeimg=&1&& ）都是向量场，也就是说空间中每一个点都对应着一个向量。如果我们把xyz三个分量分开来看的话，这就是三个标量场。而能量和势是标量（电磁学中的势其实并不是标量，原因马上揭晓），放到空间中也就是一个标量场。在力/场和能量/势之间互相转化的时候，我们是在3&-&1个标量场之间转化，必然有一些信息是丢掉了的。怎么办？&/p&&p&一个显而易见的答案是&b&“保守力场”conservative force field&/b&。在这样一个场中，能量（做功）不取决于你选择什么样的路径。打个比方，你爬一座山，无论选择什么路径，只要起点和终点一样，那么垂直方向上的差别都是一样的，做的功也一样多。在这种情况下，我们对力场有了诸多限制，也就是说，我假如知道了一个保守力场的x一个分量，那么另两个分量yz就随之确定了，我没得选（自由度其实只有一个标量场）。有了保守力场这样的额外限制，向量场&b&F&/b&（3个标量场）和（1个）标量场V之间的转化便不会失去信息了。具体而言，二者关系可以写作 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D%3D-%5Cnabla+V& alt=&\mathbf{F}=-\nabla V& eeimg=&1&& 。这里不说具体细节，你只要知道 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla& alt=&\nabla& eeimg=&1&& 是一种固定的、把一个标量场变成三个标量场的算法就可以了（叫做&b&算符operator&/b&）。&/p&&p&那么我们想问，电场和磁场是不是保守力场呢？很不幸，不是。在静电学中，静止的电场是保守的，但在电动力学中，只要有变化的电场和磁场，电场就不是一个保守力场了；而磁场从来都不是保守力场。这也就是说明，在电磁学中，我们很少涉及能量这个概念，因为它不能完整地描述一个电磁场。我们更多时候只关注“场”这个概念，尽管因此我们不得不涉足很多向量微积分，但我们没有办法，这是不让信息丢掉的唯一办法。那么，既然势也是标量，它是否也是一个没什么用的概念呢？恰恰相反，在电动力学中我们定义出了&b&“向量势”vector potential&/b&，以保留额外的自由度。后面我会更具体地谈到这一点。&/p&&p&总而言之，我想说明一点，那就是电磁学的主要研究对象是电场和磁场，而麦克斯韦方程组就是描述电场和磁场的方程。势（包括电势和磁向量势）也是有用的概念，而且不像引力势是一个标量，在电磁学中势不得不变成一个向量。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&2. 麦克斯韦方程组&/b&&/p&&p&前边说到，&b&麦克斯韦方程组Maxwell equations是描述电场和磁场的方程&/b&。前边也说到，因为电磁场不是保守力场，它们有三个标量场的自由度，所以我们必须用向量微积分来描述电磁场。因此，麦克斯韦方程组每个式子都出现了向量微积分，而整个方程组也有&b&积分形式&/b&和&b&微分形式&/b&两种。这两种形式是完全等价的，只是两种不同的写法。这里我先全部写出。&/p&&p&积分形式：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%281-1%29%7D+%5Cquad+%5Coint_%7B%5Cpartial+V%7D+%5Cmathbf%7BE%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Ba%7D+%3D+%5Cfrac%7BQ_V%7D%7B%5Cepsilon_0%7D%2C& alt=&\text{(1-1)} \quad \oint_{\partial V} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a} = \frac{Q_V}{\epsilon_0},& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%281-2%29%7D+%5Cquad+%5Coint_%7B%5Cpartial+S%7D+%5Cmathbf%7BE%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Bl%7D+%3D+-%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D+%5Cint_%7BS%7D+%5Cmathbf%7BB%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Ba%7D%2C+& alt=&\text{(1-2)} \quad \oint_{\partial S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt} \int_{S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a}, & eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%281-3%29%7D+%5Cquad+%5Coint_%7B%5Cpartial+V%7D+%5Cmathbf%7BB%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Ba%7D+%3D+0%2C& alt=&\text{(1-3)} \quad \oint_{\partial V} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a} = 0,& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%281-4%29%7D+%5Cquad+%5Coint_%7B%5Cpartial+S%7D+%5Cmathbf%7BB%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Bl%7D+%3D+%5Cmu_0+I_S+%2B+%5Cmu_0+%5Cepsilon_0+%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D+%5Cint_%7BS%7D+%5Cmathbf%7BE%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Ba%7D.& alt=&\text{(1-4)} \quad \oint_{\partial S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_S + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d}{dt} \int_{S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a}.& eeimg=&1&&&/p&&p&微分形式：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%282-1%29%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ccdot+%5Cmathbf%7BE%7D+%3D+%5Cfrac%7B%5Crho%7D%7B%5Cepsilon_0%7D%2C& alt=&\text{(2-1)} \quad \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0},& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%282-2%29%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ctimes+%5Cmathbf%7BE%7D+%3D+-%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+%5Cmathbf%7BB%7D%2C& alt=&\text{(2-2)} \quad \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B},& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%282-3%29%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ccdot+%5Cmathbf%7BB%7D+%3D+0%2C& alt=&\text{(2-3)} \quad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0,& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%282-4%29%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ctimes+%5Cmathbf%7BB%7D+%3D+%5Cmu_0+%5Cmathbf%7BJ%7D+%2B+%5Cmu_0+%5Cepsilon_0+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+%5Cmathbf%7BE%7D.& alt=&\text{(2-4)} \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E}.& eeimg=&1&&&/p&&p&这里 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BE%7D& alt=&\mathbf{E}& eeimg=&1&& 表示电场， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BB%7D& alt=&\mathbf{B}& eeimg=&1&& 表示磁场， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cepsilon_0& alt=&\epsilon_0& eeimg=&1&& 和 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmu_0& alt=&\mu_0& eeimg=&1&& 只是两个常数暂时可以忽略。积分形式中 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Q& alt=&Q& eeimg=&1&& 是电荷， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=I& alt=&I& eeimg=&1&& 是电流， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&& 表示一块体积， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+V& alt=&\partial V& eeimg=&1&& 表示它的表面，而 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 表示一块曲面， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+S& alt=&\partial S& eeimg=&1&& 表示它的边缘。微分形式中 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Crho& alt=&\rho& eeimg=&1&& 是电荷密度（电荷/体积）， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BJ%7D& alt=&\mathbf{J}& eeimg=&1&& 是电流密度（电流/面积）， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla%5Ccdot& alt=&\nabla\cdot& eeimg=&1&& 和 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla%5Ctimes& alt=&\nabla\times& eeimg=&1&& 是两个不同的算符，基本可以理解为对向量的某种微分。&/p&&p&先不说任何细节，我们可以观察一下等式的左边。四个方程中，两个是关于电场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BE%7D& alt=&\mathbf{E}& eeimg=&1&& 的，两个是关于磁场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BB%7D& alt=&\mathbf{B}& eeimg=&1&& 的；两个是曲面积分 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint+%5Ccdots+d%5Cmathbf%7Ba%7D& alt=&\int \cdots d\mathbf{a}& eeimg=&1&& 或者散度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla%5Ccdot& alt=&\nabla\cdot& eeimg=&1&& ，两个是曲线积分 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint+%5Ccdots+d%5Cmathbf%7Bl%7D& alt=&\int \cdots d\mathbf{l}& eeimg=&1&& 或者旋度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla%5Ctimes& alt=&\nabla\times& eeimg=&1&& 。不要管这些术语都是什么意思，我后面会讲到。但光看等式左边，我们就能看出四个式子分别描述电场和磁场的两个东西，非常对称。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&3. 电荷-&电场，电流-&磁场&/b&&/p&&p&这一部分和下一部分中，我来简单讲解四个式子分别代表什么意思，而不涉及任何定量和具体的计算。&/p&&p&我们从两个电荷之间的库仑力讲起。&b&库仑定律Coulomb's Law&/b&是电学中大家接触到的最早的定律，有如下形式：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%283%29%7D+%5Cquad+%5Cmathbf%7BF%7D+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B4+%5Cpi+%5Cepsilon_0%7D+%5Cfrac%7BQ_1+Q_2%7D%7Br%5E2%7D+%5Cmathbf%7B%5Chat%7Br%7D%7D%2C& alt=&\text{(3)} \quad \mathbf{F} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q_1 Q_2}{r^2} \mathbf{\hat{r}},& eeimg=&1&&&br&其中Q是电荷，r是电荷之间的距离，&b&r&/b&是表示方向的单位向量。像我之前说的，把其中一个电荷当作来源，然后刨去另一个电荷，就可以得到电场的表达式。&/p&&p&高中里应该还学过&b&安培定律Ampere's Law&/b&，也就是电流产生磁场的定律。虽然没有学过具体表达式，但我们已经能看出它与库仑定律之间的区别。库仑定律描述了“两个”微小来源（电荷）之间的“力”，而安培定律是描述了“一个”来源（电流）产生的“场”。事实上，电磁学中也有磁场版本的库仑定律，描述了两个微小电流之间的力，叫做&b&毕奥-萨伐尔定律Biot-Savart Law&/b&；反之，也有电场版本的安培定律，描述了一个电荷产生的磁场，叫做&b&高斯定律Gauss's Law&/b&。这四个定律之间有如下关系：&/p&&p&&b&　　　　　　　　　　　　电场　　　　　磁场&/b&&/p&&p&&b&两个微小来源之间的力&/b&　库仑定律　毕奥-萨伐尔定律&/p&&p&&b&单个来源产生的场&/b&　　　高斯定律　　　安培定律&/p&&p&数学上可以证明库仑定律（毕奥-萨伐尔定律）和高斯定律（安培定律）在静电学（静磁学）中是完全等价的，也就是说我们可以任意假设一个定律，从而推导出另一个定律。然而如果我们想从静止的静电学和静磁学推广到电动力学，前者是非常不便的而后者很却容易，所以尽管库仑定律在中学中常常提到，麦克斯韦方程组中却没有它，有的是高斯定律和安培定律。这两个定律分别是麦克斯韦方程组里的(1)和(4)的第一项，即：&/p&&p&高斯定律（积分、微分形式）：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%284-1%29%7D+%5Cquad+%5Coint_%7B%5Cpartial+V%7D+%5Cmathbf%7BE%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Ba%7D+%3D+%5Cfrac%7BQ_V%7D%7B%5Cepsilon_0%7D%2C& alt=&\text{(4-1)} \quad \oint_{\partial V} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a} = \frac{Q_V}{\epsilon_0},& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%284-2%29%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ccdot+%5Cmathbf%7BE%7D+%3D+%5Cfrac%7B%5Crho%7D%7B%5Cepsilon_0%7D.& alt=&\text{(4-2)} \quad \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}.& eeimg=&1&&&br&安培定律（积分、微分形式）：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%285-1%29%7D+%5Cquad+%5Coint_%7B%5Cpartial+S%7D+%5Cmathbf%7BB%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Bl%7D+%3D+%5Cmu_0+I_S%2C& alt=&\text{(5-1)} \quad \oint_{\partial S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_S,& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%285-2%29%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ctimes+%5Cmathbf%7BB%7D+%3D+%5Cmu_0+%5Cmathbf%7BJ%7D.& alt=&\text{(5-2)} \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}.& eeimg=&1&&&/p&&p&我们继续推迟讲解数学关系，单看这几个式子本身，就能看到等式的左边有电场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BE%7D& alt=&\mathbf{E}& eeimg=&1&& （磁场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BB%7D& alt=&\mathbf{B}& eeimg=&1&& ），而右边有电荷 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Q& alt=&Q& eeimg=&1&& （电流 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=I& alt=&I& eeimg=&1&& ）或电荷密度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Crho& alt=&\rho& eeimg=&1&& （电流密度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BJ%7D& alt=&\mathbf{J}& eeimg=&1&& ）。看，&b&电荷产生电场，电流产生磁场&/b&！&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&4. 变化磁场-&电场，变化磁场-&电场&/b&&/p&&p&然而这不是故事的全部，因为事实上电磁场是可以互相转化的。法拉第发现了电磁感应，也就是说变化的磁场是可以产生电场的，这就是&b&法拉第定律Faraday's Law&/b&。类似地，麦克斯韦发现安培定律的描述并不完善，除了电流以外，变化的电场也可以产生磁场，这被称为&b&安培-麦克斯韦定律Ampere-Maxwell Law&/b&。这两个定律分别是麦克斯韦方程组里的(2)和(4)的第二项，即：&/p&&p&法拉第定律（积分、微分形式）：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%286-1%29%7D+%5Cquad+%5Coint_%7B%5Cpartial+S%7D+%5Cmathbf%7BE%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Bl%7D+%3D+-%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D+%5Cint_%7BS%7D+%5Cmathbf%7BB%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Ba%7D%2C& alt=&\text{(6-1)} \quad \oint_{\partial S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt} \int_{S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a},& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%286-2%29%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ctimes+%5Cmathbf%7BE%7D+%3D+-%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+%5Cmathbf%7BB%7D.& alt=&\text{(6-2)} \quad \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B}.& eeimg=&1&&&br&安培-麦克斯韦定律（积分、微分形式）：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%287-1%29%7D+%5Cquad+%5Coint_%7B%5Cpartial+S%7D+%5Cmathbf%7BB%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Bl%7D+%3D+%5Cmu_0+%5Cepsilon_0+%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D+%5Cint_%7BS%7D+%5Cmathbf%7BE%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Ba%7D%2C& alt=&\text{(7-1)} \quad \oint_{\partial S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{d}{dt} \int_{S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a},& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%287-2%29%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ctimes+%5Cmathbf%7BB%7D+%3D+%5Cmu_0+%5Cepsilon_0+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+%5Cmathbf%7BE%7D.& alt=&\text{(7-2)} \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E}.& eeimg=&1&&&/p&&p&同样地，等式的左边有电场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BE%7D& alt=&\mathbf{E}& eeimg=&1&& （磁场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BB%7D& alt=&\mathbf{B}& eeimg=&1&& ），而右边有磁场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BB%7D& alt=&\mathbf{B}& eeimg=&1&& （电场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BE%7D& alt=&\mathbf{E}& eeimg=&1&& ）的导数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D& alt=&\frac{d}{dt}& eeimg=&1&& 或偏导 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D& alt=&\frac{\partial}{\partial t}& eeimg=&1&& 。看，&b&变化磁场产生电场，变化电场产生磁场&/b&！&/p&&p&需要指出的是，我这样的说法其实是不准确的，因为并不是真的某一个场“产生”的另一个场。这两个定律只是描述了电场（磁场）和磁场（电场）的变化率之间的定量关系，而不是因果关系。&/p&&p&小结一下，我们已经搞清楚了麦克斯韦方程组里每一项的意思，基本就是指出了电磁场的来源和变化电磁场的定量关系。下一步便是往我们这些粗浅的理解中加入数学，具体看看这些方程到底说了什么。在这之前，我们必须花一点时间了解一下向量微积分的皮毛。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&5. 向量积分&/b&&/p&&p&普通的单变量微积分基本可以理解为乘法的一种拓展。我们想计算一个矩形的面积，我们用长 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 乘宽 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& ，即 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=xy& alt=&xy& eeimg=&1&& 。如果宽不是一个定值而是根据长而变化的（也就是说宽是一个长的函数，即宽 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%3Dy%28x%29& alt=&=y(x)& eeimg=&1&& ），那么我们就需要积分，记为“&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint+y%28x%29+%5C%2C+dx& alt=&\int y(x) \, dx& eeimg=&1&& ”。这样的想法也很容易推广到更高的维度，比如在一块体积 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&& 内，若电荷密度为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Crho& alt=&\rho& eeimg=&1&& ，那么这块体积内的总电荷就是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Q%3D%5Crho+V& alt=&Q=\rho V& eeimg=&1&& ；如果 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Crho& alt=&\rho& eeimg=&1&& 在空间中每一点都不一样，是个关于坐标的函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Crho%28%5Cmathbf%7Bx%7D%29& alt=&\rho(\mathbf{x})& eeimg=&1&& ，那么就要变成积分 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Q%3D%5Ciiint+%5Crho%28%5Cmathbf%7Bx%7D%29+%5C%2C+dV& alt=&Q=\iiint \rho(\mathbf{x}) \, dV& eeimg=&1&& （这里&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ciiint& alt=&\iiint& eeimg=&1&& 表示是一个三维的积分，很多时候也可以省略写为一个&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint& alt=&\int& eeimg=&1&& ）。&/p&&p&在向量场中，这个事情比较麻烦。首先两个向量的乘积的定义稍显复杂，必须使用&b&点乘dot product&/b&，即 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bu%7D%5Ccdot%5Cmathbf%7Bv%7D& alt=&\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}& eeimg=&1&& ，它暗示着两个向量之间的角度，也就是有多么平行。如果 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bu%7D& alt=&\mathbf{u}& eeimg=&1&& 和 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bv%7D& alt=&\mathbf{v}& eeimg=&1&& 完全平行，它们的点乘是一个正值；如果方向相反，则是一个负值；如果垂直，那么为0。另一方面，我们不一定要像上一个电荷的例子一样积上整个体积 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&& ，我们可以只积一个曲面 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 或者一条曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cgamma& alt=&\gamma& eeimg=&1&& 。这就是所谓的曲面积分和曲线积分的概念。&/p&&p&&b&曲面积分surface integral&/b&有如下形式：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%288%29%7D+%5Cquad+%5Cint_S+%5Cmathbf%7BF%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Ba%7D%2C& alt=&\text{(8)} \quad \int_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{a},& eeimg=&1&&&br&其中 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 表示我们需要积的曲面， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\mathbf{F}& eeimg=&1&& 是我们想要积的向量场， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ccdot& alt=&\cdot& eeimg=&1&& 代表点乘， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Ba%7D& alt=&\mathbf{a}& eeimg=&1&& 指向垂直于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 的方向。因此，我们看到，如果 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\mathbf{F}& eeimg=&1&& 和 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 是平行的，那么点乘处处得0，这个曲面积分也为0。换句话说，&b&曲面积分表示着向量场&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\mathbf{F}& eeimg=&1&&&b&穿过曲面&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&&&b&的程度&/b&，因此也很形象地叫做&b&通量flux&/b&。下图为两个简单的例子（虚线----表示曲面所在的位置）：&/p&&p&曲面积分（通量）为0：&br&→ → → → →&br&--------------------&br&→ → → → →&/p&&p&曲面积分（通量）不为0：&br& ↑
↑ ↑ ↑ ↑ ↑&br&--------------------&br& ↑
↑ ↑ ↑ ↑&/p&&p&那么&b&曲线积分line integral&/b&也很类似，只不过我们不积一个曲面 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 而是一个一维的曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cgamma& alt=&\gamma& eeimg=&1&& 。它有如下形式：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%289%29%7D+%5Cquad+%5Cint_%5Cgamma+%5Cmathbf%7BF%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Bl%7D%2C& alt=&\text{(9)} \quad \int_\gamma \mathbf{F} \cdot d\mathbf{l},& eeimg=&1&&&br&其中 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cgamma& alt=&\gamma& eeimg=&1&& 表示我们需要积的曲线， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ccdot& alt=&\cdot& eeimg=&1&& 代表点乘， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bl%7D& alt=&\mathbf{l}& eeimg=&1&& 指向曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cgamma& alt=&\gamma& eeimg=&1&& 的方向。不难看出，&b&曲线积分表示着向量场&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\mathbf{F}& eeimg=&1&&&b&沿着曲线&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cgamma& alt=&\gamma& eeimg=&1&&&b&的程度&/b&。下图为两个简单的例子（虚线----表示曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cgamma& alt=&\gamma& eeimg=&1&& ）：&/p&&p&曲线积分不为0：&br&→ → → → →&br&--------------------&br&→ → → → →&/p&&p&曲线积分为0：&br& ↑
↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑&br&--------------------&br& ↑
↑ ↑ ↑ ↑&/p&&p&特别地，如果曲线是闭合的（首尾相连的），那么我们可以在积分符号∫上画一个圈，表示闭合，然后这个特殊的曲线积分叫做&b&环量circulation&/b&，因为是积了一个环嘛。很显然，如果 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\mathbf{F}& eeimg=&1&& 是个保守力场，那么我随便找一个闭合曲线，做的功都一定为0（这就是保守力场的定义啊），所以&b&保守力场的任意环量都为0&/b&。最后一提，“环量”这个名字很少使用，一般就直接叫做“闭合曲线的积分”。&/p&&p&定义一个通量所使用的曲面 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 则不一定要是闭合的，任何曲面都可以。如果这个曲面很特殊恰好是闭合的，我们也可以在积分符号 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ciint& alt=&\iint& eeimg=&1&& 上画上一个圈，代表闭合，但这个量则没有一个特殊的名字了。&/p&&p&总结如下表：&br&&b&　　　　　　曲面积分　曲线积分&/b&&/p&&p&&b&表示向量场&/b&　通过曲面　沿着曲线　&b&的程度&/b&&/p&&p&&b&又叫做&/b&　　　　通量　　　－－&/p&&p&&b&若为闭合　&/b&　　－－　　　环量&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&6. 麦克斯韦方程组的积分形式&/b&&/p&&p&我非常不严谨地描述了曲面积分和曲线积分分别是什么。我们回头看看麦克斯韦方程组的积分形式，我们应该都能看懂了。&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+%5Coint_%7B%5Cpartial+V%7D+%5Cmathbf%7BE%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Ba%7D+%3D+%5Cfrac%7BQ_V%7D%7B%5Cepsilon_0%7D%2C& alt=&\text{(10-1)} \quad \oint_{\partial V} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a} = \frac{Q_V}{\epsilon_0},& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+%5Coint_%7B%5Cpartial+S%7D+%5Cmathbf%7BE%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Bl%7D+%3D+-%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D+%5Cint_%7BS%7D+%5Cmathbf%7BB%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Ba%7D%2C& alt=&\text{(10-2)} \quad \oint_{\partial S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt} \int_{S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a},& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+%5Coint_%7B%5Cpartial+V%7D+%5Cmathbf%7BB%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Ba%7D+%3D+0%2C& alt=&\text{(10-3)} \quad \oint_{\partial V} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a} = 0,& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+%5Coint_%7B%5Cpartial+S%7D+%5Cmathbf%7BB%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Bl%7D+%3D+%5Cmu_0+I_S+%2B+%5Cmu_0+%5Cepsilon_0+%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D+%5Cint_%7BS%7D+%5Cmathbf%7BE%7D+%5Ccdot+d%5Cmathbf%7Ba%7D.& alt=&\text{(10-4)} \quad \oint_{\partial S} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_S + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d}{dt} \int_{S} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a}.& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&(1) 高斯定律&/b&：　　　　电场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BE%7D& alt=&\mathbf{E}& eeimg=&1&& 在闭合曲面 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+V& alt=&\partial V& eeimg=&1&& 上的通量，等于该曲面包裹住的体积 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&& 内的电荷 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Q& alt=&Q& eeimg=&1&& （乘上系数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cepsilon_0%7D& alt=&\frac{1}{\epsilon_0}& eeimg=&1&& ）；&br&&b&(2) 法拉第定律&/b&：　　　电场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BE%7D& alt=&\mathbf{E}& eeimg=&1&& 在闭合曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+S& alt=&\partial S& eeimg=&1&& 上的环量，等于磁场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BB%7D& alt=&\mathbf{B}& eeimg=&1&& 在该曲线环住的曲面 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 上的通量的变化率（乘上系数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=-1& alt=&-1& eeimg=&1&& ）；&br&&b&(3) 高斯磁定律&/b&：　　　磁场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BB%7D& alt=&\mathbf{B}& eeimg=&1&& 在闭合曲面 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+V& alt=&\partial V& eeimg=&1&& 上的通量，等于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=0& alt=&0& eeimg=&1&& ；&br&&b&(4) 安培麦克斯韦定律&/b&：磁场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BB%7D& alt=&\mathbf{B}& eeimg=&1&& 在闭合曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+S& alt=&\partial S& eeimg=&1&& 上的环量，等于该曲线环住的曲面 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 里的电流 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=I& alt=&I& eeimg=&1&& （乘上系数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmu_0& alt=&\mu_0& eeimg=&1&& ），加上电场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BE%7D& alt=&\mathbf{E}& eeimg=&1&& 在该曲线环住的曲面 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 上的通量的变化率（乘上系数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmu_0+%5Cepsilon_0& alt=&\mu_0 \epsilon_0& eeimg=&1&& ）。&/p&&p&虽然在我看来，这样的描述已经是非常通俗、没有任何数学了，但对于没有学习过微积分的同学来说，显然还是太晦涩了一点。那么我来举几个例子吧。&/p&&p&&b&(1) 高斯定律：&/b&&/p&&p&&b&例子1&/b&：假设我们有一个点电荷 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Q& alt=&Q& eeimg=&1&& ，以其为球心作一个球，把这块体积称为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&& ，那么 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+V& alt=&\partial V& eeimg=&1&& 就是这个球的表面。这个电荷 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Q& alt=&Q& eeimg=&1&& 产生了一些电场，从中心的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Q& alt=&Q& eeimg=&1&& 向外发射，显然电场线都穿过了球的表面 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+V& alt=&\partial V& eeimg=&1&& ，所以“闭合曲面 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+V& alt=&\partial V& eeimg=&1&& 的通量”是个正数，不为0，而“该曲面包裹住的电荷”为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Q& alt=&Q& eeimg=&1&& ，也不为0。&/p&&p&&b&例子2：&/b&假设我们把电荷 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Q& alt=&Q& eeimg=&1&& 替换为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=-Q& alt=&-Q& eeimg=&1&& ，那么所有的电场线方向都反过来了， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+V& alt=&\partial V& eeimg=&1&& 的通量（记得通量中的点乘吗？）也因此获得了一个负号，所以“闭合曲面 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+V& alt=&\partial V& eeimg=&1&& 的通量”变成了负数，而“该曲面包裹住的电荷”为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=-Q& alt=&-Q& eeimg=&1&& ，也变成了负数。等式再一次成立。&/p&&p&&b&例子3：&/b&假设我们把这个球的半径扩大为原来的2倍，这个球的表面积就变成了原来的4倍。与此同时，由于库仑力的反比平方定律，由于球表面与球心电荷Q的距离变成了原来的2倍，在球表面?V的电场强度也变成了原来的1/4。通量（电场和面积的积分）获得一个系数4，又获得一个系数1/4，所以“闭合曲面 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+V& alt=&\partial V& eeimg=&1&& 的通量”没有变，而“该曲面包裹住的电荷”显然仍然为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Q& alt=&Q& eeimg=&1&& ，也没有变。&/p&&p&&b&例子4：&/b&事实上，我们随便怎么改变这一块表面积的大小、体积，算出来的通量都不会变（尽管会非常难算），因为等式的右边“该曲面包裹住的电荷”一直都没有变。&/p&&p&&b&例子5：&/b&假设我们把电荷移到这个曲面外面，那么电场线会从这个球的一面穿透进去，然后从另一面出来，所以当我们做积分的时候，两个方向的通量抵消了，整个“闭合曲面 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+V& alt=&\partial V& eeimg=&1&& 的通量”为0，而此时我们的曲面没有包裹住任何电荷，所以“该曲面包裹住的电荷”也为0。等式成立。&/p&&p&&b&(2) 法拉第定律：&/b&&/p&&p&&b&例子6：&/b&一圈闭合导线，环住了一块曲面 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& ，则记这个曲线的位置为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+S& alt=&\partial S& eeimg=&1&& ，那么经过 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+S& alt=&\partial S& eeimg=&1&& 的电场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BE%7D& alt=&\mathbf{E}& eeimg=&1&& 的环量其实就是导线内的电势（电压）。垂直于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 通过一些磁场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BB%7D& alt=&\mathbf{B}& eeimg=&1&& ，则通过 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 的磁通量不为0。然而此时导线内并没有电流，也就是说，并没有电压，“闭合曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+S& alt=&\partial S& eeimg=&1&& 的环量”为0。这是很显然的，因为磁通量并没有变化，没有电磁感应，换句话说，“曲面 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 上的通量的变化率”为0。&/p&&p&&b&例子7：&/b&这个时候我突然增加磁场，所以磁通量变大了，“磁通量的变化率”为正，不为0。因此，等式的左边“闭合曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+S& alt=&\partial S& eeimg=&1&& 的环量”也为正，不为0，也就是说，导线内产生了一些电压，继而产生了一些感应电流。这正是大家熟悉的法拉第电磁感应。&/p&&p&&b&例子8：&/b&如果我不是增加磁场，而是减小磁场，那么磁通量变小了，“磁通量的变化率”为负。那么等式左边“闭合曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+S& alt=&\partial S& eeimg=&1&& 的环量”也获得了一个负号，换句话说，感应电流的方向反了过来。&/p&&p&&b&(3) 高斯磁定律：&/b&&/p&&p&&b&例子9&/b&：随便选择一个闭合曲面，整个曲面上的磁通量一定为0。这和电场的情况迥然不同，因此说明，不像有可以产生电场的“电荷”，这个世界上是没有能单独产生磁场的“磁荷”（也就是“磁单极子”）的。&/p&&p&&b&(4) 安培-麦克斯韦定律：&/b&&/p&&p&&b&例子10&/b&：假设我们有一个电流 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=I& alt=&I& eeimg=&1&& ，以其为轴作一个圆，把这个圆称为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& ，那么 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+S& alt=&\partial S& eeimg=&1&& 就是这个圆的边缘。这个电流 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=I& alt=&I& eeimg=&1&& 产生了一些磁场，（按照右手定则）绕着导线。显然磁场线和 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+S& alt=&\partial S& eeimg=&1&& 都是“绕着导线”，方向一致，所以“闭合曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+S& alt=&\partial S& eeimg=&1&& 的环量”是个正数，不为0，而“该曲线环住的电流”为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=I& alt=&I& eeimg=&1&& ，也不为0。&/p&&p&&b&例子11&/b&：假设我们改变电流方向，即把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=I& alt=&I& eeimg=&1&& 变成 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=-I& alt=&-I& eeimg=&1&& ，那么所有的磁场线方向都反过来了， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+S& alt=&\partial S& eeimg=&1&& 的环量也因此获得了一个负号，所以“闭合曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+S& alt=&\partial S& eeimg=&1&& 的环量”和“该曲线环住的电流”均获得一个负号。等式再一次成立。&/p&&p&&b&例子12&/b&：和高斯定律很像，我们随便怎么改变这一个环的大小、面积，只要环住的电流不变，算出来的环量都不会变（尽管可能会非常难算）。而若电流在这个环外面，尽管仍然有磁场存在，但在计算环量时相互抵消，使得等式两边都变成0。&/p&&p&&b&例子13&/b&：“变化的电场产生磁场”（即第二项）的例子非常难找，这也正是安培当年没有自己发现、非要等到麦克斯韦帮忙才发现的原因。我这里不妨不再细述，读者只要接受这个设定就好。有兴趣的读者可以自己思考一个这种情况的例子。&/p&&p&最后，还记得我们之前说过“保守力场的任意环量都为0”吗？显然，要想让磁场的环量为0，那就只能既没有电流（方程(4)中的第一项），也没有变化的电通量（第二项），那么磁场只能为0。换言之，任何磁场都不是保守力场。想让电场的环量为0还比较简单，只需要令磁通量不变（方程(2)）就好了。换言之，只有在静电学（电磁场均静止不变）中，静电场才是保守力场。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&7. 向量微分&/b&&/p&&p&麦克斯韦方程组描述了所有的电磁现象，从每个方程的名字也可以看出，方程组总结、整合了前人（库仑、高斯、安培、法拉第等）发现的各种现象和其方程（在麦克斯韦以前这样的方程可能有数十个），而麦克斯韦把它们总结归纳到了一起，用短短四个公式涵盖了所有现象，非常了不起。然而平心而论，积分形式仍然显得颇为繁琐，原因有二：1. 积分是很难算的，虽然每一个方程的左右两边都必然相等，但随便给你一个场和一个曲面/曲线，想把左侧的积分算出来极为困难；2. 也正因为如此，我们尽管有可以描述电磁场的方程，但给定一个特定的来源（比如天线中一个来回摇摆的电荷），我们想算出具体的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BE%7D& alt=&\mathbf{E}& eeimg=&1&& 和 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BB%7D& alt=&\mathbf{B}& eeimg=&1&& 也是极为困难，因为我们只知道 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BE%7D& alt=&\mathbf{E}& eeimg=&1&& 和 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BB%7D& alt=&\mathbf{B}& eeimg=&1&& 在某个特殊曲面/曲线上的积分。&/p&&p&这就是微分形式的好处。首先，计算一个给定向量场的微分（散度和旋度）是很简单的，只要使用之前提到过的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla+%5Ccdot& alt=&\nabla \cdot& eeimg=&1&& 和 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla+%5Ctimes& alt=&\nabla \times& eeimg=&1&& 算符就好，而这两个算符都有一套固定的算法。其次，散度和旋度代表着一个向量场的两种不同的自由度，有着非常直接的几何意义，从这两个量中恢复出向量场也是比较直观的过程。当然，我们又需要再准备一些向量微积分的知识，其中的重点就是散度和旋度。&/p&&p&&b&散度divergence&/b&，顾名思义，是&b&指一个向量场发散的程度&/b&。一个向量场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\mathbf{F}& eeimg=&1&& 的散度是一个标量场（向量场的每一点有一个自己的散度），写作 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla+%5Ccdot+%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\nabla \cdot \mathbf{F}& eeimg=&1&& （这个写法也很直白，因为点乘就是标量）。如果一个点的散度为正，那么在这一点上 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\mathbf{F}& eeimg=&1&& 有向外发散的趋势；如果为负，那么在这一点上 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\mathbf{F}& eeimg=&1&& 有向内收敛的趋势。&/p&&p&&b&旋度curl&/b&则&b&指一个向量场旋转的程度&/b&。一个向量场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\mathbf{F}& eeimg=&1&& 的旋度是一个向量场（向量场的每一点有一个自己的旋度，而且是一个向量；这是因为旋转的方向需要标明出来），写作 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla%5Ctimes%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\nabla\times\mathbf{F}& eeimg=&1&& （这个写法也很直白，因为叉乘就是向量）。如果一个点的旋度不为0，那么在这一点上 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\mathbf{F}& eeimg=&1&& 有漩涡的趋势，而这个旋度的方向表明了旋转的方向。&/p&&p&举些例子，以下是两个向量场的例子。其中第一个向量场往外发散，但完全没有旋转扭曲的趋势；第二个向量场形成了一个标准的漩涡，但没有任何箭头在往外或往里指，没有发散或收敛的趋势。&/p&&p&散度不为0、但旋度为0的向量场：&br&
↗&br&← · →&br&
↘&/p&&p&旋度不为0、但散度为0的向量场：&br& ↗
↘&br&↑ · ↓&br& ↖
↙&/p&&p&因此，如你所见，散度和旋度描述的都是非常直观的几何性质。只要知道一个向量场的散度和旋度，我们就可以唯一确定这个向量场本身（这是亥姆霍兹定理，我要是有兴致可以以后简单谈谈）。&/p&&p&麦克斯韦方程组的微分形式，就是要描述电磁场的散度和旋度。我前边说到，微分形式和积分形式是完全等价的，我很也可以很轻松地从一个形式推导出另一个形式，用的是高斯定理（不要和高斯定律混淆、又叫散度定理）和斯托克斯定理。&/p&&p&&b&高斯定理Gauss's Theorem&/b&：一个向量场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\mathbf{F}& eeimg=&1&& 在闭合曲面 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+V& alt=&\partial V& eeimg=&1&& 上的通量，等于该曲面包裹住的体积 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&& 里的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\mathbf{F}& eeimg=&1&& 全部的散度（ &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\mathbf{F}& eeimg=&1&& 的散度的体积积分）。这是可以想象的，毕竟通量就是在计算有多少场从这个闭合曲面里发散出去了，也就是总共的散度（散度的积分）。&/p&&p&&b&斯托克斯定理Stokes' Theorem&/b&：一个向量场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\mathbf{F}& eeimg=&1&& 在闭合曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+S& alt=&\partial S& eeimg=&1&& 上的环量，等于该曲线环住的曲面 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 上的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\mathbf{F}& eeimg=&1&& 全部的旋度（ &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\mathbf{F}& eeimg=&1&& 的旋度的曲面积分）。这也是可以想象的，毕竟环量就是在计算有多少场和这个环方向一样（有多少场在沿着这个环旋转），也就是总共的旋度（旋度的积分）。&/p&&p&总结如下表：&/p&&p&&b&　　　　　曲面积分　　曲线积分&/b&&/p&&p&&b&积分形式&/b&　　通量　　　　环量&/p&&p&&b&联系&/b&　　　高斯定理　斯托克斯定理&/p&&p&&b&微分形式&/b&　　散度　　　　旋度&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&8. 麦克斯韦方程组的微分形式&/b&&/p&&p&了解了散度和旋度的概念之后，我们便可以读懂麦克斯韦方程组的微分形式了。&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ccdot+%5Cmathbf%7BE%7D+%3D+%5Cfrac%7B%5Crho%7D%7B%5Cepsilon_0%7D%2C& alt=&\text{(11-1)} \quad \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0},& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ctimes+%5Cmathbf%7BE%7D+%3D+-%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+%5Cmathbf%7BB%7D%2C& alt=&\text{(11-2)} \quad \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B},& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ccdot+%5Cmathbf%7BB%7D+%3D+0%2C& alt=&\text{(11-3)} \quad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0,& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ctimes+%5Cmathbf%7BB%7D+%3D+%5Cmu_0+%5Cmathbf%7BJ%7D+%2B+%5Cmu_0+%5Cepsilon_0+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+%5Cmathbf%7BE%7D.& alt=&\text{(11-4)} \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E}.& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&(1) 高斯定律&/b&：　　　　电场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BE%7D& alt=&\mathbf{E}& eeimg=&1&& 的散度，等于在该点的电荷密度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Crho& alt=&\rho& eeimg=&1&& （乘上系数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cepsilon_0%7D& alt=&\frac{1}{\epsilon_0}& eeimg=&1&& ）；&br&&b&(2) 法拉第定律&/b&：　　　电场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BE%7D& alt=&\mathbf{E}& eeimg=&1&& 的旋度，等于在该点的磁场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BB%7D& alt=&\mathbf{B}& eeimg=&1&& 的变化率（乘上系数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=-1& alt=&-1& eeimg=&1&& ）；&br&&b&(3) 高斯磁定律&/b&：　　　磁场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BB%7D& alt=&\mathbf{B}& eeimg=&1&& 的散度，等于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=0& alt=&0& eeimg=&1&& ；&br&&b&(4) 安培麦克斯韦定律&/b&：磁场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BB%7D& alt=&\mathbf{B}& eeimg=&1&& 的旋度，等于在该点的电流密度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BJ%7D& alt=&\mathbf{J}& eeimg=&1&& （乘上系数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmu_0& alt=&\mu_0& eeimg=&1&& ），加上在该点的电场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BE%7D& alt=&\mathbf{E}& eeimg=&1&& 的变化率（乘上系数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmu_0%5Cepsilon_0& alt=&\mu_0\epsilon_0& eeimg=&1&& ）。&/p&&p&我们可以看出，电荷和电流对电场和磁场干的事情是不一样的：电荷的作用是给电场贡献一些散度，而电流的作用是给磁场贡献一些旋度。然而变化的电磁场对对方干的事情是一样的，都是给对方贡献一些旋度。&/p&&p&想看一些具体例子的同学要失望了。微分形式的例子比较难举，因为微分形式主要是让计算更加简便，在数学上比较有优势，而应用到具体的现象上则不那么显而易见。不过，至少静电磁场的例子还是可以举的。比如，我们知道电场线总是从正电荷出发、然后进入负电荷，这正是在说电场的散度在正电荷处为正，在负电荷处为负。再例如我们知道磁场线总是绕着电流，而不会进入或发源于电流，这也就是在说磁场有旋度而一定没有散度。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&9. 电磁波&/b&&/p&&p&我刚刚提到，微分形式的主要好处是数学上处理起来很简便，我现在就给一个例子，也就是著名的光速。想象我们在真空中，周围什么都没有。这个时候，显然电荷密度和电流密度均为0，所以麦克斯韦方程组的微分形式变成了：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ccdot+%5Cmathbf%7BE%7D+%3D+0%2C& alt=&\text{(12-1)} \quad \nabla \cdot \mathbf{E} = 0,& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ctimes+%5Cmathbf%7BE%7D+%3D+-%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+%5Cmathbf%7BB%7D%2C& alt=&\text{(12-2)} \quad \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B},& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ccdot+%5Cmathbf%7BB%7D+%3D+0%2C& alt=&\text{(12-3)} \quad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0,& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ctimes+%5Cmathbf%7BB%7D+%3D+%5Cmu_0+%5Cepsilon_0+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+%5Cmathbf%7BE%7D.& alt=&\text{(12-4)} \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E}.& eeimg=&1&&&/p&&p&这四个公式简直太对称了！而且它们的含义也很清晰，基本就是说，变化的电场产生磁场，而变化的磁场产生电场。这就是&b&电磁波electromagnetic wave&/b&的方程，电磁波也就是电场和磁场此消彼长、相互转化、向前传播的形式。&/p&&p&想要具体解出这个方程的解，还是需要玩儿一会儿微积分的，但是我们注意到两个式子分别有系数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=-1& alt=&-1& eeimg=&1&& 和 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmu_0%5Cepsilon_0& alt=&\mu_0\epsilon_0& eeimg=&1&& 。如果你了解波动方程的话，从这两个系数就可以算出这个波传播的速度，为&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%D+%5Cquad+c+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cmu_0+%5Cepsilon_0%7D%7D.& alt=&\text{(13)} \quad c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}.& eeimg=&1&&&/p&&p&然而！ &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmu_0& alt=&\mu_0& eeimg=&1&& 和 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cepsilon_0& alt=&\epsilon_0& eeimg=&1&& 这两个常数是真空的性质（分别叫做&b&真空电容率vacuum permittivity&/b&和&b&真空磁导率vacuum permeability&/b&），是个定值。换句话说，&b&电磁波传播的速度（光速）也是一个定值&/b&！也就是说，在任何参考系里观察，光速都应该是一样的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=c& alt=&c& eeimg=&1&& ！这根据伽利略速度相加原理是不可能的（静止的你认为火车的速度是50 m/s，那么如果你以1 m/s的速度往前走你就会认为火车的速度只有49 m/s，显然不会仍然是50 m/s），但是电磁学却实实在在地告诉我们光速是不会变的。呐，这就是相对论的由来了。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&10. 方向性&/b&&/p&&p&可能有同学已经发现，我们的讨论中似乎忽略了很重要的一部分就是方向性。毕竟初高中学电磁的时候，出现了各种左手、右手定则（插一句，请一定一定忘掉左手定则，使用左手简直反人类，在正统的向量微积分和电磁学里&b&只有右手定则&/b&）。在之前对于麦克斯韦方程组的诠释中，我们似乎很少提及方向。麦克斯韦方程组描述了方向性吗？&/p&&p&答案是肯定的。方向或者说手性（为什么是“右手”定则而不是“左手”定则？）来自于叉乘的定义和面积的向量微分元素的定义。我们定义叉乘 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bu%7D+%5Ctimes+%5Cmathbf%7Bv%7D& alt=&\mathbf{u} \times \mathbf{v}& eeimg=&1&& 是一个向量，指的方向是垂直于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bu%7D& alt=&\mathbf{u}& eeimg=&1&& 和 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7Bv%7D& alt=&\mathbf{v}& eeimg=&1&& 的方向；但显然有两个不同的方向均满足这个条件，而我们选择了其中特定的一个，把选择的这个规则叫做“右手定则”。类似地，一个曲面 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 也有两个方向（即其微分元素 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d%5Cmathbf%7Ba%7D& alt=&d\mathbf{a}& eeimg=&1&& 是向量）。注意到曲线积分也是有方向性的（即其微分元素 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d%5Cmathbf%7Bl%7D& alt=&d\mathbf{l}& eeimg=&1&& 也是向量），因此我们把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&& 的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d%5Cmathbf%7Ba%7D& alt=&d\mathbf{a}& eeimg=&1&& 和 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cpartial+S& alt=&\partial S& eeimg=&1&& 的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d%5Cmathbf%7Bl%7D& alt=&d\mathbf{l}& eeimg=&1&& 联系起来，这个联系的规则也叫做“右手定则”。&/p&&p&上面这些情况中，选择“右手”是非常随意的；原则上我也可以全部选择左手，那么我得到的数学体系和原来的是完全等价的。当然，磁场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BB%7D& alt=&\mathbf{B}& eeimg=&1&& 会和原来的磁场指的方向完全相反，但是没有关系，因为我们又不能直接看到磁场，所有的定律的手性都变了之后，描述的物理是不变的。但是，选择右手是约定俗成的，也就没必要再纠结为什么了。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&11. 梯度、二次导数&/b&&/p&&p&我在之前说到保守力场的时候，偷偷塞进来过这样一个式子： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D%3D-%5Cnabla+V& alt=&\mathbf{F}=-\nabla V& eeimg=&1&& 。这里 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\mathbf{F}& eeimg=&1&& 是个向量场， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&& 是个标量场。我们看到，这个神奇的倒三角不但可以表示散度（把向量变成标量）和旋度（把向量变成向量），还可以这样把一个标量场变成一个向量场！数学上这个倒三角叫&b&Nabla算符&/b&，而 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla+V& alt=&\nabla V& eeimg=&1&& 叫做一个标量场 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&& 的梯度。&/p&&p&什么叫做梯度呢？其实相比于散度和旋度，这应该是更加熟悉的概念。&b&梯度gradient&/b&就是&b&一个标量场变化的程度&/b&。我们可以把一个标量场想象成一个山坡，每一点的梯度是一个向量，指的方向是上坡的方向，大小则是坡的陡峭程度。&/p&&p&总结一下我们见到的三种向量微分吧：&/p&&p&&b&　　　　　　梯度　散度　旋度&/b&&/p&&p&&b&作用在一个　&/b&标量　向量　向量　&b&场上&/b&&/p&&p&&b&表示这个场　&/b&变化　发散　旋转　&b&的程度&/b&&/p&&p&&b&得到一个　　&/b&向量　标量　向量　&b&场&/b&&/p&&p&&b&写作　　　　&/b&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla+V& alt=&\nabla V& eeimg=&1&&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla%5Ccdot%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\nabla\cdot\mathbf{F}& eeimg=&1&&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla%5Ctimes%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\nabla\times\mathbf{F}& eeimg=&1&&&/p&&p&于是从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D%3D-%5Cnabla+V& alt=&\mathbf{F}=-\nabla V& eeimg=&1&& 这个公式我们看到，保守力场（比如引力场）可以表示为某个标量场（比如引力势能）的梯度。之前说过，保守力场的环量/旋度一定为0。这也就是说，梯度的旋度一定为0。这是可以想象的，梯度指的是上坡的方向，而如果它有旋度，就意味着它们的指向可以形成的一个环，在这个环上可以一直上坡。这就像彭罗斯楼梯，是不可能的情形。&/p&&p&还有一个类似的定理，是说旋度的散度一定为0。我们也来想一下几何上这意味着什么。如果旋度有散度，就意味着在某个球上散度都在往球外指，也就意味着在球上每个点这个场都是逆时针旋转的。想想也知道这是不可能的。所以我们得到了两个重要的结论：&/p&&p&&b&1. 任意标量场&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=V& alt=&V& eeimg=&1&&&b&的梯度&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla+V& alt=&\nabla V& eeimg=&1&&&b&都是没有旋度的，也就是&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla%5Ctimes%5Cleft%28%5Cnabla+V%5Cright%29%3D0& alt=&\nabla\times\left(\nabla V\right)=0& eeimg=&1&&&b&；&/b& &b&2. 任意向量场&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\mathbf{F}& eeimg=&1&&&b&的旋度&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla%5Ctimes%5Cmathbf%7BF%7D& alt=&\nabla\times\mathbf{F}& eeimg=&1&&&b&都是没有散度的，也就是&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cnabla%5Ccdot%5Cleft%28%5Cnabla%5Ctimes%5Cmathbf%7BF%7D%5Cright%29%3D0& alt=&\nabla\cdot\left(\nabla\times\mathbf{F}\right)=0& eeimg=&1&&&b&。&/b&&/p&&p&我说过，这些“X度”都可以认为是场的一种微分，那么这些“X度的X度”就可以认为是二次导数了。我们看到，有两种二次导数都自动为0，不必我们深究。还有一种二次导数也很有名，也就是梯度的散度，它甚至有了一个专门的花哨的名字，叫&b&“拉普拉斯算符”Laplacian&/b&。在此我不作展开，大家只要知道它挺重要的就行。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&12. 电荷守恒&/b&&/p&&p&从麦克斯韦方程组中可以直接推出电荷守恒。这个推导十分简单，且颇为有趣，可以让大家看到向量微积分的方便之处，我就简要写一下：&/p&&p&首先我们有安培-麦克斯韦定律：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ctimes+%5Cmathbf%7BB%7D+%3D+%5Cmu_0+%5Cmathbf%7BJ%7D+%2B+%5Cmu_0+%5Cepsilon_0+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+%5Cmathbf%7BE%7D%2C& alt=&\text{(14-1)} \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E},& eeimg=&1&&&br&两边同时取散度：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ccdot+%28%5Cnabla+%5Ctimes+%5Cmathbf%7BB%7D%29+%3D+%5Cmu_0+%5Cnabla+%5Ccdot+%5Cmathbf%7BJ%7D+%2B+%5Cmu_0+%5Cepsilon_0+%5Cnabla+%5Ccdot+%5Cleft%28+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+%5Cmathbf%7BE%7D+%5Cright%29%2C& alt=&\text{(14-2)} \quad \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) = \mu_0 \nabla \cdot \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \nabla \cdot \left( \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E} \right),& eeimg=&1&&&br&注意到左边是磁场的旋度的散度，而旋度的散度一定为0，故左边为0。右边交换散度和时间导数，并约掉 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmu_0& alt=&\mu_0& eeimg=&1&& ，得：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+0+%3D+%5Cnabla+%5Ccdot+%5Cmathbf%7BJ%7D+%2B+%5Cepsilon_0+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+%28%5Cnabla+%5Ccdot+%5Cmathbf%7BE%7D%29%2C& alt=&\text{(14-3)} \quad 0 = \nabla \cdot \mathbf{J} + \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \cdot \mathbf{E}),& eeimg=&1&&&br&使用高斯定律：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+%5Cnabla+%5Ccdot+%5Cmathbf%7BE%7D+%3D+%5Cfrac%7B%5Crho%7D%7B%5Cepsilon_0%7D%2C& alt=&\text{(14-4)} \quad \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0},& eeimg=&1&&&br&代入原式，约掉 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cepsilon_0& alt=&\epsilon_0& eeimg=&1&& ，得：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctext%7B%%7D+%5Cquad+0+%3D+%5Cnabla+%5Ccdot+%5Cmathbf%7BJ%7D+%2B+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+t%7D+%5Crho.& alt=&\text{(14-5)} \quad 0 = \nabla \cdot \mathbf{J} + \frac{\partial}{\partial t} \rho.& eeimg=&1&&&/p&&p&这个就是电荷守恒的公式。用语言说，就是&b&电流密度的散度加上电荷密度的变化率一定为0&/b&。如果这比较抽象，我们可以对两项同时体积积分，再对 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BJ%7D& alt=&\mathbf{J}& eeimg=&1&& 那项使用高斯定理变成面积积分}