二元一次方程_百度百科
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二元一次方程
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的叫做二元一次方程。所有二元一次方程都可化为ax+by+c=0（a、b≠0）的一般式与ax+by=c（a、b≠0）的标准式，否则不为二元一次方程。适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。每个二元一次方程都有无数对方程的解，由二元一次方程组成的才可能有唯一解，二元一次方程组常用加减消元法或代入消元法转换为进行求解。
二元一次方程定义
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的叫做二元一次方程，可化为ax+by+c=0（a、b≠0）的一般式与ax+by=c（a、b≠0）的标准式。
二元一次方程解方程
适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值。因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解，由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集。
例如，二元一次方程：
，解有无数个
二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做一组二元一次方程组的解。二元一次方程组通常有唯一解，但有时有无数解，有时无解，例如
有唯一解：
有无数解：
整数解：二元一次方程的整数解就是一个二元一次方程的解均为整数的解。
一般解推导：设方程组
)求解该方程组的解。
将方程组变形，得到：
两式相减，得：
，则移相，得：
中，求得：
，则y有无数解，故方程组有无数解。
，则y无解，故方程组无解。
二元一次方程求解
二元一次方程消元思想
“”是解二元一次方程组的基本思路。所谓“消元”就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元多次方程再解出未知数。这种将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的解法，叫做消元解法。
消元方法一般分为：，简称：代入法 ；，简称：加减法 ；顺序消元法 ；整体代入法。
二元一次方程代入消元法
将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做代入消元法。
用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：
（1）等量代换：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y），用另一个未知数（如x）的代数式表示出来，即将方程写成y=ax+b的形式；
（2）代入消元：将y=ax+b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程；
（3）解这个一元一次方程，求出x的值；
（4）回代：把求得的x的值代入y=ax+b中求出y的值，从而得出方程组的解；
（5）把这个方程组的解写成
例如：解方程组
对方程进行标号：
把③代入①得：
代入①中，得：
故原方程组的解为：
二元一次方程加减法
当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法。
用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
（1）变换系数：利用等式的基本性质，把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等；
（2）加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
（3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
（4）回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；
（5）把这个方程组的解写成
例如：解方程组
解：对方程进行标号：
①-③，得：
代入①中，得：
故原方程组的解为：
二元一次方程换元法
解一些复杂的问题，常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化，明朗化。该方法在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面能起到独到作用。
例如：解方程
原方程组可变为
运用加减法可解得：
是原方程组的解.
特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5，y-4之类，换元后可简化方程。
二元一次方程应用题
1）A、B两地相距500千米，甲、乙两车由两地相向而行，若同时出发则5小时相遇；若乙先出发5小时，则甲出发后3小时与乙相遇。求甲乙两车速度。　　解： 设甲车速度为X km/h，乙车速度为Y km/h，列方程　　
答：甲车速度为60km/h，乙车速度为40km/h。
　　2）两个物体在周长等于100米的圆上运动，如果同向运动，那么它们每隔20秒相遇一次；如果相向运动，那么它们每隔5秒相遇一次。求每个物体的速度。
解：设速度快的速度为Xm/s，慢的为Y m/s，列方程
答：速度快的为12.5m/s，速度慢的为7.5m/s。
姚小琴. 浅议一元二次方程的教法[J]. 都市家教月刊, 5-165.
廖福清. 一元二次方程常见解法探析[J]. 网络导报·在线教育, 2012(27).
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清除历史记录关闭二元一次方程组的8个类型，专治各种不会做的应用题
昨天发了一元一次方程的10个类型题，结果就有同学要二元一次方程的，所以今天数姐给大家带来了，同学们好好研究一下吧！
二元一次方程大战应用题一实际问题与二元一次方程组的思路1.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系。一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：① 方程两边表示的是同类量；② 同类量的单位要统一；③ 方程两边的数要相等。2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；答：写出答案。3.要点诠释（1）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（2）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组。二八大典型例题详解01和差倍数问题 知识梳理和差问题是已知两个数的和或这两个数的差，以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数各是多少。 典型例题
思路点拨由甲乙两人2分钟共打了240个字可以得到第一个等量关系式2(x+y)=240，再由甲每分钟比乙多打10个字可以得到第二个等量关系式x-y=10，组成方程组求解即可。 变式拓展
思路点拨由甲组学生人数是乙组的3倍可以得到第一个等量关系式x=3y，由乙组的学生人数比甲组的3倍少40人可以得到第二个等量关系式3x-y=40，组成方程组求解即可。02产品配套问题 知识梳理总人数等于生产各个产品的人数之和；各个产品数量之间的比例符合整体要求。 典型例题
思路点拨本题的第一个等量关系比较容易得出：生产螺钉和螺母的工人共有22名；第二个等量关系的得出要弄清螺钉与螺母是如何配套的，即螺母的数量是螺钉的数量的2倍（注意：别把2倍的关系写反）。 变式拓展
思路点拨根据共有170名学生可得出第一个等量关系x+y=170，根据每个树坑对应一棵树可得第二个等量关系3x=7y，组成方程组求解即可。03工作量问题 知识梳理我们在解决工程问题时通常把工作总量看成1；工作量＝工作效率×工作时间；总工作量=每个个体工作量之和；工作效率=工作量÷工作时间（即单位时间的工作量）；工作效率=1÷完成工作的总时间。 典型例题
04利润问题 知识梳理商品利润＝商品售价－商品进价；利润率=利润÷进价×100%。 典型例题
思路点拨本题有两个未知数，即商品本钱和预售总价，也有两个明显的等量关系，即两种打折出售的获利情况，根据售价-成本-存货费用=利润，可以列出方程组求解即可。 变式拓展
思路点拨本题易知第一个等量关系为甲乙两种商品共50件，则有x+y=50。根据甲乙商品的进价和利润率可知甲商品每件利润为35×0.2=7元，乙商品每件利润为20×0.15=3元，再由所获总利润得到第二个等量关系，组成方程组求解即可。05行程问题 知识梳理路程=速度×时间；相遇问题：快行距＋慢行距＝原距追及问题：快行距－慢行距＝原距航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 典型例题
思路点拨这两个问题均可以利用路程、速度和时间之间的关系列方程(组)求解，要明确快车与慢车的路程与A、B两地的距离之间的关系，相向而行两车相遇时：快车路程+慢车路程=A、B两地距离；同向而行两车相遇时：快车路程-慢车路程=A、B两地距离。 变式拓展
思路点拨根据水流速度与船在静水中的速度的关系可以得到船的顺水速度和逆水速度，再根据路程=时间×速度列出方程组求解。06存贷款问题 知识梳理利息=本金×利率×期数；本息和（本利和）＝本金＋利息。 典型例题
思路点拨本题的等量关系：甲种贷款+乙种贷款＝13万元；甲种贷款的年利息+乙种贷款的年利息＝6075元。 变式拓展
思路点拨本题两种储蓄的年利率之和为3.24%，由此可得到第一个等量关系x+y=3.24%，再由两种储蓄的利息之和可得第二个等量关系，列方程组求解即可。07数字问题 知识梳理已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a。 典型例题
思路点拨本题中的等量关系：①个位上的数－十位上的数＝5；②原数+新数＝143。 变式拓展
思路点拨本题中的等量关系：①个位上的数+十位上的数＝8；②原数-新数＝18。08方案问题 知识梳理在解决实际问题时，需合理安排，从几种方案中，选择最佳方案。要点诠释：方案选择的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。 典型例题
思路点拨（1）本小问两个等量关系均可利用货物的总吨数等于两种车型所运货物吨数之和，每种车型所运货物的吨数等于该种车的数量乘以每辆车装满货物时可运输的货物吨数，列出方程即可。（2）根据货物的总吨数等于两种车型所运货物吨数之和列出方程，求解即可。（3）总费用等于A型车的总费用加上B型车的总费用，比较三种方案的费用得出最省钱的租车方案。 变式拓展
今天的例题就到这里结束了，相信看完这八大题型的解题方法，你一定精（看）通（够）了，做题的时候想想我们的方法吧，相信应用题一定难不倒你了！
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今日搜狐热点二元一次方程组练习题不会？来看看二元一次方程组知识点
二元一次方程组练习题不会？来看看二元一次方程组知识点
二元一次方程组练习题是我们在学习当中经常会遇到的一类练习题。很多同学面对二元一次方程组练习题都会出现丢分的问题，今天就来给大家讲一讲有关于二元一次方程组练习题的有关知识点，帮助同学们掌握好相关的知识内容，避免出现丢分现象。
二元一次方程的条件
(1)两个未知数;
(2)整式方程;
(3)未知项的次数为“1”;
(4)化为一般式：(a≠0,且b≠0.)
(5)判定一个方程是否是二元一次方程,先要化为一般式,再依据定义进行判断
二元一次方程的解
(1)二元一次方程的解是一对数值;
(2)已知二元一次方程的解，就能代入二元一次方程中求出另一个未知数的值。
(3)每一个二元一次方程都有无数个解.但整数解的有限的。
⑷每个二元一次方程通过变形能转化成一次函数，会用含一个未知数的整式来表示另一个未知数.
二元一次方程组
(1)它的一般形式为(其中a1与b1，a2与b2不同时为零).
(2)已知二元一次方程组的解就能代入方程组.
(3)二元一次方程组的解是唯一的。
二元一次方程组的解法
1.用代入消元法解题时,要注意强调：
(1)首先从方程组中选一个系数比较简单的方程,将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来;
(2)然后将变形后的关系式代入另一个方程,消去一个未知数,得到一个一元一次方程;
(3)解这个一元一次方程,求出x(或y)的值;
(4)将求得的未知数的值代入变形后的关系式中,求出另一个未知数的值;
(5)把求得的x,y的值用“大括号”联立起来,就是方程组的解.
2.用加减消元法解二元一次方程组时应注意以下几点：
(1)如果两个方程的系数相同用减法;如果系数互为相反数用加法，可以消去一个未知数.
(2)如果两个方程的系数不同，可用最小公倍数转化成相同或相反，然后再将两个方程两边分别相加或相减,就可消去这个未知数。
(3)当方程组中两个未知数的系数为分数时，要每项都乘其分母的最小公倍数，转化成系数为整数的二元一次方程组，然后再用上述加减消元求解.
⑷整体代入法、换元法
3.解二元一次方程组常见的错误
(1)求解不完整，只求出一个未知数的值就以为解完了;
(2)将两个方程相减时容易弄错符号;
(3)方程两边同乘以一个不等于零的数时，容易出现漏乘的项知识点五;三元一次方程组的解法解三元一次方程组可类比解二元一次方程组的代入法和加减法，关键是“消元”，把“三元”变为“二元”再变为“一元”以求解.
二元一次方程应用题
1.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是找等量关系.一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：
①方程两边表示的是同类量：
②同类量的单位要统一;
③方程两边的数值要相等.
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
设：用两个字母表示问题中的两个未知数;
列：列出方程组(分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组)
解：解方程组，求出未知数的值
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形;
答：写出答案.
以上就是极客数学帮为大家整理的有关于二元一次方程组练习题的全部内容了。二元一次方程组教学设计
二元一次方程组教学设计
四屯中学&&&&
一、教学任务分析
根据学生的认知序，教材的知识序，结合新课程理念，确定下列教学目标：
二、教学准备
多媒体课件，一根20厘米长的铁丝.
三、教学过程
环节一&&&&
创设情境，探索新知
问题1：假设你们每人手上有一根长20cm的铁丝，将这根铁丝首尾相连围成一个正方形，围出来的正方形都完全一样吗？
问题2： 同样用这根20厘米长的铁丝，首尾相连围成的长方形都完全一样吗？你能用二元一次方程来表示吗？
【设计意图】
①通过问题情境复习旧知，真正理解二元一次方程的意义；
②为探索新知做好铺垫。
问题3： 前面两个问题中都存在二元一次方程
,为何围成的长方形有无数种情况，而围成的正方形只有一种情况？
【设计意图】
通过两个问题的对比，让学生感受到 与 同时满足时，存在解的唯一性的过程，为二元一次方程组的形成做铺垫。
问题4：你能否通过增加一个条件，使同学们围成的长方形都完全一样吗？希望大家能增加更多不同类型的条件。
【设计意图】
①开放性问题的设置不仅激发学生的求知欲，而且通过该开放性问题让学生真正感受二元一次方程组的形成；
②培养学生的合作意识以及团队精神；
③通过此问题引出二元一次方程组的概念。
【操作形式】
①学生先思考，再分组合作，小组汇报；
②根据学生的汇报，教师引导，从而引出二元一次方程组的概念；
③教师备用： .
请在下列方程中选出两个方程，组成二元一次方程组。
你怎么能肯定，你所增加的一个条件就一定使长方形确定下来了呢？
【操作形式】
①通过问题的解决，导出二元一次方程组解的定义；
②让学生真正理解什么叫二元一次方程组的解。
分层练习，比一比，赛一赛&
的解是(&&&&&
&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&
2．下列哪一个二元一次方程组的解为
（　　　）
3．你能通过下列表格的填写找到二元一次方程组
小聪全家外出旅游，估计需要胶卷底片120张，商店里有两种型号的胶卷：A 型每卷36张底片，B型每卷12张底片。小聪一共买了4 卷胶卷，刚好有120张底片， 如果两种胶卷分别买x卷和y卷.请根据问题中的条件列出关于x
, y的方程组，并用列表尝试的方法求出A型和B型胶卷的数量.
【设计意图】
①让学生继续体验对于含有两个未知数的实际问题，可以列方程组来解决；
②让学生再次经历列表尝试解二元一次方程组的方法。
③在用二元一次方程组解决问题之后，进一步追问：“你能列一元一次方程求出A、B两种型号的卷数吗？”
①每位同学自己写一个二元一次方程组_____________;(同学之间互相检查,为什么是二元一次方程组?)
②你有什么方法找到这个方程组的解.
1．请编一个二元一次方程组，使得此方程组的解为
，_____________________,
2．若关于x、y的二元一次方程组
，则a=_____,b=______.
课本A、B组练习
设计说明：
&1.本节课的设计旨在培养学生的数学思维.以一根20厘米长的铁丝，在围正方形和长方形的对比过程中，逐渐提炼出方程组的形成思想，并和学生一起概括出二元一次方程组及其解的概念。通过让学生添加形成长方形的条件，使学生在独立思考、小组交流中体会出方程组形成的过程以及方程组解的本质；在“比一比、连一连、写一写”的练习中，学生及时应用所学的概念和方法，巩固提高.编拟的三个问题环环相扣，体现了基础性训练与探索性、思维性训练相结合的习题体系，使学生的思维品质在质疑的过程中不断升华和发展，培养思维的严谨性和造创性。
2.在课堂中，尽量为学生提供“做中学”，“想中学”，“动中学”的空间.借助已有的知识和方法主动探索新知识，扩大认知结构，发展能力，从而使课堂教学真正落实到学生的发展上，不同层次学生都有收获。
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二元一次方程组应用题及答案
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看一下这几道题：用白铁皮做罐头盒,每张铁皮可制成盒身25个,或制盒底40个,一个盒身和两个盒底配成一套罐头盒,现有36张白铁皮,用多少张制盒身,多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套?分析:因为现在总有36张铁皮制盒身和盒底.所以x+y=36.公式;用制盒身的张数+用制盒底的张数=总共制成罐头盒的白铁皮的张数36.得出方程(1).又因为现在一个盒身与2个盒底配成一套罐头盒.所以;盒身的个数*2=盒底的个数.这样就能使它们个数相等.得出方程(2)2*16x=40y x+y=36 (1) 2*16x=40y (2) 由(1)得36-y=x (3) 将(3)代入(2)得; 32(36-y)=40y y=16 又y=16代入(1)得:x=20 所以;x=20 y=16 答:用20张制盒身,用16制盒底.现在父母年龄的和是子女年龄的6倍；2年前,父母年龄的和子女年龄的和是子女年龄的和的10倍；父母年龄的和是子女年龄的3倍.问：共有子女几日?父母年龄之和为X 子女年龄之和为Y 设有N个子女X=6Y(X-4)=10(Y-n*2)6Y-4=10Y-20N4Y=20N-4Y=5N-1(X+12)=3(Y+n*6)6Y+12=3Y+18N3Y=18N-12Y=6N-46N-4=5N-1N=3答：有3个子女 甲,乙两人分别从A、A两地同时相向出发,在甲超过中点50千米处甲、乙两人第一次相遇,甲、乙到达B、A两地后立即返身往回走,结果甲、乙两人在距A地100米处第二次相遇,求A、B两地的距离 甲、乙两人从A地出发到B地,甲不行、乙骑车.若甲走6千米,则在乙出发45分钟后两人同时到达B地；若甲先走1小诗,则乙出发后半小时追上甲,求A、B两地的距离.设甲的速度为a千米/小时,乙的速度为b千米/小时45分钟=3/4小时6+3/4a=3/4ba=（b-a）x1/2化简b-a=8（1）3a=b（2）（1）+（2）2a=8a=4千米/小时b=3x4=12千米/小时AB距离=12x3/4=9千米 工厂与A.B两地有公路、铁路相连,这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂,制成每吨8000的产品运到B地.已知公路运价为1.5元/ （吨、千米）,铁路运价为1.2元/（吨、千米）,且这两次运输共支出公路运费15000元,铁路运费97200元.这批产品的销售款比原料费与运输费的和为多少元?张栋同学到百货大楼买了两种型号的信封,共30个,其中买A型号的信封用了1元5角,买B型号的信封用了1元5角,B型号的信封每个比A型号的信封便宜2分.两种型号的信封的单价各是多少?设A型信封的单价为a分,则B型信封单价为a-2分设买A型信封b个,则买B型信封30-b个1元5角=150分ab=150（1）（a-2）（30-b）=150（2）由（2）30a-60-ab+2b=150把（1）代入30a-150+2b=21030a+2b=36015a+b=180b=180-15a代入（1）a（180-15a）=150a²-12a+10=0（a-6)²=36-10a-6=±√26a=6±√26a1≈11分,那么B型信封11-2=9分a2≈0.9分,那么B型信封0.9-2=-1.1不合题意,舍去A型单价11分,B型9分 2003年财政部发行了三年期和五年期的凭证式国库券共50000元,如果其中的五年期国库券到期后的所得利息多2553,那么两种国库券各多少元 有一群鸽子,其中一部分在树上欢歌,另一部分在地上,树上的一只鸽子对地上的鸽子说：“若从树上飞下去一只,则树上,树下的鸽子就一样多了”.你知道树上,树下各有多少只鸽子吗?已知一铁路桥长1000米,现有一列火车从桥上通过,测得火车从一开始上桥到车身过完桥共用1分钟,整列火车完全在桥上的时间为40秒,求火车的速度及火车的长度?设火车的速度为a米/秒,车身长为b米1分钟=60秒60a=1000+b40a=1000-b100a=2000a=20米/秒b=60x20-1000b=200米车身长为200米.车速为20米/秒
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